5.2 相遇问题(二)

实用文档 2 相遇问题（二）

学习目标:

1、认识速度和、相遇时间、相遇路程，掌握三者之间的等量关系；

2、利用数形结合思想，熟悉画线段图和矩形图的方法解决问题；

3、在解决相遇问题的过程中，运用问题解决的模式，让学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程，发展学生的模型思想。

教学重点:

1、掌握速度和、相遇时间、相遇路程三者之间的等量关系；

2、利用数形结合思想，熟悉画线段图和矩形图的方法解决问题。

教学难点：

如何解决较复杂的相遇问题

教学过程：

一、情景体验

PPT展示图片，师根据书本讲解故事。

师：同学们，你知道这条小狗一共跑了多少路程吗？实际上小狗跑的时间就是小奥和朋朋相遇时所用的时间。这里面就涉及到我们之前学习的行程问题中的相遇问题。

首先来看两道简单的应用题。 实用文档 1、A、B两地相距500千米，甲、乙两车以每小时60千米、40千米的速度分别从A、B两地同时相向出发，几小时两车相遇？

学生读题

师：本题关键词“从A、B两地同时相向出发”，说明是什么问题？

生：相遇问题。

师引导学生画出线段图

师：之前已经学过相遇问题，现在我们再来复习回顾一下。甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，那么甲乙两车合起来一小时行60+40=100（千米）。所以两车相遇，即走完全程500千米需要的时间为500÷100=5（小时）。

列综合算式：500÷（60+40）=5（小时）

500是指A、B两地的距离，也是甲乙两车所走的路程和，我们称为相遇路程。60是甲车的速度，40是乙车的速度，所以60+40是两车的速度和。5小时是两车的相遇时间。因此可以得出：相遇路程÷速度和=相遇时间。

根据这个数量关系，还可以得到：相遇路程÷相遇时间=速度和，相遇时间×速度和=相遇路程。

2、A、B两地相距500千米，甲、乙两人相向而行，5小时相遇，已知甲每小时比乙快20千米，甲、乙的速度各是多少？

学生读题 实用文档 师：读完题目，发现这仍然是什么问题？

生：相遇问题。

师：刚才我们已经得到了相遇问题中三者之间的数量关系（按PPT上格式板书），“A、B两地相距500千米，甲乙两人相向而行”，所以相遇路程是500千米。“5小时相遇” ，相遇时间是5小时。这样，已知相遇路程和相遇时间，我们能够先求出什么？

生：求两人的速度和，500÷5=100（千米/时）。

师：“已知甲每小时比乙快20千米” ，这是告诉了两人的速度差。那么，知道甲乙的速度和与速度差，如何求出他们各自的速度呢？

生：用和差问题解决。

师和学生一起利用和差公式完成计算。

二、思维探索（建立知识模型）

展示例1：

例1：在某战役中，侦察员侦查到敌军与我军原相距125千米，3小时之前敌军以每小时8千米的速度攻击我军。我军指挥员当即命令部队以每小时12千米的速度向前迎头攻击敌军，估计敌我相距1千米时发生战斗，问战斗几小时后打响？

学生读题

师：遇到这种较复杂的行程问题，我们不妨画线段图来帮助分析。

师引导学生先画一条长线段，标注敌军、我军原相距125千米。 实用文档 师：“3小时之前敌军以每小时8千米的速度攻击我军” ，说明敌军先出发3小时，画出敌军3小时走的路程是8×3=24（千米）。“我军指挥员当即命令部队以每小时12千米的速度向前迎头攻击敌军” ，说明敌军、我军同时出发。“敌我相距1千米时发生战斗” ，标注出1千米和敌军、我军所走的路程。

师：线段图画完了，这是相遇问题吗？

生1：敌军、我军没有相遇，不是相遇问题。

生2：有一段路程是敌军、我军同时出发走的，可以看作是相遇问题。

师讲解：本题中虽然敌我两军没有相遇，但是在敌我相距1千米时发生战斗，而问题要求的是战斗几小时打响。如果去掉这1千米，敌我两军就相遇了，要求的问题就转化为求相遇时间了。

师按PPT格式板书相遇路程、相遇时间、速度和。

师：那么，敌我两军的相遇路程是多少呢？

学生思考

师引导：相遇路程就是两者同时出发所走的路程和，即图中红色箭头表示的路程，为125-24-1=100（千米）。

敌军、我军的速度题目已告诉了，所以速度和为8+12=20（千米/时）。

师：已知相遇路程、速度和，因此相遇时间为：100÷20=5（小时）。即战斗5小时打响。 实用文档 师引导学生写出完整的解题算式

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例2：

例2：小猫和小狗赛跑，它们同时从同一起点出发，当跑到距起点1500米处时就折返往回跑。小猫每分钟跑20米，小狗每分钟跑180米。当小猫和小狗相遇时，小猫离折返点还有多少米？

学生读题

师：读完题后，你知道小猫和小狗相遇时，它们的相遇路程是多少吗？不妨也画线段图分析吧。

师引导学生先画一条线段长1500米，标注出起点、小猫、小狗。

师：题目说“它们同时从同一起点出发，当跑到距起点1500米处时就折返往回跑” ，你能判断出是谁折返往回跑吗？

生：是小狗，因为小狗跑的比小猫快。

师：对的，一定要先判断出是小狗在折返往回跑，这是关键。

师引导学生画出小猫小狗相遇时所跑的路程

师：小猫小狗是同时出发，因此从图中能看出相遇路程是多少吗？

生：两个1500米。 实用文档 师追问：为什么？

生：相遇路程就是小猫小狗同时出发所走的路程和，即图上蓝色和红色箭头所指的路程，是1500×2=3000（米）。

师：对的，看来大家已经完全理解相遇路程的含义了。“小猫每分钟跑20米，小狗每分钟跑180米” ，从题中还可以知道什么？

生：小猫小狗的速度和，20+180=200（米/分）

师：既然已知相遇路程、速度和，能不能求出相遇时间？

生：能，3000÷200=15（分）

师：也就是小猫小狗各自跑了15分钟。问题要求小猫离折返点还有多少米，我们可以先求出小猫跑的路程，为20×15=300（米）。所以小猫离折返点还有1500-300=1200（米）。

师引导学生写出完整的解题算式

学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。

展示例3：

例3：甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，如果各自按原来的速度前进，则4小时相遇；如果两人各自都比原来每小时少走1千米，则5小时相遇。那么A、B两地相距多少千米？

学生读题 实用文档 师：读完题，发现本题有两种相遇情况。第一种“如果各自按原来的速度前进，则4小时相遇” ，可以得到甲乙的速度和×4=路程和。因为甲乙两人分别从A、B两地同时相向而行，所以路程和就是A、B两地之间的距离。

第二种“如果两人各自都比原来每小时少走1千米，则5小时相遇” ，这时甲的速度要比原来的速度少1，即甲的原速度减1。同样的，这时乙的速度也是乙的原速度减1。因此此时的速度和就变成了甲乙原来速度和减2，即(原速度和-2)×5=路程和，路程和是A、B两地之间的距离。

师：观察得到的这两个等量关系，哪些是已知量？哪些是未知量？

生：相遇时间已知，原速度和、路程和未知。

师：是的，有两个未知量，不能直接用算式计算。这两个等量关系都是做乘法运算，同学们还记得上节课学习的画矩形图的方法吗？不妨借助矩形图来分析。

首先画出一个矩形，水平边表示原速度和，竖直边表示相遇时间4小时，这个矩形的面积就表示路程和（A、B之间的距离）。再画一个矩形，水平边表示后来速度和，竖直边表示相遇时间5小时，它的面积表示路程和（A、B之间的距离）。（注意，水平边和竖直边要与原来的矩形重合）。原速度和-2=后来速度和，在图上标注出2。因为两个矩形的面积都是表示路程和，所以面积相等，除去重叠的部分，剩下的两个绿色阴影部分面积也相等。

观察矩形图，可知其中一个绿色部分矩形的一边是4，另一边是2，面积=4×2=8，实用文档 因此另一个绿色部分面积也是8，它的水平边表示后来速度和，竖直边表示两个相遇时间之差，为5-4=1，已知面积和其中一条边，就可以求出另一条边，即后来速度和为8÷1=8（千米/时）。

后来的速度和是8千米/时，相遇时间是5小时，因此路程和为8×5=40（千米），即A、B两地之间的距离是40千米。

师小结：对于较复杂的相遇问题，要学会运用数形结合的思想解决。

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例4：

例4：甲、乙两人从相距48千米的两地相向而行。若甲先出发3小时，则在乙动身2小时后两人相遇；若乙先出发3小时，则甲动身3小时后两人相遇，求甲、乙两人的速度。

学生读题

师：读完题，发现本题和例题3一样也是有两种相遇情况，区别在于本题是一个人先出发，另一个人后出发。不妨画线段图来帮助分析。

师：“若甲先出发3小时，则在乙动身2小时后两人相遇” ，可以画出甲先出发3小时走的路程，在乙动身2小时后两人相遇，乙出发2小时，甲是不是也要走2小时呢？要注意，这里指的是甲乙同时出发2小时后相遇。

师引导学生画出线段图 实用文档 同理，师引导学生画出第二种情况的线段图。

师：线段图画出来了，同学们仔细观察，从图中能得到什么等量关系式呢？

学生思考

师引导学生比较上下两个线段图

师：大家看，这两条线段是一样长，前面一部分都是表示甲3小时走的路程，说明前面这一部分相等，那么剩下的后面这一部分也相等。即甲2小时+乙2小时的路程=乙6小时的路程。进而可以得到甲2小时的路程=乙4小时的路程，所以甲1小时的路程=乙2小时的路程。

知道了甲1小时走的路程等于乙2小时走的路程，那么第二条线段中，甲3小时走的路程就可以转化为乙6小时走的路程。这样一来，乙用6+3+3=12小时就走完全程48千米。所以乙的速度为：48÷12=4（千米/时）。甲1小时走的路程=乙2小时走的路程，所以甲的速度为：4×2÷1=8（千米/时）。

师小结：对于较复杂的相遇问题，要学会正确画线段图分析。

五、创新应用

展示例5：

例5：龟兔赛跑，全程5100米。兔子每分钟跑300米，乌龟每分钟跑50米，乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，又跑……，那么先到达终点的要比后到达终点