二次函数图象与字母系数的关系教案

题型（三） 二次函数图象与字母系数的关系

1.（2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（ B ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2,（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：

①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ C ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，对称轴是直线1x，下列结论：

①0ab；②acb42；③0cba；④03ca.

其中正确的是（ C ）

A．①④ B．②④ C. ①②③ D．①②③④

4.（2017四川宜宾第8题）如图，抛物线y1=12（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：

①a=23；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2

其中正确结论的个数是（ B ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.(2017山东日照第12题)已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①抛物线过原点；

②4a+b+c=0；

③a﹣b+c＜0；

④抛物线的顶点坐标为（2，b）；

⑤当x＜2时，y随x增大而增大．

其中结论正确的是（ C ）

A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤

6.(2017山东菏泽第8题)一次函数baxy和反比例函数xcy在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数cbxaxy2的图c象可能是（ C ）

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小专题 一次函数图象与字母系数的关系

【例】（郑州八中期中）如图，在同一平面直角坐标系中，表示一次函数ymxn与正比例函数ymnx（m，n是常数，且0mn）的图象是（ ）

【思路点拨】本题应分如下几种情况进行讨论：①00mn，；②00mn，；③00mn，；④00mn，.由①知，直线ymxn过第一、二、四象限；此时0mn，直线ymnx过第二、四象限.对照所给图象，可逐一排除，得到正确结果.

方法指导

针对训练

1.函数(0)ykxkk的图象是（ ）

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2.（甘肃中考）在平面直角坐标系中，已知一次函数(2)ykxb的图象大致如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 2,0 B. 2,0C. 2,0 D. 2,0kbkbkbkb

3.已知点kb（，）为第四象限内的点，则一次函数ykxb的图象大致是（ ）

4.（广州中考）若一次函数yaxb的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）

2A. 0 B. 0C. 0 D. 0abababab

5.（平顶山叶县期中）两个一次函数yaxbybxa与（a，b为常数，且0ab），它们在同一个坐标系中的图象可能是（ ）

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6.一次函数yaxb的图象如图所示，则化简|||1|abb得___________.

7.已知直线(0)ykxbk与x轴的交点在x轴的正半轴，则下列结论：①0k，0b；②00kb，；③00kb，；④00kb，.其中正确的是_________.

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◇山东李金之　

二次函数　—ａｘ　＋　＋ｃ（口≠０）的字母系数确　定后（可以用待定系数法确定ａ、ｂ、Ｃ的值），它的图象　和性质也就确定了．反之，当已知二次函数的图象或　

它的一些性质，也可以求出它的字母系数的值或字母　

系数的范围．现就二次函数　—ａｘ　＋ｂｘ＋Ｃ（ｎ≠０）的　图象性质与字母系数的关系举例如下．　１二次函数Ｙ＝口　＋ｂｘ＋ｃ（ｎ≠０）中的字母系数ｎ、　

ｂ、ｃ及其意义　１）二次函数ａ及其意义　

二次函数ａ不但决定了二次函数图象的开口方　向（当ａ＞０时，抛物线开口向上；当ａ＜０时，其开口　

向下），它还决定开口的大小．也就是说，当二次函数ａ　的绝对值相同时，这些抛物线的形状完全相同，反之　

也成立．因此抛物线　—ａｘ　＋ｂｘ＋Ｃ（ａ≠０）可以由抛　物线　—ａｘ　（ｎ≠Ｏ）平行移动得到．　

２）常数项ｃ的意义　

对于二次函数　—ａ．２ｃ　＋ｂｘ＋ｃ（ｎ≠０）来说，当　ｚ一０时，　—Ｃ，即抛物线　—ａａｃ　＋ｂｘ＋Ｃ（口≠Ｏ）总是　

经过（Ｏ，ｃ）．当ｃ＞Ｏ时，抛物线与．ｙ轴的交点在Ｙ轴的　正半轴；当ｃ＜Ｏ时，抛物线与　轴的交点在Ｙ轴的负　

半轴；当Ｃ一０时，抛物线经过原点．反过来，当抛物线　与　轴的交点坐标已知时，其二次函数解析式中的常　

数项Ｃ的值也就决定了．　

３）一次项系数ｂ的意义　当二次函数Ｙ—ｎｚ　＋ｂｘ＋Ｃ（ｎ≠０）中的二次项　

系数ａ及一次项系数ｂ一旦确定，这个函数的对称　

轴：直线ｚ＝＝＝一　（顶点的横坐标）则唯一确定了．反　

之亦然．　静　例１已知二次函数ｙ一一ｚ　＋３ｘ，则其图象大　致位置是（　）．　

Ａ　Ｂ　Ｃ　答案Ｃ．　

触化　Ｄ　２　二次函数图象的顶点坐标与字母系数　

对于　一口　＋６ｚ＋Ｃ（ｎ≠Ｏ），其图象顶点坐标是　

（一乏，丝　），这是二次函数的重要性质，它不但　

决定了二次函数的顶点，同时也确定了函数的最值．　—　孑　例２　已知抛物线Ｙ—　一８ｚ＋ｆ顶点在　轴　

上，则Ｃ的值是（　）．　

Ａ　０；　Ｂ　一１６；　Ｃ　８；Ｄ　１６　由于抛物线　一，３２　一８ｘ＋ｃ的顶点在ｚ轴　析上，则其顶点的纵坐标为０，即　＝０，上，则其顶点的纵坐标为，即　＝＝＝，　口　所以—４ｃ＿－一６４—０，所以ｃ一１６．故选Ｄ．　

第二章 二次函数-二次函数的图象与系数的关系（教案）

一、教学内容

本节课选自教材第二章“二次函数”中的“二次函数的图象与系数的关系”。教学内容主要包括以下三个方面：

1. 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

2. 二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与系数的关系：

- a>0时，图象开口向上；a<0时，图象开口向下。

- 对称轴为x=-b/2a。

- 顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)。

3. 二次函数图象与x轴的交点（实数根）与系数的关系：

- 判别式Δ=b^2-4ac：

- Δ>0时，有两个实数根，图象与x轴有两个交点；

- Δ=0时，有一个实数根，图象与x轴有一个交点；

- Δ<0时，无实数根，图象与x轴无交点。

二、核心素养目标

本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：

1. 培养学生的数学抽象能力：通过研究二次函数的图象与系数的关系，使学生理解数学表达式背后的几何意义，提高数学抽象思维。

2. 培养学生的逻辑推理能力：引导学生发现二次函数图象开口方向、对称轴、顶点坐标及实数根与系数之间的关系，培养学生运用逻辑推理解决问题的能力。

3. 培养学生的数学建模和数据分析能力：让学生在实际问题中运用二次函数模型，通过分析系数变化对函数图象和实数根的影响，提高学生数学建模和数据分析的能力。

这些核心素养目标旨在帮助学生深入理解二次函数的概念，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力，符合新教材对学生能力培养的要求。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

（1）二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0），以及系数a、b、c对函数图象的影响。

- a决定了图象的开口方向和形状。

- b影响图象的对称轴位置。

- c代表图象与y轴的交点。

（2）二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向。

- 顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，是图象的最高点或最低点。