小专题(四) 二次函数的图象与字母系数之间的关系

二次函数的图象与性质专题

【知识点1 二次函数的配方法】二次函数𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄(𝒂≠𝟎)配方成顶点式𝒚=𝒂(𝒙+𝒃𝟐𝒂)𝟐

+𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐

𝟒𝒂𝟐， 对称轴为

2b

x

a=−，顶点坐标为24

24bacb

aa−

−

，．

【题型1 二次函数的配方法】

【例1】用配方法将下列函数化成y＝a（x-h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．

（1）y＝2x2+4x-1 （2）y=12x2﹣2x+3； （3）y＝（1﹣x）（1+2x）；

【知识点2 二次函数的五点绘图法】

利用配方法将二次函数2yaxbxc=++化为顶点式2()yaxhk=−+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后

在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点()0c，、以及()0c，关于对称

轴对称的点()2hc，、与x轴的交点()

10x，，()

20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

【题型2 二次函数的五点绘图法】

【例2】已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3

（1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、与x、y轴交点；

（2）选取适当的数据填表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．

x … …

y … …

【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】

①二次项系数a：a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

②一次项系数b：在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置，概括的说就是“左同右异”.

③常数项c：总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】

【例3-1】如图所示的四个二次函数图象分别对应 ①𝑦=𝑎𝑥2， ②𝑦=𝑏𝑥2， 

③𝑦=𝑐𝑥2， ④𝑦=𝑑𝑥2，则𝑎，𝑏，𝑐，𝑑的大小关系

二次函数图象与字母系数的关系

二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2

＜0；②3b+2c＜0；③4a+c

＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（B）

A．1B．2C．3D．4

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：

①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（C）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二次函数)0(2

acbxaxy

的图象如图所示，对称轴是直线1x

，下列结论：

①0ab

；②acb42



；③0cba

；④03ca

.

其中正确的是（C）

A．①④B．②④C.①②③D．①②③④

如图，抛物线y

1=1

2（x+1）2+1与y

2=a（x﹣4）2

﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物

线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=2

3；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y

1＞y

2

其中正确结论的个数是（B）

A．1个B．2个C．3个D．4个

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象

如图所示，下列结论：

①抛物线过原点；

②4a+b+c=0；

③a﹣b+c＜0；

④抛物线的顶点坐标为（2，b）；

⑤当x＜2时，y随x增大而增大．

其中结论正确的是（C）

A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤

一次函数

和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数

的图c象可能是（C）A

．B

．C

.D

．

二次函数2yaxbxc

（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（D）

A．4ac＜b2B．abc＜0C．b+c＞3aD．a＜b

如图所示，抛物线cbxaxy2

的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以

下结论：

专题05 二次函数与各系数之间的关系

重点突破

抛物线中，与函数图像的关系（灵活掌握）

 二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵

当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

【总结起来】决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

 一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴

在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）．

⑵

在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）．

【总结起来】在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．



常数项

⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

【总结起来】决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

考查题型

考查题型一 根据二次函数的图像判断各系数、各式子符号

典例1（2019·莆田市期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】

①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，

∴ab＜0，

∵与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵a＞0，x=﹣2ba＜1，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0，

故②正确；

1 专题训练(二) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系

知识储备

二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c之间的关系:

项目

字母 字母的符号 图象的特征

a a>0 开口向上

a<0 开口向下

b b=0 对称轴为y轴

ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧

ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧

c c=0 经过原点

c>0 与y轴正半轴相交

c<0 与y轴负半轴相交

b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有一个交点(顶点)

b2-4ac>0 与x轴有两个交点

b2-4ac<0 与x轴没有交点

特殊关系 当x=1时,y=a+b+c;

当x=-1时,y=a-b+c

当x=2时,y=4a+2b+c;

当x=-2时,y=4a-2b+c

若a+b+c>0,则当x=1时,y>0

若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0

当对称轴为直线x=1时,2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,2a-b=0;判断2a+b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=1的位置关系;判断2a-b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=-1的位置关系

▶ 类型一 利用二次函数图象考查以上表格中的问题

1.[2020·宁波江北区期末] 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 1所示,则下列关系式错误的是 ( )

A.a<0 B.b>0

C.b2-4ac>0 D.a+b+c<0

图 1 图 2

2.[2020·宁波] 如图 2,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是

A.abc<0 B.4ac-b2>0

C.c-a>0 D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c

3.在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是 ( )