2006年普通高等学校招生全国统一考试理参考答案(辽宁卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供理科考生使用）试题答案与评分参考

说明：

一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分.

（1）Ｃ （2）Ｄ （3）Ｄ （4）Ａ （5）Ｃ （6）Ｂ

（7）Ａ （8）Ａ （9）Ｃ （10）Ｄ （11）Ｃ （12）Ｂ

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

（13）12 （14）1 （15）48 （16）63

三、解答题

（17）本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．

（I）解法一：31cos21cos2sin222xxfxx

2sin2cos2xxπ22sin24x， ································ 4分

当ππ22π+42xk，即ππ+8xkkZ时，fx取得最大值22．

因此，fx取得最大值的自变量x的集合是ππ+8xxkkZ，． ············· 8分

解法二：222sincossin22cosfxxxxx

π1sin21cos222sin24xxx， ······························· 4分

当ππ22π+42xk，即ππ+8xkkZ时，fx取得最大值22．

因此，fx取得最大值的自变量x的集合是ππ+8xxkkZ，． ············· 8分 （II）解：π22sin24fxx，

由题意得πππ2π22π+242kxkkZ≤≤，即3ππππ+88kxkkZ≤≤．

因此，fx的单调增区间是3ππππ+88kkkZ，． ································· 12分

（18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．满分12分．

（I）证明：E，F分别是正方形ABCD的边AB，CD的中点，

EBFD∥，且EBFD，四边形EBFD是平行四边形，BFED∥．

ED平面AED，而BF平面AED，BF∥平面AED．······················· 4分

（II）解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上．

过点A作AG⊥平面BCDE，

垂足为G，连结GC，GD．

ACD△为正三角形，

ACAD，

GCGD，

G在CD的垂直平分线上，

又EF是CD的垂直平分线，

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上． ················································· 8分

过G作GHED⊥，垂足为H，连结AH，则AHDE⊥，

AHG∠是二面角ADEC的平面角，即AHG∠．

设原正方形ABCD的边长为2a，连结AF．

在折后图的AEF△中，3AFa，22EFAEa，

AEF△为直角三角形，

AGEFAEAF，32AGa．

在RtADE△中，AHDEADAE，

25aAH，25aGH，

1cos4GHAH． ······························································································· 12分

解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上．连结AF，在平面AEF内过点A作AGEF⊥，垂足为G．ACD△为正三角形，F为CD的中点，AFCD⊥．

又EFCD⊥，CD⊥平面AEF．AG平面AEF，CDAG⊥．

又AGEF⊥，且CDEFF，CD平面BCDE，EF平面BCDE，

AG⊥平面 BCDE，G为A在平面BCDE内的射影G，

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上． ················································· 8分

过G作GHED⊥，垂足为H，连结AH，则AHDE⊥， A

B

E G

H

D F

C

A

B

E G

H

D F C AHG∠是二面角ADEC的平面角，即AHG∠．

设原正方形ABCD的边长为2a．在折后图的AEF△中，3AFa，22EFAEa，AEF△为直角三角形，AGEFAEAF，32AGa．

在RtADE△中，AHDEADAE，25aAH，

25aGH，1cos4GHAH． ···································································· 12分

解法三：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上．

连结AF，在平面AEF内过点A作AGEF⊥，垂足为G．

ACD△为正三角形，F为CD中点，AFCD⊥．

又EFCD⊥，CD⊥平面AEF．CD平面BCDE，

平面AEF⊥平面BCDE又平面AEF平面BCDEEF，AGEF⊥，

AG⊥平面BCDE，即G为A在平面BCDE内的射影G，

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上． ················································· 8分

过G作GHDE⊥，垂足为H，连结AH，则AHDE⊥，

AHG∠是二面角ADEC的平面角，即AHG∠．

设原正方形ABCD的边长为2a．

在折后图的AEF△中，3AFa，22EFAEa，

AEF△为直角三角形，AGEFAEAF，32AGa．

在RtADE△中，AHDEADAE，25aAH，

25aGH，1cos4GHAH． ···································································· 12分

（19）本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

（I）解法一：1的概率分布为

1

1.2 1.18 1.17

P 16 12 13

11111.21.181.17623E1.18． ··························································· 3分

由题设得~2Bp，，即的概率分布为  0 1 2

P 21p 21pp 2p

故2的概率分布为

2 1.3 1.25 0.2

P 21p 21pp 2p

···································································································································· 6分

所以2的数学期望为

2221.311.25210.2Epppp

2221.3122.50.2ppppp

20.11.3pp． ························································································ 9分

解法二：1的概率分布为

1 1.2 1.18 1.17

P 16 12 13

11111.21.181.17623E1.18． ··························································· 3分

设iA表示事件“第i次调整，价格下降”12i，，则

21201PPAPAP，

21121PPAPAPAPA21pp，

2122PPAPAp．

故2的概率分布为

2 1.3 1.25 0.2

P 21p 21pp 2p

···································································································································· 6分

所以2的数学期望为 2221.311.25210.2Epppp

2221.3122.50.2ppppp

20.11.3pp． ································································································ 9分

（II）解：由12EE，得20.11.31.18pp，整理得0.40.30pp，

解得0.40.3p．

因为01p，所以，当12EE时，p的取值范围是00.3p． ············ 12分

（20）本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．

（I）证法一：OAOBOAOB，22OAOBOAOB，

即222222OAOAOBOBOAOAOBOB，整理得0OAOB，

12120xxyy．① ······························································································· 3分

设点Mxy，是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则0MAMB，

即12120xxxxyyyy．