2006年高考辽宁卷理科数学试题及参考答案

1 / 18 2006年高考辽宁卷理科数学试题及参考答案

第I卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率P，那

么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

knkknnPPCkP)1()(

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.

（1）设集合A={1,2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是

（A）1 （B）3 （C）4 （D）8

（2）设)(xf是R上的任意函数，则下列叙述正确的是

（A）)(xf)(xf是奇函数 （B）)(xf|)(xf| 是奇函数

（C）)(xf－)(xf是偶函数 （D）)(xf+)(xf是偶函数

（3）给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行.

②垂直于同一平面的两个平面互相平行.

③若直线21,ll与同一平面所成的角相等，则21,ll互相平行.

④若直线21,ll是异面直线，则与21,ll都相交的两条直线是异面直线.

其中假．命题的个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（4）双曲线422yx的两条渐近线与直线3x围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是

（A）3000xyxyx （B）3000xyxyx （C）3000xyxyx （D）3030xyxyx

（5）设○+是R上的一个运算，A是R的非空子集. 若对任意AbaAba有,,，则称A对运算○+封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和法（除数不等于零）四则运算都封闭的是 球的表面积公式

24RS

球的体积公式

334RV球

其中R表示球的半径 2 / 18 （A）自然数集 （B）整数集 （C）有理数集 （D）无理数集

（6）△ABC的三内角A，B，C，所对边的长分别为cba,,，设向量p),(bca、q=).,(acab

若p∥q，，则角C的大小为

（A）6 （B）3 （C）2 （D）32

（7）与方程)0(122xeeyxx的曲线关于直线xy对称的曲线的方程为

（A）)1ln(xy （B）)1ln(xy

（C）)1ln(xy （D）)1ln(xy

（8）曲线)6(161022mmymx与曲线)95(19522nnynx的

（A）焦距相等 （B）离心率相等 （C）焦点相同 （D）准线相同

（9）在等比数列}{na中，,21a前n项和为nS，若数列}1{na也是等比数列，则nS等于

（A）221n （B）3n （C）2n （D）13n

（10）直线ky2与曲线)0,(||1892222kRkxkyxk且的公共点的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（11）已知函数|,cossin|21)cos(sin21)(xxxxxf则)(xf的值域是

（A）[－1，1] （B）[1,22] （C）22,1[] （D）]22,1[

（12）设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，ABAP.

若PBPAABOP，则实数的取值范围是

（A）121 （B）1221

（C）22121 （D）221221

绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供理科考生使用）

第II卷（非选择题 共90分） 3 / 18

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）设,0,ln,0,)(xxxexgx则))21((gg

.

（14）)5465()5465()5465()7654()7654()7654(lim2222nnnnn= .

（15）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有 种.（以数作答）

（16）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则cos= .

三．解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知函数.,cos3cossin2sin)(22Rxxxxxxf求：

（Ⅰ）求函数)(xf的最大值及取得最大值的自变量x的集合；

（Ⅱ）函数)(xf的单调增区间.

（18）（本小题满分12分）

已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A—DE—C的大小为).0(

（Ⅰ）证明BF∥平面ADE；

（Ⅱ）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值. 4 / 18

（19）（本小题满分12分）

现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后剩是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为61、21、31；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是)10(pp，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ对乙项目每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元. 随机变量ξ1，ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

（Ⅰ）求ξ1，ξ2的概率分布和数学期望Eξ1，Eξ2；

（Ⅱ）当Eξ1

（20）（本小题满分14分）

已知点)0)(,(),,(212211xxyxByxA是抛物线)0(22ppxy上的两个动点，O是坐标原点，向量.||||,OBOAOBOAOBOA满足 设圆C的方程为xxxyx)(2122

yyy)(21.0

（Ⅰ）证明线段AB是圆C的直径； 5 / 18 （Ⅱ）当圆C的圆心到直线02yx的距离的最小值为552时，求p的值.

（21）（本小题满分12分）

已知函数.0,0,,,,31)(23dadcbadcxbxaxxf且为公差的等差数列是以其中

设)(0xfx为的极小值点. 在[0,21mb]上，1)(xxf在处取得最大值，在2x取得最小值.

将.,,))(,()),(,()),(,(221100CBAxfxxfxxfx依次记为

（Ⅰ）求0x的值；

（Ⅱ）若△ABC有一条边平行于x轴，且面积为2+3，求da,的值.

（22）（本小题满分2分）

已知).,(,)1()()(,)(1110Nknnkfxfxfxxfnnn其中 设

].1,1[),()()()()(22211200xxfCxfCxfCxfCxFnnnmmnnn 6 / 18 （Ⅰ）写出)1(1f；

（Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,21xx，情有|.1)2(2|)()(121nnxFxFn

2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供理科考生使用）试题答案与评分参考

说明： 7 / 18 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后面部分的解答应得分数的一半；如果后面部分的解答严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

（1）C （2）D （3）D （4）A （5）C （6）B

（7）A （8）A （9）C （10）D （11）C （12）B

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）21 （14）－1 （15）48 （16）36

三、解答题

（17）本小题考查三角公式、三角函数的性制裁及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力. 满分12分

（I）解法一：2)2cos1(32sin22cos1)(xxxxf

xx2cos2sin2

).42sin(22x ……4分

.22)(,)(8,2242取得最大值时即当xfZkkxkx

因此，)(xf取得最大值的自变量x的集合是}.,8|{Zkkxx ……8分

解法二：xxxxxf222cos22sin2)cos(sin)(

xx2cos12sin1

=).42sin(22x ……4分

.22)(,)(8,2242取得最大值时即当xfZkkxkx

因此，)(xf取得最大值的自变量x的集合是}.,8|{Zkkxx ……8分

（II）解：).42sin(22)(xxf

由题意得即),(224222Zkkxk

).(883Zkkxk

因此，)(xf的单调增区间是[8,83kk]. …………12分