2012年中考复习解直角三角形

2012年中考复习——解直角三角形

一.中考考纲对解直角三角形部分的要求

知识 考试要求层次

基本要求A 略高要求B 较高要求C

空间与图形

解直角

三

角

形

勾股定理及其逆定理 已知直角三角形的的两边长，会求第三边长 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形

锐角三角函数 了解锐角的正弦、余弦、正切; 知道30°、45°、60°角的三角函数值 由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值；会计算含有30°、45°、60°特殊角的三角函数式的值 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题

解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加附助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题

二.知识框图

三.知识要点

1.直角三角形边角关系．

（1）三边关系：勾股定理：222abc ；（双垂图中常用射影定理和直角边之积等于斜边与斜边上的高之积）

勾股定理的逆定理：若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形. 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：

首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）

然后验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形。（若c2>a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2

（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°．

（3）边角关系（锐角三角函数的概念）

sinAA的对边斜边，叫做A的正弦；

cosAA的邻边斜边，叫做A的余弦；

tanAAA的对边的邻边，叫做A的正切.

2.特殊角的三角函数值

3.三角函数常用公式

互为余角的三角函数关系．

sin（90°－A）=cosA， cos（90°－A）=sin A tanA×tan（90°－A）=1

同角的三角函数关系．

①平方关系：sin2A+cos2A=l ②弦切互化：sintancosAAA

4.三角函数的大小比较

（一）异名三角函数的大小比较

（1）．正弦、正切是增函数．

正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．

（2）．余弦是减函数．

余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

（二）异名三角函数的大小比较

tanA＞sinA，由定义，知tanA= ab ，sinA=ac 因为b＜c，所以tanA＞sinA

5．解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．

6. 测量中常用的概念：仰角、俯角、坡度、坡比、倾斜角、方位角等

补充：直角三角形内切圆半径公式、外接圆半径公式，面积公式、射影定理公式等

四.典型例题（考点）

例1. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：

a b c ∠A ∠B

12 30°

4 45°

2 60°

53 5

42 8

α 30° 45° 60°

sinα 12 22 32

cosα 32 22 12

tanα 33 1 3 北东MNBA例2.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

例3.计算ooo5sin302cos60tan45－ oooo2cos45tan30sin45tan60

例4．如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，•求△ABC的面积（结果可保留根号）．

例5.已知：如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高，E•为边AC•的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．

例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB•sinC的值.

例7.如图，MN表示某隧道挖掘工程的一段设计路线，MN的方向为南偏东30°.在M的南偏东60°方向上有一个点A，以点A为圆心、600米为半径的圆形区域为土质疏松地带（危险区）.取MN上一点B，测得BA的方向为南偏东75°.已知MB＝400米，请你通过计算回答，如果不改变方向，挖掘路线是否会通过这一危险区？（2≈1.41，3≈1.73）

例8.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A的位置．若5OB，1tan2BOC∠，（1）求点D的坐标；（2）求点A的坐标.

Ａ Ｂ C

D

例9.要求tan30°的值，可构造如图6所示的直角三角形进行计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=3，∠ABC=30°，tan30°= BCAC=31=33.在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值。请你写出添加辅助线的方法，并求出tan15°的值。

B C 2 1 A

30 o

例10. 已知：如图，点O是四边形BCED外接圆的圆心，点O在BC上，点A在CB的延长线上，且∠ADB＝∠DEB，EF⊥BC于点F，交⊙O于点M，52EM。

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若上有一动点P，且32CPMsin，求⊙O直径的长；

（3）在（2）的条件下，如果14DE，求DBEtan的值。

五、课后练习

一、填空题

1.在ABCRt△中，490tan3CA，，则sinB的值是（ ）

Ａ．35 Ｂ．45 Ｃ．34 Ｄ．43

2.RtABC△中，90C，abc，，分别ABC，，的对边，下列关系中错误的是（ ）

Ａ．cosbcB Ｂ．tanbaB Ｃ．sinbcB Ｄ．tanabA

3.如图，CD是ABCRt△斜边上的高，43ACBC，，

则cosBCD的值是（ ）

A.35 B.34 C.43 D.45

4. 如图，已知一坡面的坡度1:3i，则坡角为（ ）

Ａ．15 Ｂ．60° Ｃ．30 Ｄ．45

5.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ） A. 5 B.552 C. 55 D.32

6.住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB米，4BC米，12CD米，13DA米，且ABBC⊥，这块草坪的面积是（ ）

Ａ．24米2 Ｂ．36米2 Ｃ．48米2 Ｄ．72米2

7．已知：如图8，梯形ABCD中，451208ADBCBCAB∥，∠，∠，，则CD的长为（ ）

Ａ．863 Ｂ．46 Ｃ．823 Ｄ．42

8.如图，PT切⊙O于T，BP为经过圆心O的割线，如果 PT＝4，PA＝2那么cos∠BPT等于（ ）

A．45 B．12 C．38 D．34

9.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，•数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（ ）

A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC

小敏画的三角形 小颖画的三角形

10.已知为锐角，且tan为方程0322xx的一个实数根，则sin的值为（ ）

A. 22 B. 1010 C. 10103 D. 3

二、填空题

1.直角三角形的两边长分别为6、8，则第三边的长为

．

2.锐角A满足2sin153A，则A∠___________．

3.如图，小亮在操场上距离旗杆AB的C处，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为30．已知9BC米，测角仪的高CD为1.2米，那么旗杆AB的高为 米（结果保留根号）．

4.在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°,AB=32,则BC= ,S△ABC＝

三、解答题： 1.计算：tan45cos60sin30 tan30°＋cos230°－sin245°tan45°

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B, ∠C的对边.

(1)已知a=3,c=23,求∠A;

(2)已知a=6,b=2,求c及∠A;

(3)已知c=104,∠A=45°,求a及b

3．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，(1)求EC的长；(2)在线段BC上还能找到点P使∠APE=90°吗，求出此时的BP长.

4.如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，90ABC，45C，BECD⊥于点E，1AD，22CD，求BE的长度.

5.如图，一块四边形土地，其中120303ABDABACBDCDAB，⊥，⊥，m，503CDm，求这块土地的面积

6.阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为ABC的三边，且满足acbcab222244，试判断ABC的形状。

解：222244()acbcabA

Ａ Ｄ

Ｅ

Ｃ Ｂ