中考总复习解直角三角形
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让更多的孩子得到更好的教育
1 解直角三角形
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；
掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；
掌握互为余角和同角三角函数间关系；
掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；
了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
复习策略：
复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．
二、学习与应用
知识点一：锐角三角函数 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识考点梳理
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924
知识框图
通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
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2 （一）锐角三角函数：
在Rt△ABC中，∠C是直角，如图
（1）正弦：∠A的 与 的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；
（2）余弦：∠A的 与 的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；
（3）正切：∠A的 与 的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
（二）同角三角函数关系：
（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．
（三）互余两角的三角函数关系
sinA=cos（ ），cosA=sin（ ）．
（四）特殊角的三角函数值
（五）锐角三角函数的增减性
（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而 （或 ）．
（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而
（或 ）．
要点诠释：
∠A在0°～90°之间变化时， ＜sinA＜ ， ＜cosA＜ ，
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3 tanA＞
知识点二：解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．
（一）三边之间的关系：
a2+b2= （勾股定理）
（二）锐角之间的关系：
∠A+∠B= °
（三）边角之间的关系：
sinA= ， cosA= ， tanA=
要点诠释：
解直角三角形时，只要知道其中的 个元素（至少有一个 ），就可以求出其余未知元素．
知识点三：解直角三角形的实际应用
（一）仰角和俯角：
在视线与 所成的角中，视线在 上方的是仰角；视线在 下方的是俯角．
（二）坡角和坡度：
坡面与 的夹角叫做坡角．坡面的 和 的比叫做坡面的坡度（即坡角的 值）常用i表示．
（三）株距：
相邻两树间的 ．
（四）方位角与方向角：
从某点的 方向沿 时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．
从 方向或 方向到目标方向所形成的小于 °的角叫做方向角．
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。 更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#248924
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4 类型一：锐角三角函数
例1．在△ABC中，∠C=90°．若sinA=12，则tanA= ．
考点：锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值．
解析：
例2．已知：cos=23，则锐角的取值范围是（ ）
A．0°<<30° B．45°<<60°
C．30°<<45° D．60°<<90°
考点：利用三角函数值确定角的取值范围．
解析：
例3．当45°<<90°时，下列各式中正确的是（ ）
A．tan>cos>sin B．sin>cos>tan
C．tan>sin>cos D．cos>sin>tan
考点：同一锐角不同三角函数比较大小．
解析：
例4．Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的15，那么锐角A的各个三角函数值（ ）
A．都缩小15 B．都不变 C．都扩大5倍 D．无法确定
考点：三角函数值与角的度数有关，与边的比值有关．
解析：
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5
例5．1-cos234°-cos256°=__________．
考点：（1） sin2A+cos2A=1；
（2）互余两角的三角函数关系sinA=cos（90°-A）或cosA=sin（90°-A）．
解析：
例6．方程2sin2(sin2)sin120xx有实数根，求锐角的取值范围．
考点：锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值．
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】已知为锐角，下列结论正确的有（ ）
（1）sincos1 （2）如果45，那么sincos
（3）如果1cos2，那么60 （4）2(sin1)1sin
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
思路点拨：利用三角函数的增减性和有界性即可求解．
解析：
【变式2】A、B、C是△ABC的三个内角，则sin2AB等于（ ）
A．cos2C B．sin2C C．cosC D．cos2AB
考点：互余两角正余弦关系．
解析：
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6
【变式3】已知△ABC中，∠C=90°，若∠A、∠B的余弦值是关于x的方程26237mxmxm的两个根．且△ABC的周长为24．试求BC的长度．
考点：锐角三角函数概念的理解和运用．
解析：
类型二：解直角三角形
例7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=5，BD=3，则sinA= ，cosA= ，tanA= ，tanB= ．
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7 ABCD
考点：解直角三角形，利用已知元素求两锐角的三角函数值．
解析：
例8．如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tancosBDAC．
（1）求证：AC=BD； （2）若12sin1213CBC，，求AD的长．
考点：利用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形．
思路点拨：由于AD是BC边上的高，则有RtADB和RtADC，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解．
解析：
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8
例9．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B，取145500ABDBD，米，55D．要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A．500sin55米 B．500cos55米
C．500tan55米 D．500cos55米
思路点拨：在RtBED中可用三角函数求得DE长．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长．
解析：
