数学必修四人教A版 1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）

［学习目标］1•掌握y=sin x, y=cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最 值2掌握j；=sinx, j/=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin（^x+（p） 及y=A

cos（ex+卩）的单调区间.

戸预习导学全 挑战自我，点点落实 ______________________________________________________________

［知识链接］

1.怎样求函数fix）=Asin（cox+（/））（或./（x）=/cos（亦+卩））的最小正周期

答 由诱导公式一知：对任意 xGR,都有 Asin［（a）x+（p） + 2TI］ =Asin（cox+（p）,

所以./W=Asin（cox+（p）（co0）是周期函数，方就是它的一个周期.

由于兀至少要增加两个单位，/（X）的函数值才会重复出现，因此，两是函数/（x）=/sin（ex+°）

的最小正周期.

同理，函数/（x）=/cos（砂+卩）也是周期函数，最小正周期也是壽.

2.观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值 和最小值分别为多少？

答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和一1.

［预习导引］

正弦函数、余弦函数的性质

函数 y=sinx y=cosx

图象

-i-TT \J/

定义域 R R

值域 [-1,11 [-1,11

对称性 对称轴：兀=航+畝WZ）；

对称中心：伙兀，0）伙EZ） 对称轴：x=k7t（k^Z）；

对称中心：仏+号’0） 所以Asin =Asin（cox+（p）,

(©)

奇偶性 奇函数 偶函数

周期性 最小正周期：2兀 最小正周期：2K

单调性 JT TT

在［一㊁+2ht,㊁+2加］伙GZ）

上单调递增;在奇+2fac,夢+ 在［—TT+2E, 2E］伙WZ）上单

- 1 - 作业24：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（1）

1．函数1tan24yx的定义域是

A．{|2,}2xxkkZ B．{|4,}2xxkkZ

C．{|,}28kxxkZ D．{|,}8xxkkZ

2．在[0,2]内，不等式1cos2x的解集是

A．0,3 B．50,3 C．5,33 D．,23

3．如图所示曲线对应的函数解析式可以是

A．|sin|yx B．sin||yx C．sin||yx D．|sin|yx

4．方程2cosxx的解的个数为

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

5．函数2[0in],,3sxyx的值域为_______；函数2cos,[0,]3yxx的值域为______．

6．利用函数cosyx的图象解不等式：31cos22x

7．已知函数cos2(,,0)6yabxabRb的最大值为3，最小值为1.

（1）求,ab的值；（2）当求5,46x时，函数()4sin3gxabx的值域.

8. 已知函数axxxfsinsin)(2.

（1）当0)(xf有实数解时，求实数a的取值范围；

（2）若417)(1xf对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

成都龙泉 刘杰名师工作室

1 1．4．3正弦函数、余弦函数的性质（2）

【学习目标】

1.会根据函数的解析式、诱导公式、图像探究正、余弦函数的奇偶性、对称性、单调性、最值等；能求正、余弦型函数的单调区间、最值、对称中心（或对称轴）等；

2.通过探究性学习，激发同学们学习数学的兴趣和积极性，陶冶同学们的情操，培养同

学们坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.

【学习重点】正、余弦函数的奇、偶性、单调性、最值、对称性．

【难点提示】正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用.

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3742P结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

【学习过程】 一、学习准备

前面我们学习了函数、三角函数等相关知识，请同学们回顾后完成下列填空：

1.你怎样理解诱导公式口诀，它有几层含义： ；

2.正、余弦型函数sin()cos(),yAxyAxxR、的周期T= ；

3.在学习函数时，我们研究函数的性质包含的内容是： ；

4.我们研究函数性质的主要方法是： 、 .

▲请感悟表内外的知识网络（建议自己在电脑自作），主动复习教材中相关知识，并将

不很熟悉的各知识内容填写在横线上或空白处. 函数的奇偶性

二次函数

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

自主学习

知识梳理

1．正弦曲线、余弦曲线

(1)定义：正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做__________曲线和________曲线．

(2)图象：如图所示．

2．“五点法”画图

步骤：

(1)列表：

x 0 π2 π 3π2 2π

sin x 0 1 0 －1

0

cos

x 1 0 －1 0

1

(2)描点：

画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________．

(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图．

3．正、余弦曲线的联系

依据诱导公式cos x＝sinx＋π2，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向______平移π2个单位长度即可．

自主探究

已知0≤x≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x与cos x的大小关系．

对点讲练

知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象

例1 利用“五点法”画函数y＝－sin x＋1(0≤x≤2π)的简图．

回顾归纳 作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin

x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．

变式训练1 利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．

知识点二 利用三角函数图象求定义域

例2 求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．

回顾归纳 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．

变式训练2 求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域．