高中数学必修4教案1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）

［学习目标］1•掌握y=sin x, y=cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最 值2掌握j；=sinx, j/=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin（^x+（p） 及y=A

cos（ex+卩）的单调区间.

戸预习导学全 挑战自我，点点落实 ______________________________________________________________

［知识链接］

1.怎样求函数fix）=Asin（cox+（/））（或./（x）=/cos（亦+卩））的最小正周期

答 由诱导公式一知：对任意 xGR,都有 Asin［（a）x+（p） + 2TI］ =Asin（cox+（p）,

所以./W=Asin（cox+（p）（co0）是周期函数，方就是它的一个周期.

由于兀至少要增加两个单位，/（X）的函数值才会重复出现，因此，两是函数/（x）=/sin（ex+°）

的最小正周期.

同理，函数/（x）=/cos（砂+卩）也是周期函数，最小正周期也是壽.

2.观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值 和最小值分别为多少？

答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和一1.

［预习导引］

正弦函数、余弦函数的性质

函数 y=sinx y=cosx

图象

-i-TT \J/

定义域 R R

值域 [-1,11 [-1,11

对称性 对称轴：兀=航+畝WZ）；

对称中心：伙兀，0）伙EZ） 对称轴：x=k7t（k^Z）；

对称中心：仏+号’0） 所以Asin =Asin（cox+（p）,

(©)

奇偶性 奇函数 偶函数

周期性 最小正周期：2兀 最小正周期：2K

单调性 JT TT

在［一㊁+2ht,㊁+2加］伙GZ）

上单调递增;在奇+2fac,夢+ 在［—TT+2E, 2E］伙WZ）上单

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精校版 §1.4.2 正弦函数、余弦函数的

周期性

学习目标

1.了解周期函数及最小正周期的概念.

2.会求一些简单三角函数的周期.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P34~ P36，找出疑惑之处）

自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性.

二、新课导学

※ 探索新知

问题1：观察下列图表从中发现什么规律？是否具有周期性？

问题1：.如何给周期函数下定义？

问题2：判断下列问题：

（1）对于函数y=sinx x∈R 有4sin)24sin(成立，能说2是正弦函数y=sinx的周期？

x -2 -23 - -2 0 2  23 2

sinx 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 高中数学-打印版

精校版 （2）2)(xxf是周期函数吗？为什么？

（3）若T为)(xf的周期，则对于非零整数)(,ZkkTk也是 )(xf的周期吗？

问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？

问题4：最小正周期的含义；求,sin)(xxfxxfcos)(的最小正周期？

※ 典型例题

例1: 求下列函数的周期：

（1）xxf2cos)(； （2）)62sin(2)(xxg

变式训练:1. ⑴求)2cos()(xxf ⑵)62sin(2)(xxg的周期

2.已知10cos)(kxxf，其中0k，当自变量x在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k的值.

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例2：证明函数xxy2cossin不是周期函数.

※ 动手试试

1、求下列函数的周期：

(1)正弦函数sinx3y的周期是_________.

课题：1.4.1正弦函数,余弦函数的图象

教学目标：

知识与技能：理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的

图象的方法。

过程与方法：利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx, x∈R的图 象，明确函数的图象；根据关系cosx=sin(x+π／2)作出y=cosx,x∈R的图象。渗透数形结合和化归的数学思想。

情感态度与价值观：通过作正弦函数与余弦函数的图象，培养认

真负责，一丝不苟的学习精神和勇于探索，勤于思

考的科学素养。

课前预习学案

一、预习目标

理解并掌握作正弦函数图象的方法，会用五点法作正余弦函数简图．

二、复习与预习

1．正、余弦函数定义：___________________

2.正弦线、余弦线：____________________________

_

3. 正弦函数sin,0,2yxx的图象中，五个关键点是： 、 、 、 、

.

作cosyx在[0,2]上的图象时,五个关键点是 、 、 、 、

. 步骤：___________，_____________，________________.

课内探究学案

问题1：三角函数的定义及实质？三角函数线的作法和作用？

问题2：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？

2.探究新知： 问题一：如何 2,0,sinxxy作出的图像呢？

问题二：如何得到Rxxy,sin的图象？

描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。

（公开课导学案）正弦函数余弦函数的图象学教案

第一章：正弦函数与余弦函数的定义

1.1 导入：

通过日常生活实例（如音乐、航海、建筑等）引入正弦函数和余弦函数的概念。

引导学生思考：正弦函数和余弦函数是如何描述周期性变化的？

1.2 正弦函数的定义：

解释正弦函数的数学表达式：sin(θ) = 对边/斜边

通过几何图形（如直角三角形）来直观展示正弦函数的定义。

1.3 余弦函数的定义：

解释余弦函数的数学表达式：cos(θ) = 邻边/斜边

通过几何图形（如直角三角形）来直观展示余弦函数的定义。

1.4 互动环节：

让学生通过实际测量和绘制，体验正弦函数和余弦函数的定义。

引导学生思考：正弦函数和余弦函数之间的关系是什么？

第二章：正弦函数和余弦函数的图象

2.1 正弦函数的图象：

利用计算器或绘图软件，绘制正弦函数的图象。

解释正弦函数的图象特点（如周期性、振幅等）。

2.2 余弦函数的图象：

利用计算器或绘图软件，绘制余弦函数的图象。

解释余弦函数的图象特点（如周期性、振幅等）。

2.3 互动环节： 让学生通过观察和分析，描述正弦函数和余弦函数的图象特点。

引导学生思考：正弦函数和余弦函数的图象有哪些相同点和不同点？

第三章：正弦函数和余弦函数的性质

3.1 正弦函数的性质：

解释正弦函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。

通过图象来直观展示正弦函数的性质。

3.2 余弦函数的性质：

解释余弦函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。

通过图象来直观展示余弦函数的性质。

3.3 互动环节：

让学生通过实际操作和观察，验证正弦函数和余弦函数的性质。

引导学生思考：正弦函数和余弦函数的性质如何应用于实际问题？

第四章：正弦函数和余弦函数的图象的应用

4.1 物理应用：

举例说明正弦函数和余弦函数在物理学中的应用，如振动、波动等。

通过实际例子来展示正弦函数和余弦函数在物理学的应用。

4.2 工程应用：