一类一阶微分方程的解法研究

第 1 页 共 14 页 一阶线性微分方程的解法

摘 要： 本文给出一阶线性微分方程与贝努利方程的一种有别于现行教材的解法。同时给出一阶线性微分方程()()dyPxyQxdx在条件QxkPxQxdx下的解，文章简化了微分方程求解的常数变易法。

一、一阶线性微分方程

1 一阶微分方程的常用解法—常数变易法

对于一阶线性微分方程：

()()yPxyQx (1.1)

我们所使用的《高等数学》教材中，都介绍了同一种解法—常数变易法。即先求出(1.1)所对应的齐次方程

()0yPxy (1.2)

的通解： ()PxdxyCe (1.3)

（其中C为任意常数），然后将通解(1.3)中的任意常数变易为待定函数()Cx

得到 ()()PxdxyCxe (1.4)

为了确定函数()Cx，把(1.4)代人方程（1.1），整理得：

()()()CxePxdxQx

在求出 ()Cx，()1()()PxdxCxQxedxC

1C为任意常数，将求出的()Cx的表达式代回（1.4）中，就得到了方程(1.1)的通解：

()()(())PxdxPxdxyeCQxedx (1.5)

这里将任意常数仍写为C。

这是现行课本上所介绍的微分方程求解的常数变易法，它相当简洁，掌握起来也觉得得心应手。但问题在于，人们往往又觉得它过于巧妙，不仅会问：你怎么想到把任意常熟C变易为待定函数()Cx呢？为了解决这一问题，1我从另一角度用常数变易法来求解一阶线性微分方程(1.1),可以从这种解法中部分的回答上述的疑问。

[收稿日期]:

[作者简介]:朱灵科..(1981---).男,汉族.甘肃省庄浪人. 陇东学院数学系数学教育04级专科(1)班学生. 第 2 页 共 14 页 设(1.1)的通解为 ()()yuxvx (1.6)

1

总结一阶微分方程奇解的求法

摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用

Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution

of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these

methods through the concrete examples.

关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式

方法一：利用c-判别式求奇解

设一阶微分方程0,,dxdyyxF ①

可求出方程①的通解为0,,cyx ②

如果0,,0,,'cyxcyxc ③

是微分方程①的解，且对③式满足：02'2'yx ④

则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。

例1：方程222xxydydxdydx的奇解

解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为222ccxyx与42xy

其中c为任意常数

当时222ccxyx， yccxxcyx222,,

其相应的c-判别式为

02022x2cxyccx

易得到：

22cycx

2 代入原微分方程，可知22cycx不是原微分方程的解；

当42xy时，易求出2,1''xyx，则有02'2'yx

中文摘要

Ⅵ

一阶常微分方程的解法

[摘要]微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演

化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.而一阶微分方程作为微分方程的基

础问题，是解决其他问题的重要环节.

本文总体分为两个环节：第一部分介绍了一阶显式微分方程的多种解法，深

入讨论了可分离变量的方程，可化为变量可分离方程的齐次方程，一阶线性微分

方程，恰当方程，积分因子法这些特殊类型.

本文的另一部分介绍了一阶隐式微分方程的多种结合，结合可解出y，结合

可解出x，不显含y的隐式方程，不显含x的隐式方程这四类特殊的情况进行探

讨.

文章的最后一部分则是选取了一阶微分方程的四类非常特殊的微分方程，给

出了各种通解.

[关键词]显式微分方程，可分离变量，一阶线性微分方程，齐次方程，隐式

微分方程

中文摘要

Ⅵ The Method for First-order Differential Equations

Student: Wu Tao , School of Information and Mathematics

Tutor: Wu Haitao , School of Information and Mathematics

[Abstract]

Differential equations is

the most basic mathematical theory and

methods to study the natural sciences and the social sciences things, objects and

phenomena movement, evolution and variation.

The first order differential

equations as a basis for the problem, and is an important part of solving other

一阶常微分方程的求解

微积分是数学中非常重要的一个分支，它研究的是函数的极限、导数、积分以及微分方程等。在微分方程的研究中，一阶常微分方程是最基本也是最常见的类型。本文将介绍一阶常微分方程的求解方法。

一、分离变量法

分离变量法是一种常用的求解一阶常微分方程的方法。其思想是将微分方程中的变量分开，然后分别对两边进行积分，最终得到解析解。

例如，考虑一阶常微分方程形式为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)分别是关于x和y的函数，我们希望求解y的表达式。首先，我们将方程重新排列为dy/g(y)=f(x)dx，然后对两边同时进行积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。接下来，我们可以通过求解这两个积分来得到问题的解析解。

二、常数变易法

当一阶常微分方程形式为dy/dx=f(x,y)时，常数变易法是一种常用的求解方法。其基本思想是假设y的解可表示为y=uv，其中u和v都是关于x的函数。通过对y=uv进行求导，将其代入原微分方程，可以得到一个新的方程，其中v和其导数可以互相约去。然后，我们可以求解新方程得到v的表达式，再将其代入y=uv中，即可得到问题的解析解。

三、齐次微分方程法 齐次微分方程是指方程右端项为0的一阶常微分方程。对于形如dy/dx=f(y/x)的齐次微分方程，我们可以引入一个新的变量v=y/x，通过对v进行求导，将其代入原微分方程，可以得到一个只含有v的方程。然后，我们可以通过对新方程进行积分求解v的表达式，再将其代入v=y/x中，即可得到问题的解析解。

四、一阶线性微分方程法

一阶线性微分方程是指方程可以写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。对于这种类型的微分方程，我们可以使用一阶线性微分方程的解法来求解。具体来说，我们可以通过乘以一个积分因子，将其变为一个恰当微分方程，然后再进行求解。

综上所述，一阶常微分方程的求解可以通过分离变量法、常数变易法、齐次微分方程法和一阶线性微分方程法等方法进行。每种方法都有其适用的场景和操作步骤，需要根据实际问题来选择合适的方法。通过熟练掌握这些方法，并进行大量的练习，相信大家可以顺利地解决各种一阶常微分方程的求解问题。