实习三、一维问题的有限元方法
一）实习问题：
设
''14(0,1)(0)0,(1)xuuxexuuee，
~1()uxeeu令 将原问题的边界条件齐次化
''~~1~~4()(0,1)(0)0,(1)0xxexeexuuuu，
二）算法描述：
1()21,101101()1,011101(),101110(),111[()()()]1[()()()()]1[()()()()]1[()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiaphhqhNdhaphhqhNNdhaphhqhNNdhaphhqhhxxxxxxxx12010)()()]NNd1()21,101101[()()()]iiiiiiiiiaphhqhNdhxx
1()10101()110()()()()iiiiiiiiiibhfhNdbhfhNdxx
1，单元剖分(1,2,,)iineL
2，i=1 ~~00Ab
3,计算数值积分：()()()()()()1,11,,1,1,,,,,iiiiiiiiiiiiiiiiaaaabb即得单元上的iiAb
4，将iiAb迭加到总的~~Ab中
5，若i<=n,则i=i+1并转到底三步；否则继续下一步
6，根据边界条件调整~~Ab（掐头去尾），即得 A 和b
7，解线性方程组Au=b,得u从而的hu
三）matlab程序：
问题M文件:
function [y1]=f1(x,h)
y1=h*(1/6*(-24*exp(x+h)*h-3*h^2*exp(1)*x+48*exp(x+h)-24*exp(x+h)*x-h^3*exp(1)+3*h^2*exp(-1)*x+h^3*exp(-1)+24*exp(x)*h*x-48*exp(x)-24*exp(x)*h+24*x*exp(x))/h^2);
第３５卷第１期 ２０１３年１月 舰船科学技术 ＳＨＩＰ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖｏ１．３５，Ｎｏ．１ Ｊａｎ．，２０１３
大跨度板架屈曲分析的非线性有限元法
刘相春 ，李陈峰。，任慧龙 ，李晓宇
（１．海军装备部舰船办，北京１０００７１；２．哈尔滨工程大学船舶工程学院，黑龙江哈尔滨１５０００１）
摘 要： 大跨度板架作为客滚船、登陆舰等大型船舶的重要结构，其屈曲强度是船舶设计阶段需重点关注的。 为了开发实用的屈曲强度分析方法，采用大跨度板架的等效简化结构，应用特征值屈曲分析，寻找结构在线弹性范围 内的失稳临界点；采用ＡＢＡＱｕｓ／Ｅｘｐｌｉｃｉｔ非线性有限元方法（ＮＦＥＭ）、考虑非线性因素，给出大跨度板架屈曲强度分析 的理论及破坏分析的一般步骤。分析结果表明：采用简化的梁系结构，应用非线性有限元方法可方便地分析大跨度板 架的屈曲问题。 关键词： 大跨度板架；屈曲强度；非线性有限元法；结构等效简化
中图分类号：Ｕ６６１．４３ 文献标识码：Ａ
文章编号： １６７２—７６４９（２０１３）１—００４６—０５ ｄｏｉ：１０．３４０４／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—７６４９．２０１３．１．０１０
Ｔｈｅ ＮＦＥＭ ｆｏｒ ｂｕｃｋｌｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｌａｒｇｅ－ｓｐａｎ ｇｒｉｌｌａｇｅ
ＬＩＵ Ｘｉａｎｇ—ｃｈｕｎ ，ＬＩ Ｃｈｅｎ．ｆｅｎｇ ，ＲＥＮ Ｈｕｉ—ｌｏｎｇ ，ＬＩ Ｘｉａｏ—ｙｕ （１．Ｓｈｉｐ Ｏｆｆｉｃｅ，Ｎａｖａｌ Ａｒｍａｍｅｎｔ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ ＰＬＡＮ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００７１，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｈｉｐｂｕｉｌｄｉｎｇ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｒｂｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ １ ５０００ １，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｔ Ｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｂｕｃｋｌｉｎｇ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｄｕｒｉｎｇ ｓｈｉｐ ｄｅｓｉｇｎ ｓｔａｇｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－ｓｐａｎ
非线性固体力学及其有限元法
摘要：固体力学的研究对象是可变性固体，可变性固体在载荷，温度，湿度等外界因素的影响下内部各个质点发生的位移、运动、应力、应变还有破坏规律等。该文通过对不协调位移元、杂交应力元以及混合应变元三方面举例说明有限元法在非线性固体力学中的应用。
关键词：非线性 固体力学 有限元法
第二次世界大战后发展起来的现代固体力学有两个特点，其中一个便是有限元法和电子计算机在固体力学中的广泛应用。有限元法凭借其概念清楚，容易理解，适用性强，应用范围广和采用矩阵方式表达，便于编制计算机程序等优点在固体力学中发展迅速，解决了很多复杂问题。
1 固体力学的特点
1.1 基础与工程的双重特点鲜明
在研究内容方面涉及工程材料破坏与工程结构破坏的两个方面。研究工程材料、工程结构和高技术结构的破坏行为，探索其中蕴含的力学规律。探讨降低破坏所造成的经济损失和社会效应的科学方法，建立新的理论、新的设计方法、新的计算方法、新的实验技术，并升华到能够建立新的国家标准和新的结构完整性评估方法和可靠性判据，为设计和改进具有更卓越力学行为和可靠性的工程材料、工程结构和高技术结构提供理论基础与准则。解决各种工程材料的破坏失效表征和工程结构与高技术结构的完整性评[1]。
1.2 广泛的学科交叉性
由于力学理论、方法的普适性，以及力学现象遍及自然界和人类活动的各个层面，因此，一方面作为力学中的一门基础性分支的固体力学必须结合现代数学等学科的新概念、新方法，发展其基本理论以研究力与热、电、化学及生命领域的相互作用，实现从原子、分子的微观结构，到纳米结构、细观显微结构，直至宏观结构的多尺度关联理论框架的建立[2]。另一方面，固体力学和几乎所有的工程学科相交叉、渗透。
连续有限元的研究核心是低阶高精度元，低阶高精度元的具有以下六方面的特性：（1）自锁现象不存在材料不可压缩时；（2）无剪切自锁在弯曲时出现的问题通过较好的位移还有应力精度可以解决；三、可以顺利通过分片试验；四、单元公式只有位移自由度在有限元全局网格的情况下出现；五、对有线网格变化不敏感；六、较高的计算水平。低阶高精度元基于这六方面的特征，可以有效的解决非线性问题的高精确求解、非线性的自适应精确分析以及改善接触问题与动力分析的收敛性等问题[3]。
非线性有限元法综述
摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论
1引言
几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.
2非线性有限元法研究思路
非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形
C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路
UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。两种拉格朗日法的主要形式如下：
（1）TL列式
（2）UL列式
从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。实质上就是TL法考虑了所有的线性项和非线性项，而UL法则忽略了高阶非线性项。因此UL法相对于TL法，列式更加简洁，计算效率就较高，但是需要划分较多的迭代步，所以在处理大变形问题时可能会出现不收敛的情况。 完全拉格朗日法和更新拉格朗日法是较早被提出的几何非线性分析方法，被各国学者广泛研究与应用。Bathe[1]发展了UL列式和TL列式，并应用到三维梁单元上，同时证明了两种拉格朗日法获得的结果基本一致，但是TL法在计算上更加有效。之后诸多学者在前人的基础上发展和改进了UL法，探讨了UL法和TL法在不同结构形式上的应用情况，论证了UL法和TL法的广泛适用性，并应用在不同情况下的不同单元上。同时指出：UL法对于大转动、大变形问题较TL法更加适用，但需要控制好加载步长[3]；而TL法对于中等程度的转动问题较适用，但其在计算时不受加载步长大小的影响[4]。
