等差数列

1 数列专题（一）——等差数列

1．等差数列定义：为常数dNndaann),(*1数列}{na为等差数列。

2．等差数列的通项公式1(1)naand；

3．等差数列的前n项和：公式1：2)(1nnaanS；公式2：1(1)2nnnSnad；

4．等差数列的性质公式：

（1）nmaanmd；nmaadnm，如：855(85),(5)naadaand等；

（2）若qpnm，则qpnmaaaa，如11038aaaa；

（3）若2mnp，则2mnpaaa，如11162aaa；

（4）nS为等差数列}{na的前n项和，则数列,...,,232mmmmmSSSSS也是等差数列.

基础题

1.已知等差数列}{na的前n项和为nS，若12,261Sa，则6a的值为（ ）

A.4 B.5 C.6 D.8

2.（15年安徽文科）已知数列}{na中，11a，211nnaa（2n），则数列}{na的前

9项和等于 。

3.设等差数列}{na的前n项和为nS，若2,11952aaa，则当nS取最小值时，n等

于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

4.（15年广东理科）在等差数列na中，若2576543aaaaa，则82aa=

5.（15年新课标2文科）设nS是等差数列{}na的前n项和,若1353aaa,则5S（ ）

A．5 B．7 C．9 D．11

6.已知等差数列}{na中，其前n项和为nS，36,963SS，则._______987aaa

提高题

1.（15年新课标2理科）设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．

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■ ▓ 等差数列与等比数列

数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是等差数列与等比数列。

从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。

一、 等差数列

等差数列 an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

二、 等比数列

如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：

从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，则有：

ap·aq=am·an，

记πn=a1·a2…an，则有

【专题精华】

【教材深化】

题1 一只小鸡在田里捡稻谷吃，第一天捡了1粒，第二天捡了2粒，第三天捡了3粒……,如此下去，到第100天，这只小鸡总共捡了多少粒稻谷？

敏捷思维 通过分析我们发现：这只小鸡从第二天开始捡的稻谷个数起，每一天都比前一天多1，一直排列下去，就成了一个1，2，3……100的数列。也就是说，这个数列的首项是1，末项是100，从1到100刚好是100个数，所以项数是100.

全解 依照等差数列求和公式可知：

1＋2＋3＋4＋…＋99＋100

=（100＋1）×100÷2

=5050（粒）

答：到第100天，这只小鸡总共捡了5050粒稻谷。

拓展探究 从上题可以看出，等差数列求和需要知道几个条件：首项、末项、项数。这些条件有时并不能直接知道，需要动脑筋去找找、算算。

【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手

1．计算下面等差数列的和：

1＋3＋5＋…＋97＋99

2、计算下面等差数列的和：

2＋5＋8＋…＋98＋101

3．（2007·第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛）计算

1＋2＋…＋8＋9＋10＋9＋＋8＋…＋2＋1的和。

题2 求100以内所有能被2整除的数的和。

敏捷思维 我们把100以内所有能被2整除的数用数列的形式写出来：2、4、6、8、…、98、100，这是一个等差数列。它的首项是2、末项是100，公差是2，项数为（100－2）÷2＋1=50。

全解 2＋4＋6＋8＋…＋98＋100 第8讲 等差数列

把若干个数依次排成一列称为数列。如果一个数列从第二个数开始，每相邻的两个数之间的差相等，这种数列称之为等差数列，如1、2、3、4、5、…999、1000，或2、5、8…98、101等等。在等差数列中，数列的第一个数叫“首项”，数列的最后一个数叫“末项”，整个数列总共有几个数叫“项数”，相邻数的差叫“公差”。如上面第一个数列中，首项是1，末项是1000，项数是1000，公差是2－1=1。

戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师

1 等差数列

知识梳理

1.定义：daann1（d为常数）（2n）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()naanddnadnN ， 首项:1a，公差:d，末项:na

推广： dmnaamn)(． 从而mnaadmn；

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa

4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn

（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．

（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。

（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）通常把题中条件转化成只含1a和d的等式！ 戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师