《正切函数的图像与性质》教案与导学案

《第五章 三角函数》

《5.4.3正切函数的图像与性质》教案

【教材分析】

本节课是三角函数的继续，三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图像.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图像，然后通过图像研究正切函数的性质.

【教学目标与核心素养】

课程目标

1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;

2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.

数学学科素养

1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；

2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；

3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.

4.直观想象：正切函数的图像；

5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.

【教学重难点】

重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；

难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.

【教学方法】：

以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】

一、情景导入

三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本209-212页，思考并完成以下问题 1.正切函数图像是怎样的？

2.类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性

质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.正切函数，且图象：

2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：

定义域：值域：R（-∞，+∞）

最值：无最值渐近线：x=π2+kπ(k∈Z)

周期性：最小正周期是奇偶性:奇函数

单调性：增区间

图像特征：无对称轴，对称中心：(kπ2,0)k∈Z

四、典例分析、举一反三

题型一正切函数的性质

例1求函数f(x)＝tan的定义域、周期和单调递增区间．

【答案】定义域：{x|x≠2k＋13，k∈Z}；最小正周期为2； Rxxytanzkkx2zkkx2,,22kkkz23x单调递增区间是－53＋2k，13＋2k，k∈Z.

【解析】由π2x＋π3≠kπ＋π2，得x≠2k＋13(k∈Z)．

所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2k＋13，k∈Z}；

由于ππ2＝2，因此函数f(x)的最小正周期为2.

由－π2＋kπ＜π2x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z，解得－53＋2k＜x＜13＋2k，k∈Z.

因此，函数的单调递增区间是－53＋2k，13＋2k，k∈Z.

解题技巧：（求单调区间的步骤）

用“基本函数法”求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：

第一步：写出基本函数y＝tanx的相应单调区间、定义域及对称中心；

第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；

第三步：解关于x的不等式．

跟踪训练一

1．下列命题中：

①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝tanx＋π4的图像关于点π4，0对称；④函数y＝tanx＋π4的图像关于直线x＝π4对称．

其中正确命题的个数是( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【答案】D．

【解析】 ：①正确，函数y＝tan(x＋φ)在定义域内只存在递增区间．②正确．③正确，其对称中心为k2π－π4，0(k∈Z)．④函数y＝tanx＋π4不存在对称轴．所以①②③正确，故选D.

题型二比较大小

例2与

【答案】.

【解析】

又在上是增函数

解题技巧：(比较两个三角函数值的大小)

比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．

跟踪训练二

1．若f(x)＝tanx＋π4，则( )

A．f(0)＞f(－1)＞f(1) B．f(0)＞f(1)＞f(－1)

C．f(1)＞f(0)＞f(－1) D．f(－1)＞f(0)＞f(1)

【答案】A

【解析】 f(x)＝tanx＋π4在－3π4，π4内是增函数．

又0，－1∈－3π4，π4，0＞－1，∴f(0)＞f(－1)．

又f(x)＝tanx＋π4在π4，5π4上也是增函数，f(－1)＝tan－1＋π4＝tanπ＋π4－1＝tan5π4－1.

∵5π4－1,1∈π4，5π4，且5π4－1＞1，∴f(－1)＞f(1)．

从而有f(0)＞f(－1)＞f(1)．

五、课堂小结 0tan1670tan17300tan167tan173000090167173180tan,yx00(90,270)00tan167tan173让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本213页习题5.4.

【教学反思】

正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间.

《5.4.3 正切函数的图像与性质》导学案

【学习目标】

知识目标

1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;

2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.

核心素养

1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；

2.逻辑推理： 求正切函数的单调区间；

3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.

4.直观想象：正切函数的图像；

5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.

【重点与难点】

重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用； 5.4.3正切函数的性质与图像

一、图像 例1例2

二、性质

1.定义域 2.值域

3.周期性 4.奇偶性

5.单调性 6.对称性 难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本209-212页，填写。

1.正切函数，且图象：

2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：

定义域： __________________ 值域：__________________

最值： 无最值 渐近线：x=π2+kπ(k∈Z)

周期性：__________________ 奇偶性: __________________

单调性：__________________

图像特征：__________________

【小试牛刀】

1．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的周期为π4，则fπ4的值是( )

A.π4 B．0 C．1 D．－1

2．已知函数y＝tan(2x＋φ)的一个对称中心为π12，0，则φ可以是( )

A．－π6 B.π6 C．－π12 D.π12

3．作出函数y＝|tanx|的简图，并指出其周期，单调区间，值域．

【自主探究】

题型一 正切函数的性质 Rxxytanzkkx2例1 求函数f(x)＝tan的定义域、周期和单调递增区间．

跟踪训练一

1．下列命题中：

①函数y＝tan(x＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y＝tan(x＋φ)的最小正周期为π；③函数y＝tanx＋π4的图像关于点π4，0对称；④函数y＝tanx＋π4的图像关于直线x＝π4对称．

其中正确命题的个数是( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

题型二 比较大小

例2 与

跟踪训练二

1．若f(x)＝tanx＋π4，则( )

A．f(0)＞f(－1)＞f(1) B．f(0)＞f(1)＞f(－1)

C．f(1)＞f(0)＞f(－1) D．f(－1)＞f(0)＞f(1)

【课堂检测】

1．与函数的图像不相交的一条直线是（ ）

A. B. C. D.

2．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②以为周期；③是奇函数的是（ ）

A. B. C. D.

3．与的大小关系是____________（用“”连接）．

4．函数的定义域为______________.

5．求函数的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性. 23x0tan1670tan173tan24yx2x2y8x8y0,22tan3xycosyxtan2xytanyxtan2tan3tan21yxπtan(3)3yx

答案

小试牛刀

1．B.

2．A.

3．【答案】见解析.

【解析】由y＝tanx的图像可得函数y＝|tanx|的图像．

如下图所示．

周期：π.

单增增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)，

单减减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．

值域：[0，＋∞)．

自主探究

例1【答案】定义域：{x|x≠2k＋13，k∈Z}；最小正周期为2；

单调递增区间是－53＋2k，13＋2k，k∈Z.

【解析】由π2x＋π3≠kπ＋π2，得x≠2k＋13(k∈Z)．

所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2k＋13，k∈Z}；

由于ππ2＝2，因此函数f(x)的最小正周期为2.