1 正切函数的性质与图象
●三维目标
1．知识与技能
(1)会用单位圆中的正切线作正切函数的图象，会用描点法作正切函数的简图．
(2)会用正切函数的性质研究正切函数的图象．
2．过程与方法
(1)理解并掌握作正切函数图象的方法．
(2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法．
3．情感，态度与价值观
通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生探索精神和创新思维．
●重点、难点
重点：正切函数的图象及其主要性质(包括周期性、奇偶性、单调性、值域、定义域)；深化研究函数性质的思想方法．
难点：正切函数图象作法及其性质应用．
●教学建议
一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．
1．需要注意的几个问题
在教学中除了要注意上一小节提到的类似问题外，还要注意：
(1)对正切函数的周期性，教科书是分步骤完成的．先由诱导公式说明，正切函数是周期为π的周期函数．然后在研究了它的图象之后，再从图象上
2 观察出这一结论．关于证明，可让学有余力的学生课外完成．
(2)由于研究正切函数的性质时，学生还没有学习正切函数的图象，所以教科书采取了用单位圆上的正切线来研究单调性和值域．这可以让学生再次体会单位圆在研究三角函数时的作用．
(3)由于学生已经有了利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的经验，所以教科书要求学生类比正弦函数图象的作法画出正切函数的图象．教学中，还可鼓励学生利用信息技术工具画出正切函数的图象(见本节的“信息技术应用”)．
(4)学生在初次接触正切函数的图象时，对“它是由被互相平行的直线x＝π2＋kπ，k∈Z所隔开的无数多支曲线组成”，以及“直线x＝π2＋kπ，k∈Z是图象的渐近线”等的认识可能有困难．教学时应当引导学生利用正切函数的性质(例如定义域必须去掉x＝π2＋kπ，k∈Z各点，值域无最大值、最小值，周期是π，单调性表现为在每一单调区间内只增不减等)对图象的特征作出解释．
正切函数图像与性质（一）作者：齐红
1 教学内容标题
案例名称 §4.10 正切函数的图象和性质（1）
科目 数学 教学对象 高一（11）班 提供者 齐
红
课时 1课时
一、教材内容分析
正切函数的图象和性质是高一数学的4.10，它是紧接着正弦和余弦函数的图象和性质后的又一通过图象来研究性质的课题，与正弦函数的图象进行类比，既可巩固正弦的性质，又可进一步提高观察和分析图象的能力。通过欣赏正切曲线的光滑、流畅、（中心）对称美，激发学生热爱生活，热爱自然的健康心理，增强学生努力学习数学的信心。
二、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度、价值观）
知识与技能：
（1）理解正切函数的性质，会用正切函数的图象和性质解决相关问题；
（2）理解并掌握作正切函数图象的简化作法。
过程与方法：
（1）利用所学过的正切函数的知识研究正切函数的性质；
（2）讨论交流，深化认识，加强应用。
情感、态度、价值观：
培养学生分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合的思想方法；培养学生类比，归纳的数学思想方法；培养学生研究函数性质的方法；培养学生欣赏数的美，调动学生学习的积极性及情感投入。
三、学习者特征分析
通过复习学生会作三角函数线；
学生要对正切线的作法熟练；
要理解周期函数的定义，能观察一些简单函数的周期；
四、教学重难点
重点:正切函数的图象形状及其主要性质．
难点：利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象
五、教学策略选择与设计 正切函数图像与性质（一）作者：齐红
2 教法：观察法、讨论法、比较法、归纳法、启发引导法。
学法：自主探究、合作交流、归纳总结。
教师与学生互动：学生自主探究，教师引导点拨。
六、教学环境及资源准备
实验（演示）教具 多媒体教室或投影仪
教学支持资源 幻灯演示课件
七、教学过程
教学过程 教师活动 学生活动 设计意图及资源准备
复
习回
顾 问题1：三角函数、三角函数线 学生在草稿本上画图并用投影展示； 通过学生复习回顾前面学过的知识内容能更深层的理解和掌握三角函数线，并为本节学习正切函数图像奠定基础； 问题2：周期函数的定义 学生回答；
1.4.3 正切函数的性质与图象
整体设计
教学分析
本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.
通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.
由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.
三维目标
1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.
2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.
3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.
正切函数的图象与性质
教学目标：
知识与技能：
（1）理解正切函数的性质，会用正切函数的图象和性质解决相关问题；
（2）理解并掌握作正切函数图象的简化作法。
过程与方法：
（1）利用所学过的正切函数的知识研究正切函数的性质；
（2）讨论交流，深化认识，加强应用。
情感、态度、价值观：
培养学生分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合的思想方法；培养学生类比，归纳的数学思想方法；培养学生研究函数的方法；培养学生欣赏数的美，调动学生学习的积极性及情感投入。
教学重、难点
重点：能画出正切函数的图像，掌握正切函数的性质
难点：掌握正切函数的性质
教学过程：
一、创设情景
前面我们主要研究了正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx的图象和性质，我们研究的方法是通过画出函数的图像得到函数的性质，那么我们能否换个角度先研究函数的一些性质，再通过性质画出函数的图像，本节课我们将以正切函数为例来进行研究。（板书：正切函数y=tanx的图象和性质）。
问1：请大家结合正余弦函数研究的性质，想一想可以从哪些方面研究正切函数？
引1：利用正切函数的定义出发研究（代数定义，几何定义）
二、新课
（一）正切函数xytan的图象和性质的探究
要求学生研究：定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性（小组讨论的形式）
1、定义：y=tanx, x ∈ R且x≠kπ + π/2，k ∈Z
2、由诱导公式：tan(x+π)=tanx，可知正切函数的最小正周期：T=π
3、正切函数的绘制的简要过程：
（1）作图
作法:(1) 等分：(2) 作正切线(3) 平移(4) 连线把单位圆右半圆分成8等份。83488483，，，，，利用正切线画出函数，的图像:xytan22，x44288838320o目标2：利用正切线画出正切函数的图像
（2）扩展图象、归纳性质：
定义域： {x|x∈R且x≠kπ+π/2,k∈Z}
