答案高等数学第一章函数与极限试题

答案：

一.选择题

【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

【详解】 方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF

当F(x)为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即 )()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.

方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x, 排除(D); 故应选(A).

【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系

2. D【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.

【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.

且 )(lim0xfx，所以x=0为第二类间断点；

0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以x=1为第一类间断点，故错误！ 应选(D).

【评注】 应特别注意：1lim1xxx，.1lim1xxx 从而11limxxxe，.0lim11xxxe

3 C

4 A

5 C

6 C

7 A

8 C

∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：

原式 = 21111lim)11()11)(11(lim00xxxxxxx. （有理化法）

9 D

10 C

解 原式161821lim)2()cos1(tanlim32030xxxxxxxx.

▌

注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则

原式0)2(lim30xxxx.

二.填空题

11. 2

12. 1

13. 0

14 . 5

15 . 2e

16. 2,1x

17 .),( ),0[

18. ),( }1,0,1{

19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量

20 . ① 函数y f (x) 在点x0有定义；

② x→x0 时极限)(lim0xfxx存在；

③ 极限值与函数值相等，即 )()(lim00xfxfxx

三. 计算题

21 . 【分析】

""型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.

【详解】 )1(1lim)111(lim200xxxxxexexxxex=2201limxexxxx

=xexxx221lim0=.2322lim0xxe

22. f(x)=3lnx+1 x＞0 23.e3

24.e2

25.61

26. 3ln;

27. 3

28. 解：由x＋2≥０解得x≥-2

由x－１≠０解得x≠１

由5－２x＞０解得x＜

函数的定义域为

｛x｜＞x≥-2且x≠1｝或表示为（,1）∪（1,-2）

29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。

30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x，

f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2

f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝99

31 .

解：222222n22746153lim746153lim746153limnnnnnnnnnnnnnnnn 210060031lim71lim46lim1lim1lim53lim22nnnnnnnnnn

32. 解：212lim2)1(lim21lim2222nnnnnnnnnnn

33 . 解： nnnnnnnnnn1)1)(1(lim)1(lim

01lim1lim1lim111lim11limnnnnnnnnnnnnn

34 .

解：110101lim)32(lim1lim)32(lim1)32(1)32(lim3232limnnnnnnnnnnnnnn

35 . 解：⑴

因为 3lim,2lim22yyxx ，yyxx22limlim

所以 函数在指定点的极限不存在。

⑵ 因为0031lim,00sinlim00yyxx，yyxx00limlim

所以 函数在指定点的极限0lim0yx

36 . 613313limlim1lim31lim3333xxxxxx

37 . 6131lim333lim93lim3323xxxxxxxxx 38 . 21111lim)11(lim)11()11)(11(lim11lim0000xxxxxxxxxxxxxx

39 .

323323111112lim112limxxxxxxxxxx

20010021lim1lim1lim1lim1lim2lim323xxxxxxxxxx

40.

323232111112lim112limxxxxxxxxxxx

00010001lim1lim1lim1lim1lim1lim23232xxxxxxxxxxx

41. 3333sinlim3sinlim00xxxxxx

42. 2122sinlim21)2(42sin2limcos1lim2022020xxxxxxxxx

43. =eennnnn1)11(lim)11(lim3

44. 22211lim11limennnnnn

45. kkkxxkkxxekxkx11111lim11lim

46. 11111lim11limexxxxxx

47. kkkxxekx101lim 处连续。在函数而解0)0()(lim1)0()(1sinlim)(lim.480000xfxffxfxxxfxxxx

49. 间断，函数在x＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点

50. 间断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类间断点

51. 间断，0)(lim0xfx但f(0)＝1，两者不相等，第一类间断点

52. 证明：x0∈(－∞,＋∞)

因为 2022)lim(lim)(lim000xxxxfxxxxxx，f(x0)=x02

所以 )()(lim00xfxfxx

因此，函数f(x)＝x2是连续函数。

53. 1ln)1(limln)1ln(lim)1ln(lim:10100exxxxxxxxx解

54. 002ln1limln11lim:121xxxxxxx解

55 . 证明：设f(x)＝2x3－3x2＋2x－3，

则f(x)在[1,2]上连续，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0

根据零点定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0，

则x＝ξ就是方程的根。 56. 原式161821lim)2()cos1(tanlim32030xxxxxxxx

57. 证 x (-∞, +∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量

Δy = sin(x+Δx)-sin x = )2cos(2sin2xxx.

∵ xxxy222sin20，由夹逼准则知，△y → 0（Δx→0），再由x的任意性知正弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。

58. 解 注意f (x)是分段函数，且点0x两侧f表达式不一致。

解法1 ∵f (0 - 0) =0)(lim0xx，

f (0 + 0) =0lim0xx， ∴ 0)(lim0xfx.

又f (0 ) = 0， ∴ 函数f (x) = x在点x = 0处连续（图1—19）。

解法2 ∵)0(0)(lim)(lim00fxxfxx， ∴ 函数在点0x左连续；

又∵ )0(0lim)(lim00fxxfxx， ∴ 函数在点0x右连续，所以函数在点0x连续。

59. 证 虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。

∵ )0(01sinlim)(lim000fxxxfMxx，

∴ )(xf在点x = 0处连续 60. 解 令a x–1 = t，则x = log a (1+t ) ，当x→0时，t→0,

∴ 原式aetttatatatlnlog1)1(log1lim)1(loglim100.

特别地，11lim0xexx，这表明x→0时，x ex - 1.