1第一章-函数与极限答案
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1第⼀章-函数与极限答案
1第⼀章-函数与极限答案
第⼀章 函数与极限
第⼀节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称.
（2）函数2
1
()21f x x x
=
++-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)
1(2
+x f 的定义域是 {0} .
（4）设b ax x f +=)(，则=-+=
h
x f h x f x )
()()(? a .
（5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f xx 1
- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数
2
x
x e e y --=
的反函数为 。
（7）函数1xy e -=-: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数:
x =-ln(1-y 2), 0≤y <1
2. 选择题:
（1）下列正确的是：(B ，C )A.2
lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同⼀函数.
B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，
)
()(x f x f --必为奇函数.
C.
<-=>==0,10
,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数.
(C)有界，且 2
12
1)(≤
≤x f ； (D)有界，且
2122
≤+≤-x
x
.
（9）与2)(x x f =
等价的函数是（ ）(A) x ； (B) 2)(
x ； (C) 3
3
)(x ； (D) x .
3．设1
32)1(2
--=-x x
x g
（1） 试确定c b a ,,的值使 cx b x a x g +-+-=-)1()
1()1(2
；
（2） 求)1(+x g 的表达式 解. 352)1(,0,1,22
++=+===x x x g c b a 4．求x
x x f sgn )1()(2+=的反函数)
(1x f -.
解：
-<+--=>-=-1,)1(0
,01,1)(1x x x x x x f
5．设2
49)3lg(1)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域及)]7([-f f 。6．已知2sin )(,cos 1))((x
x x x f =+=??，求)(x f .
解：)1(22x -；
7．设()f x 的定义域是[]0,1，求下列函数的定义域：
（1） ()x f e
解：由010()xx e
x f e ≤≤?≤?的定义域为(,0]-∞.
（2） (ln())f x
解：由0ln 11(ln )x x e f x ≤≤?≤≤?的定义域为[1,]e .
（3） (arctan )f x
解：由0arctan 10tan1(arctan )x x f x ≤≤?≤≤?的定义域为[0,tan1].
（4）(cos )
f x
解：由0cos 122,0,1,2,,(cos )
22
x n x n n f x ππππ≤≤?-≤≤+=±±?的定义域为[2,2],22
n n n Z ππ
ππ-+∈. 8．设 -0,0(),0
x f x x x ≤?=?
>?，2
0,0(),
x g x x x ≤?=?
->?，
求[()],[()],[()],[()].f f x g g x f g x g f x 解：0,()00,0[()](),
()0,0
f x x f f x f x f x x x ≤≤?
==
>>??.
2
0,
()0[()](),
()0
g x g g x g x g x ≤?=?->?，⽽()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0g g x =.
0,
()0[()](),
()0
g x f g x g x g x ≤?=?
>?，⽽()0,(,)g x x ≤∈-∞+∞，故[()]0f g x =.
2
2
0,
()0
0,0[()]().
(),
()0,
f x x
g f x g x f x f x x x ≤≤??===??->->??.
9.设??
>-=<=1,11
,01,1)(x x x x f ，x
e x g =)(，求)]([x g
f 和)]([x f
g ，并作出这两个函数的图形.
解：
>-=<=010
00
1)]([x x x x g f
>=<=-11
11)]([1x e x x e x f g
10.设22
0()0
x x f x x x x ?≤=?+>?,求()f x -
解： 22()0
()()()0
x x f x x x x ?--≤-=?-+-->?
即：220()0
x x f x x x x ?≥=?-
11．
10()0
x f x x
x
x ?>?=??≤?，2
()1
g x x
=+。求1
()
f
x -，()()f g x ，()()g f x
解：1()
f
x -=()f x ；
()()
f g x =2
11x +，
221
10
(())10
x g f x x
x x ?+>?=??+≤? 12．
1,1(),||1
1,1x f x x x x >??
=≤??-<-?
求()xf e -
()
x
f e -=
,01,x e x x -?≥?
13．设()f x 满⾜2
2()(1)f x f x x +-=，求()f x
解：22()(1)f x f x x +-= （1）
令1x t =- 得 22(1)()(1)f t f t t -+=-
2
2(1)()(1)f x f x x -+=- （2）
由（1）和（2）得； 221()3x x f x +-=
14．把半径为R 的⼀圆形铁⽪，⾃中⼼处剪去中⼼⾓为α的⼀扇形后围成⼀⽆底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数. 解：设圆锥的半径与⾼分别为,r h ，则由图
知2(2)
r R ππα=?-，
即(2)2R r παπ
-=
.
从⽽2
22
2
2
2
2(2)1
442R h R r R R παπααππ
-=-=-=-
故2
222
2
22
11(2)1
433421(2)4,02.24R V r h R παπππααπππαπαααππ
-==??-=--<<
R α
15． 利⽤sin y x =的图形作出下列图形：
（1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =；
（3）2sin 2x y =.
16．设[()]f g x 由(),()y f u u g x ==复合⽽成的，证明： （1） 若()g x 是偶函数，则[()]f g x 是偶函数。
（2） 若()f x 单调增加，()g x 单调减少，则[()]f g x 单调减少。
第⼆节 数列的极限1.填空题:
（1） 设数列{}nx 的⼀般项n
n x
n
2cos
π=
，则=→∞n
n x lim 0 .（3）=-+∞
→)1(
lim n n n 0 .
（4）已知22
35lim 2=-++→∞n bn an n ，则a = 0 ，b = 6 .
（5）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择⼀个正确的填⼊下列空格内：
数列{}nx 有界是数列{}n
x 收敛的必要条件. 数列{}n x 收敛是数列{}n
x 有界
的充分条件.2．选择题:
（1）若数列{}nx 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的项(B).
A.必不存在；
B.⾄多只有有限多个；
C.必定有⽆穷多个；
D.可以有有限个， 也可以有⽆限多个.
（2）“对任意给定的ε∈（0，1），总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有ε2<-a x n ”是数列{}nx 收敛于a 的(D).
A. 充分但⾮必要条件；
B.必要但⾮充分条件；
C. 既⾮充分也⾮必要条件；
D.充分必要条件. （3）下列正确的是(B. D. ) A.若数列{}n
x 和}{n
y 都发散，则数列{}
n n
y x
+也发散.
B.在数列{}
a中任意去掉或增加有限项，不影响{}n a的敛散性.
n
C.发散数列必定⽆界.
D.若从数列中可选出⼀个发散的⼦数列，则该数列必发散.
3. 根据数列极限的定义证明:
（1）525lim 212
n n n →∞
+=+；
（2）24lim 1n n n→∞+=.
4. 若a
u
n
n =∞
→lim ，证明a
u
n
n =∞
→lim .并举例说明反之不成⽴.
5. 设数列{}n
x 有界，⼜0
lim =∞
→n
