二次函数练习题(含答案)
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二次函数练习题(含答案)
形，如图所示。将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，已知折痕处的线段长度均为2cm，求这个盒子的体积。
解析：首先确定长方体的长、宽、高分别对应正三角形的边长a、b、c，如图所示。由于筝形的对角线长度为2cm，根据勾股定理可得$a^2+b^2=4$。由于正三角形的内角为60度，因此可以利用三角函数求得$a=\sqrt{3}c$和$b=2\sin30^{\circ}c=c$。将$a$、$b$、$c$代入长方体的体积公式$V=abc$，得到$V=2\sqrt{3}c^3$。将$c=2$代入即可得到盒子的体积为$V=16\sqrt{3}$。
1.将文章中的公式和图表进行排版整理，删除明显有问题的段落。
2.对于每段话进行小幅度的改写，使其更加简洁明了。
1.某人要制作一个无盖的直三棱柱纸盒，现在需要确定该纸盒的侧面积最大值。根据图中的信息，我们可以得出最大面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2.
2.已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，），下列结论中正确的有几个？①abc＜；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞。答案为A．1B．2C．3D．4.
3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2.现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1.下列结论中正确的有哪些？①b＞；②a﹣b+c＜；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4.答案为……
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°。求菱形OBAC的面积。
5.某水产养殖户为了节省材料，利用水库的岸堤为一边，用总长为80m的围栏在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等。设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.(1) 求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2) 当y有最大值时，x为多少？最大值是多少？
6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC。(1) 直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；(2)
点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△XXX的面积的最大值为4，求a的值；(3) 设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。
7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣3），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）。P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m。求抛物线所对应的二次函数的表达式。
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线$y=ax^2-2ax-3a$（$a<0$）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线$l:y=kx+b$与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且$CD=4AC$。
1）由题意可得，点A的坐标为$(\frac{3a}{2},0)$。又因为直线$l$经过点A，所以$k=\frac{3}{2}a$，代入直线方程可得$b=-\frac{9}{4}a^2$，因此直线$l$的函数表达式为$y=\frac{3}{2}ax-\frac{9}{4}a^2$。
2）设点E的坐标为$(m,n)$，则点E在抛物线上的坐标为$(m,am^2-2am-3a)$。由题意可得，$\triangle ACE$的面积为$4$，即$\frac{1}{2}AC\cdot CE=4$，代入$CD=4AC$可得$\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}CD\cdot(CE-CD)=4$，化简可得$CE=5CD$。又因为点D在抛物线上，所以有$am_D^2-2am_D-3a=km_D+b$，代入直线$l$的函数表达式可得$m_D=\frac{3a-2b}{2a}$。又因为$CD=4AC$，所以$CD=\frac{4}{5}m_D$，代入$CE=5CD$可得$CE=4m_D=\frac{6a-4b}{a}$。因此，$\triangle ACE$的面积为$\frac{1}{2}\cdot AC\cdot
CE=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}CD\cdot
CE=\frac{8}{25}m_D\cdot CE=\frac{32}{25}\cdot\frac{(3a-2b)(6a-4b)}{a^2}$。要使$\triangle ACE$的面积最大，只需使$(3a-2b)(6a-4b)$最大。将$b=-\frac{9}{4}a^2$代入可得$(3a+\frac{9}{2}a^2)(6a+9a^2)$，展开化简可得$27a^4+54a^3+45a^2$。因此，要使$\triangle ACE$的面积最大，$a$应满足$27a^4+54a^3+45a^2$取最大值。对该函数求导可得$108a^3+162a^2+90a$，令其等于$0$，解得$a=-\frac{3}{2}$。因此，$a$的值为$-\frac{3}{2}$。
设点P的坐标为（1，m），则抛物线的对称轴为x=1，即抛物线的方程为y=a(x-1)^2+m。
根据题意，四边形ADPQ为矩形，因此AD平行于PQ，即AD的斜率等于PQ的斜率，即2a=2k，得到k=a。
1）根据题意，点A在抛物线上，代入抛物线的方程得到a=-5，因此点A的坐标为（-1，20）。
2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（x，ax^2-2ax-3a），则F（x，ax+a）。
根据题意，CD=4AC，因此点D的横坐标为4，代入抛物线的方程得到点D的纵坐标为5a。
根据三角形面积公式，S△ACE=S△AFE-S△CFE=1/2*(ax^2-3ax-4a)*(x+1)-1/2*(ax^2-3ax-4a)*x=1/2*a*(x-2)^2.
因为a<0，所以S△XXX的面积最大值为-1/8a，因此-1/8a=4，解得a=-32/7. 代入抛物线的方程得到点P的坐标为（1，-7）或（1，-4）。
综上所述，点P的坐标为（1，-7）或（1，-4）。
综上所述，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，-3），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）。P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m。问题如下：
1.求抛物线所对应的二次函数的表达式；
2.若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；
3.当P点的横坐标m＜-4时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q。问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：
1.根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标为（-2，0）。根据待定系数法，可得函数解析式为y=x2-x-4.
2.根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AD，根据角越小角的对边越小，可得XXX在射线AC与AD之间。解方程组可得E点的横坐标为4/3，根据E、C点的横坐标可得答案为-4/3 3.根据相似三角形的判定与性质，可得XXX可得P点坐标为（-1，2）。 因此，存在P点，使∠QPO=∠BCO，P点坐标为（-1，2）。
