刚体一章知识题解答

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刚体一章习题解答

习题4—1 如图所示，X轴沿水平方向，Y轴竖直向下，在t=0时刻将质量为m的质点由a处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点对原点O的力矩M ；在任意时刻t，质点对原点的角动量L 。

解：作用于质点上的重力为

jmgG

任一时刻t质点 (也是重力的作用点) 的位置矢量为

jgtibr

据定义，该重力对原点O点的力矩为

kbmgjmgjgtibGrM)(

任一时刻t质点的动量为

jmgtmPv

据定义，质点对原点O的角动量为

kbmgtjmgtjgtibPrL)(

习题4─2 我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心O为椭圆的一个焦点(如图)，已知地球半径R=6378km，卫星与地面的最近距离l1=439km，与地面的最远距离l2=238km。若卫星在近地点A1的速度v1=8.1km/s，则卫星在远地点的速度v2= 。

解：卫星受到地球引力(有心力)的作用，对地心O的角动量守恒。因此

2211)()(vvmlRmlR

解得

3.61.823863784396378)()(1212vvlRlRkm/s X

Y O a

习题4―1图 v=gt

卫星

A1 A2 R l1 l2

O 1v

2v

习题4―2图 _

习题4—3 光滑圆盘面上有一质量为m的物体A，栓在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳上，如图所示。开始时，物体距离圆盘中心O的距离为r0，并以角速度0绕圆盘中心O作圆周运动，现向下拉绳，当物体A的径向距离由r0减少到20r时，向下拉的速度为v，求下拉的过程中拉力所作的功。

分析：下拉过程并不是缓慢的，在下拉过程中的任一时刻，物体的速度不是刚好沿半径为r的切线方向，而是既有切向分量，又有法向分量。另一方面，此题可以考虑用动能定理求拉力的功，这就得先求出物体的末态速度。

解：设在末态物体的速度的切向分量为vt，法向分量为vn(亦为下拉速度)。同时考虑到速度的法向分量vn与矢径r反平行，其相应的角动量为零，由角动量守恒可得

tmrmrvv2000

所以，末态速度的切向分量

00022rtvv

由质点动能定理，下拉的过程中拉力所作的功

2022021)(21vvvmmEEAntkk

202200)(21)2(21rmrmv

220202123vmmr

习题4—4 质量为m1的粒子A受到第二个粒子B的万有引力作用，B保持在原点不动。最初，当A离B很远(r = ∞)时，A具有速度0v，方向沿图中所示直线Aa，B与这条直线的垂直距离为D。粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动，已知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB。

解：粒子A在粒子B的有心力场中运动，系统的角动量和机械能均守恒。因此，我们可以得到

vv101mdmD ①

dmmGmmB1212012121vv ② v 0r

0

习题4―3图 A

0v

v A a

习题4―4图 d _

联立①、②两式解得B的质量为

GddDmB2)(2022v

习题4—5 在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m，绳子处于松弛状态。现在使物体以初速度vA=4m/s垂直于OA向右滑动，如图所示，设以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直。则此刻物体对O点角动量的大小LB= ，物体速度的大小vB= 。

解：由质点角动量守恒定律有

BAmLmdvv

因此，物体在B点时对O点的角动量为

/smkg145.05.02•AABmdLLv

物体在B点时的速度为

m/s1245.0ABLdvv

习题4—6 一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义为：jtbitarsincos，其中a、b、皆为常数，则此质点所受的对原点的力矩M ；该质点对原点的角动量L 。

解：依定义，质点的加速度

rjtbitadtrddtda2222)sincos(v

质点受到的力为

rmamF2

因此力矩

02rrmFrM

因为习题4―5图 Av

A B

d O Bv _

jtbitadtrdcossinv

所以质点角动量为

)cossin()sincos(jtbitamjtbitamrPrLv

kabmktabmktabm)sin()cos(22

习题4—7 两个匀质圆盘A和B的密度分别为A和B，若BA，但两圆

盘的质量和厚度相同，如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为JA

和JB，则：［］

(A) BAJJ。(B) BAJJ。(C) BAJJ。(D) AJ、BJ哪个大不能确定。

解：圆盘的转动惯量

2221RmRJ

又因为

hRVm2

所以有

12hmR

这样一来

1J

因为已知BA，因而BAJJ，故应选择答案(B)。

习题4─8 如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮，A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F=Mg ，设A、B两滑轮的角加速度分别为1和2，不计滑轮轴的摩擦，则有：［］

(A) 21。(B) 21。(C) 21。(D) 开始时21，以后21。

解：由牛顿定律及转动定律

A B

M F

习题4―8图 _

对A：

11RaJTRMaTMg

对B： 2JFR

从以上各式可解得

21MRJMgR， JMgRJFR2

显然

21

所以，应当选择答案(C)。

习题4—9 一长为l，质量可以忽略的细杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m的小球，如图所示。现将杆由水平位置无初速度地释放，则杆刚被释放时的角加速度0 ，杆与水平方向夹角为60°时的角加速度 。

解：细杆对轴的转动惯量为J=ml2，由转动定律，当杆刚被释放时的角加速度为

lgmllmgJM20

当杆与水平方向夹角为60°时的角加速度为

lgmlmglJM260cos2

习题4─10 长为l、质量为M的匀质细杆可绕通过杆的一端O的水平光滑固定轴转动，转动惯量为32Ml，开始时杆竖直下垂，如图所示，有一质量为m的子弹以水平速度v0射入杆上A点，并嵌在杆中，OA=32l，则子弹射入后瞬间杆的角速度 。

解：子弹射入杆内并嵌在其中，射击过程系统角动量守恒 l

习题4―9图

32l

0v

m A O

])32(31[)32(220lmMllmv

容易解得

lmM)34(60v

习题4—11 两个质量都是100kg的人，站在一质量为200kg、半径为3m的水平转台的直径两端，转台的固定转轴通过其中心且垂直于台面，初始时，转台每5s转动一圈，当这两个人以相同的快慢走到转台中心时，转台的角速度

。(转台对转轴的转动惯量22MRJ，计算时忽略转台在转轴处的摩擦)

解：系统角动量守恒

202221)221(MRmRMR

式中0为系统的初始角速度，其值为

rad/s520

所以，当两个人以相同的快慢走到转台中心时，转台的角速度为

rad/s77.35232005.03100232005.0212212220222MRmRMR

习题4—12 一飞轮由一直径为30cm、厚度为2.0cm的圆盘和两个直径都为10cm、长为8.0cm的共轴圆柱体组成，设飞轮的密度为7.8kg•m–3，求飞轮对轴的转动惯量。

解：转动惯量具有可加性，而且圆盘

和两个圆柱体共轴，因此飞轮对轴的转动惯量为

2222221121222211)2)(4()2)(4(2121221dlddldRmRmJ

)2(321161321422411242141dldlldld l1 l2

d1 d2 轴

题解4―12图 _

)10.008.0230.002.0(14.3108.7321443

2mkg136.0•

习题4—13 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03×103N·m，涡轮的转动惯量为25kg·m2。当轮的转速由2.80×103r·min－1增大到1.12×104r·min－1，所经历的时间t为多少?

解：根据转动定律，涡轮的角加速度为

23rad/s2.81251003.2JM

再由刚体转动运动学公式

t12

所经历的时间t为

s8.10602.81)1080.21012.1(14.32)(2341212nnt

习题4—14 质量为0.50kg、长为0.40m的均匀细棒，可以绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下。求：(1) 当棒转过60°时的角加速度和角速度；(2) 下落到竖直位置时的动能；(3) 下落到竖直位置时的角速度。

解：(1) 当棒转过时所受的力矩为

cos21mglM

根据转动定律，棒的角加速度为

cos23)31(cos)21(2lgmlmglJM

当60时

2rad/s4.1860cos40.028.93 mg θ题解4―14图 m，l

轴正向

工程力学第01章习题

1 工程力学第01章习题课

1.静力学公理

公理1力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力,可以合成为一个台力.合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定.即合力矢等于这两个力矢的几何和.

公理2二力平衡条件

作用在刚体上的两个力,使刚体保持平衡的必要和充分条件是:这两个力的大小相等,方向相反,且作用在同一直线上.

公理3加减平衡力系原理

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系,并不改变原力系对刚体的作用.

公理4作用和反作用定律

作用力和反作用力总是同时存在,两力的大小相等,方向相反,沿着同一直线,分别作用在两个相互作用的物体上.

公理5刚化原理

变形体在某一力系作用下处于平衡,如将此变形体刚化为刚体,其平衡状态保持不变.

推论l力的可传性

作用于刚体A某点的力,可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点,并不改变该力

对刚体的作用.

推论2三力平衡汇交定理

作用于刚体上三个相互平衡的力,若其中两个力的作用线汇交于一点,则此三力必在同一平面内,且第三个力的作用线通过汇交点.

2.约束和约束力

约束:对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体.结束力:约束对物体的作用力.

约束的类型:

(1)具有光滑接触面的约束:约束力作用在接触点处,方向沿接触面的公法线指向被约束的物体,如图1-1(a)所示.

2 (2)软绳、链条或胶带等构成的约束

软绳:约束力作用在接触点,方向沿着绳索背离物体,如图所示

链条或胶带：约束力沿轮缘的切线方向,如图所示.

(3)光滑镜链约束:方向不能确定,但其作用线必垂直于轴线并通过轴心,如图所示

(4)其它约束

a.滚动支座：约束性质与光滑接触面约束相同,其约束必垂直于支承面,且通过铰

链中心,如图所示.

b.球铰链:约束力方向不能确定,但通过接触点与球心,如图所示.

c.正推轴承:限制轴的径向位移和轴向位移,如图所示.

例题：如图的匀质球C重P,杆AB由固定铰链A固连于墙上,绳BF连接墙体和杆,且杆和绳不计重量,试画出球C和杆AB的受力图.

第3章刚体课堂作业

有一半径为R的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J, 开始时转台以匀角速度0转动，此时有一质量为m的人站在转台中心, 随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时, 转台的角速度为（）。

A．02mRJJ； B．02RmJJ； C．0； D．02mRJ。

某人站在匀速旋转的圆台中央，两手各握一个哑铃，双臂向两侧平伸与平台一起旋转。当他把哑铃收到胸前时，人、哑铃和平台组成的系统转动角速度应变；转动惯量变。

一飞轮以角速度0绕轴旋转, 飞轮对轴的转动惯量为J；另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的三倍,啮合后整个系统的角速度______。

均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到垂直位置的过程中，下述说法正确的是（）。

A．角速度从小到大，角加速度不变； B．角速度从小到大，角加速度从小到大；

C．角速度不变，角加速度为零； D．角速度从小到大，角加速度从大到小。

一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳的另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示，轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S，求整个轮轴的转动惯量。（用m，r，t，s表示）

O r

m 一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下。求：(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过角时的角速度。

第一章刚体的受力分析及其平衡规律

青岛科技大学机电工程学院装控系化工设备机械基础讲稿第1章

1 第一章刚体的受力分析及其平衡规律

本章重点内容及对学生的要求：

（1）掌握相关的基本概念：

（2）熟悉平面汇交力系和平面一般力系的简化方法，掌握平面汇交力系、一般力系及平力

偶系的平衡方程。

（3）能够熟练地绘制分离体的受力图，并能正确地完成构件的受力分析。

第一节力的概念及其性质

1、以塔设备的设计为例，向学生概括介绍受力分析的内容和处理方法，同时引出本章所要讲述的主要内容。

安装在室外的塔器，主要受到以下的力：

（1）塔设备自身的重力W（包括介质和塔内件的重力，为体积力）；

（2）风载荷q（表面力，如图为非均匀分布的表面力）；

（3）基础对塔底的反作用力yN（集中力），使塔设备不下沉；

（4）基础螺拴对塔设备产生的力距M和反作用力xN（集中力），使塔设备不会被风吹倒，也不会产生水平方向的移动；

在以上的受力中，W，q可以从设计条件中估算或者设计规范中查出，为已知力，xN，yN与M为未知力和力矩，根据以后我们将要讲到的静力平衡方程，可以比较方便地求解xN，yN与M，从而得出塔设备底部的受力情况，根据将要介绍的强度条件计算出：

（1）受风力q和yN作用的塔底座圈应选用多大的直径；

（2）受力矩M作用的基础螺拴要选用多大的直径；

（3）根据已知的设计压力P，风力q和塔设备的重量W，确定塔体的厚度。

图1-1 塔的受力示意图（见幻灯片）

2、力的概念及分类

力是物体与物体间的相互作用，其通过物体间相互作用所产生的效果而表现出来的。

力是矢量，力的大小、方向和作用点是力的三要素。

力的作用线的概念，即采用一带箭头的有向线段表示，线段长度表示力的大小，箭头表示方向，如图1-2图所示。青岛科技大学机电工程学院装控系化工设备机械基础讲稿第1章

第三章刚体习题

习题

一计算题

3-1-1 一汽车发动机曲轴的转速在s12内由13minr102.1均匀地增加到13minr107.2。求：(1) 曲轴转动的角加速度；(2) 在此时间内，曲轴转了多少转？

3-1-2 用落体观察法测定飞轮的转动惯量，如图所示。将半径为R的飞轮支撑在O点上，然后再绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物，令重物由静止开始下落，带动飞轮转动。记录重物下落的距离和时间，便可计算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式(轴承的摩擦忽略不计)。

3-1-3 质量为1m和2m的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合轮两边，设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和两边绳的张力(假设21mm)。

3-1-4 如图所示装置，定滑轮是半径为R，质量为m2匀质圆盘，滑轮两边分别悬挂质量均为m的物体A、B。置于倾角为30的光滑斜面上，若B向下作加速运动时，求：(1) B下落的加速度大小；(2) 滑轮两边绳子的张力。(设绳的质量及伸长均不及，绳与滑轮间无滑动，滑轮与轴承近光滑)。

3-1-5 1970年4月24日，我国发射第一颗人造卫星，其近地点为m1039.45，远地点高度为m1038.26。求卫星在近地点和远地点时的速率 (已知地球半径为km6378R)。

3-1-6 一根均匀米尺，在mc60刻度处被钉到墙上，且可以在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时的角速度各是多少？

3-1-7 长为l、质量为m的均匀细杆可绕端点O固定水平光滑轴转动。把杆摆平后无初速地释放，杆摆到竖直位置RRrBAAB习题3-1-2图习题3-1-3图习题3-1-4图 OOOm习题

习题3-1-7图 vlmFm0ω0r习题3-1-8图 OO

时刚好和水平桌面上的小物块相碰。小物块的质量为2/m。设碰撞是完全非弹性的，碰后物块沿摩擦系数为的水平面滑动，试求此物快滑过的距离。

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