高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教

word 1 / 6 二 一般形式的柯西不等式

,[学生用书P45])

[A 基础达标]

1．设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值为(

)

A．102 B．10

C．210 D．310

解析：选A.由柯西不等式，得(a＋b＋2c)2

≤12＋12＋222[(a)2＋(b)2＋(4c)2]

＝52×1＝52，

所以a＋b＋2c≤52＝102，当且仅当a＝b＝22c时，等号成立．故选A.

2．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为( )

A．1 B．2

C．－1 D．不确定

解析：选A.因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1，

当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时，等号成立，

所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.故选A.

3．已知x2＋3y2＋4z2＝2，则|x＋3y＋4z|的最大值为( )

A．2 B．4

C．6 D．8

解析：选B.由柯西不等式知(x2＋3y2＋4z2)(1＋3＋4)≥(x＋3y＋4z)2，

又x2＋3y2＋4z2＝2所以2×8≥(x＋3y＋4z)2.

所以|x＋3y＋4z|≤4.

当且仅当x＝3y3＝2z2，即x＝y＝z＝12时取等号． word

2 / 6 4．设a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝6，则1a＋4b＋9c的最小值为( )

A．1 B．4

C．6 D．9

解析：选C.由柯西不等式得

(a＋b＋c)1a＋4b＋9c

＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]

·1a2＋4b2＋9c2

≥a·1a＋b·2b＋c·3c2＝36.

即61a＋4b＋9c≥36.

所以1a＋4b＋9c≥6.故选C.

5．已知实数x，y，z满足2x－y－2z－6＝0，x2＋y2＋z2≤4，则2x＋y＋z＝( )

A．13 B．23

C．53 D．2

解析：选B.因为实数x，y，z满足2x－y－2z－6＝0，所以2x－y－2z＝6.

由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x－y－2z)2＝36，

所以x2＋y2＋z2≥4.

再根据x2＋y2＋z2≤4，可得x2＋y2＋z2＝4.故有x2＝y－1＝z－2，所以x＝－2y，z＝2y.

再把x＝－2y，z＝2y代入2x－y－2z－6＝0，求得y＝－23，则2x＋y＋z＝－4y＋y＋2y＝－y＝23.

6．已知a，b，c∈R＋，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．

解析：因为a＋2b＋3c＝6，所以1×a＋1×2b＋1×3c＝6.

所以(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2＝36，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当1a＝12b＝13c，即a＝2，b＝1，c＝23时取等号．

答案：12 word

3 / 6 7．已知2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________．

解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥8214＝327.

当且仅当x2＝y3＝z时等号成立．又2x＋3y＋z＝8，

解得：x＝87，y＝127，z＝47，

所求点为87，127，47.

答案：87，127，47

8．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为________．

解析：利用柯西不等式，因为(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥x·1x＋y·2y＋z·3z2＝36，所以1x＋4y＋9z≥36，当且仅当x＝y2＝z3，即x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．综上可知，1x＋4y＋9z的最小值为36.

答案：36

9．设x＋y＋z＝1，求H＝2x2＋3y2＋z2的最小值．

解：因为x＋y＋z＝12·2x＋13·3y＋1·z，

所以由柯西不等式得：

(x＋y＋z)2

＝12·2x＋13·3y＋1·z2

≤12＋13＋1·(2x2＋3y2＋z2)，即116·H≥1，解得H≥611，等号成立的条件为x＋y＋z＝1.2x12＝3y13＝z1，解得x＝

311，y＝211，z＝611.此时，H＝611.

综上所述，H的最小值为611.

10．已知|x＋2y＋3z|≥4(x，y，z∈R)． word

4 / 6 (1)求x2＋y2＋z2的最小值；

(2)若|a＋2|≤72(x2＋y2＋z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，某某数a的取值X围．

解：(1)因为(x＋2y＋3z)2≤(12＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)，且|x＋2y＋3z|≥4(x，y，z∈R)，

所以x2＋y2＋z2≥87，当且仅当x1＝y2＝z3时取等号．

即x2＋y2＋z2的最小值为87.

(2)因为x2＋y2＋z2的最小值为87，

所以|a＋2|≤72×87＝4，

所以－4≤a＋2≤4，

解得－6≤a≤2，

即a的取值X围为[－6，2]．

[B 能力提升]

1．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则a＋b＋cx＋y＋z＝( )

A．14B．13

C．12 D．34

解析：选C.由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)·14x2＋14y2＋14z2≥12ax＋12by＋12cz2，

当且仅当a12x＝b12y＝c12z时等号成立．

因为a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，

ax＋by＋cz＝20，所以等号成立．

所以a12x＝b12y＝c12z.

所以a＋b＋cx＋y＋z＝12.故选C. word

5 / 6 2．边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为14，外接圆半径R为1，若s＝a＋b＋c，t＝1a＋1b＋1c，则s与t的大小关系是________．

解析：由已知得12absin C＝14，csin C＝2R＝2.

所以abc＝1，所以1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋ca，

由柯西不等式得1a＋1b＋1c(ab＋bc＋ca)≥(b＋c＋a)2，所以1a＋1b＋1c2≥(a＋b＋c)2.

即1a＋1b＋1c≥a＋b＋c.

当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．

当a＝b＝c时，三角形ABC的面积为34，不满足题意，所以s

答案：s

3．设x1、x2、…、xn∈R＋且x1＋x2＋…＋xn＝1，求证：x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn≥1n＋1.

证明：(n＋1)(x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn)

＝(1＋x1＋1＋x2＋…＋1＋xn)(x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn)＝[(1＋x1)2＋(1＋x2)2＋…＋(1＋xn)2]·[(x11＋x1)2＋(x21＋x2)2＋…＋(xn1＋xn)2]≥(1＋x1·x11＋x1＋1＋x2·x21＋x2＋…＋1＋xn·xn1＋xn)2＝(x1＋x2＋…＋xn)2＝1，

所以x211＋x1＋x221＋x2＋…＋x2n1＋xn≥1n＋1.

4．已知正数x，y，z满足5x＋4y＋3z＝10.

(1)求证：25x24y＋3z＋16y23z＋5x＋9z25x＋4y≥5.

(2)求9x2＋9y2＋z2的最小值．

解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y＋3z)＋(3z＋5x)＋(5x＋4y)]·25x24y＋3z＋16y23z＋5x＋9z25x＋4y≥(5x＋4y＋3z)2，当且仅当4y＋3z5x＝3z＋5x4y＝5x＋4y3z时，等号成立，

因为5x＋4y＋3z＝10， word

6 / 6 所以25x24y＋3z＋16y23z＋5x＋9z25x＋4y≥10220＝5.

(2)根据基本不等式，得9x2＋9y2＋z2≥29x2·9y2＋z2＝2·3x2＋y2＋z2，当且仅当x2＝y2＋z2时，等号成立．

根据柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(52＋42＋32)≥(5x＋4y＋3z)2＝100，

即x2＋y2＋z2≥2，当且仅当x5＝y4＝z3＝15时，等号成立．

综上，9x2＋9y2＋z2≥2×32＝18.