【人教版】高中数学选修4-5第3讲柯西不等式与排序不等式课堂练习
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人教版高中数学选修4-5课堂练习
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.1 二维形式的柯西不等式
3.2 一般形式的柯西不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y
＝x－5＋
26－x的最大值是( ) A.3 B.5
C．3 D．5
解析：根据柯西不等式，知y＝
1·x－5＋
2·6－x≤
12
＋22
·（x－5）2
＋（6－x）2
＝5.
答案：B
2．已知a，b∈R，a2
＋b2
＝4，则3a＋2b的最大值为( )
A．4 B．213
C．8 D．9
解析：(a2
＋b2
)(32
＋22
)≥(3a＋2b)2
，3a＝2b时取等号，
所以(3a＋2b)2
≤4×13.当3a＋2b取最大值时为正值
所以3a＋2b≤213.
答案：B
3．已知a，b
＞0，且a＋b＝
1，则(4a＋1＋4b＋1)2
的最大值是( )
A．26 B.6 C．6 D．12
解析：
(4a＋1
＋4b＋1)2
＝
(1·4a＋1＋
1·4b＋1)2
≤(12
＋12
)·(4a＋1＋4b
＋1)＝24(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，
当且仅当4a＋1
＝4b＋1，即a＝b时等号成立．
答案：D
4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是( )
A．1 B.3
C．3 D．9
解析：由柯西不等式得(a)2
＋(b)2
＋(c)2
](12
＋12
＋12
)≥(a＋b＋c)2
，
所以(a＋b＋c)2
≤3×1＝3.
当且仅当a＝b＝c＝1
3时等号成立． 所以a＋b＋c的最大值为3.故选B.
答案：B
5．已知a2
1＋a2
2＋…＋a2
n＝1，x2
1＋x2
2＋…＋x2
n＝1，则a
1x
1＋a
2x
2＋…＋a
nx
n
的最大值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．不确定
解析：因为(a
1x
1＋a
2x
2＋…＋a
nx
n)2
≤(a2
1＋a2
2＋…＋a2
n)(x2
1＋x2
2＋…＋x2
n)＝1×1
＝1，
当且仅当a
i＝kx
i(i＝1，2，…，n)时等号成立．
所以a
1x
1＋a
2x
2＋…＋a
nx
n的最大值是1.
答案：A
二、填空题
6．(2015·重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5
，则a＋1
＋b＋3的最大值为
________． 解析：因为a，b＞0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9.
令x＝a＋1，y＝b＋3，则x＋y＝9(x＞1，y＞3)，
于是a＋1
＋b＋3＝x＋y，而(x＋y)2
＝x＋y＋2xy≤x＋y＋(x＋y)＝
18， 所以x＋y≤32.
此时x＝y，即a＋1＝b＋3，结合a＋b＝5可得a＝3.5，b＝1.5，
故当a＝3.5，b＝1.5
时，a＋1
＋b＋3的最大值为32.
答案：32
7．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2
＋y2
＋z2
的最小值为________．
解析：根据柯西不等式，x2
＋y2
＋z2
＝1
3(12
＋12
＋12
)×(x2
＋y2
＋z2
)≥1
3(1·x＋1·y
＋1·z)2
＝13(x＋y＋z)2
＝13，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
答案：1
3
8．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1
，则4a＋1
＋4b＋1
＋4c＋1的最大
值为________．
解析：由柯西不等式得
(4a＋1
＋4b＋1
＋4c＋1)2
＝
(1·4a＋1＋1
·4b＋1＋
1·4c＋1)2
≤(12
＋12
＋12
)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝34(a＋b＋c)＋3]＝21，
当且仅当a＝b＝c＝1
3时，取等号．
故4a＋1
＋4b＋1
＋4c＋1的最大值为21. 答案：21
三、解答题
9．若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.
(1)求abc的最大值； (2)证明：1
a＋1
b＋1
c≥9
2.
(1)解：因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥33
abc，故abc≤8
27.
当且仅当a＝b＝c＝2
3时等号成立，所以abc的最大值为8
27.
(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得1
a
＋1
b＋1
c＝1
2(a＋b＋c)
1
a＋1
b＋1
c＝1
2(a)2
＋(b)2
＋(c)2
]·
1
a2
＋
1
b2
＋
1
c2
≥ 1
2
a·1a＋b·1
b＋c·1
c2
＝9
2.
所以1
a＋1
b＋1
c≥9
2.
10．已知x＋y＝1，求2x2
＋3y2
的最小值．
解：由柯西不等式
(2x2
＋3y2
)·
1
22
＋
132
≥
2x·1
2＋3y·1
32
＝(x＋y)2
＝1， 所以2x2
＋3y2
≥6
5，当且仅当2x＝3y，即x＝3
5，y＝2
5时，等号成立．所以2x2
＋3y2
的最小值为6
5.
B级 能力提升
1．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2
＋y2
＋z2
取到最小值时的x，y，z的值为( )
A.53，109，5
6 B.2029，3029，40
29
C．1，1
2，1
3 D．1，1
4，1
9 解析：当且仅当x
2＝y
3＝z
4时，取到最小值，所以联立
x
2＝y
3＝z
4，
2x＋3y＋4z＝10，可得
x＝20
29，y＝30
29，z＝40
29.
答案：B
2．已知ω2
＋x2
＋y2
＋z2
＋F2
＝16，则F＝8－ω－x－y－z的最大值为
________．
解析：当且仅当x
2＝y
3＝z
4时，取到最小值，所以联立
x
2＝y
3＝z
4，
2x＋3y＋4z＝10，可得
x＝20
29，y＝30
29，z＝40
29.
答案：B
3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为－1，1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R，且1
a＋1
2
b＋1
3
c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
(1)解：因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为－1，1]，故m＝1.
(2)证明：由①知1
a＋1
2
b＋1
3
c＝1，又a，b，c∈R＋，
由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
1a＋1
2b＋1
3c≥
a·1
a＋2b·1
2b＋3c·1
3c2
＝9.
3.3 排序不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．设正实数a
1，a
2，a
3的任一排列为a
1′，a
2′，a
3′，则a
1
a
1
′＋a
2
a
2
′＋a
3
a
3
′
的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：a
1≥a
2≥a
3＞0，则1
a
3≥1
a
2≥1
a
1＞0，
由乱序和不小于反序和知，
所以a
1
a
1
′＋a
2
a
2
′＋a
3
a
3
′≥a
1
a
1＋a
2
a
2＋a
3
a
3＝3，
所以a
1
a
1
′＋a
2
a
2
′＋a
3
a
3
′的最小值为3，故选A.
答案：A
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次
为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合
理安排损失最少为( )
A．420 元 B．400 元
C．450 元 D．570 元
解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和
最小．
答案：A
3．设a，b，c∈R＋，M＝a5
＋b5
＋c5
，N＝a3
bc＋b3
ac＋c3
ab，则M与N的
