第5章一元一次方程的应用 ——方案问题 2022--2023学年北师大版数学七年级上册

2023-2024学年北师大版七年级数学上册《第五章一元一次方程5.3应用一元一次方程——水箱变高了》教学设计一. 教材分析本节课的主要内容是第五章一元一次方程的应用——水箱变高了。

教材通过实际问题引出一元一次方程的应用，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用能力。

本节课的内容是学生学习了水箱的体积计算和水箱的高度变化，通过问题引出一元一次方程的建立和解法，让学生理解一元一次方程在解决实际问题中的作用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元一次方程的基本概念和解法，对解方程有一定的掌握。

但是学生对实际问题转化为数学问题的方法还不够熟练，对一元一次方程在实际问题中的应用还不够理解。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，让学生通过实际问题体验一元一次方程的应用。

三. 教学目标1.知识与技能：学生会将实际问题转化为数学问题，建立一元一次方程，并解方程求解实际问题。

2.过程与方法：学生通过解决实际问题，体会一元一次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。

3.情感态度与价值观：学生体会数学与实际生活的联系，增强学生学习数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.教学重点：学生将实际问题转化为数学问题，建立一元一次方程，并解方程求解实际问题。

2.教学难点：学生对实际问题转化为数学问题的方法，一元一次方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：教师通过创设实际问题的情境，引导学生将实际问题转化为数学问题。

2.案例教学法：教师通过分析实际问题的案例，让学生理解一元一次方程在实际问题中的应用。

3.引导发现法：教师引导学生发现实际问题中的数量关系，建立一元一次方程。

4.实践操作法：教师学生进行实际问题的操作，让学生通过实践体会一元一次方程的应用。

六. 教学准备1.教师准备实际问题的案例，制作课件。

2.学生准备笔记本，用于记录方程和解法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设水箱变高的情境，引导学生思考实际问题转化为数学问题。

第五章一元一次方程5．1认识方程1．理解并让学生掌握方程、一元一次方程、方程的解和解方程的概念；2．初步了解列方程的一般步骤，体会用方程解决实际问题的优越性．重点理解并掌握一元一次方程、方程的解和解方程的概念，以及列方程解决实际问题．难点列方程解决实际问题．一、导入新课在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，总票款为475元．你知道学生和老师的人数分别是多少吗？购买学生票和成人票的票款分别是多少？(1)这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)如果设学生人数为x，那么总票款可以用含x的代数式表示为__________．(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？学生思考后举手回答，教师点评并进一步讲解：教师：请同学们用算术方法解决这个问题．学生独立思考后，与同桌交流，老师作简单讲解．教师：我们已经知道，方程是含有未知数的等式．上面等式中的x是未知数，这个等式是一个方程．以后我们将学习如何解方程求出未知数x.教师：比较这两种方法，用方程来解决问题有什么优点？学生相互交流，说出自己对方程的感受．二、探究新知1．一元一次方程的概念与列方程课件出示问题：根据下列问题，设未知数并列出方程．1．某长方形操场的面积是5850 m，长比宽多25 m．(1)这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为________．(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？2．甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地．(1)这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为____________．(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？学生完成后举手回答，教师点评总结：同学们在列方程时，一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义，体会列方程所依据的等量关系．等式10x ＋15(45－x )＝475，x (x ＋25)＝5850，22x －22x ＋1 ＝1260 是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程．教师：上面各方程都含有一个未知数(元)，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．如10x ＋15(45－x )＝475，2x ＋3＝7x ＋4都是一元一次方程．那么在实际问题中怎样列出方程呢？引导学生总结出列方程的一般步骤：实际问题――→设未知数、列方程一元一次方程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程是用数学知识解决实际问题的一种方法．2．方程的解你能求出满足方程10x ＋15(45－x )＝475的未知数x 的值吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流．教师：当x ＝30是方程的解吗？x ＝40呢？x ＝50呢？教师：我们可以发现，当x ＝40时，方程两边等号成立．也就是说，x ＝40是方程解． 引导学生得出：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．三、课堂练习1．教材第137页“随堂练习”第1，2题．2．(1)用一根长24 cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？(2)一台计算机已使用1700 h ，预计每个月再使用150 h ，经过几个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h?(3)某校女生占全体学生人数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？【答案】2.(1)设正方形的边长是x cm ，由题意列方程得4x ＝24.解得x ＝6，答：正方形的边长是6 cm(2)设经过x 个月这个计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h ．由题意列方程为1700＋150x ＝2450，解得x ＝5.答：经过5个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h (3)设这个学校有x 名学生，由题意列方程得52%x －(1－52%)x ＝80.解得x ＝2000，答：这个学校有2000名学生四、课堂小结1．方程、一元一次方程、方程的解、解方程的概念分别是什么？ 2．实际问题中列一元一次方程的步骤是什么？ 五、课外作业教材第138页习题5.1第1，2，3题．本节课的内容是一元一次方程的初步认识，主要使学生了解什么是方程，什么是一元一次方程；体会字母表示数的好处，体会从算式到方程是数学的一大进步；会将实际问题抽象为数学问题，通过找相等关系列方程解决问题．在教学过程中，通过新旧知识的联系，使学生温故而知新，并能从学习过的知识中得到拓展和延伸．同时结合生活实例，理解一元一次方程的概念．使学生感受数学的魅力，提高学习的兴趣．课堂上，营造宽松、和谐的课堂氛围，激活学生的思维，提高了学生参与课堂的积极性．5．2 一元一次方程的解法 第1课时 等式的基本性质1．理解等式的基本性质；2．会根据等式的基本性质解简单的方程．重点运用等式的基本性质对等式进行变形． 难点根据等式的基本性质解简单的方程．一、导入新课方程是含有未知数的等式，解方程自然要研究等式的基本性质．等式有哪些基本性质呢？我们不难理解下面两个基本事实： (1)如果a ＝b ，那么b ＝a ；(2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .除此之外，等式还有哪些基本性质呢？ 学生回答，教师点评． 二、探究新知下面，我们通过实验一起来探究等式的性质．(1)教师演示：天平两边分别放入一个铁球和砝码，天平平衡，再在两边都加上相同的木块，天平仍平衡，再拿掉木块天平仍平衡．教师：如果我们把天平看成是等式，会得到什么结论呢？ 学生小组讨论，合作交流．教师总结得出等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式． (2)教师演示：天平两边各放入一个小球和砝码，天平平衡，把两边小球与砝码的数量都变成原来的3倍，天平仍平衡．再将两边小球与砝码的数量还原，天平仍平衡．教师：如果我们把天平看成是等式，那么又有什么结论呢？引导学生得出等式的性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．用字母可以表示为： 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝bc(c ≠0)(1)如图5－2，小明用天平解释了方程5x ＝3x ＋4的变形过程，你能明白他的意思吗？(2)请用等式的基本性质解释方程5x ＝3x ＋4的上述变形过程．归纳：利用等式的基本性质求解一元一次方程，实质就是对方程进行变形，变形为x ＝a 的形式．对于x ＋a ＝b ，方程两边都减去a ，得x ＝b －a ；对于方程ax ＝b (a ≠0)，两边都除以a ，得x ＝ba.例1 (课件出示教材第140页例1)要求学生独立完成后汇报答案，教师点评． 例2 (课件出示教材第140页例2)要求学生独立完成后汇报答案，教师点评． 三、课堂练习 1．判断：(1)若x ＝y ，则5＋x ＝5＋y ；( √ ) (2)若x ＝y ，则5x ＝5y ；( √ ) (3)若x ＝y ，则x 5 ＝y5；( √ )(4)若x ＝y ，则5－x ＝5－y ；( √ ) (5)若2x ＝5x ，则2＝5.( × ) 2．下列各式变形正确的是( A )A ．由3x －1＝2x ＋1得3x －2x ＝1＋1B ．5＋1＝6得5＝6＋1C ．由2(x ＋1)＝2y ＋1得x ＋1＝y ＋1D ．由2a ＋3b ＝c －5b ，得2a ＝c ＋8b 3．应用等式的性质解下列方程并检验： (1)x －5＝6； (2)0.3x ＝45； (3)5x ＋4＝0; (4)2－14x ＝3.【答案】3.(1)x ＝11 (2)x ＝150 (3)x ＝－45 (4)x ＝－44．教材第141页“随堂练习”第1，2题． 四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．等式的基本性质是什么？3．如何用等式的基本性质解方程？ 五、课外作业教材第146页第6，7题．本节课的学习内容是等式的性质，是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的．它是解方程的基础和依据．在课堂上，教师通过学生的实践活动引导学生，发现规律，从而得出等式的基本性质，接着又通过实验解释了方程5x ＝3x ＋4的变形过程．由此得出利用等式的性质解一元一次方程，实质上就是逐步把方程化为x＝a的形式．通过教师设置的两次活动，学生对等式性质的理解和运用等式的性质解一元一次方程都留下了深刻的印象．第2课时用移项和合并同类项解一元一次方程1．掌握移项变号的基本原则，会用移项解一元一次方程；2．会用合并同类项解一元一次方程．重点移项法则和合并同类项法则及其应用．难点理解移项的同时必须变号．一、导入新课问题1：什么是一元一次方程？问题2：等式的基本性质是什么？学生举手回答，教师引入新课．二、探究新知1．移项的概念教师：你会解方程5x－2＝8吗？方程的两边都加2，得5x－2＋2＝8＋2，也就是5x＝8＋2比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相当于5x－2＝8，5x＝8＋2即把原方程中的－2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移顶．因此，解方程的过程可以简化为：移项，得5x＝8＋2化简，得5x＝10方程的两边都除以5，得x＝2.在上面解方程的过程中，移项的依据是什么？目的是什么？与同伴进行交流．归纳：学生思考后举手回答，教师点评，并进一步讲解：把原方程的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项．课件出示问题：下列移项是否正确，请说明理由．(1)6＋x＝8移项，得x＝8＋6；(2)3x＝8－2x移项，得3x＋2x＝－8；(3)5x－2＝3x＋7移项，得5x＋3x＝7＋2.要求学生认真观察找出错误，并说明理由，教师点评．2．用移项和合并同类项解一元一次方程 教师：你会解方程3x ＋20＝4x －25吗？引导学生思考：方程3x ＋20＝4x －25的两边都有含x 的项(3x 与4x )和不含字母的常数项(20与－25)，怎样才能使它向x ＝a (常数)的形式转化呢？要求学生思考后举手回答，教师点评．归纳：学生观察，讨论交流，教师引导学生说出将方程左边合并同类项，向x ＝a 的形式转化．思考：本问题的解决过程中，合并同类项起到了什么作用？ 学生讨论后回答．(让学生感受化归的思想)问题：对于本问题，你还有其他的方法解决吗？ 课件出示练习：将下列方程化为ax ＝b 的形式． (1)2x －3＝6； (2)5x ＝3x －1； (3)2.4y ＋2＝－2y ； (4)8－5x ＝x ＋2.学生完成后举手回答，教师点评，并进一步讲解： ①移动的项要改变符号；②为了方便计算，移项通常是将未知项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，使方程化为ax ＝b 的形式．例3 (课件出示教材第142页例3) 要求学生独立完成并思考： (1)移项的根据是什么？ (2)移项的目的是什么？ 学生汇报答案，教师点评．例4 (课件出示教材第142页例4)指名板演，教师巡视指导，集体订正，教师再次强调移项时符号的变化． 三、课堂练习1．教材第142页“随堂练习”． 2．用移项法解下列方程： (1)7－2x ＝3－4x ；(2)34x ＝x －3. 3．如果x ＝－7是方程4x ＋6＝ax －1的解，试求代数式a －3a的值．【答案】2.(1)x ＝－2 (2)x ＝12 3.把x ＝－7代入方程4x ＋6＝ax －1中，得4×(－7)＋6＝－7a －1.解得a ＝3；当a ＝3时，a －3a ＝3－33＝2四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．什么叫移项？3．移项时应注意什么问题？ 五、课后作业教材第145页习题5.2第1，2题．本节课学生通过观察、讨论，归纳出移项的定义，体现了学生的主体地位．课堂上，教师通过讲练结合，使学生更好地掌握移项的法则．学生对移项的掌握比较牢固，但移项时要“变号”这个问题，个别学生掌握得不够好，不能灵活应用，需要加强练习．在用移项和合并同类项解方程的过程中，教师要逐步渗透数学中变未知为已知的重要数学思想．第3课时解带括号的一元一次方程1．理解并掌握解含有括号的一元一次方程的方法；2．能用多种方法灵活地解一元一次方程．重点含括号的一元一次方程的解法．难点结合方程的特点选择不同的方法解方程，并解释解法的合理性．一、导入新课问题1：什么叫移项？问题2：用移项法解下列方程：(1)2x－2＝3x＋3；(2)－3x＋5＝4x＋2.学生举手回答，教师讲评．二、探究新知1．利用去括号解一元一次方程小颖在超市买了1袋牛奶和4瓶矿泉水，她付给售货员20元，售货员找回3元．已知1瓶矿泉水比1袋牛奶贵0.5元，你能算出1袋牛奶多少钱吗？你列出了怎样的方程？如果设1袋牛奶x元，那么可列出方程4(x＋0.5)＋x＝20－3.(1)上面这个方程列得对吗？为什么？你还能列出不同的方程吗？(2)怎样解所列的方程？学生完成后汇报答案，教师点评并引导学生总结出去括号解一元一次方程的步骤：①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1.强调：括号前是“＋”号，去括号时，不改变符号；括号前是“－”号，去括号时，要改变符号．用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a＋(b＋c)＝a＋b＋ca－(b＋c)＝a－b－c多媒体出示例5解方程：1＋6x＝2(3－x).解：去括号，得1＋6x ＝6－2x . 移项，得6x ＋2x ＝6－1. 合并同类项，得8x ＝5. 方程的两边都除以5，得x ＝58.例6 解方程：－2(x －1)＝4. 解法一：去括号，得－2x ＋2＝4. 移项，得－2x ＝4－2. 化简，得－2x ＝2.方程的两边都除以－2，得x ＝－1. 解法二：方程的两边都除以－2，得 x －1＝－2.移项，得x ＝－2＋1. 化简，得x ＝－1.要求学生用两种方法解答，并写出解题过程，引导学生比较这两种方法的区别与联系． 教师：我们来试一试解下面的方程(课件出示). (1)－3(x －5)＝6； (2)2(3－x )＝9； (3)－2(x －1)＝4.2．去括号解一元一次方程的应用课件出示：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2 h ；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5 h ．已知水流的速度是3 km/h ，求船在静水中的速度．教师：如果设船在静水中的速度为x km/h ，船顺流的速度为多少？ 学生：(x ＋3)km/h.教师：船逆流的速度为多少？ 学生：(x －3)km/h.教师：这个方程的等量关系是什么？ 学生：往返的路程相等．师生共同探讨，列出方程：2(x ＋3)＝2.5(x －3). 学生完成解方程，指名板演，集体订正． 三、课堂练习1．教材第143页“随堂练习”．2．若方程3(2x －1)＝2－3x 的解与关于x 的方程6－2k ＝2(x ＋3)的解相同，则k 的值为－59． 3．一架飞机在两城之间航行，风速为24 km/h ，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城距离．【答案】3.设无风时飞机的速度为x km/h ，则可列方程为256 (x ＋24)＝3(x －24)，解得x＝840，所以两城的距离为3×(840－24)＝2448(km)四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．如何去括号解一元一次方程？ 五、课后作业教材第138页习题5.2第3，4题．本节课主要内容是解一元一次方程的重要步骤——去括号．在教学过程中，学生通过思考、讨论、练习，归纳出去括号解一元一次方程的步骤，体现了学生的主体地位，培养了学生的自主学习能力．课堂上，教师通过讲练结合，使学生熟悉去括号解一元一次方程的步骤及其注意事项．通过分析具体问题中的数量关系，使学生了解运用方程解决实际问题．第4课时 解含分母的一元一次方程1．会解含有分母的一元一次方程；2．掌握解一元一次方程的基本步骤和方法，能根据方程的特点灵活地选择解法．重点解一元一次方程的基本步骤和方法． 难点含有分母的一元一次方程的解法．一、导入新课问题1：什么是移项法则？什么是去括号法则？ 学生举手回答，教师点评． 问题2：解方程： (1)2(x ＋15)＝x －10； (2)4(x ＋7)＝2(x －1).学生独立完成，指名板演，集体订正． 二、探究新知1．解含分母的一元一次方程课件出示问题：一个数与它的三分之二、它的一半、它的七分之一加起来的和是33，求这个数．教师：设这个数为x ，怎样列出方程呢？学生：23 x ＋12 x ＋17x ＋x ＝33.教师：如何解这个方程呢？解这个方程的关键是什么？依据是什么？要求学生合作探究，并与同桌交流自己的解法是否正确．教师指名学生回答．教师：根据等式的基本性质，在方程两边同乘各分母的最小公倍数42，即可将方程化为熟悉的类型．教师边讲解板书：23 x ＋12 x ＋17x ＋x ＝33.去分母，得28x ＋21x ＋6x ＋42x ＝1386. 合并同类项得97x ＝1386. 系数化为1得，x ＝138697 .2．解一元一次方程的一般步骤课件出示练习：例7解方程：17 (x ＋14)＝14 (x ＋20).解法一：去括号，得17 x ＋2＝14 x ＋5.移项、合并同类项，得－328 x ＝3方程的两边都除以－328，得x ＝－28.解法二：去分母，得4(x ＋14)＝7(x ＋20). 去括号，得4x ＋56＝7x ＋140. 移项、合并同类项，得－3x ＝84. 方程的两边都除以－3，得x ＝－28.学生独立完成，写出解题过程，教师点评并引导学生总结解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.例8 (课件出示教材第144页例8)要求学生用两种方法解答并写出解题过程，教师点评． 三、课堂练习1．教材第139页“随堂练习”．2．解方程：3x ＋12 －2＝3x －210 －2x ＋35 .【答案】2.x ＝716四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．如何解含有分母的一元一次方程？ 3．解一元一次方程的步骤有哪些？ 五、课后作业教材第145页习题5.2第5题．本节课主要内容是解一元一次方程的重要步骤——去分母，及解一元一次方程．在教学过程中，学生通过思考、讨论、练习，归纳出去分母的依据和解一元一次方程的步骤，体现了学生的主体地位，培养了学生的自主学习能力．课堂上，通过讲练结合，使学生熟悉解一元一次方程的步骤及其注意事项．强调根据具体情况选择解一元一次方程的方法，培养学生具体问题具体分析的能力．5．3 一元一次方程的应用 第1课时 图形的等积变形问题1．通过分析图形问题中的等量关系，建立方程解决问题；2．进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．重点列一元一次方程解简单的图形变化的实际问题．难点从复杂问题中寻找等量关系．一、导入新课1．课件出示两瓶矿泉水(容量一样，一瓶短而宽，另一瓶长而窄).教师：哪瓶矿泉水多？为什么？2．教师演示：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个“又矮又胖”的圆柱．教师：在刚才操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？学生思考后回答问题，教师点评．二、探究新知某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料．经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？(1)这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)设新包装的高度为x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？有关量旧包装新包装底面半径/cm 3.33高/cm12x容积/cm3π×3.32×12π×32×x(3)引导学生找出等量关系：旧包装的容积＝新包装的容积．设新包装的高度为x cm.根据等量关系，列出方程：π×3.32×12＝π×32×x解这个方程，得x＝14.52因此，易拉罐的高度将变为14.52 cm.归纳：列一元一次方程解应用题的步骤：1、审题，2、设未知数，3、列方程，4、解方程，5、作答．课件出示实验题：一个圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个长方体形状的可盛水的盒子里(玻璃杯的容积大于长方体的容积)，当盒子装满水时，玻璃杯中的水下降了多少？要求学生用玻璃杯按要求分组实验后，全班交流各组得到的结果及解决问题的方法、步骤，并派小组代表进行操作示范、讲解．教师巡视课堂，指导、参与学生的实验．例1 用一根长为10 m 的铁丝围成一个长方形．(1)如果该长方形的长比宽多1.4 m ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？(2)如果该长方形的长比宽多0.8 m ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？你能分别用含未知数的式子表示它们的数量关系吗？让学生独立完成解答过程，然后教师点评．在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流．三、课堂练习1．教材第149页“随堂练习”．2．某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m 的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m 减少为3.2 m ．那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4 m 变为多少米？【答案】2.设水箱的高度由原先的4 m 变为x m ，由题意列方程为π×(42 )2×4＝π×(3.22)2×x ，解得x ＝6.25.答：水箱的高度由原先的4 m 变为6.25 m 四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．列一元一次方程解实际问题时，关键是什么？ 五、课后作业教材第154页习题5.3第1，4，5题．本节课是一元一次方程的应用——易拉罐变形．在课堂上，让学生观察易拉罐由“矮”变“高”的变化过程，引导学生找出问题中的等量关系，列出方程，并解方程，使问题得到解决．通过学生自己动手操作实验、思考、计算、讨论，调动学生学习的积极性和主动性，充分体现“自主、合作、交流、探究”的新课程理念．观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程．第2课时 盈余与不足问题1．理解盈余与不足之间的数量关系；2．会通过列表格解一元一次方程的有关问题．重点理解盈余与不足之间的数量关系．难点列表格解一元一次方程的有关问题．一、导入新课教师：列方程解决实际问题的关键是什么呢？学生回答，教师点评．教师：今天，我们学习一元一次方程的一个应用——盈余与不足问题．二、探究新知课件出示问题：《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？(1)问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？(2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表．有关量每人出8钱每人出7钱人数x x出钱总数8x 7x物价8x－37x＋4(3)设人数为x.根据等量关系，列出方程：8x－3＝7x＋4解这个方程，得x＝7因此，人数为7人，物价为53钱．如果设物价为y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流．例2《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？有关量每人出400钱每人出300钱人数x x出钱总数400x 300x金价400x－3400300x－100解：设合伙人数为x，则金价可表示为400x－3400，还可表示为300x－100，根据等量关系，列出方程：400x－3400＝300x－100.解这个方程，得x＝33.300×33－100＝9800.因此，人数为33，金价为9800钱．对于例2，如果设金价为y，能列出怎样的方程？归纳：《九章算术》给出了一种算法：人数＝两次剩余钱数之差∶两次每人所出钱数之差；物价＝每人出的较多钱数×人数－剩余钱数，物价＝每人出的较少钱数×人数＋不足的钱数．教师：通过上面的讲解和练习，你能总结出列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？引导学生总结：①分析问题，找出等量关系式；②列出方程，求出方程的解；③验证方程的解是否合理．三、课堂练习1．教材第150页“随堂练习”．四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．盈余与不足问题中如何找等量关系？3．列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？五、课后作业教材第154页习题5.3第7题．本节课是一元一次方程的应用——盈余与不足．在教学过程中，通过由具体实例中的数量关系分析、思考，形成方程的模型，初步培养学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力．通过分组学习，让学生学会在活动中与他人合作、交流，调动学生学习的积极性和主动性，体现了以人为本的现代教学理念．第3课时行程问题1．通过画线段图分析追及问题中的数量关系，找出等量关系；2．进一步培养学生分析问题、解决问题的能力；3．学会用一元一次方程解决复杂的实际问题．重点找出追及问题中的等量关系，列出方程，解决实际问题．难点通过画线段图找等量关系．一、导入新课问题1：以前学习的行程问题中，路程、速度、时间三者间有什么关系？问题2：若小明每秒跑4 m，那么他5 s能跑多少米？。

第五章一元一次方程学科素养整合与提升-2022-2023学年七年级上册初一数学(北师版)引言本章主要介绍了一元一次方程的概念和解法，通过学习本章内容，可以帮助学生提升数学素养，并在解决实际问题中运用所学知识。

一、一元一次方程的基本概念1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。

其中，一次方程指的是方程中各项的最高次数为1。

一元一次方程的一般形式为：ax=b，其中，a和b为常数，x为未知数。

2. 解一元一次方程的基本步骤解一元一次方程的基本步骤如下：•将方程中的各项按照未知数的次数从高到低排列；•移项，将含有未知数的项移到等号的另一边；•合并同类项；•化简方程，使方程的形式变为ax=b；•求解方程，得出未知数的值。

二、一元一次方程的解法1. 等式的基本性质在解一元一次方程前，我们首先需要了解等式的基本性质，包括加法性质、乘法性质和对称性质。

•加法性质：如果等式的两边同时加上（或减去）一个相同的数，仍保持相等关系；•乘法性质：如果等式的两边同时乘以（或除以）一个相同的非零数，仍保持相等关系；•对称性质：等式两边互相交换位置后仍保持相等关系。

2. 移项法解一元一次方程移项法是解一元一次方程的常用方法。

当方程中含有未知数的项分布在等式的两边时，可以通过移项将未知数项移到一个侧边，使方程化为ax=b的形式，然后根据乘法性质求解。

3. 图解法解一元一次方程图解法是解一元一次方程的直观方法。

通过绘制方程的图象，可以找到方程的解。

三、一元一次方程的应用一元一次方程在实际问题中具有广泛的应用，例如：1.长方形的周长和面积问题；2.环境温度变化问题；3.商品打折问题；4.等等。

在解决这些实际问题时，可以通过建立一元一次方程来分析和解决。

四、学科素养整合与提升学科素养是指学生在特定学科中的知识、技能和态度的综合素养。

通过学习一元一次方程的内容，可以帮助学生培养和提升数学学科素养，具体包括：1.逻辑思维能力的培养：在解一元一次方程的过程中，需要运用逻辑思维分析问题，推导出方程的解；2.问题解决能力的提升：学习一元一次方程可以帮助学生在解决实际问题时运用数学知识，培养解决问题的能力；3.数学模型的建立能力的提高：通过建立一元一次方程来解决实际问题，可以帮助学生培养建立数学模型的能力；4.数学语言的运用能力的增强：学习一元一次方程可以提升学生的数学运算能力和数学语言表达能力。

《一元一次方程的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一元一次方程的实际应用，加深学生对一元一次方程的理解，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，同时提高学生的逻辑思维和解题技巧。

二、作业内容本作业内容主要围绕一元一次方程在日常生活中的应用展开，包括以下几个方面：1. 基础练习：设计一系列一元一次方程的练习题，让学生熟练掌握一元一次方程的解法。

2. 实际问题解析：选取几个与生活紧密相关的问题，如购物找零、速度与时间的关系等，通过这些问题引导学生运用一元一次方程进行解答。

3. 案例分析：选取几个具有代表性的实际问题，如工程问题、行程问题等，让学生通过分析、建模，将实际问题转化为一元一次方程进行求解。

4. 拓展延伸：设计一些具有挑战性的问题，如含有多个未知数但可以通过一元一次方程组简化的复合问题，激发学生探究和思考的兴趣。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，认真思考、分析每个问题，并记录下自己的解题过程。

2. 对于实际问题解析和案例分析部分，学生需要明确问题的已知条件和未知量，合理建立一元一次方程，并正确求解。

3. 拓展延伸部分要求学生尝试多种方法解决问题，鼓励创新思维和合作探讨。

4. 作业需按时提交，字迹工整，答案清晰。

四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况、解题过程和答案的正确性进行评价。

2. 对于基础练习部分，教师将重点评价学生的计算能力和解题速度。

3. 对于实际问题解析和案例分析部分，教师将评价学生的问题分析能力和方程建模能力。

4. 拓展延伸部分的评价将侧重于学生的创新思维和合作精神。

五、作业反馈1. 教师将对每位学生的作业进行详细批改，指出错误和不足，并提供正确的解题方法和思路。

2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解和演示，帮助学生掌握正确的解题方法。

3. 鼓励学生之间互相交流和讨论，分享解题经验和技巧，提高学习效果。

4. 作业反馈将作为学生期末评价的重要依据之一，以激励学生认真完成作业。

第五章 5.6 应用一元一次方程-追赶小明一、问题描述小明和小强相约在一座公园里见面，他们分别从两个不同的地方出发。

小明以每分钟200米的速度向公园走去，而小强以每分钟250米的速度向公园走去。

已知小强出发时，小明已经走了30分钟。

小明和小强同时向公园行走，假设他们能够保持自己的速度不变。

请问小强需要走多长时间才能追上小明？二、问题分析在这个问题中，我们假设小明出发时的位置为原点，小明的速度为200米/分钟，则他的位置与时间之间的关系可以表示为一元一次方程y=200x，其中y表示小明的位置（米），x表示时间（分钟）。

同理，我们可以得到小强的位置与时间之间的关系为一元一次方程y=250(x-30)。

根据题目中的条件，小强需要到达的位置与小明的位置相同，即小强的位置与时间之间的关系也可以表示为一元一次方程。

所以，我们需要解决的问题就是，通过求解这两个方程的交点，找到小强追上小明的时间。

三、解决方案首先，我们将小明和小强的位置与时间之间的关系表示为一元一次方程。

小明的位置与时间关系为y = 200x小强的位置与时间关系为y = 250(x-30)我们将这两个方程进行等式变换，得到方程组：200x = 250(x-30)通过解这个方程组，我们可以求得小强追上小明的时间。

首先，将方程展开，得到：200x = 250x - 7500然后，将x项移到一边，得到：-50x = -7500接下来，将方程两边都除以-50，得到：x = 150所以，小强需要走150分钟才能追上小明。

四、结果验证为了验证我们得到的结果是否正确，我们可以将小明和小强的位置与时间关系代入方程进行计算。

根据题目中的条件，小强出发时，小明已经走了30分钟，所以小明走过的距离为200 * 30 = 6000米。

小强走过的距离为250 * (150 - 30) = 30000米。

可以看到，小强走过的距离远远大于小明走过的距离，所以小强在走了150分钟后确实会追上小明。

《一元一次方程的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一元一次方程的实际应用，加深学生对一元一次方程概念及解法的理解。

通过具体的作业任务，引导学生发现并解决问题中的数量关系，从而提升学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、作业内容本节课的作业内容围绕一元一次方程的实际应用展开，主要包含以下部分：1. 基础知识巩固：要求学生复习一元一次方程的定义、标准形式和求解方法。

2. 实际问题解析：提供若干个与日常生活紧密相关的一元一次方程应用题，如购物问题、速度时间距离问题等。

学生需根据题目描述，找出等量关系并建立一元一次方程。

3. 实践操作练习：学生需自主选择实际生活中的问题，用一元一次方程进行分析和求解，培养学生将所学知识运用于实际生活的能力。

4. 总结反思：学生在完成作业后，需对解题过程进行总结反思，分析自己在解题过程中的得失，并记录下自己的学习心得。

三、作业要求1. 准确性：学生在解题过程中要确保答案的准确性，避免因计算错误或理解偏差导致的答案错误。

2. 完整性：学生需完整地写出解题过程，包括找出等量关系、建立方程、求解方程等步骤。

3. 独立思考：学生在解题过程中应独立思考，尽量不依赖他人，培养自主解决问题的能力。

4. 时间管理：学生需合理安排时间，保证在规定时间内完成作业。

5. 格式规范：学生需按照教师要求的格式完成作业，如使用统一的答题纸、字迹工整等。

四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 准确性：答案是否正确，是否符合题目要求。

2. 完整性：解题过程是否完整，是否包含了找出等量关系、建立方程、求解方程等步骤。

3. 独立思考能力：学生是否能够独立思考，解决问题。

4. 时间管理：学生是否合理安排时间，是否在规定时间内完成作业。

5. 格式规范：学生作业的格式是否规范，字迹是否工整。

五、作业反馈教师将对每位学生的作业进行批改，并给出详细的评语和建议。

对于出现的问题，教师将进行针对性的指导。

5.5 应用一元一次方程——“希望工程”义演一、教学目标1、明确有关分配问题中两个未知量之间的关系，初步认识合理选元的重要性．2、能借助图表分析复杂问题的数量关系，建立方程解决实际问题．3、培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力．二、课时安排1课时三、教学重点进一步熟练掌握列一元一次方程解应用题的一般方法步骤，学会用图表分析数量较为复杂的应用题．四、教学难点用图表分析数量关系较为复杂的应用题．五、教学过程（一）情境导入举手说一说自己有关“希望工程”的知识，讲解“希望工程”的作用和意义，引入课题．（二）讲授新课1．某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出了解1000张票，筹得票款6950元．成人票和学生票各售出了多少张？(成人：8元；学生：5元)【想一想】：上面问题中包含哪些等量关系？【分析】：售出的票包括成人票和学生票，所得票款包括成人票款和学生票款，因此这个问题中包含着下边两个等量关系：成人票数＋学生票数＝1000张（1）成人票款＋学生票款＝6950元（2）解法一、设售出的学生票为x张，填写下表：学生成人票数/张x 1000-x票款/元5x 8×（1000-x）根据等量关系（2）课列出方程：5x+8×（1000-x）=6950解得 x=350因此，售出成人票650张，学生票350张。

解法二、设所得的学生票款为y元，填写下表：学生成人票数/张y÷5 （6950-y）÷8票款/元y 6950-y根据等量关系（1），可列出方程：y÷5+（6950-y）÷8=1000解得y=1750元因此，售出成人票650张，学生票350张。

2议一议：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？（三）重难点精讲等量关系（四）归纳小结利用等量关系列出一元一次方程（五）随堂检测1、有甲．乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍．”乙回答说：“最好是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”．甲牧童有多少只羊？2、一家游泳馆6-8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元，试讨论并回答：（1）什么情况下，购会员证与不购会员证付钱一样多？（2）什么情况下，购会员证比不购会员证更合算？（3）什么情况下，不购会员证比购会员证更合算？六、板书设计5.6 应用一元一次方程—追赶小明概念例题练习七、作业布置1.家庭作业：完成本节课的同步练习；2.预习作业：完成导学案5.5《应用一元一次方程—“希望工程”义演》探究案八、教学反思。

2022-2023学年北师大版七年级数学上册《第5章一元一次方程》单元综合练习题（附答案）一．选择（共10小题）1．根据等式性质，下列结论正确的是（）A．由2x﹣3＝1，得2x＝3﹣1B．若mx＝my，则x＝yC．由，得3x+2x＝4D．若，则x＝y2．下列等式是一元一次方程的是（）A．x2+3x＝6B．﹣3x＝1C．y＝﹣2x D．3．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（）A．4B．3C．2D．14．若代数式的值是1，则x的值是（）A．﹣1B．0C．1D．25．整式2x﹣9与3﹣x的值互为相反数，则x＝（）A．﹣6B．﹣2C．6D．46．解方程，去分母正确的是（）A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1）B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）7．解一元一次方程（x+15）＝1﹣（x﹣7）的过程如下．解：去分母，得3（x+15）＝15﹣5（x﹣7）．①去括号，得3x+45＝15﹣5x+7．②移项、合并同类项，得8x＝﹣23．③化未知数系数为1，得x＝﹣④以上步骤中，开始出错的一步是（）A．①B．②C．③D．④8．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，为了使制作的A、B部件恰好配套，设应用xm3钢材制作A部件，则可列方程为（）A．40x×3＝240×（6﹣x）B．40x＝240×（6﹣x）×3C．40×（6﹣x）×3＝240x D．40×（6﹣x）＝240x×39．如图是某月的月历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，圈出的三个数的和不可能是（）A．24B．41C．42D．6910．某商品按原价的8折出售，仍可获利20%，若商品的原价为2400元，则该商品的进价为（）A．1600元B．1640元C．1680元D．1860元二．填空题11．x与5的和的2倍等于x的3倍”，用方程表示数量关系为．12．当x＝时，1﹣x与的值相等．13．若方程x k﹣1+5k＝0是关于x的一元一次方程，则x＝．14．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，﹣4}＝2．按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为．15．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则对于这个九宫格中a＝，b＝．16．如表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算）打车方式出租车3千米以内8元；超过3千米的部分2.4元/千米滴滴快车路程：1.4元/千米；时间：0.6元/分钟说明打车的平均车速40千米/时假设乘坐8千米，耗时：8÷40×60＝12分钟；出租车收费：8+（8﹣3）×2.4＝20元；滴滴快车收费：8×1.4+12×0.6＝18.4元．为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过10千米立减4.8元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费22.4元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付元．三．解答题17．解方程：（1）3x﹣9＝6x﹣1；（2）﹣＝1．18．嘉淇在解关于x的一元一次方程+＝3时，发现正整数被污染了；（1）嘉淇猜是2，请解一元一次方程+2＝3；（2）若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？19．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了4h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．20．用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2+2ab+a．如：1★3＝1×32+2×1×3+1＝16．（1）（﹣3）★2＝．（2）若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．21．【我阅读】解方程：|x+5|＝2．解：当x+5≥0时，原方程可化为：x+5＝2，解得x＝﹣3；当x+5＜0时，原方程可化为：x+5＝﹣2，解得x＝﹣7．所以原方程的解是x＝﹣3或x＝﹣7．【我会解】解方程：|3x﹣2|﹣5＝0．22．太阳能电池板可以将太阳的光能转化为电能，在相同光照条件下，面积越大，输出的电能越大．现有一块长方形太阳能电池板，已知它的长比宽长30cm．如果将它的长和宽都增加15cm，那么它的面积将增加2475cm2．求这块长方形太阳能电池板的长与宽分别是多少cm？23．一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需15天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，请问甲做了多少天？参考答案一．选择题1．解：由2x﹣3＝1，得2x＝3+1，∴选项A不符合题意；当m＝0时，x与y不论取何值，mx＝my，∴选项B不符合题意；由，得3x+2x＝24，∴选项C不符合题意；若，则x＝y，∴选项D符合题意．故选：D．2．解：A、x2+3x＝6是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、﹣3x＝1是一元一次方程，故本选项符合题意；C、y＝﹣2x是二元一次方程，故本选项不符合题意；D、是分式方程，故本选项不符合题意．故选：B．3．解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故选：C．4．解：由题意得，＝1，去分母，得1﹣2x＝3，移项，得﹣2x＝3﹣1，合并同类项，得﹣2x＝2，系数化为1，得x＝﹣1．故选：A．5．解：由题意，得（2x﹣9）+（3﹣x）＝0，去括号，得2x﹣9+3﹣x＝0，移项，得2x﹣x＝9﹣3，合并同类项，得x＝6．故选：C．6．解：，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．故选：C．7．解：去分母，得3（x+15）＝15﹣5（x﹣7）．①去括号，得3x+45＝15﹣5x+35．②移项、合并同类项，得8x＝5．③化未知数系数为1，得x＝．④则开始出错的一步是②．故选：B．8．解：设应用xm3钢材做A部件，则应用（6﹣x）m3钢材做B部件，由题意得40x×3＝240×（6﹣x），故选：A．9．解：设中间的数为x，则最上面的数字为x﹣7，最下面的数字为x+7，令（x﹣7）+x+（x+7）＝24，得x＝8，故选项A不符合题意；令（x﹣7）+x+（x+7）＝41，得x＝（不符合实际，舍去），故选项B符合题意；令（x﹣7）+x+（x+7）＝42，得x＝14，故选项C不符合题意；令（x﹣7）+x+（x+7）＝69，得x＝23，故选项D不符合题意；故选：B．10．解：设该商品的进价为x元，则有（1+20%）x＝2400×0.8，解得：x＝1600．故选：A．二．填空题11．解：根据题意得，2（x+5）＝3x，故答案为：2（x+5）＝3x．12．解：由题意得，1﹣x＝，去分母得，2﹣2x＝x﹣4，移项得，﹣2x﹣x＝﹣4﹣2，合并同类项得，﹣3x＝﹣6，系数化为1得，x＝2．故答案为：2．13．解：根据题意得：k﹣1＝1，解得：k＝2，把k＝2代入原方程得：x+10＝0，解得：x＝﹣10，故答案为：﹣10．14．解：∵max{a，b}表示a，b两数中较大的数，∴max{x，﹣x}＝x或﹣x，∴2x+1＝x或﹣x，（1）2x+1＝x时，解得x＝﹣1，此时﹣x＝1，∵x＞﹣x，∴x＝﹣1不符合题意．（2）2x+1＝﹣x时，解得x＝﹣，此时﹣x＝，∵﹣x＞x，∴x＝﹣符合题意．综上，可得：按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为：x＝﹣．故答案为：x＝﹣．15．解：如图．由题意可得，m+a+0＝﹣5+m+3，解得a＝﹣2，又3+b+n＝﹣5+a+n，解得b＝﹣10．故答案为：﹣2，﹣10．16．解：设甲地到达乙地的路程为x千米，①不超过10千米，依题意有：8+（x﹣3）×2.4＝22.4，解得x＝9，9÷40×60＝13.5（分钟），若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付9×1.4+13.5×0.6＝20.7（元）；②超过10千米，依题意有：8+（x﹣3）×2.4﹣4.8＝22.4，解得x＝11，11÷40×60＝16.5（分钟），若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付11×1.4+16.5×0.6＝25.3（元）．答：需支付20.7或25.3元．故答案为：20.7或25.3．三．解答题17．解：（1）3x﹣9＝6x﹣1；移项，得3x﹣6x＝﹣1+9，合并同类项，得：﹣3x＝8，解得：x＝﹣；（2）﹣＝1，去分母，得5（3x﹣1）﹣2（4x+2）＝10，去括号，得15x﹣5﹣8x﹣4＝10移项，得15x﹣8x＝10+5+4，合同类项，得7x＝19，解得x＝．18．解：（1）+2＝3，去分母，得3x﹣1+4＝6，移项，合并同类项得3x＝3，系数化1，得x＝1；（2）设被污染的正整数为m，则有，解得，x＝，是正整数，∴m＝2．19．解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，依题意得：3（x+3）＝4（x﹣3），解得：x＝21．答：船在静水中的平均速度为21km/h．20．解：（1）（﹣3）★2＝（﹣3）×22+2×（﹣3）×2﹣3＝﹣27；故答案为：﹣27；（2）根据题意得：★3＝×32+2××＝+3a+＝8a，∴（★3）★（﹣2）＝8a★（﹣2）＝8a×（﹣2）2+2×8a×（﹣2）+8a＝16，整理得8a＝16，解得：a＝2．21．解：当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2﹣5＝0，解得x＝；当3x﹣2＜0时，原方程可化为：﹣3x+2﹣5＝0，解得x＝﹣1．所以原方程的解是x＝或x＝﹣1．22．解：设这块长方形太阳能电池板的宽为xcm，根据题意，列方程得：（x+30+15）（x+15）﹣x（x+30）＝2475，所以（x+45）（x+15）﹣x（x+30）＝2475，整理，得30x＝1800，所以x＝60（cm），x+30＝90（cm）．答：这块长方形太阳能电池板的长为90cm、宽为60cm．23．解：设甲做了x天，依题意得：+＝1，解得：x＝4．答：甲做了4天．。

《一元一次方程的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一元一次方程的实际应用，加深学生对一元一次方程的理解，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，同时提高学生的逻辑思维和计算能力。

二、作业内容作业内容主要围绕一元一次方程的应用展开，具体包括以下几个方面：1. 基础练习：通过典型例题，让学生熟练掌握一元一次方程的解法，包括列方程、解方程等基本操作。

2. 实际问题建模：选取生活中常见的实际问题，如购物找零、行程问题等，引导学生将实际问题转化为数学模型，即一元一次方程。

3. 方程应用拓展：设计一些综合性问题，如经济问题、工程问题等，让学生运用所学知识解决更为复杂的问题。

4. 小组合作探究：分组让学生合作解决一些具有挑战性的问题，培养学生的团队协作能力和交流沟通能力。

三、作业要求为确保作业质量，提出以下作业要求：1. 准确理解题目：仔细阅读题目，准确理解题意，将实际问题转化为数学模型。

2. 规范解答：解题过程要规范，步骤要清晰，答案要准确。

3. 独立思考：鼓励学生在解题过程中独立思考，培养解决问题的能力。

4. 小组合作：小组合作时，每位同学要积极参与，发挥各自优势，共同解决问题。

5. 按时完成：作业需在规定时间内完成，保证作业的时效性。

四、作业评价作业评价将从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否正确，解题过程是否有误。

2. 规范性：解题过程是否规范，步骤是否清晰。

3. 创新性：学生是否有独特的解题思路和方法。

4. 合作性：小组合作时，成员之间的配合和交流情况。

教师将根据以上评价标准对作业进行批改，并给出相应的评分和反馈。

五、作业反馈作业反馈是本作业设计的重要环节，具体包括以下几个方面：1. 错误分析：对于学生出现的错误，教师需进行详细的分析，找出错误原因，并给出正确的解题方法和思路。

2. 表扬鼓励：对于表现出色的学生，教师应给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。

3. 改进建议：针对学生在作业中暴露出的问题，教师需给出具体的改进建议，帮助学生提高数学能力和解题技巧。