数学人教版八年级上册第13章-轴对称单元复习课 教学设计

第十三章轴对称13.2 画轴对称图形第1课时一、教学目标【知识与技能】能画出简单平面图形作轴对称之后的图形,了解画一般轴对称图形的方法.【过程与方法】让每个学生在生动具体的问题情境中参与数学活动,通过积极主动的探索,加深自己的理解和认识.【情感、态度与价值观】让学生体验到成功的喜悦,树立自信心,体验合作交流的重要性,感受数学美,明白数学来源于生活又服务于生活的道理.二、课型新授课三、课时第1课时，共1课时。

四、教学重难点【教学重点】1.轴对称变换的定义.2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.【教学难点】利用轴对称进行一些图案设计.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生：三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程（一）导入新课我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质.如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法.（出示课件3）（二）探索新知1.创设情境，探究轴对称图形的画法教师问1：（出示课件2）观察思考，欣赏美丽图案，思考这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？学生回答：这些图案都是轴对称图形，希望学习这些图案制作方法.教师问2：在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印，这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点得到的线段被对称轴垂直平分.类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论呢？（出示课件5）学生问：这个如何做呢？出示下边的图案教师问3：认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？（出示课件6）学生回答：成轴对称教师问4：对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP ′是什么关系？学生回答：直线l垂直平分线段PP′教师总结点拨：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.教师讲解：同学们自己能做出一个类似的图形吗？学生回答：可以做到.师生共同解答如下：(1)取一张长方形纸；(2)将纸对折，中间夹上复写纸；(3)在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶；(4)把纸展开.得到的图案如下：教师问5：取一张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图形，打开纸看一下，然后改变折痕方向重新叠纸，在原来的图形上描图，再打开，你会发现什么结论？学生动手作图后回答：这两个图形关于某直线成轴对称.教师问6：当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置会变吗？学生画图后回答：当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置不会变化.例1：将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，得到的图案是（）（出示课件8）师生共同解答如下：动手剪一剪，亲自操作后得到答案:B.例2：如图，将长方形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝50°，则∠CFD 的度数为（ ）（出示课件10）A ．20° B．30° C ．40° D．50°师生共同解答如下：A. B. C. D. A B D CE F由折叠知道：∠EFD=∠A=90°，∵∠EFB=50°，∴∠CFD=180°-90°-50°==40°.答案：C.总结点拨：折叠是一种轴对称变换，折叠前后的图形形状和大小不变，对应边和对应角相等．2、运用新知，作轴对称图形教师问7：如何画一个点的轴对称图形？学生回答：画出点A关于直线l的对称点A′.教师问8：如何画呢？师生共同解答如下：作法：（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.（2）在垂线上截取OA′＝OA.点A′就是点A关于直线l的对称点. （出示课件12）教师问8：如何画一条线段的对称图形？学生回答：已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.师生共同解答如下：（出示课件13）教师问9：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？师生共同探究后，完成下边的问题例3：如图，已知△ABC 和直线l ，作出与△ABC 关于直线l 对称的图形.师生共同解答如下：（出示课件14）分析：△ABC 可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l 的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形.（出示课件15）作法：（1）过点A 画直线l 的垂线，垂足为点O ，在垂线上截取OA ′=OA ，A ′就是点A 关于直线l 的对称点.（2）同理，分别画出点B ，C 关于直线l 的对称点B ′，C ′ .（3）连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，得到△ A ′B ′C ′即为所求. l AB C总结点拨：（出示课件16）作轴对称图形的方法：几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.例4：在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.（出示课件17）师生共同解答如下：总结点拨：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．（出示课件18）（三）课堂练习（出示课件21-25）1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定2.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，D两点落在B′，D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为________.3.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.4.如图给出了一个图案的一半，虚线l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.5.如图，画△ABC关于直线m的对称图形.参考答案：1.B2.55°3.解答如下图：4.解答如下图：5.解答如下图：（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.轴对称图形的基本特征。

人教版八年级数学上册第十三章《轴对称13.2画轴对称图形第1课时》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上进行的一章内容。

本章主要让学生掌握轴对称图形的概念，性质，以及如何画出各种轴对称图形。

13.2节《画轴对称图形》是本章的第二节内容，主要让学生学会如何通过对称轴画出各种轴对称图形，培养学生的动手操作能力和空间想象能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了平面几何的基本概念和性质，对一些基本的几何图形有了一定的了解。

但学生在画图方面可能还有一定的困难，特别是在画对称轴和轴对称图形时。

因此，在教学过程中，教师需要耐心引导学生，让学生逐步掌握画图的方法。

三. 教学目标1.让学生理解轴对称图形的概念，并能找出生活中的轴对称图形。

2.让学生掌握画轴对称图形的方法，提高学生的动手操作能力和空间想象能力。

3.培养学生观察、思考、交流的能力，提高学生的合作意识。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握轴对称图形的概念，以及画轴对称图形的方法。

2.难点：如何引导学生找出生活中的轴对称图形，以及如何让学生独立画出各种轴对称图形。

五. 教学方法采用“引导法”、“实例法”、“合作学习法”等教学方法。

教师通过引导，让学生主动探索轴对称图形的性质，找出生活中的轴对称图形。

同时，采用合作学习的方式，让学生在小组内交流讨论，共同完成画轴对称图形的任务。

六. 教学准备1.准备一些生活中的轴对称图形实例，如剪纸、图片等。

2.准备几何画图工具，如直尺、圆规等。

3.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的轴对称图形实例，如剪纸、图片等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？让学生初步感受轴对称图形的性质。

2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现轴对称图形的定义，让学生明确轴对称图形的概念。

同时，教师通过讲解，让学生了解轴对称图形的性质，如对称轴的性质，对称点的性质等。

13.1.1 轴对称教学设计【教学目标】一、知识与技能1.了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．2.了解线段垂直平分线的概念．二、过程与方法探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用．三、情感态度与价值观欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。

【教学重点】轴对称的概念和性质【教学重点】轴对称的概念和性质【教学方法】观察、作图操作、类比【教学课型】新授课【教学准备】多媒体、剪刀、尺规【教学过程】一、问题导入：引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！二、探索新知：问题1 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？教师：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。

两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。

第1课时轴对称（1）教学目标1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．教学重点由具体情境抽象出轴对称图形与轴对称的概念．教学难点理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系．教学互动设计设计意图一、创设情境感受新知【问题】观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，?甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．我们的黑板、课桌、椅子等．我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．二、合作交流解读探究⑴轴对称图形1、做一做把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想，展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？2、想一想日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？3、轴对称图形定义：如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。

就是它的对称轴。

⑵轴对称1、做一做: 折纸印墨迹问题1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？问题2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？2、想一想: 教材P30-----思考3、轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线就是，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做。

⑶关于某条直线成轴对称的图形的性质特征经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．学生观察图片，在独立思考的基础1、想一想：教材P31 ---思考1结论：2、轴对称与轴对称图形的联系与区别．轴对称图形轴对称区别联系如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，?如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．三、应用迁移巩固提高【例1】下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，有几条对称轴？大小口中朋木【例2】在26个英文字母中，请你说出几个成轴对称图形的字母，并且指出有几条对称轴【例3】判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.【例4】标出下列图形中的对称点【例5】观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形，若是，请画出对称轴。

人教版八年级上数学教学设计《第13章轴对称》一. 教材分析人教版八年级上数学第13章《轴对称》是初中数学的重要内容，主要让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能运用轴对称解决实际问题。

本章内容涉及图形变换，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的平面几何知识，具备一定的观察和分析能力。

但学生在学习过程中，可能对轴对称的概念和性质理解不深，因此在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，体会轴对称的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能运用轴对称解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：轴对称的概念，轴对称的性质。

2.难点：轴对称的性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引导学生观察实际问题，激发学生的学习兴趣。

2.探究式教学法：引导学生通过操作、思考、交流等活动，自主探究轴对称的性质。

3.案例教学法：通过典型例题，引导学生运用轴对称解决实际问题。

六. 教学准备1.教学素材：收集相关的实际问题，准备典型例题。

2.教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如剪纸、折叠等，引导学生观察并思考：这些实际问题有什么共同特点？学生可能回答出：这些实际问题都涉及到图形的对称性。

教师总结：对称性是这些实际问题的共同特点，今天我们要学习的就是关于对称性的一种重要类型——轴对称。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示轴对称的定义和性质，引导学生观察并思考：轴对称的定义是什么？轴对称的性质有哪些？学生可能回答出：轴对称的定义是图形关于某条直线对称；轴对称的性质有对称轴上的点不变，对称轴两侧的点关于对称轴对称。

轴对称教学目标：1、通过生活中的具体实例认识轴对称，让学生掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。

2、培养学生的观察能力、思维能力、操作能力、归纳能力。

3、让学生体会数学的对称美在生活中的广泛应用和体现。

教学重点：准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质。

教学难点：轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系。

学生课前准备：每人准备一张纸和一把剪刀教学过程：一、情景创设在生活中，许多事物与图形紧密联系在一起。

现在老师给大家准备了一些生活中的常见的事物图案和标志，请大家观赏。

（投影显示）[教学说明：创设情景将生活中的对称图案和标志展示出来，引导学生将生活中的对称美牵引到数学中来]二、探索研讨做一做（活动）将同学们准备好的一张纸对折后，用笔沿着折线画一条直线，然后从折叠处剪出一个你喜欢的图形，想一想,展开后会是一个什么样的图形？[教学说明：让同学们从动手实践中总结出结论：剪出来的图形关于折线对称]（引出课题）看一看，想一想细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？（投影显示）[教学说明：让学生通过观察、讨论得出规律。

]请同学们细心观察动画后，总结出轴对称图形的概念（投影显示）轴对称图形定义：如果一个图形沿着某条直线对折，对折后的两面部分能够完全重合，就称这样的图形为轴对称图形。

这条直线叫做这个图形的对称轴。

在我们的现实生活中有很多物体的平面图形是轴对称图形，你能举例说说吗？3、例题讲解：请同学们细心观察，下列轴对称图形各有多少条对称轴？[教学说明：让学生从本题中总结出轴对称图形的对称轴不仅仅只一条，有可能有2条、3条、4条等，对称轴的方向不仅仅是垂直的，有可能是水平的或倾斜的。

]练一练判断下列图形哪些是轴对称图形，如果是，请找出所有对称轴。

(1) (2) (3)(4) (5)（结论：一般的三角形，一般的梯形，一般的平行四边形不是轴对称图形（可以通过折纸验证。

人教版八年级数学上册教学设计13.1 轴对称一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第一节“轴对称”是学生在学习了平面几何基本概念、性质和判定之后的内容，是初中数学中的重要内容之一。

本节内容主要让学生了解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，学会用轴对称的观点解决实际问题。

教材通过丰富的现实情境和探究活动，让学生经历从现实物体中抽象出轴对称图形的过程，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面几何的基本概念、性质和判定，具备了一定的逻辑思维和抽象思维能力。

但部分学生对抽象概念的理解和运用还有待提高，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习需求，通过具体实例和实际操作，帮助他们更好地理解和掌握轴对称的概念和性质。

三. 教学目标1.了解轴对称的概念，能识别生活中的轴对称现象。

2.掌握轴对称的性质，能运用轴对称的观点解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力和观察能力。

四. 教学重难点1.轴对称的概念和性质。

2.运用轴对称的观点解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过现实生活中的实例，引导学生认识轴对称现象。

2.探究教学法：让学生通过小组合作、讨论，发现轴对称的性质。

3.案例教学法：通过典型例题，讲解轴对称在实际问题中的应用。

4.练习法：通过适量练习，巩固学生对轴对称的理解和运用。

六. 教学准备1.准备相关的现实生活中的轴对称实例图片。

2.准备轴对称的典型例题和练习题。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些现实生活中的轴对称实例，如剪纸、衣服折叠等，引导学生发现这些实例都具有某种共同特征，从而引出轴对称的概念。

2.呈现（10分钟）展示轴对称的定义和性质，让学生通过观察和思考，发现轴对称的特点。

同时，引导学生用数学语言表述轴对称的概念和性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出生活中的一个轴对称实例，并解释其轴对称的性质。

人教版八年级上册数学第十三章《轴对称》全章教学设计13.1.1 轴对称在本节中，我们将研究轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念。

我们需要了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴和对应点，以及线段垂直平分线的概念。

此外，我们还将理解和掌握轴对称的性质。

在作品展示环节，我们可以让部分学生展示课前的剪纸作品，并进行小组活动，讨论窗花制作过程中的剪纸方法和窗花图案的共同特点。

在概念形成环节中，我们首先提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”。

然后，我们结合教材图13.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置。

学生可以举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子。

在概念形成环节的第二部分，我们观察教材中的图13.1-3，思考每对图形共同的特点，并给出两个图形成轴对称的定义。

我们可以举例，讨论轴对称图形和两个图形成轴对称的区别。

在概念形成环节的第三部分，我们观察教材中图13.1-4，引导学生发现线段AA′与直线MN的位置关系，并总结出对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段的规律。

在这个基础上，我们给出线段的垂直平分线的概念，并把上述规律概括成图形轴对称的性质。

此外，我们还讨论了类似的，轴对称图形的对称轴是任何一个对应点所连线段的垂直平分线。

你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出。

因此，我们需要找出原命题的条件和结论，然后将其写成“如果…那么…”的形式。

我们鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是：“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是：“这个点与这条线段两个端点的距离相等”。

此时，逆命题就很容易写出来。

“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。

八年级数学上册第十三章《轴对称》备课教案13.1.1 轴对称第1课时教学目标1、通过丰富的实例认识轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴．2、了解轴对称图形、两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别．3、经历丰富材料的学习过程，发展对图形的观察、分析、判断、等能力．4、体验数学与生活的联系、发展审美观．教学重难点重点：轴对称的有关概念；难点：轴对称图形与两个图形关于某条直线对称这两个概念之间的联系与区别．教学过程一、创设情境,引入新课1.举实例说明对称的重要性和生活中充满着对称.2.对称给我们带来多少美的感受!初步掌握对称的奥秒,不仅可以帮助我们发现一些图形的特征,还可以使我们感受到自然界的美与和谐.3.轴对称是对称中重要的一种,让我们一起走进轴对称世界,探索它的秘密吧!二、导入新课1.观察:几幅图片(出示图片),观察它们都有些什么共同特征.①强调:对称现象无处不在,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,甚至日常生活用品,人们都可以找到对称的例子.②练习:从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子.2.观察:如图13.1.2,把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸,就剪出了美丽的窗花.你能发现它们有什么共同的特点吗?3.如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.4.动手操作:取一张质地较硬的纸,将纸对折,并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案,将纸打开后铺平,你得到两个成轴对称的图案了吗?5.归纳小结:由此我们进一步了解了轴对称图形的特征:一个图形沿一条直线折叠后,折痕两侧的图形完全重合.6.练习:你能找出它们的对称轴吗?分小组讨论.思考:大家想一想,你发现了什么?小结得出:.像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.三、随堂练习课本60页练习.四、课时小结这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,进一步探讨了轴对称的特点,区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.五、课后作业课本64页习题13.1的第1、2题.六．教学反思数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．第2课时教学目标1.了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质.2. 探索并理解线段垂直平分线的两个性质3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力逐步养成数学推理的习惯.4.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步说理和进行简单推理的能力.教学重难点重点:轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.难点: 由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述教学过程一、创设情境,引入新课1.什么样的图形是轴对称图形呢?2.轴对称图形有哪些性质,从图形中能得到结论?二、导入新课1.如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,点A'、B'、C'分别是点A、B、C对称点,线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系?为什么?(学生思考并做小范围讨论)2.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.3.画一个轴对称图形,并找出两对称点,看一下对称轴和两对称点连线的关系.4.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.5.归纳图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.下面我们来探究线段垂直平分线的性质.[探究1]如图,木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,…是L上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?证法一:利用判定两个三角形全等.如图,在△APC和△BPC中,⇒△APC≌△BPC⇒PA=PB.证法二:利用轴对称性质.由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线L对折,线段PA与PB是重合的,因此它们也是相等的.带着探究1的结论我们来看下面的问题.[探究2]如图,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?为什么?探究结论:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.三、随堂练习如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?四、课时小结这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,了解了线段的垂直平分线的有关性质,同学们应灵活运用这些性质来解决问题.五、课后作业课本65页习题13.1的第3、4题.六．教学反思本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等13.1.2线段的垂直平分线的性质教学目标知识与技能1.探索作出轴对称图形的对称轴的方法.掌握轴对称图形对称轴的作法.2.在探索的过程中,培养学生分析、归纳的能力.过程与方法1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步说理和进行简单推理的能力.情感、态度与价值观1.体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.2.会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识.【教学重难点】重点:轴对称图形对称轴的作法.难点:探索轴对称图形对称轴的作法.【教学过程】一、提出问题,引入新课1.有时我们感觉两个图形是轴对称的,如何验证呢?不折叠图形,你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗?2.轴对称图形性质.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴,是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.3.找到一对对应点,作出连结它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴了.4.问题:如何作出线段的垂直平分线?二、导入新课要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定定理,到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,又由两点确定一条直线这个公理,那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C.(如下图)求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.(3)分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线．根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．例2:如图(1),点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?已知:线段AB[如图(1)].求作:线段AB的垂直平分线.作法:如图(2)(1)分别以点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C和D两点;(2)作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.三、随堂练习如图,与图形A成轴对称的是哪个图形?画出它们的对称轴.A B C D答案:与A成轴对称的是图形D(或B).四、课时小结本节课我们探讨了尺规作图,作出线段的垂直平分线.并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法:找出轴对称图形的任意一对对应点,连接这对对应点,作出连线的垂直平分线,该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴.五、课后作业课本65页习题13.1的第5、10、11、12题.六．教学反思通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．13．2 画轴对称图形第1课时教学目标1．能够作轴对称图形；2．通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．3．能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．教学重难点重点：能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．难点：较复杂图形的轴对称图形的画法．教学过程一、问题导入我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．二、探究新知[活动] 在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．（1）认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)（2）对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？(直线l垂直平分线段PP′)[思考1] 如何画一个点的对称图形？例1 画出点A关于直线l的对称点A′.画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；(2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．[思考2] 如何画一条直线的对称图形？例2 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．画法： (1)画出点A关于直线l的对称点A′.(2)画出点B关于直线l的对称点B′.(3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．[思考3] 如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例3 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A关于直线l的对称点．(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．三、课堂练习1．教材第68页练习第1，2题2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是( )四、课堂小结几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．五．布置作业：教材习题13.2第1题．六.课后反思几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．第2课时教学目标1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．3.能够经过探索利用坐标来表示轴对称；教学重难点重点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．难点：找对称点的坐标之间的关系．教学过程一、问题导入教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？二、探究新知（1）【探究1】(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．归纳：关于x轴对称的点的坐标规律是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．（2）【探究2】在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？归纳：关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．（3）【探究3】按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？归纳：一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．三、举例分析例1：已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a，b的值．(1)A，B关于y轴对称；(2)A，B关于x轴对称；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．解析：(1)A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；(2)A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.例2：如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．四、课堂巩固教材第70页练习第1，2.3题五、课堂小结(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．(2)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)即横坐标互为相反数，纵坐标相等．六.布置作业教材习题13.2第3，4题．七：课后反思本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标．13．3.1 等腰三角形第1课时教学目标1．理解并掌握等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．教学重难点重点：等腰三角形的性质及应用．难点：等腰三角形的性质的证明．教学过程一、情境导入教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．二、探究新知（一）活动1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？1.学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.2.教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．（二）活动2：把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的1.学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．2.教师活动：引导学生归纳．性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．（三）活动3：你能用所学知识验证上述性质吗？如图，在△ABC 中，AB ＝AC.求证：∠B＝∠C.证明：作BC 边上的中线AD ，如图．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，所以△ABD≌△ACD(SSS )，所以∠B＝∠C.三、应用提高例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．1.学生活动：小组合作，分组讨论、交流．2.教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)四、课堂小结(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．五．布置作业：教材习题13.3第1，3，7题．六．课后反思本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．第2课时教学目标1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．教学重难点重点：等腰三角形的判定方法．难点：等腰三角形的判定方法的证明．教学过程一、提出问题出示教材第77页“思考”．学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？学生猜想它们所对的边相等．即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证．已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C，作△ABC 的角平分线AD.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠B ＝∠C，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD(AAS )，∴AB ＝AC.结论：归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”．三、应用举例1．出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明．学生讨论后，自己完成证明过程．例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1＝∠2，AD ∥BC.(如图所示)求证：AB ＝AC.分析：要证明AB ＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C 与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.让学生自学例3.例3 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：(1)作线段AB＝a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC＝h.(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．四、课堂小结1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题13.3第2，8，10题．六．课后反思学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．13．3.2 等边三角形第1课时教学目标1．掌握等边三角形的定义．2．理解等边三角形的性质与判定．教学重难点重点:等边三角形的性质和判定．难点:等边三角形的性质的应用．教学过程一、问题引入在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？二、自主探究1．等边三角形的定义底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形．2．思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？（1）边：三条边都相等．（2）角：三个角都相等，并且每一个角都等于60°.3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？你从中能得到什么结论？结论：三个角都相等的三角形是等边三角形．4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论还成立吗？(3)由上你可以得到什么结论？结论：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．5.小结：等边三角形的性质和判定（1）等边三角形三个角都相等，并且每一个角都等于60°（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．三、应用举例1．教材例4.例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠A＝∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形．2．归纳：在判定三角形是等边三角形时：(1)若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；(2)若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60°.四、巩固练习1.教材第80页练习第1，2题．2.补充题：（1）．如图，已知等边△ABC，点D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE ＝CF.求证：△DEF是等边三角形．（2）．如图，已知等边△ABC，点D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE.求证：BF＝EF.教师提出要求，补充题1，2可以让学生板书过程．五、总结提高小结：通过本节课的学习，你了解到了等边三角形有哪些特点？（1）等边三角形三个角都相等，并且每一个角都等于60°（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．六．布置作业：教材习题13.3第12，14题．七.课后反思教学中设计了两个问题：把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？类似地，你又能得到哪些等边三角形的判定方法？让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分讨论后概括所得结论．这既巩固应用等腰三角形的知识，又类比探索等边三角形性质定理和判定定理的方法，并使学生加深对等腰三角形与等边三角形的联系与区别的理解．。

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册第13章《轴对称》是学生学习几何知识的重要章节，主要内容包括轴对称的定义、性质、判定及其在实际问题中的应用。

本章教材通过丰富的实例，引导学生探究轴对称的规律，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二. 学情分析八年级的学生已具备一定的几何基础，对图形的变换有一定的了解。

但轴对称的概念较为抽象，学生对其理解可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动的实例和丰富的活动，帮助学生建立轴对称的概念。

三. 教学目标1.理解轴对称的定义及其性质。

2.学会判断一个图形是否为轴对称图形。

3.能够运用轴对称的知识解决实际问题。

4.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.轴对称的定义和性质。

2.判断一个图形是否为轴对称图形。

3.轴对称在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例，引导学生感受轴对称的现象。

2.合作学习法：鼓励学生分组讨论，共同探究轴对称的性质。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题，总结规律。

4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示轴对称的实例和性质。

2.练习题：准备适量练习题，巩固学生对轴对称的理解。

3.教学道具：准备一些实际物品，如卡片、纸张等，用于展示轴对称的现象。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如剪纸、折叠等，引导学生发现轴对称的现象，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）展示教材中的实例，引导学生总结轴对称的定义和性质。

如：一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能够完全重合，则这个图形关于这条直线对称。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，判断教材中的图形是否为轴对称图形。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，巩固对轴对称的理解。

教师及时批改，给予反馈。

5.拓展（10分钟）引导学生思考轴对称在实际问题中的应用，如设计图案、解决几何问题等。

13．1轴对称13．1.1轴对称1．在生活实例中认识轴对称图形．(重点)2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．(重点)3．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．(难点)一、情境导入请同学们认真观看动画片，听故事，思考最后的问题．(配合动画讲故事)故事：在小河边的花丛中，有一只美丽的蝴蝶正在采花蜜．忽然，来了一只蜻蜓在它面前飞来飞去，蝴蝶生气地说：“谁在跟我捣乱？”蜻蜓笑嘻嘻地说：“你怎么连一家人都不认识了，我是来找你玩的．”这时蝴蝶更生气了，说道：“你是蜻蜓，我是蝴蝶，我们怎么可能是一家呢？”于是，蜻蜓就落在了旁边的一片叶子上，说：“这你就不知道了吧，不仅蜻蜓、蝴蝶是一家，有些树叶，还有我们身边的很多物体都和我们是一家呢．”(播放动画)思考问题：为什么蜻蜓、蝴蝶、树叶是一家？二、合作探究探究点一：轴对称图形【类型一】轴对称图形的识别下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个解析：根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对称图形，只有(3)是轴对称图形．故选B.方法总结：要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【类型二】判断对称轴的条数下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )A ．正方形B ．等腰三角形C ．长方形D ．圆解析：A.正方形有四条对称轴；B.等腰三角形有一条对称轴；C.长方形有两条对称轴；D.圆有无数条对称轴．故选C.方法总结：判断对称轴的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏．探究点二：轴对称及轴对称图形的性质【类型一】 应用轴对称的性质求角度如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD ，其中∠BAD ＝150°，∠B ＝40°，则∠BCD 的度数是( )A ．130°B ．150°C ．40°D ．65°解析：∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD ，其中∠BAD ＝150°，∠B ＝40°，∴∠D ＝40°，∴∠BCD ＝360°－150°－40°－40°＝130°.故选A.方法总结：轴对称其实就是一种全等变换，所以轴对称往往和三角形的内角和、外角的性质综合考查．【类型二】 利用轴对称的性质求阴影部分的面积如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )A ．4cm 2B ．8cm 2C ．12cm 2D ．16cm 2解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD 面积的一半，∵正方形ABCD 的边长为4cm ，∴S 阴影＝12×42＝8(cm)2.故选B. 方法总结：正方形是轴对称图形，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键．【类型三】 用轴对称的性质证明线段之间的关系如图，O 为△ABC 内部一点，OB ＝72，P 、R 为O 分别以直线AB 、BC 为对称轴的对称点．(1)请指出当∠ABC 是什么角度时，会使得PR 的长度等于7？并完整说明PR 的长度为何在此时等于7的理由．(2)承(1)小题，请判断当∠ABC 不是你指出的角度时，PR 的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．解析：(1)连接PB 、RB ，根据轴对称的性质可得PB ＝OB ，RB ＝OB ，然后判断出点P 、B 、R 三点共线时PR ＝7，再根据平角的定义求解；(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．解：(1)如图，∠ABC ＝90°时，PR ＝7.证明如下：连接PB 、RB ，∵P 、R 为O 分别以直线AB 、BC 为对称轴的对称点，∴PB ＝OB ＝72，RB ＝OB ＝72.∵∠ABC ＝90°，∴∠ABP ＋∠CBR ＝∠ABO ＋∠CBO ＝∠ABC ＝90°，∴点P 、B 、R 三点共线，∴PR ＝2×72＝7； (2)PR 的长度小于7，理由如下：∠ABC ≠90°，则点P 、B 、R 三点不在同一直线上，∴PB ＋BR ＞PR ，∵PB ＋BR ＝2OB ＝2×72＝7，∴PR ＜7.方法总结：利用轴对称的性质可以将线段进行转化，然后结合三角形的任意两边之和大于第三边的性质予以解答，总之熟记各性质是解题的关键．【类型四】 轴对称在折叠问题中的应用如图，将长方形纸片先沿虚线AB 向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是( )解析：∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A.∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D ，排除B 与C.故选D.方法总结：对于此类问题，要充分发挥空间想象能力，或亲自动手操作答案即可呈现．三、板书设计轴对称图形1．轴对称图形的定义；2．对称轴； 3．轴对称图形的设计方法．这节课充分利用多媒体教学，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与发现，形成认识，独立获取知识和技能．另外，借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养．13．1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1．掌握线段垂直平分线的性质．(重点)2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)一、情境导入如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB 于E，量得△BDC的周长为17m，你能帮测量人员计算BC的长吗？二、合作探究探究点一：线段垂直平分线的性质【类型一】应用线段垂直平分线的性质求线段的长如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故选C.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【类型二】 线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .求证：(1)FC ＝AD ；(2)AB ＝BC ＋AD .解析：(1)根据AD ∥BC 可知∠ADC ＝∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答．(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB ＝BF 即可．证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠ECF .∵E 是CD 的中点，∴DE ＝EC .又∵∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△FCE ，∴FC ＝AD .(2)∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，AD ＝CF .∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB ＝BF ＝BC ＋CF .∵AD ＝CF ，∴AB ＝BC ＋AD .方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．【类型三】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O .(1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，且AC ＝BC ＝AD ＝BD ；(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO ＝∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．探究点二：线段垂直平分线的判定如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的关系．解析：先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，易证AD 垂直平分EF .解：AD 垂直平分EF .∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠EAD ＝∠FAD ，DE ＝DF .在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，∠AED ＝∠AFD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．三、板书设计线段的垂直平分线1．线段的垂直平分线的作法．2．线段的垂直平分线性质定理和逆定理．3．三角形三边的垂直平分线交于一点．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．第2课时 线段的垂直平分线的有关作图1．作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图．(重点)2．依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴．(重点)一、情境导入有时我们感觉两个平面图形成轴对称，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？二、合作探究探究点一：作线段的垂直平分线【类型一】 作某条线段的垂直平分线如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB 的垂直平分线)解析：本题其实就是作线段AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可．解：作法：(1)分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于E 、F 两点；(2)作直线EF ，EF 即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．方法总结：要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．【类型二】 垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合如图，已知点A 、点B 以及直线l .(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ，使PA ＝PB .(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM ＝PN ，BN ＝PM ，求证：∠MAP ＝∠NPB .解析：(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．解：(1)如图所示：(2)在△AMP 和△BNP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝PN ，PM ＝BN ，AP ＝BP ，∴△AMP ≌△PNB (SSS)，∴∠MAP ＝∠NPB .方法总结：解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．【类型三】 垂直平分线作法的应用如图，某地由于居民增多，要在公路l 边增加一个公共汽车站，A ，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?解析：作线段AB的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A，B的距离相等．解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【类型四】线段垂直平分线与角平分线作法的综合运用如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)解析：到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．解：如图，点P为所求．方法总结：通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．探究点二：对称轴的画法【类型一】画出已知图形的对称轴画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色)．解析：利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可．解：如图所示：方法总结：画轴对称图形的对称轴，先找出对称点，然后作对称点的垂直平分线即可．【类型二】补全图形，并画出对称轴如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．解析：根据轴对称的性质画出图形即可．解：如图所示：方法总结：解答此类问题，一般要先设计出轴对称图形，然后根据图形的特点，画出对称轴．三、板书设计线段的垂直平分线的有关作图1．线段垂直平分线的作法．2．作轴对称图形的对称轴的方法．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．13．2画轴对称图形第1课时画轴对称图形1．理解图形轴对称变换的性质．(难点)2．能按要求画出一个图形关于某直线对称的另一个图形．(重点)一、情境导入观察下面的图形：(1)这些图案有什么共同特点？(2)能否根据其中一部分画出整个图案？二、合作探究探究点一：轴对称变换【类型一】剪纸问题将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是( )解析：严格按照图中的顺序先向右上翻折，再向左上翻折，剪去左上角，展开得到图形B.故选B.方法总结：此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【类型二】折叠问题如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD ＝( )A．20° B．30° C．40° D．50°解析：根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE，∴∠EAD＝∠EFD＝90°.∵∠EFB＝60°，∴∠CFD＝30°，故选B.方法总结：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．探究点二：作轴对称图形【类型一】画一个图形关于已知直线对称的另一个图形画出△ABC关于直线l的对称图形．解析：分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，然后连接各点即可．解：如图所示：方法总结：我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可得到．【类型二】在方格中设计轴对称图形在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.解析：对称轴可以随意确定，根据你确定的对称轴去画另一半对称图形即可．解：如图所示：方法总结：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．【类型三】利用轴对称设计图案某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地(如下图)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形．请在下边矩形中画出你的设计方案．Ｋ解析：矩形是轴对称图形，而正方形和圆也是轴对称图形，设计出的图案只要折叠重合即可．解：如图所示：方法总结：利用轴对称可以设计出精美的图案，一个图形经过不同位置的几次变换，若再结合平移、旋转等，便可以得到非常美丽的图案．三、板书设计作轴对称图形1．如何由一个平面图形得到它的轴对称图形．2．利用轴对称设计图案．本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容．重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易上成劳技课，所以，本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识．练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展．第2课时用坐标表示轴对称1．直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征．(重点)2．直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征．(难点)一、情境导入十一黄金周，北京吸引了许多游客．一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人向小红问西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确的告诉了他．你知道为什么吗？结合老北京的地图向学生介绍：老北京城关于中轴线成轴对称设计，东直门、西直门就关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴，就可以在这个平面图上建立直角坐标系，各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来．提问：这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？二、合作探究探究点一：用坐标表示轴对称【类型一】求一个点关于坐标轴的对称点的坐标在平面直角坐标系中，与点P(2，3)关于x轴或y轴成轴对称的点是( )A．(－3，2) B．(－2，－3)C．(－3，－2) D．(－2，3)解析：点P(2，3)关于x轴对称的点的坐标为(2，－3)，关于y轴对称的点的坐标为(－2，3)，故选D.方法总结：关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【类型二】关于坐标轴对称的点与方程的综合已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值．解析：(1)根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得2a－b ＝2b －1，5＋a －a ＋b ＝0，解方程(组)即可；(2)根据关于y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得2a －b ＋2b －1＝0，5＋a ＝－a ＋b ，解方程(组)即可．解：(1)∵点A 、B 关于x 轴对称，∴2a －b ＝2b －1，5＋a －a ＋b ＝0，解得a ＝－8，b＝－5；(2)∵A 、B 关于y 轴对称，∴2a －b ＋2b －1＝0，5＋a ＝－a ＋b ，解得a ＝－1，b ＝3，∴(4a ＋b )2016＝1.方法总结：根据关于x 轴、y 轴对称的点的特征列方程(组)求解．【类型三】 关于坐标轴对称的点与不等式(组)的综合已知点P (a ＋1，2a －1)关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．解析：点P (a ＋1，2a －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则点P (a ＋1，2a －1)在第四象限．解：依题意得P点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，2a －1<0，解得－1＜a ＜12，即a 的取值范围是－1＜a ＜12. 方法总结：根据点的坐标关于坐标轴对称，判断出对称点所在的象限，由各象限内坐标的符号，列不等式(组)求解．探究点二：作关于坐标轴对称的图形【类型一】 作关于x 轴或y 轴对称的图形在平面直角坐标系中，已知点A (－3，1)，B (－1，0)，C (－2，－1)，请在图中画出△ABC ，并画出与△ABC 关于y 轴对称的图形．解析：作出A ，B ，C 三点关于y 轴的对称点，顺次连接各点即可．解：如图所示，△DEF 是△ABC 关于y 轴对称的图形．方法总结：在坐标系中作出关于坐标轴的对称点，然后顺次连接，此类问题一般比较简单．【类型二】 与对称点有关的综合题如图，在10×10的正方形网格中，每个小方格的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点在格点上．(1)若以点B 为原点，线段BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，画出四边形ABCD关于y 轴对称的四边形A 1B 1C 1D 1；(2)点D 1的坐标是________；(3)求四边形ABCD 的面积．解析：(1)以点B 为原点，线段BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，然后作出各点关于y 轴对称的点，顺次连接即可；(2)根据直角坐标系的特点，写出点D 1的坐标；(3)把四边形ABCD 分解为两个直角三角形，求出面积．解：(1)如图所示；(2)点D 1的坐标为(－1，1)；(3)四边形ABCD 的面积为12×1×3＋12×1×2＝52. 方法总结：轴对称变换作图，基本作法是：(1)先确定图形的关键点；(2)利用轴对称性质作出关键点的对称点；(3)按原图形中的方式顺次连接对称点．求多边形的面积可将多边形转化为规则图形的面积的和或差求解．三、板书设计用坐标表示轴对称1．直角坐标系中关于x 轴、y 轴对称的点的特征．2．直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征．从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等．调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用．课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度．13．3 等腰三角形13．3.1 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质1．理解并掌握等腰三角形的性质．(重点)2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)一、情境导入探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？二、合作探究探究点一：等腰三角形的概念【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A．9cm B．12cmC．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．探究点二：等腰三角形的性质【类型一】利用“等边对等角”求角度等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】利用方程思想求等腰三角形角的度数如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．解析：设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明如图，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG －DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC . 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥。

第十三章 轴对称 章末复习一、思维导图二、典型例题例1 把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是( )【知识点】轴对称图形的知识【思路点拨】本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力，实际动手操作（折纸或者将图③按轴对称补全），可得到正确结论.故选C . 【解题过程】按图实际动手操作，可得到正确结论. 【答案】C例2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，△BCE 的周图3长为8cm ，且AC －BC=2cm ，求AB ，BC 的长.【知识点】线段垂直平分线的性质 【数学思想】方程思想【思路点拨】由题意知，DE 是线段AB 的垂直平分线，由其性质知BE =AE ，从而得AC +BC =8，又AC -BC =2，即得到关于AC 、BC 的方程组，则易解出. 【解题过程】∵DE ⊥AB ，D 为AB 中点，∴DE 垂直平分AB ，∴BE =AE ， ∵BC +BE +EC =8，∴BC +AE +EC =8，即BC +AC =8，又∵AC －BC =2，∴8,2,BC AC AC BC +=⎧⎨-=⎩ 解得5,3.AC BC =⎧⎨=⎩∵AB =AC ， ∴AB =5(cm )，BC =3(cm ). 【答案】AB =5(cm )，BC =3(cm ).例3 已知，点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB =OC . ⑴如图1，若点O 在BC 上，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，求证：AB =AC ；⑵如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB =AC ； ⑶若点O 在△ABC 的外部，AB =AC 成立吗？请画图表示.图2图1【知识点】等腰(等边)三角形的性质与判定【思路点拨】证明两条线段相等或者两个角相等，都可联想到证明两个三角形全等或等腰三角形.⑴因为AB 、AC 在同一个三角形中，所以考虑证明等腰三角形，从而去找角等，即∠B =∠C ，通过HL 得到三角形全等解决；⑵可类比⑴问求证；⑶由题意知OE =OF ，OB =OC ，所以作图时应使∠A 的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合；还要分别考虑点O 在△ABC 的内部和外部.【解题过程】⑴如图1，∵OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，∴∠OEB= ∠OFC=90°，又由题意知OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC⑵如图3，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE=∠OCF，又由OB=OC 知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC⑶不一定成立. (注:由题意OE=OF，OB=OC，只有当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时：如图①②，有AB=AC成立;否则，AB≠AC，如图③④⑤⑥)图②图①图⑥图⑤图④三、章末检测题《轴对称》章末检测题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题4分，共48分)1. 下列图形一定是轴对称图形的是( )A.平行四边形B.正方形C..三角形D.梯形【知识点】轴对称图形定义【思路点拨】所学的平面几何图形中，常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、菱形、等腰梯形、圆等.【解题过程】选项A平行四边形不一定是轴对称图形;选项B正方形一定是轴对称图形，并且是四条对称轴;选项C三角形不一定是轴对称图形;选项D梯形不一定是轴对称图形.【答案】B2.已知A、B两点的坐标分别是(-2，3)和(2，3)，则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】用坐标表示轴对称【数学思想】数形结合【思路点拨】由平面直角坐标系中点坐标的对称规律或直接在平面直角坐标系标出点观察即可.【解题过程】由平面直角坐标系中点坐标的对称规律可得，点A关于x轴对称坐标的是(-2，-3); 点A关于y轴对称的坐标是(2，3); 点A关于原点对称的坐标是(2，-3)；因为A、B有相同的纵坐标，所以AB∥x轴，A、B之间的距离为｜x A-x B｜=4.【答案】B3.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角为（）A.40°B.50°C.60°D.70°【知识点】等腰三角形的性质【思路点拨】因为等腰三角形的中，顶角+2倍底角=180°，所以只要知道顶角或者底角一个值，可以求出其余两个值.【解题过程】∵等腰三角形的顶角为40°，∴它的底角=（180°－顶角）÷2=（180°－40°）÷2=70°【答案】D4.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为( )A.68°B.32°C.22°D.16°【知识点】平行线的性质、等腰三角形的性质【思路点拨】在等腰三角形中“知一角可求其余两角”，可求出∠C得度数；再用“两直线平行，内错角相等”得出∠B=∠C.【解题过程】∵CD=CE，∴∠D=∠CED=74°，∴∠C=180°-74°×2=180°-148°=32°，又∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°【答案】B5.等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶角顶点的坐标，能确定的是()A.横坐标B. 横坐标及纵坐标C.纵坐标D. 横坐标或纵坐标【知识点】用坐标表示轴对称、等腰三角形的性质【数学思想】数形结合【思路点拨】因为等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线，所以其顶角顶点在底边的垂直平分线上，此垂直平分线上所有点的横坐标都是2. 所以等腰三角形ABC的顶角顶点的横坐标为x=2，纵坐标取y≠0的任意值.【解题过程】由题意得等腰三角形ABC的顶角顶点的横坐标为坐标取y≠0的任意值.【答案】A6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为()A. 30°B. 150°C. 30°或150°D.60°【知识点】等腰三角形的性质【数学思想】分类讨论【思路点拨】由“腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°”可想到此等腰三角形为锐角等腰三角形或者为钝角等腰三角形，画出图形即可求解.【解题过程】①当等腰三角形为锐角等腰三角形，如图1，由题可知在Rt△ADC 中，∠ADC=90°，∠ACD=60°，∴Rt△ADC中∠A=30°.②当等腰三角形为钝角等腰三角形，如图2，由题可知在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴Rt△AEC中∠EAC=30°，∴∠BAC=180°-30°=150°.【答案】C7.等腰三角形底边长6cm ，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm ，则腰长为( )A.4cmB. 8cmC. 4cm 或8cmD. 以上都不对【知识点】等腰三角形的性质、中线的性质 【数学思想】分类讨论，数形结合，方程思想【思路点拨】要考虑“腰比底长” 和“腰比底短”两种情况；由题意结合图形它的周长分成两部分的差为2cm ”实质为“腰－底=2”或者“底－腰=2”. 【解题过程】设腰长为xcm ，根据题意得：x -6=2或6-x =2，解得：x =8或x =4，∴腰长为：4cm 或8cm ． 【答案】C8.下列说法中正确的是( ) A.关于某直线对称的两个三角形是全等的 B.全等三角形是关于某直线对称的C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.若点A 、B 关于直线MN 对称，则线段AB 垂直平分MN 【知识点】轴对称的知识【思路点拨】根据轴对称的性质可以判断【解题过程】因为关于某直线对称的两个图形既要满足特殊的位置关系还要满足大小关系，所以关于某直线对称的两个三角形是全等的，但两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故A 对B 错；两个图形关于某直线对称，它们可以与对称轴有交点，所以这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，C 错；D 应为若点A 、B 关于直线MN 对称，则MN 垂直平分线段AB .【答案】A9.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=4，则CE的长为()A.10B.8C.5D.2.5【知识点】含30°角的直角三角形的性质【思路点拨】由垂直平分线易证△EBC为等腰三角形，再由“含30°角的直角三角形的性质”即可求.【解题过程】由题意知，DE是线段BC的垂直平分线，由其性质知EB=EC，∴∠ECD=∠B=30°，∴在【答案】B10.如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论不一定成立的是()A. △ABD≌△ACDB. AF垂直平分EGC. 直线BG，CE的交点在AF上D. △DEG是等边三角形【知识点】轴对称的知识【思路点拨】根据轴对称的性质可以判断【解题过程】由轴对称的性质可得选项A、B、C正确，△DEG是等腰三角形，不一定是等边三角形.【答案】D11.如图所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为()A.60°B.40°C.80°D.100°【知识点】轴对称的知识、三角形内角和定理【思路点拨】利用轴对称的知识将两个已知的角度转化到一个三角形中.【解题过程】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠A′=∠A=60°，∠C′=∠C=40°，∠B′=180°-∠A′-∠C′=80°，∴∠B=∠B′=80°【答案】C12.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【知识点】轴对称的知识，等边三角形的判定【思路点拨】如图，根据轴对称的性质可求得∠P1OP2=2∠AOB=60°，OP1 = OP =O P2，所以△P1OP2为等边三角形.【解题过程】如图，∵点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，∠AOB=∠2+∠3. 又根据轴对称的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，OP1 = OP =O P2，∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AOB=2×30°=60°. ∴△P1OP2为等边三角形2【答案】D二、填空题(每小题4分，共24分)13.已知点P(3，-1)关于y轴的对称点Q的坐标为(a+b，1-b)，则a b的值为.【知识点】用坐标表示轴对称【数学思想】方程思想【思路点拨】关于y 轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.【解题过程】由题意得 ∴∴a b =(-5)2=25.【答案】2514.如图所示，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠B = .【知识点】轴对称的知识、三角形内角和定理（或四边形内角和360°） 【思路点拨】 将已知角度和未知角度转化到一个三角形中（或一个四边形中）. 【解题过程】∵MF ∥AD ，∴∠BMF =∠A =100°，∵FN ∥DC ，∴∠BNF =∠C =70°， 由翻折可得，△BMN ≌△FMN ，∠BMN =21×100°=50°，∠BNM =21×70°=35°， ∴∠B =180°-50°-35°=95°（在四边形BNFM 中，∠BMF =100°，∠BNF =70°， ∠F =∠B ）【答案】∠B =95°15.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，如果MB +CN =6，那么线段MN 的长为 .【知识点】等腰三角形的判定、角平分线的定义【思路点拨】∠ABC 和∠ACB 的由角平分线和MN ∥BC 可得出∠EBC=∠MEB ，∠NEC=∠ECB ，即△BME 和△CNE 为等腰三角形，MN=ME+EN=BM+CN . 【解题过程】∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE=∠EBC ，∠ECN=∠ECB . ∵MN ∥BC ，∴∠EBC=∠MEB ，∠NEC=∠ECB ，∴BM=ME ，EN=CN. 又∵MN=ME+EN ，∴MN=BM+CN ．∵BM+CN=6 ∴MN=6，【答案】616.如图，在Rt△ABC中，D、E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE=.【知识点】等腰三角形的性质、三角形内角和定理【数学思想】方程思想【思路点拨】△CDE中∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，而利用等腰三角形的“等边对等角”将其转化为∠ACB+2∠DCE=180°是本题解决的关键.【解题过程】∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC.又∵∠CDE+∠CED=∠BCD+∠ACE=∠ACB+∠DCE. ∴在△CDE中，∠CDE+ ∠CED+∠DCE=90°+2∠DCE=180°，∴∠DCE=45°.【答案】45°17.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为13，BC=6，则AB的长为.【知识点】线段垂直平分线的性质【数学思想】方程思想【思路点拨】由题意知，DE是线段AB的垂直平分线，由其性质知AE = BE，从而得AC+BC=13，又BC=6，即得到关于AC的方程，则易解出.【解题过程】∵DE⊥AB，D为AB中点，∴DE垂直平分AB，∴BE=AE，∵BC+BE+EC=13，∴BC+AE+EC=13，即BC+AC=13. 又∵BC=6，∴6+AC=13，∴AC=7【答案】718.如图，A（2，-1）为平面直角坐标系内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 共有个.x【知识点】等腰三角形的知识【数学思想】数形结合、分类讨论【思路点拨】“以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形”应考虑分为三类：①当∠O为顶角，OP=OA；②当∠A为顶角，AO=AP；③当∠P为顶角，PO=P A. 【解题过程】如图①当∠O为顶角，OA=OP时：以O为圆心，OA长为半径作圆，交x轴于点P1，P2；②当∠A为顶角，AO=AP时：以A为圆心，AO长为半径作圆，交x轴于点P3；③当∠P为顶角，PO=P A时：作线段OA的垂直平分线，交x轴于点P4.x【答案】4三、解答题(每小题7分，共14分)19. 如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形（至少画出两种）．【知识点】轴对称图形的定义【思路点拨】题目要求在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，所以关键是观察此图中已有的“轴对称部分”就要着重画图中余下那一个（或那两个）小正方形的轴对称图形．【解题过程】有多种画法，答案不唯一，根据轴对称图形的定义，有多种画法，题目要求在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.【答案】参考图如下图：20.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E、F分别是AB、AC的延长线上的点，且BE=CF.求证：DE=DF.【知识点】等腰三角形的性质、全的三角形的判定【思路点拨】因为DE、DF在两个不同的三角形中，要证明“DE=DF”只需证明△ADE≌△ADF即可.【解题过程】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠DAE=∠DAF. 又∵BE=CF，∴AB+BE=AC+CF，∴AE=AF. ∵在△ADE和△ADF中，AE= AF，∠EAD=∠F AD，AD=AD，∴△ADE≌△ADF(SAS) ，∴DE=DF.四、解答题(每小题10分，共40分)21.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.【知识点】等腰三角形的性质【思路点拨】作底边上的高，是等腰三角形的常用辅助线.【解题过程】方法一：过点A作AF⊥BC，垂足为F∵ AB =AC ，AD =AE ，∴ DF =EF ，BF =CF ∴ BF -DF =CF -EF 即 BD =CE方法二：不添加辅助线，利用等腰三角形的性质和三角形的外角定理得到角等，再证明△ABD ≌△ACE (略).22.如图，在△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，D 在BA 延长线上，且AD =AE ，连接DE . 求证：DE ⊥BC.【知识点】等腰三角形的性质【思路点拨】需求证“DE ⊥BC ”，但DE 与BC 不相交，所以易想到 延长DE 交BC 于F ，从而转化为求∠DFB =90°或∠DFC =90°.【解题过程】延长DE 交BC 于F ，∵AD =AE ，∴∠D =∠AED ，∴∠BAC =∠D +∠AED =2∠D . ∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ，∵∠B +∠C +∠BAC =180°， ∴2(∠B +∠D )=180°. ∴∠B +∠D =90°，∴∠DFB=90°， ∴DE ⊥BC .23.如图，△ABC 为等边三角形，P 为BC 上一点，△APQ 为等边三角形.(1)求证：AB ∥CQ ；(2)是否存在点P ，使得AQ ⊥CQ ？若存在，指出点P 的位置；若不存在，请说明理由.【知识点】等边三角形的性质、平行线的判定、全等三角形的判定【思路点拨】(1)△ACQ可以看做由△ABP绕点A旋转得到，从而易得到三角形全，继而得到角的相等，再证得线平行；(2) 特殊三角形中的“动点问题”，常常从特殊点、特殊位置去探索.【解题过程】(1)∵△ABC、△APQ均为等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠P AQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠B=∠ACQ =60°，∴∠ACQ=∠BAC，∴AB∥CQ.(2)存在，当点P为BC的中点时，AQ⊥CQ. 理由如下：∵点P为BC的中点，∴∠CAP=30°.又△APQ为等边三角形，∴∠CAQ=30°. 由(1)知∠ACQ=60°，∴∠AQC=90°，即AQ⊥CQ24.如图，在△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB=60°，E是AD上的一点，且DE=DB.求证：AE=BE+BC【知识点】等腰（等边）三角形的性质和判定、三角形全等的判定【思路点拨】证明“线段和差”的几何命题，常常采用“截长补短”的方法【解题过程】法一:如图1，延长DC到F，使CF=BD，连接AF.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACF，∵BD=CF，∴△ABD≌△ACF，∴∠F=∠D=60°，AD=AF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=DF，∵DE=DB，∴△DBE是等边三角形，∴DE=DB=BE，∴AE=BF，∵BF=BC+CF=BC+BE，∴AE=BE+BC.法二：如图2，延长EB 到P ，使BP =BC ，连接AP 、CP .∵∠ADB =60°，DE =DB ，∴△DBE 为等边三角形，∴∠PBC =∠EBD =60°，又BP =BC ，∴△BPC 为等边三角形，∴PB =PC ，又AB =AC ，AP =AP ，∴△ABP ≌△ACP ，∴∠BP A =∠CP A =21∠BPC =30°，∴∠EAP =∠DEB -∠BP A =60°-30°=30°， ∴∠BP A =∠EAP ， ∴AE =PE =BE +BP =BE +BC .法三：如图3，作AH ⊥BC 于H ，则易得∠DAH =30°，则有AD =2DH ，AE +DE =2DB +2BH ，易知△DBE 是等边三角形，故DB =DE =BE ，而AB =AC ，故2BH =BC ，∴AE =DB +BC =BE +BC.图3图2图1五、解答题(每小题12分，共24分)25.如图所示，∠ABC =90°，AB =BC ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，CD ⊥AE 交AE 的延长线于D . 求证:CD =21AE .【知识点】等腰三角形的性质、角平分线的性质【思路点拨】由“AE 平分∠BAC 交BC 于E ，CD ⊥AE ”易联想到等腰三角形的“三线合一”，故延长AB 交CD 的延长线于F ，即可证明.【解题过程】方法一：如图，延长AB 交CD 的延长线于F .∵∠ABC =90°，∴∠ABE =∠CBF =90°，又∵CD ⊥AE ，∴∠BCF +∠F =90°，∠BAE +∠F =90°， ∴∠BCF =∠BAE ，又∵AB =BC ，∴△ABE ≌△CBF ，∴AE =CF ，又∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAD =∠F AD ，又∵AD ⊥CF ，∴∠ACD+∠CAD =∠AFD +∠F AD =90°，∴∠ACD =∠AFD ，∴AC =AF ，∴CD =DF ，∴CD =21CF ，∴CD =21AE . 方法二：同方法一，先证明△ABE ≌△CBF ，得AE =CF . 又∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAD =∠F AD ，又∵AD =AD ，∠ADC =∠ADF =90°，∴△ADC ≌△ADF ，∴CD =DF ，∴CD =21CF ，∴CD =21AE .26.如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =110°，∠BOC =α . 将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD .⑴求证：△COD 是等边三角形；⑵当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； ⑶探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？【知识点】等腰（等边）三角形的性质和判定、三角形内角和定理【数学思想】分类讨论、方程思想【思路点拨】 ⑴等边三角形的判定方法；⑵判断“三角形的形状”，主要类型有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形；⑶△AOD 是等腰三角形应分类考虑：①AO =AD ；②OA =OD ；③OD =AD .【解题过程】⑴证明：∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ∴CO=CD ，∠OCD =60°， ∴△COD 是等边三角形⑵解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形. 理由如下：∵由题意得△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形(3)解：∵∠AOB=110°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°－110°－α=250°－α又∵△COD是等边三角形，∴∠ COD=∠ODC =60°，∴∠AOD=250°－α－60° =190°-α，∠ADO=α-60°①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO.∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=50°，∴α-60°=50°，∴α=110°.③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°-α=50°，∴α=140°.综上所述:当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.。