最新苏教版七年级数学下第八章知识点及练习题资料讲解

七年级下册数学第八章知识点总结七年级下册数学的第八章主要讲了有关代数的知识，包括如何
使用字母表示数，如何进行代数运算以及如何解代数方程式等内容。

下面我们就将这些知识点进行总结和介绍。

一、用字母表示数
我们常用字母如x、y、z等来表示数，x、y、z等字母称为未
知数或变量，这些未知数可以表示整数、小数，也可以表示分数、负数等。

了解这些未知数的性质是进行代数运算的基础，因此十
分重要。

二、代数运算
1.加减法
当我们进行加减法时，需要注意的是要将同类项合并后再进行
计算。

同类项指字母相同、指数相同的代数式。

2.乘法
在进行代数式的乘法时，需要注意分配率和交换率。

分配率指：a(b+c)=ab+ac。

交换率指：ab=ba。

3.除法
当进行代数式的除法时，需要用到约分法则，如分数的约分法、多项式的因式分解等知识。

三、代数方程式
代数方程式是指含有未知数的等式。

我们可以利用代数运算的
知识求解方程式，其中常用的方法有：
1.移项法：将某一项移到等号另一边进行变形化简。

2.因式分解法：将含有未知数的多项式进行因式分解，进而求
得未知数的值。

3.配方法：对于类似于ax²+bx+c=0这样的方程，我们可以通过配方法来求解。

以上三个方法是解代数方程式时最常用的方法，同时，我们还可以采用检验法检验方程式的解是否正确。

总之，掌握代数的知识对我们在今后的数学学习过程中及实际生活中具有重要的意义。

希望学生们在接下来的学习中，能够认真掌握这些知识，创造学习的佳绩。

七年级下第八章知识点七年级下的第八章知识点主要包括三个部分：数学中的平面图形、物理中的静电学、地理中的洋流。

1. 数学中的平面图形在这一章，我们将学习到平面图形的相关概念和性质。

平面图形包括了以下几种形状：三角形、四边形、多边形、圆形等。

每种图形都有自己的特点和性质，比如三角形有三个内角、四边形有四个内角等。

我们要了解每种图形的性质，才能更好地求解其中的问题。

除了图形的性质，我们还需要学习如何计算图形的周长和面积。

周长指的是图形的边界长度，而面积则是指图形包含的平面总面积。

对于不同的图形，周长和面积的计算方法也不相同。

我们需要掌握这些方法，以便能够在实际问题中运用。

2. 物理中的静电学静电学是物理学的一个重要分支，研究电荷之间的相互作用以及与电场的关系。

在这一章中，我们将学习到电荷的基本性质、电场的概念，以及电荷在电场中的运动规律。

电荷是物质的一种基本属性，存在于原子核和电子中。

电荷带有正负号，同性相斥，异性相吸。

电场则是由电荷形成的空间中的一种物理量，可以产生力的作用。

掌握电荷和电场的基本概念，对于理解电学问题非常重要。

在学习静电学的同时，我们还需要学会如何使用电表测量电量和电压，并掌握一些安全用电的基本知识。

这些知识在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用。

3. 地理中的洋流地理学是一门研究地球及其各种自然现象的学科，其中洋流是地球上重要的自然现象之一。

在这一章中，我们将学习到洋流的形成原因、种类以及对人类生产和生活的影响。

洋流是海洋中流动的大规模水体运动，通常由风力、地球自转和海底地形等多种因素共同作用所形成。

洋流的种类包括暖洋流、寒洋流等。

这些洋流对海洋生态环境和全球呼吸作用等具有重要的影响。

除了洋流，我们还需要学习一些其他与地理相关的知识，比如地球的结构、自然资源等。

这些知识将帮助我们更好地理解地球的运行规律和地球上的各种自然现象。

总之，七年级下的第八章知识点贯穿多个学科，是我们的基础必修知识。

一、选择题1．若12x y =⎧⎨=-⎩是方程3x+by ＝1的解，则b 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．2A解析：A【分析】把方程的解代入方程，解方程求出b 的值即可．【详解】 把12x y =⎧⎨=-⎩代入方程3x ＋by ＝1，得3−2b ＝1， 所以−2b ＝−2，所以b ＝1．故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解和解方程，掌握方程解的意义是解决本题的关键．2．已知代数式x a ﹣b y 2与xy 2a +b 是同类项，则a 与b 的值分别是（ ）A ．a ＝0，b ＝1B ．a ＝2，b ＝1C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝0，b ＝2C 解析：C【分析】根据同类项的定义可得关于a 、b 的方程组，解方程组即得答案．【详解】解：由同类项的定义，得122a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得：10a b =⎧⎨=⎩． 故选：C ．【点睛】本题考查了同类项的定义和二元一次方程组的解法，属于基本题目，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键．3．若a 为方程250x x +-=的解，则22015a a ++的值为（ ）A ．2010B ．2020C ．2025D ．2019B 解析：B【分析】先根据a 为方程250x x +-=的解得到25a a +=，然后整体代入即可解答．【详解】解：∵a 为方程250x x +-=的解∴250a a +-=，即25a a +=∴22015a a ++=5+2015=2020．故答案为B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和整体法的应用，正确理解并灵活应用一元二次方程的解解答问题是解答本题的关键．4．两位同学在解方程组时，甲同学由278ax by x cx y +=⎧⎨-=⎩正确地解出32x y =⎧⎨=-⎩，乙同学因把C 写错了解得22x y =-⎧⎨=⎩，那么a 、b 、c 的正确的值应为 A ．452a b c ===-，， B ．451a b c ===-，，C ．450a b c =-=-=，，D ．452a b c =-=-=，， A解析：A【分析】 把32x y =⎧⎨=-⎩代入278ax by x cx y +=⎧⎨-=⎩得，3223148a b c -=⎧⎨+=⎩由方程组中第二个式子可得：c=-2．用排除法，可以直接解答.【详解】解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入278ax by x cx y +=⎧⎨-=⎩得： 3223148a b c -=⎧⎨+=⎩①②， 由②得：c 2=-，四个选项中行只有A 符合条件．故选择：A.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，做这类题目时要用代入法或排除法，这样可以提高做题效率．5．已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ） A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．14m ,n 33==-D ．14,33m n =-= A 解析：A【分析】根据二元一次方程的概念列出关于m 、n 的方程组，解之即可．【详解】∵关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程， ∴22111m n m n --=⎧⎨++=⎩即230m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得：11m n =⎧⎨=-⎩， 故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，理解二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．6．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）A ．253x y x y -=+B ．x+y=1C ．2115x y =+D ．3x+1=2xy B 解析：B【解析】根据二元一次方程的定义对四个选项进行逐一分析．解：A 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；B 、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，故本选项正确；C 、D 、含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故本选项错误． 故选B ．7．方程组5213310x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ） A ．31x y =⎧⎨=-⎩ B ．13x y =-⎧⎨=⎩ C ．31x y =-⎧⎨=-⎩ D ．13x y =-⎧⎨=-⎩A 解析：A【分析】利用代入消元法即可求解．【详解】解：5213310x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， 由②得：310y x =-③，把③代入②可得：()5231013x x +-=，解得3x =，把3x =代入③得1y =-，故方程组的解为31x y =⎧⎨=-⎩， 故选：A ．【点睛】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的特点选择合适的求解方法是解题的关键． 8．4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x 吨货，每辆卡车每次能运y 吨货，则可列方程组（ ）A ．452710320x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．452710320x y x y -=⎧⎨+=⎩C ．452710320x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．427510203x y x y -=⎧⎨-=⎩C 解析：C【分析】根据等量关系式“①4辆板车运货量+5辆卡车运货量=27吨；②10辆板车运货量+3辆卡车运货量=20吨”根据相等关系就可设未知数列出方程．【详解】解：根据4辆板车运货量+5辆卡车运货量=27吨，得方程4x+5y=27；根据10辆板车运货量+3辆卡车运货量=20吨，得方程10x+3y=20．可列方程组为452710320x y x y +⎧⎨+⎩＝＝． 故选：C ．【点睛】由关键性词语“4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货”，“10辆板车和3车卡车一次能运货20吨”，找到等量关系是解决本题的关键．9．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）．A ．324x y z -=B ．690+=xC ．42x y =-D ．123y x += C 解析：C【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答.【详解】A 、含有三个未知数，不符合；B 、是一元一次方程，不符合；C 、符合；D 、含有分式，不符合；故选：C.【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记该方程的特点是解题的关键.10．下列说法正确的是（ ）A ．二元一次方程2317x y +=的正整数解有2组B ．若52x y =⎧⎨=⎩是232x y k -=的一组解，则k 的值是12 C ．方程组23321y x x y =-⎧⎨+=⎩的解是11x y =⎧⎨=-⎩D ．若3m n x +与22112m x y --是同类项，则2m =，1n = C 解析：C【分析】求出方程的特殊解即可判断A ；代入得到关于k 的方程，求出即可；代入求出x ，把x 的值代入求出y 即可；根据同类项的定义求出即可．【详解】A 、1732y x -=，当y=1时，x=7，当y=3时，x=4，当y=5时，x=1，正整数解有3个，故本选项错误；B 、把x=5，y=2代入方程得：10-6=2k ，∴k=2，故本选项错误；C 、利用代入法解方程组得得：x=1，y=-1，故本选项正确；D 、根据同类项的定义得到m+n=2，2m-1=0，解得：12m =，32n =，故本选项错误． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了同类项的概念，二元一次方程以及解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键． 二、填空题11．金秋十月，丹桂飘香，重庆市綦江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中购买无人机模型的费用是_______．4125元【分析】设无人机组有x 个同学航空组有y 个同学根据人数为18列出二元一次方程根据航空组的同学不少于5人但不超过9人得到xy 的解再代入模型费用进行验证即可求解【详解】设无人机组有x 个同学航空组解析：4125元．【分析】设无人机组有x 个同学，航空组有y 个同学，根据人数为18列出二元一次方程，根据航空组的同学不少于5人但不超过9人，得到x,y 的解，再代入模型费用进行验证即可求解．【详解】设无人机组有x 个同学，航空组有y 个同学，则航海组有(2x-3)个同学，依题意得x+2x-3+y=18，解得x=21=733y y --， ∵航空组的同学不少于5人但不超过9人，x ，y 为正整数，y 为3的倍数，故方程的解为，56x y =⎧⎨=⎩，49x y =⎧⎨=⎩， 设为无人机组的每位同学购买a 个无人机模型，当56x y =⎧⎨=⎩时，依题意得5a×165+2×7×75+6×3×98=6939 解得a=4125=5825，符合题意，故购买无人机模型的费用是4125元； 当49x y =⎧⎨=⎩时，依题意得4a×165+2×5×75+9×3×98=6939 解得a=3543660，不符合题意； 综上，答案为4125元．故答案为：4125元．【点睛】 此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，再分类讨论进行求解．12．甲、乙两筐苹果各有若干千克，从甲筐拿出20%到乙筐后，又从乙筐拿出25%到甲筐，这时甲、乙两筐苹果的质量相等，则原来乙筐的苹果质量是甲筐的__________ % ．140【分析】设甲乙两筐苹果各有先求出从甲筐拿出20到乙筐后甲乙两筐分别为再求出从乙筐拿出25到甲筐后甲乙两筐分别为：列方程求出x 与y 的关系即可【详解】设甲乙两筐苹果各有从甲筐拿出20到乙筐后甲乙两 解析：140【分析】设甲、乙两筐苹果各有x 、kg y ，先求出从甲筐拿出20%到乙筐后，甲、乙两筐分别为80%x ，20%y x +，再求出从乙筐拿出25%到甲筐后，甲、乙两筐分别为：171204x y +，33420y x +，列方程17133204420x y y x +=+，求出x 与y 的关系即可． 【详解】设甲、乙两筐苹果各有x 、kg y ，从甲筐拿出20%到乙筐后，甲、乙两筐分别为80%x ，20%y x +，从乙筐拿出25%到甲筐后，甲、乙两筐分别为：()17180%25%20%204x y x x y +⨯+=+， ()3375%20%420y x y x ⨯+=+， 由题可得：17133204420x y y x +=+，解得75y x =， 75y x =， 则原来乙筐苹果质量为甲筐的：7100%100%140%5y x ⨯=⨯=． 故答案为：140．【点睛】 本题考查循环倒液类型问题，掌握循环倒液类型问题的解法，抓住经过两次循环两者质量相等构造等式（或方程）解决问题是关键．13．如图，已知∠AOE ＝100°，∠DOF ＝80°，OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC ，求∠EOF 的度数． 【分析】由OE 平分∠DOCOF 平分∠AOC 则设∠DOE=∠EOC=x ∠COF=∠FOA=y 得出∠AOE=2y+x=100°∠DOF=2x+y=80°然后列二元一次方程组求出xy 最后根据∠EOF=∠E解析：60【分析】 由OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC ，则设∠DOE=∠EOC=x ，∠COF=∠FOA=y ，得出∠AOE=2y+x=100°，∠DOF=2x+y=80°，然后列二元一次方程组求出x 、y ，最后根据∠EOF=∠EOC+∠COF 解答即可．【详解】解：设∠DOE=∠EOC=x ，∠COF=∠FOA=y则2100280y x x y +=⎧⎨+=⎩，解得2040x y ⎧=⎨=⎩ ∴∠EOF=∠EOC+∠COF=x+y=60．故答案为60．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、二元一次方程组的应用以及角的和差的相关知识，根据题意列出二元一次方程组并求解是解答本题的关键．14．据人口抽样调查，2019年末太原市常住人口446.19万人，比上年末增加4.04万人．其中城镇人口比上年增加1.36%，乡村人口比上年减少1.57%．若设2018年末太原市常住人口中城镇人口有x 万人，乡村人口有y 万人，则根据题意列出的方程组为_____________【分析】首先弄清题意分析出题目中的两个等量关系再用相应的代数式表示数量列出方程组【详解】解：根据题意得：题目中的等量关系有：（1）2018年城镇人口＋2018年乡村人口＝2019年末太原市常住人口－解析：446.19 4.041 1.36%1 1.57%446.19x y x y +=-⎧⎨++-=⎩ 【分析】首先弄清题意，分析出题目中的两个等量关系，再用相应的代数式表示数量，列出方程组．【详解】解：根据题意得：题目中的等量关系有：（1）2018年城镇人口＋2018年乡村人口＝2019年末太原市常住人口－4.04；（2）2019年末太原市城镇人口＋2019年末太原市乡村人口＝446.19．若设2018年末太原市常住人口中城镇人口有x 万人，乡村人口有y 万人，则根据题意列出的方程组为：446.19 4.041 1.36%1 1.57%446.19x y x y +=-⎧⎨++-=⎩ 故答案为：446.19 4.041 1.36%1 1.57%446.19x y x y +=-⎧⎨++-=⎩ 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是弄清题意，准确找出题目中的等量关系． 15．为落实习总书记“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我区府部门决定由甲、乙、丙三个工程队负责完成一条总工作量为a 的公园改造的施工任务．经过一段时间，甲、乙、丙三个工程队完成的工程量之比是3:4:5为更合理的分任务，经测算，将剩余工程量的916交给了丙队，其余工程量由甲、乙两个工程队共同完成，乙工程队再工作一段时间后因另有任务先离开．工程结束时发现，丙队完成的工程量占总工程量的1940，甲、乙两队完成其余工程的工程量之比为4:3．则乙队完成的工程量与总工程量之比是：______．【分析】设一开始甲乙丙三个工程队完成的工程量为b 则剩余工程量为a-b 然后表示出丙队完成的工程量根据丙队完成的工程量占总工程量的列出等式从而得到a 与b 的数量关系再表示出乙队完成的工程量把a 与b 的数量关解析：11:40．【分析】设一开始甲、乙、丙三个工程队完成的工程量为b ，则剩余工程量为a-b ，然后表示出丙队完成的工程量，根据丙队完成的工程量占总工程量的1940列出等式，从而得到a 与b 的数量关系，再表示出乙队完成的工程量，把a 与b 的数量关系代入计算即可．【详解】解：设一开始甲、乙、丙三个工程队完成的工程量为b ，则剩余工程量为a-b ，∴丙队完成的工程量为()951612a b b -+， ∴()9519161240a b b a -+=， 解得，35b a =， 乙队一开始完成的工程量为412b ，后来完成的工程量为()()73316716a b a b -⨯=-， ∴乙队完成的工程量为()43433311121612516540b a b a a a a ⎛⎫+-=⨯+-= ⎪⎝⎭， ∴乙队完成的工程量与总工程量之比是11:40．故答案是：11:40．【点睛】本题考查工程问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求出一开始完成的工程量与总工程量的数量关系是关键．16．已知关于x 、y 的方程组22332x y k x y k -=⎧⎨-=-⎩的解满足24x y -=，则k 的值为_______．6【分析】先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程可得再根据方程的解满足可得一个关于k 的一元一次方程解方程即可得【详解】由②①得：由题意得：解得故答案为：6【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法解析：6【分析】先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程可得22x y k -=-，再根据方程的解满足24x y -=可得一个关于k 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】22332x y k x y k -=⎧⎨-=-⎩①②， 由②-①得：22x y k -=-，由题意得：24k -=，解得6k =，故答案为：6．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法、解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．17．一个两位数，交换个位与十位的数字之后，新得到的两位数比原数小63，则原来的两位数是________________．81或92【分析】结合题意设原来的两位数十位数字为x 个位数字为y 根据新得到的两位数比原数小63进行分析即可得到答案【详解】设原来的两位数十位数字为x 个位数字为y 根据题意得：∴∵一个两位数交换个位与十解析：81或92【分析】结合题意，设原来的两位数，十位数字为x ，个位数字为y ，根据新得到的两位数比原数小63进行分析，即可得到答案．【详解】设原来的两位数，十位数字为x ，个位数字为y根据题意得：()101063x y y x +-+=∴7x y -=∵一个两位数，交换个位与十位的数字之后，新得到的两位数比原数小63∴6x >当7x =时，0y =，即原两位数为：70，新得到的为：7，不是两位数，故不符合题意； 当8x =时，1y =，即原两位数为：81，新得到的为：18；当9x =时，2y =，即原两位数为：92，新得到的为：29；故答案为：81或92．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用；解题的关键是熟练掌握用代数式表示两位数，从而完成求解．18．如果()2x 2y 1x y 50-+++-=，那么 x =______，y =____2【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性列出关于xy 的二元一次方程组然后利用加减消元法求解即可【详解】解：根据题意得：②-①得：3y ﹣6=0解得：y=2将y=2代入②中得：x+2﹣5=0解得：x解析：2【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，列出关于x 、y 的二元一次方程组，然后利用加减消元法求解即可．【详解】解：根据题意得：21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩①②， ②-①得：3y ﹣6=0，解得：y=2，将y=2代入②中，得：x+2﹣5=0，解得：x=3，所以，方程组的解是32x y =⎧⎨=⎩， 故答案为：3；2．【点睛】本题考查绝对值和偶次方的非负性、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法，能根据两个非负性的和为零，则这两个数为零列出方程组是解答的关键．19．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是_______cm ．50【分析】根据题意由桌腿的高h 和凳子面的高度x 列出方程组即可求解【详解】设凳子退的高度是xcm 凳子面的高度是ycm 由题意得根据题意得解得则10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×10＝50解析：50【分析】根据题意，由桌腿的高h 和凳子面的高度x 列出方程组，即可求解．【详解】设凳子退的高度是xcm ，凳子面的高度是ycm ，由题意得根据题意得，329535x h x h +=⎧⎨+=⎩解得，320x h =⎧⎨=⎩则10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×10＝50cm ．故答案为50．【点睛】本题难度中等，此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是找出题目中的等量关系，列出方程组．20．已知，方程12230a b x y -+-+=是关于,x y 的二元一次方程，则a b +=________．1【分析】利用二元一次方程的定义得出关于的方程解方程并代入代数式即可【详解】∵方程是关于的二元一次方程∴解得∴故答案为：1【点睛】本题考查了二元一次方程的定义熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键 解析：1【分析】利用二元一次方程的定义得出关于a ，b 的方程，解方程并代入代数式即可．【详解】∵方程12230a b x y -+-+=是关于x ，y 的二元一次方程，∴11a -=，21b +=，解得2a =，1b =-，∴211a b +=-=．故答案为：1．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．三、解答题21．完成下列问题：（1）已知方程组321(2)4x y mx m y +=⎧⎨++=⎩的解x 、y 的值相等，求m 的值． （2）甲、乙两位同学在解方程组351x by ax by +=⎧⎨+=⎩时，甲看错了a ，解得32x y =⎧⎨=⎩；乙将一个方程中的b 写成了相反数，解得11x y =⎧⎨=-⎩，求a 、b 的值． 解析：（1）m=9；（2）a=3，b=-2【分析】（1）根据x 、y 的值相等得到x=y ，结合3x+2y=1求出x 和y 的值，再代入(2)4mx m y ++=中求出m 值；（2）甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的b 写成了相反数，把他解得答案代入方程，求a 、b 的值．【详解】解：（1）∵321(2)4x y mx m y +=⎧⎨++=⎩的解x 、y 的值相等， ∴x=y ，代入3x+2y=1中， ∴15x y ==，代入(2)4mx m y ++=中， 则(2)41155m m ++⨯=， 解得：m=9；（2）由题意得：把32x y =⎧⎨=⎩代入3x+by=5， 得：9+2b=5，解得：b=-2，因为乙将一个方程中的b 写成了相反数，所以把b=2代入方程组得：ax+2y=1，把11x y =⎧⎨=-⎩代入方程ax+2y=1得：a=3． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解．22．学校准备租用客车外出活动．现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车送330名师生集体外出活动（无空座），最节省的租车费用是多少？解析：（1）1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；（2）2960元．【分析】（1）可设1辆甲种客车的租金是x 元，1辆乙种客车的租金是y 元，根据等量关系：①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；（2）由于求最节省的租车费用，可知租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆，进而求解即可．【详解】解：（1）设1辆甲种客车的租金是x 元，1辆乙种客车的租金是y 元，依题意有 31240321760x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：400280x y =⎧⎨=⎩． ∴1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；（2）根据题意，∵3303011÷=，∴当全部租用乙种客车11辆，则费用为：280113080⨯=（元）；∵456302330⨯+⨯=，∴当租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，费用为：400628022960⨯+⨯=（元）；∵454305330⨯+⨯=，∴当租用甲种客车4辆，乙种客车5辆时，费用为：400428053000⨯+⨯=（元）；∵452308330⨯+⨯=，当租用甲种客车2辆，乙种客车8辆时，费用为400228083040⨯+⨯=（元）；综合上述，则当租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，费用最少，费用为2960元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．23．有一片牧场原有的草量为akg ，草每天都匀速地生长，这片牧场每天牧草的生长量都为kg m ．若在其上放牧24头牛，则6天吃完牧草．若放牧21头牛，则8天吃完牧草．若每头牛每天吃草的量也都是相等的，设每头牛每天吃草的量为kg x ．问：（1）放牧24头牛，6天所吃的牧草量用含a ，m 的代数式表示为______kg ；放牧21头牛，8天所吃的牧草量用含a ，m 的代数式表示为______kg ；（2）试用x 表示a ，m ；（3）若放牧16头牛，则几天可以吃完牧草？解析：（1）()6a m +，()8a m +；（2）7212a x m x =⎧⎨=⎩；（3）若放牧16头牛，18天可以吃完牧草．【分析】（1）根据牧场原有的草量为akg ，每天牧草的生长量都为kg m 可解得本题；（2）根据“24头牛，6天所吃的牧草量相等”及“21头牛，8天所吃的牧草量相等”列出方程组求解即可；（3）设16头牛y 天可以吃完牧草，根据“16头牛y 天所吃的牧草量相等”列式求解即可．【详解】解：（1）放牧24头牛，6天所吃的牧草量为()6a m +kg ，放牧21头牛，8天所吃的牧草量为()8a m +； （2）由题意，得6246,8218.a m x a m x +=⨯⎧⎨+=⨯⎩解得72,12.a x m x =⎧⎨=⎩（3）设16头牛y 天可以吃完牧草，根据题意，得16a ym xy +=．即721216x xy xy +=．解得18y =．答：若放牧16头牛，18天可以吃完牧草．【点睛】本题考查了方程的应用，理解题意，找准等量关系是解题的关键．24．如果（a ﹣2）x +（b +1）y ＝13是关于x ，y 的二元一次方程，则a ，b 满足什么条件？ 解析：a ≠2，b ≠﹣1【分析】根据二元一次方程含有两个未知数可知a ﹣2≠0，b+1≠0，即可求出a ，b 所满足的条件．解：∵（a ﹣2）x +（b +1）y ＝13是关于x ，y 的二元一次方程，∴a ﹣2≠0，b +1≠0，∴a ≠2，b ≠﹣1．【点睛】此题考查了二元一次方程的定义：即含有两个未知数的方程，根据定义求参数满足的条件，难度一般．25．甲，乙两位同学在解方程组11ax by cx y +=⎧⎨+=-⎩时，甲正确解得方程组的解为11x y =-⎧⎨=⎩．乙因抄错了方程中的系数c ，得到的解为21x y =⎧⎨=-⎩，若乙没有再发生其他错误，试求a 、b 、c 的值．解析：2a =，3b =，2c =【分析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程的值，根据题意可得111a b c -+=⎧⎨-+=-⎩和121a b a b -+=⎧⎨-=⎩，解方程组可得原方程组中a 、b 、c 的值． 【详解】解：11x y =-⎧⎨=⎩代入到原方程组中，得111a b c -+=⎧⎨-+=-⎩，解得2c =， 乙仅因抄错了c 而求得21x y =⎧⎨=-⎩，但它仍是方程1ax by +=的解， 所以把21x y =⎧⎨=-⎩代入到1ax by +=中得21a b -=， 由121a b a b -+=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩， 所以2a =，3b =，2c =．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的基本方法．26．在新冠疫情期间，为支援武汉，现将我市大米运往武汉．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨．解析：5【分析】本题等量关系比较明显：2辆大车运载吨数＋3辆小车运载吨数＝15.5；5辆大车运载吨数＋6辆小车运载吨数＝35，算出1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨后，即可计算出3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨．设大货车每辆装x 吨，小货车每辆装y 吨，根据题意列出方程组为：2315.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组得：42.5x y =⎧⎨=⎩， ∴3x ＋5y ＝24.5．答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨．【点睛】本题考察二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．27．解方程组：（1）1367x y x y -=⎧⎨=-⎩； （2）414531x y x y -=⎧⎨+=⎩． 解析：（1）174x y =⎧⎨=⎩；（2）56x y =⎧⎨=⎩【分析】 （1）利用代入消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1）1367x y x y -=⎧⎨=-⎩①② 把②代入①得： 6713y y --=，解得：4y =，把4y =代入②得： 64717x =⨯-=，∴原方程组的解为174.x y =⎧⎨=⎩， （2）414531x y x y -=⎧⎨+=⎩①② ①+②得， 945x =，解得：5x =，将5x =代入①得，2014y -=，解得：6y =，故原方程组的解为56 xy=⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法．28．近几年大部分家庭流行用不锈钢钢管做防盗窗，小芳家的防盗窗按设计要求，需要长为0.8米的钢管100根，及长为2.5米的钢管32根，两种长度的钢管粗细必须相同；并要求这些用料不能是焊接而成的，经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米．（1）将一根长为6米的钢管进行裁剪（余料作废），有下面几种方法，请完成填空：方法①：只裁长为0.8米的钢管时，最多可裁________根．方法②：先裁下1根2.5米长的钢管，余下部分最多能裁0.8米长的钢管____根．方法③：先裁下2根2.5米长的钢管，余下部分最多能裁0.8米长的钢管________根．（2）用（1）中的三种方法里面的两种进行结合来裁剪6米长的钢管，在尽量减少用料的情况下，如何裁剪才能得到所需要的相应数量的材料？解析：（1）7，4，1；（2）用方法②剪24根，方法③裁剪4 根或用方法①剪12根，方法③裁剪16 根．【分析】（1）由总长度÷每份长度=份数就可以直接得出结论；（2）分3种情况列方程组求解即可．【详解】解：（1）6÷0.8=7根…0.4米，∴最多可裁7根；(6-2.5)÷0.8=4根…0.3米，∴余下部分最多能裁0.8米长的钢管4根；(6-2.5-2.5)÷0.8=1根…0.2米，∴余下部分最多能裁0.8米长的钢管1根；故答案为：7，4，1；（2）设用方法②剪x根6m长的钢管，方法③裁剪 y 根6m长的钢管，由题意，得232 4100 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：244xy=⎧⎨=⎩，∴用方法②剪24根，方法③裁剪4 根6m长的钢管可得到所需要的相应数量的材料；设方法①裁剪m根6m长的钢管，方法③裁剪n根6m长的钢管，由题意，得7100232m nn+=⎧⎨=⎩，解得：1216mn=⎧⎨=⎩，∴用方法①剪12根，方法③裁剪16 根6m长的钢管可得到所需要的相应数量的材料；设方法①裁剪 a 根6m长的钢管，方法②裁剪 b 根6m长的钢管，由题意，得7410032a bb+=⎧⎨=⎩，解得：432ab=-⎧⎨=⎩，无意义，综上可知，用方法②剪24根，方法③裁剪4 根或用方法①剪12根，方法③裁剪16 根．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据题意建立方程组是关键，注意分类讨论思想的运用．。

第八章《幂的运算》知识点总结与巩固训练 知识点一：同底数幂相乘：1、法则： ；即=⋅nm a a ；（ ） 2、逆运算： ；3、正数的任何次幂都是 ，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，知识点二：幂的乘方与积的乘方：1、幂的乘方：（1）、法则： ；即()=n ma ；（ ） （2）、逆运算： ；2、积的乘方：（1）、法则： ；即()=n ab ；（ ） （2）、逆运算： ；知识点三：同底数幂的除法：1、法则： ；即=÷nm a a ；（ ） 2、逆运算： ；3、零指数幂的意义： ；4、负整数指数幂的意义： ；5、科学计数法：（1）314000=51014.3⨯（10的几次方=原数的 ） （2）0.00000314=6-1014.3⨯（10的负几次方=原数的 ） （3）1纳米=9-10米 巩固训练一、选择题1. 2019年安徽省第一季度GDP 超过7000亿元.其中7000亿用科学记数法表示为( )A. 7×1011B. 70×1010C. 0.7×1012D. 7×10122. 下列式子正确的是…………………………………………………………………( )A.B. C.D. 3. 计算：(45)2÷(−54)−2+(3−π)0−(−12)0÷(−2)−3得到的结果是…（ ）A. 8B. 9C. 10D. 114. 已知x a =2，x b =−3，则b a x 2……………………………………（ ）A. 12B. 2C. −12D. −35. 已知x a =3，x b =5，则x 3a−2b 等于…………………………………( )A. 2725B. 910C. 35D. 526. 若a x =3，b 2x =2，则(a 2)x −(b 3x )2的值为………………………( )A. 0B. 1C. 3D. 57. 计算0.22017×[(−5)1009]2的结果是………………………………( )A. 1B. 0.04C. −5D. 58. 若m =2125，n =375，则m 、n 的大小关系正确的是…………( )A. m >nB. m <nC. m =nD. 大小关系无法确定二、填空题 9. 一些水的质量为0.00204 kg ，用科学记数法表示为____．10. 计算：(1)(−2x 2y )3= ；(2)(−a )4÷(−a )= .11. 计算 (−0.125)2017×82016= ______ ．12. 若3m =21，3n =727，则代数式2m ÷2n = ______ ．13. 若a 2n =2，则2a 6n −20=_____．14. 已知(ka m−n b m+n )4=16a 8b 16，则k +2m +n =____________15. 计算(x −y)2(y −x)3(x −y)=_______(写成幂的形式)．16. 已知x 3=m ，x 5=n ，则x 14用m 、n 表示为____．三、解答题17. (1)已知2×8x ×16x =222，求x 的值；(2)已知2m =3，2n =4，求22m+n 的值．(3)a 3⋅a ⋅a 4+(−2a 4)2+(a 2)4.(4)已知n 为正整数，且x 2n =4，求(x 3n )2−2(x 2)2n 的值．18. 已知2a =4，2b =6，2c =12．(1)求22a+b−c 的值．(2)说明：a +b −c =1；19. 规定两数a 、b 之间的一种运算，记作<a ，b >.定义：如果ac =b ，那么<a ，b >=c ． 例如：因为23=8，所以<2，8>=3．(1)根据上述规定填空：<−5，25>=____________，<13，127>=_____________；(2)已知<2，a >=m ，<4，b >=n ，求<2，ab >(用含m 、n 的代数式表示)；(3)若<3，a >=444，<4，b >=333，则a 、b 的大小关系是：a _______b(填“>”、“<”或“=”)．20.你能比较两个数20122013和20132012的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n n +1和(n+1) n的大小(n≥1且n为整数)，然后从分析n=1，n=2，n=3，……这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结，最后猜想出结论．(1)通过计算，比较下列各组数的大小(在横线处填上“>”、“=”或“<”)：①12________21；②23________32；③34________43；④45________54；⑤56________65；⑥67________76；……(2)由第(1)小题的结果归纳、猜想n n +1与(n+1) n的大小关系；(3)根据第(2)小题得到的一般结论，可以得到20122013________20132012(填“>”、“=”或“<”)．答案和解析1.A解：7000亿=700000000000=7×1011．2.C解：A.a6÷a2=a4，故错误；B.(a2)3=a6，故错误；C.(a2b)3=a6b3，故正确；D.a2·a3=a5，故错误．3.C解：原式=1625÷1625+1−1÷(−18)，=1+1+8，=10，4.C解：∵x a=2, x b=−3，∴x2a+b=(x a)2x b=(2)2×(−3)=−12．5.A解：∵x a=3，x b=5，∴x3a−2b=(x a)3÷(x b)2，=27÷25，=2725．6.B解：原式=(a x)2−(b2x)3=9−8=1．7.D解：原式=0.22017×(−5)2018=0.22017×(−5)2017×(−5)=(−0.2×5)2017×(−5)=(−1)×(−5)=58.A解：∵m=2125=(25)25=3225，n=375=(33)25=2725，∴m>n，9.2.04×10−3 kg解：0.00204=2.04×10−3，10.(1)−8x6y3;(2)−a3(1)(−2x2y)3=−23x2×3y3=−8x6y3；(2)(−a)4÷(−a)=(−a)4−1=−a3．11.−0.125解：(−0.125)2017×82016=(−0.125)×[(−0.125)×(8)]2016=(−0.125)×(−1)2016=−0.125．12.16解：由3m=21，3n=7得27=81=34，3m−n=3m÷3n=21÷727m−n=4．2m÷2n=2m−n=16．13.−4解：2a6n−20=2(a2n)3−20=2×23−20=−4．14.9或5解：k4a4(m−n)b4(m+n)=16a8b16∴k4=16，4(m−n)=8，4(m+n)=16∴k=±2，m=3，n=1∴k+2m+n=9或5．15.−(x−y)6解：(x−y)2(y−x)3(x−y)=−(x−y)2(x−y)3(x−y)=−(x−y)6．16.m3n解：根据题意可把14次方分为9次方加5次方，∵x3=m，x5=n，∴x14=x9⋅x5=(x3)3⋅x5=m3n.17.解：(1)∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22．解得x=3．(2)∵2m=3，2n=4，∴ 22m+n =(2m )2×2n =32×4=36．(3)原式=a 3+1+4+4a 4×2+a 2×4=a 8+4a 8+a 8=6a 8．(4)(x 3n )2−2(x 2)2n=(x 2n )3−2(x 2n )2=43−2×42=64−32=32．18. (1)解：∵2a =4，2b =6，2c =12，∴22a+b−c =(2a )2×2b ÷2c=16×6÷12=8．(2)证明：∵2a =4，2b =6，2c =12，∴2a ×2b ÷2=4×6÷2=12=2c ，∴a +b −1=c ，即a +b −c =1；19. 解：(1)2；3；(2)∵<2，a >=m ，<4，b >=n ，∴2m =a ，4n =b∴ab =2m ×4n =2m ×22n =2m+2n ，∴<2，ab >=m +2n ．(3)>．解：(1)∵(−5)2=25，(13)3=127，∴<−5，25>=2，<13，127>=3．故答案为2；3．(3)根据题意得：a =3444，b =4333．∴a =34×111=(34)111=81111，b =43×111=(43)111=64111，∵81>64，∴a >b ．20.(1)<，<，>，>，>，>；(2)解：由(1)可知，当n=1、2时，n n+1<(n+1)n；当n≥3时，n n+1>(n+1)n；(3)>．解：(1)①12<21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；......故答案为：<，<，>，>，>，>；(3)∵2012>3，2013>3，∴20122013>20132012，。

幂的运算 知识要点复习【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()n mmn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()nn n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+；(2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n nn a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数．类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）23[()]a b --；（2）32235()()2y y y y +- ；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．3、已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值．举一反三：【变式】已知322,3m m a b ==，则()()()36322m m m m a b a b b +-⋅＝ ．4））5。

苏教版七年级数学第八章幂的运算知识点整理有理数的乘方1.乘方的看法求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在 a n中，a叫做底数，n叫做指数。

2.乘方的性质（1〕负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

〔 2〕正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0。

有理数的混杂运算做有理数的混杂运算时，应注意以下运算序次：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

科学记数法把一个大于 10 的数表示成a 10n的形式〔其中1 a 10， n 是正整数〕，这种记数法是科学记数法。

1幂的运算一、同底数幂的乘法乘法法那么 :同底数幂相乘，底数不变，指数相加符号语言： a m a n a m n(m,n都是正数)公式实行：同底数幂的乘法法那么的逆用及分解〔有目的的分解指数〕。

【注意】： 1、同底数幂是指底数相同的幂，乘法运算性质中的a能够是单项式，也能够是多项式〔整体思想〕。

2、指数相加的和作为最后结果的幂的指数，即同底数幂的乘法，结果仍为幂的形式。

〔指数为 1 的时候，省略不写，不要忽略也许以为是0〕3、不是同底数幂的乘法，不能够盲目套用公式，先转化，尔后在运用，切记同底数4、互为相反数的偶次幂与奇次幂的差异与联系，先确定符号，转变成同底数，尔后运用公式运算。

二、幂的乘方幂的乘方法那么：幂的乘方，底数不变，指数相乘符号语言：(a m ) n a mn(m,n都是正数)公式实行：幂的乘方公式有目的的逆用分解n 当为偶数时),一般地 , ( a) na (nn(当为奇数时).互为相反数的两个数的奇次偶次幂a n同底数幂的乘法与幂的乘方的差异和联系2条件结论公式运算的变化同底数幂的乘法同底数的幂相乘1、底数不变a m a n a m n指数相加2、指数相加1、底数不变(a m namn幂的乘法幂的乘方)指数相乘2、指数相乘三、积的乘方积的乘方法那么：积的乘方等于每个因式乘方的积。

第八章 单元知识梳理与能力整合一、知识网络结构 二、能力整合三、知识专题讲解 专题一 从特殊到一般的思想方法 例1：阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值。

解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得2S-S=22014-1即S=22014-1即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）．专题二 整体代入思想例2：计算：）（123201*********)12131201012011120121(2012⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯专题三 幂运算法则的灵活运用例3：已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b a 的值。

1、同底数幂的乘法与除法 （1）相同点：底数不变；不同点：乘法中是指数相加，除法中是指数相减。

（2）除法运算可以转化为乘法运算 n m n m n m a a a a a --=∙=÷2、幂的运算法则既可以正向运用，也可以逆向运用3、对于幂的混合运算，要注意先识别各单元属于哪种幂的运算，再按相关法则进行计算，幂的运算法则之间不能发生混淆。

四、新典型立体分类剖析类型一 幂的运算【例1】计算：（1）234)()()(q p p q q p -∙-÷- （2）524232)()()(a a a ÷∙ （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡--222221)()()(m m m x x x（4）01322)14.3(3)21()52(2-+--++-----π【例3】计算：（1）11457)2()25.0(-∙- （2）20001999)532()135(∙ （3）200119972)25.0(48-⨯⨯【例4】已知909999911,999==N M ,那么M 、N 的大小关系是？ 【例5】求2007200537⨯的末尾数字类型二 幂的运算法则的逆运用 【例2】计算：401100200920085.0168125.0⨯⨯⨯ 类型三 用科学计数法表示较小的数 【例6】微电子技术的不断进步，时半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小。

数学七年级下册第八章知识点篇1：数学七年级下册第八章知识点数学七年级下册第八章知识点(1)二元一次方程组的概念由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。

注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元(一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程)。

(2)二元一次方程组的解二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。

3)二元一次方程组的解法●a.代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。

通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。

步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y = ax + b 的形式;② y = ax + b 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于x 的一元一次方程;③解这个一元一次方程，求出 x 的值;④回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。

●b.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一。

加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方法。

步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。

●加减消元方法的选择：1、一般选择系数绝对值最小的未知数消元;2、当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元;当某一未知数的系数相等时，用减法消元;3、某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解;4、当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解。

幂的运算 知识点归纳及典型题练习【知识方法归纳】知识要点主要内容友情提示同底数幂相乘(m 、n 是正整数)；n m n m a a a +=∙a 可以多项式幂的乘方(m 、n 是正整数)()m n mn a a =mn m n n m a a a ==)()(积的乘方(n 是正整数)()n n n ab a b =n n n ab a )(b =同底数幂的除法(m 、n 是正整数，m >n )m m n na a a -=n m n m a a a ÷≠÷方法归纳注意各运算的意义，合理选用公式知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点）同底数幂：底数相同的幂。

如：与或与等325232)(b a 52)(b a 同底数幂的乘法法则： ，即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

n m n m aa a +=∙【典型例题】1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（ ）A ．22015B ．22007C ．－2D ．－220082．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n 的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m －1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1，其中m 为正整数．知识点2 逆用同底数幂的法则逆用法则为：（m 、n 都是正整数） 即指数相加，幂相乘。

n m n m a a a ∙=+【典型例题】1．（一题多变题）（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n ．（2）一变：已知x m =3，x n =5，求x 2m+n ；（3）二变：已知x m =3，x n =15，求x n+m ．知识点3 幂的乘方的意义及运算法则（重点）幂的乘方指几个相同的幂相乘。

幂的乘方的法则： (m 、n 是正整数) 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘()m n mn a a=逆用法则为：（m 、n 都是正整数） 即指数相乘，幂乘方。

§8.1 同底数幂的乘法 【知识点总结】 1、同底数幂的意义（1）幂的意义：我们把乘方的结果叫做幂。

例如：（-2）3读作“-2的3次幂”，n a 读作“a 的n 次幂” （2）同底数幂：底数相同的幂。

注意：幂的底数a 可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式 2、同底数幂的乘法法则：因为个m m aa a a a•⋅⋅⋅•••=， 个n n a a a a a •⋅⋅⋅•••=所以： 个个n m n m a a a a a a a a a a •⋅⋅⋅•••••⋅⋅⋅•••=•= 个)(n m a a a a +•⋅⋅⋅•••。

即)(都是正整数、n m a a a n m n m +=•这就是说：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

说明：三个或三个以上的同底数幂相乘，也具有这一性质。

例如：)(都是正整数、、p n m a a a a p n m p n m ++=••例1：计算：6a a •的结果等于 例2：=•3252x x例3:计算：（1）)2()2()2(53+•+•+b b b （2）[]3452)12()12()12()12(--•---•-a a a a拓展：在，幂的运算中，经常用到下列边形：⎪⎩⎪⎨⎧=-)(-)()(为奇数为偶数n a n a a n n n ⎪⎩⎪⎨⎧---=-)()()()()(为奇数为偶数n a b n a b b a n n n 3、应用同底数幂乘法法则时应注意的几个问题（1）法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字或字母，也可以是一个单项式或多项式（2）指数是1时，不要误以为没有指数。

如6a a •=761a a =+而不是6a 。

（3）不能将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对于乘法，只要底数相同，指数就可以相加，如6a a •=761a a =+，而对于加法，不仅底数要相同，还要求指数相同，才能相加，如623a a a ≠+，也是无法相加的。

七年级下册数学第八章知识点讲解数学是一门很重要的学科，不仅能够帮助我们学习其他学科，而且也是我们日常生活中不可或缺的一部分。

本文将为大家讲解七年级下册数学第八章的知识点。

1. 单项式和多项式单项式指由一个常数和一个或多个字母的积组成的式子，例如：4xy、3x、2y²等。

而多项式则是由多个单项式通过加减号相加减而来的式子，例如：3x²+2xy-5y²、4x+2y+1等。

2. 因式分解因式分解是将一个多项式分解成几个单项式的乘积的过程，例如：2x²+6x=2x(x+3)。

3. 倍式和因式倍式是由一个数乘以另一个数得到的积，例如：3×4=12。

而因式则是表示某个数的乘积的式子，例如：12=2×2×3。

4. 平方差公式平方差公式是一个用于求两个数平方差的公式，即(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²。

5. 一元一次方程一元一次方程指只有一个未知数的一次方程，例如：3x+4=10。

解一元一次方程的方法是通过变形将未知数消号，得到未知量的值。

6. 解方程组方程组是由两个或多个方程组成的一组方程，例如：x+y=3和2x-3y=5。

解方程组的方法有代数法、消元法和等式变形法等。

7. 比例比例指两个或多个量之间的相对大小关系，例如：2:3表示两个量的比是2比3。

其中，2称为比例的第一项，3称为比例的第二项。

8. 相似相似指两个或多个图形的形状相似，但大小不同的一种关系。

相似的两个图形具有相同的形状，但是大小不同。

以上就是七年级下册数学第八章的知识点讲解。

希望本文能够对大家学习数学有所帮助，让我们在学习数学的道路上越走越远。

XX七年级下册数学第八章知识点汇总(苏教版)XX七年级下册数学第八章知识点汇总二元一次方程组判断一个方程是不是二元一次方程，一般要将方程化为一般形式后再根据定义判断。

二元一次方程的解:一个二元一次方程有无数个解，而每一个解都是一对数值。

求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知数为x，y，可任取x的一些值，相应的可算出y 的值，这样，就会得到满足需要的数对。

二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

作为二元一次方程组的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。

二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，那么它就是方程组的解。

解二元一次方程组消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

归纳：基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”。

代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

教科书中没有的几种解法加减-代入混合使用的方法：特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。

换元法特点：两方程中都含有相同的代数式，换元后可简化方程也是主要原因。

设参数法二元一次方程组二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是ax+by=c。

如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。

七年级数学下册八章知识点
七年级数学下册第八章知识点
七年级数学下册第八章主要学习了关于比例的知识，包括比例
的定义、比例的性质、比例的简化、比例的四则运算等内容。

下
面将详细介绍每个知识点。

一、比例的定义
比例是指两个或多个数之间的相对大小关系，用字母“：”读做“是……的比例”，常用于对同类事物的数量进行比较。

例如
“A:B=2:3”表示A与B之间的比例是2:3。

二、比例的性质
1.比例有反比例。

即两个比例之间如果一变大，另一个将变小。

2.比例具有可逆性。

即A:B=C:D可以变形为B:A=D:C。

3.在比例中，如果等比例分割其中一个比例的两个部分，那么另一个比例的两个部分也是等比例的。

4.比例中，如果两个数成比例，则另外两个也成比例。

三、比例的简化
简化比例是将一个比例中的分子和分母同时除以相同的数，使得比例的值不变，但同时分子和分母的数值变小。

例如，4:6可以简化为2:3。

四、比例的四则运算
1.比例的乘法：在两个比例相乘时，将其中一个比例的分子乘以另一个比例的分子，分母乘以分母，得到的结果就是新比例的分子和分母。

2.比例的除法：在两个比例相除时，将其中一个比例的分子乘以另一个比例的分母，分母乘以分子，得到的结果就是新比例的分子和分母。

3.比例的加减：在两个比例相加或相减时，需要先将它们化为
相同的分母，然后将相同分母的分子进行加减，最后将结果化简。

以上就是七年级数学下册第八章知识点的详细介绍，希望同学
们掌握好这些知识，提高数学学科的成绩。

七年级下数学第八章知识点在七年级下数学的学习中，第八章是一个非常重要的章节。

这个章节主要讲解了几何中的一些基础知识和概念，让学生们能够更好地理解和掌握这门学科。

下面就来一起了解一下这个章节的知识点。

一、角和角度在几何中，角是一个非常基础的概念。

我们把两条射线共同的起点称为角的顶点，两条射线则称为角的两边。

同时，每个角都有一个度数，也就是角度。

度数是用角度来度量的，一个圆有360度，因此一个角也可以由角度来度量。

在这个章节中，我们会学习如何用普通角度计来测量角的度数。

二、平行和垂直线段在几何中，平行和垂直是两个非常重要的概念。

当两条线段之间没有任何交点时，这两条线段就被称为平行线段，我们用符号“||”来表示。

而当两条线段相交，且交点处的两条线段之间的夹角为90度时，这两条线段就被称为垂直线段，我们用符号“⊥”来表示。

三、相似图形相似图形是指两个图形在形状上相同，但其大小不同的情况。

在几何中，我们可以通过比较两个图形的边长比例来判断它们是否相似。

同时，在这个章节中我们还会学习到相似三角形的性质，比如说，相似三角形的对应角度是相等的，对应的边长比例也是相等的。

四、三角形在这个章节中，我们将会掌握三角形的基础知识和性质。

三角形是由三条线段构成，它的三个顶点组成了三个角。

在学习这个章节时，我们将会学习到一些基础的定理和公式，比如说，勾股定理和三角形内角和的公式等等。

五、圆圆是几何中的一个重要概念，它是由一个圆心和一个半径组成的。

在这个章节中，我们将会学习到圆的各种基本概念和性质，比如说，圆的周长公式和面积公式等等。

六、面积和周长在学习几何时，我们还需要掌握计算图形面积和周长的方法。

在这个章节中，我们会学习到各种常见图形的面积和周长公式，比如说，矩形、三角形、圆等。

以上就是七年级下数学第八章的知识点，这个章节中的知识是我们学习几何的基础和切入点。

只有掌握好这些基础知识，我们才能更好地理解和掌握几何这门学科。

七年级下册数学第八章知识点一、二元一次方程的概念。

1. 定义。

- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

例如：x + y=5，这里x和y是两个未知数，且x和y的次数都是1，整个方程是整式方程。

2. 二元一次方程的解。

- 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

例如对于方程x + y = 5，x = 1 y = 4和x = 2 y = 3等都是它的解，二元一次方程有无数组解。

二、二元一次方程组的概念。

1. 定义。

- 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如x + y=5 2x - y = 1就是一个二元一次方程组。

2. 二元一次方程组的解。

- 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

例如对于方程组x + y = 5 2x - y = 1，解这个方程组得到x = 2 y = 3，这组解同时满足方程组中的两个方程。

三、二元一次方程组的解法。

1. 代入消元法。

- 步骤：- 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。

例如对于方程组x + y = 5 2x - y = 1，由方程x + y = 5可得y = 5 - x。

- 将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

把y = 5 - x代入2x - y = 1，得到2x-(5 - x)=1，即2x - 5+x = 1，3x=6。

- 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。

由3x = 6解得x = 2。

- 将求得的这个未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值。

把x = 2代入y = 5 - x，得y = 5 - 2 = 3。

2. 加减消元法。

- 步骤：- 当方程组中两个方程的同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

七年级下册数学第8章知识点归纳七年级下册数学第8章主要是学习三角形的性质和计算。

这一
章非常重要，是以后数学学习的基础。

在这一章中，我们将学习：角的概念、三角形的定义、三角形的分类、勾股定理、三角形的
面积、三角形的周长以及三角形相似等知识点。

下面，将会对这
些知识点进行详细归纳。

1. 角的概念和分类
角是由两条射线公共端点所组成的图形。

按照角大小的不同可
以将其分为锐角、直角和钝角。

锐角为小于90度的角，直角为90度的角，钝角为大于90度小于180度的角。

2. 三角形的定义和分类
三角形是由三条线段所围成的平面图形。

按照三条边长的不同
可以将其分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

3. 勾股定理
勾股定理是三角形中比较经典的定理。

它指出，对于一个直角三角形，直角边的平方等于另外两条边平方之和。

公式可以表示为：a²+b²=c²。

4. 三角形的周长和面积
三角形的周长等于三边的和，而三角形的面积可以通过底边和高来计算。

三角形的面积公式为：S=1/2bh。

5. 三角形相似
当两个三角形的对应角相等时，两个三角形就是相似的。

相似的三角形的边长比例相等，此外还有“AA”相似定理等相关的知识点。

以上就是七年级下册数学第8章的主要知识点。

同学们在学习过程中，要注重理解和记忆。

只有深入理解这些知识点，才能为以后更深入的数学学习打下坚实的基础。

苏科版七年级下册数学第八章知识点
苏科版七年级下册数学第八章的知识点主要包括以下几个方面：
1. 二元一次方程：二元一次方程是含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程。

一般形式是ax+by=c（a≠0，b≠0）。

2. 二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

此外，苏科版七年级下册数学第八章还会涉及到以下知识点：
1. 平行线的判定和性质：包括同位角、内错角、同旁内角等概念，以及平行公理和补充定理的应用。

2. 三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。

3. 三角形中的主要线段：包括三角形的高、角平分线、中线等，这些线段在三角形中有特定的性质和应用。

4. 三角形的内角和：三角形的3个内角的和等于180°，直角三角形的两个锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

以上仅是部分知识点，如果您想了解更多信息，建议查阅苏科版七年级下册数学教材或咨询专业教师。