2015-2016年福建省莆田二十四中高二(上)期末数学试卷(文科)及答案

2015-2016学年福建省莆田六中高二(上）期末数学试卷（文科班）（C卷）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一项是符合题目要求的）1．已知函数f（x）=sinx，f（x）的导函数是（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx D．﹣sinx2．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x3．双曲线﹣=1的焦距是（）A．8 B．4 C．2D．24．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln25．若函数f(x)=x3﹣x2+1，则（)A．最大值为1,最小值为B．最大值为1，无最小值C．最小值为,无最大值D．既无最大值也无最小值6．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．函数y=（3﹣x2）e x的单调递增区间是()A．（﹣∞,0） B．(0，+∞） C．（﹣∞,﹣3）和（1，+∞）D．（﹣3,1)8．设a∈R，若函数y=e x+ax,x∈R，有大于零的极值点,则（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．9．函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．10．过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点（A在x轴上方），那么=（）A．B．C．3 D．211．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0)，下列结论中错误的是（)A．∃x0∈R，使得f（x0）=0B．函数y=f(x)的图象一定是中心对称图形C．若x0是函数f（x）的极值点，则f’（x0）=0D．若x0是函数f（x）的极小值点,则函数f(x）在区间（﹣∞，x0)上单调递减12．已知曲线Γ：y=e x和直线l：y=kx，若直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ上，则k的取值范围是(）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣e］C．(﹣e,0）D．［﹣e，0）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．抛物线y2=﹣x的准线方程是．14．抛物线y 2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=．15．函数y=在x=m处取到极大值,则m=．16．已知函数f（x）=lnx+（x﹣a）2（a∈R）在区间［，2］上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，17题10分，其它每题12分,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知抛物线y=x2在点A（1，1）处的切线为l．(1)求切线l的方程；（2)若切线l经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，求该椭圆的方程．18．设函数f（x）=2x3﹣12x+c的图象经过原点．（1）求c的值及函数f（x）的单调区间；（2)求函数f（x）在[﹣1，3］上的最大值和最小值．19．在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查．调查结果:接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．(Ⅰ）请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表；看电视运动合计女男合计（Ⅱ）已知P（K2≥3。

2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每题5分）1．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）2．命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（）A．∀x∈R，都有x2＜1 B．∃x∈R，使得x2＞1C．∃x∈R，使得x2≥1D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥13．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假4．双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）6．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．C．D．537．在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．58．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A．B．C．D．10．如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.411．高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．34种B．35种C．120种D．140种12．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能二、填空题（共4小题，每题4分）13．已知线性回归方程=9，则b= ．14．命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是（填“真命题”或“假命题”．）15．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为．16．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为．三、解答题（共6小题，12+12+12+12+12+14,满分74分）17．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．18．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．19．现有5名男生和3名女生．（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？20．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X 0～6 7 8 9 10P 0 0.2 0.3 0.3 0.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ．（I）求该运动员两次都命中7环的概率；（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分）1．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把抛物线的方程化为标准形式，即可得出结论．【解答】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．2．命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（）A．∀x∈R，都有x2＜1 B．∃x∈R，使得x2＞1C．∃x∈R，使得x2≥1D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1【考点】命题的否定．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据“非p”为真，得到p假，根据命题“p或q”为真，则p真或q真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．4．双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】令双曲线方程的右边为0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是=0，整理得y=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．6．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．C．D．53【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】每个冠军的情况都有5种，共计3个冠军，故分3步完成，根据分步计数原理，运算求得结果．【解答】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 53，故选：D．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．7．在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5【考点】二项式定理．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．【解答】解：对于，对于10﹣3r=4，∴r=2，则x4的项的系数是C52（﹣1）2=10故选项为B【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），依题意得．【解答】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．9．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，根据概率公式计算即可．【解答】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，故恰有两个球同色的概率为P==，故选：B．【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．10．如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题．【分析】本题是一个正态分布问题，根据所给的随机变量取值的平均水平的特征数﹣1，而正态曲线是一个关于x=μ即x=﹣1对称的曲线，根据对称性写出概率．【解答】解：如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，∵P（﹣3≤ξ≤﹣1）=∴∴P（ξ≥1）=．【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．11．高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．34种B．35种C．120种D．140种【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】利用间接法，先求出没有限制条件的选法，在排除只有男生的选法，问题得以解决【解答】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种．故选：A．【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题12．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】根据A和B都为抛物线上的点，设出A和B的坐标，把直线与抛物线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积，然后利用A和B的坐标表示出和，利用平面向量的数量积运算法则，计算得出为0，从而得出两向量互相垂直，进而得到三角形为直角三角形．【解答】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），将直线与抛物线方程联立得，消去y得：x2﹣mx﹣1=0，根据韦达定理得：x1x2=﹣1，由=（x1，x12），=（x2，x22），得到=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB为直角三角形．故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．二、填空题（共4小题，每题4分）13．已知线性回归方程=9，则b= 4 ．【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】将代入线性回归方程，即可求解．【解答】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4故答案为：4【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．14．命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是真命题（填“真命题”或“假命题”．）【考点】四种命题．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据逆否命题的真假关系，判断原命题的真假即可．【解答】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题，则命题的逆否命题也为真命题，故答案为：真命题．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．15．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】方法一：第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球，由此可求概率，方法二：事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率．根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率【解答】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，根据条件概率公式，得：P2==，故答案为：【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．16．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为70 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】.根据二项式系数中间项的最大求出n，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r 的值，将其代入通项求出常数项．【解答】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则n=8，所以二项式=展开式的通项为T r+1=（﹣1）r C8r x8﹣2r令8﹣2r=0得r=4则其常数项为C84=70故答案为70．【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．三、解答题（共6小题，12+12+12+12+12+14,满分74分）17．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；定义法；二项式定理．【分析】（1）根据题意，令x=1求出n的值，再利用通项公式求出展开式的常数项；（2）令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．【解答】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n=512，解得n=9；设T r+1为常数项，则：T r+1=C9r=C9r2r，由﹣r=0，得r=3，∴常数项为：C9323=672；（2）令x=1，得（1+2）9=39．【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．18．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α，cotθ=tanα=2，sinθ=，然后求出|AB|．【解答】解：设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α，cotθ=tanα=2，∴sinθ=，|AB|==40．线段AB的长为40．【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=的灵活运用．19．现有5名男生和3名女生．（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】（1）用捆绑法：先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列，问题得以解决．（2）由题意知5人中有3男2女，先选再排，问题得以解决．【解答】解：（1）先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列有 A33A66=4320种．（2）从中选5人，且要求女生只有2名，则男生有3人，先选再排，故有C32C53A55=3600种【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．20．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．【解答】解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．21．某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X 0～6 7 8 9 10P 0 0.2 0.3 0.3 0.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ．（I）求该运动员两次都命中7环的概率；（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出P（A）．（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望Eξ．【解答】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，则P（A）=0.2×0.2=0.04．（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10且P（ξ=7）=0.04，P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，∴ξ的分布列为：ξ7 8 9 10P 0.04 0.21 0.39 0.36ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题得=， =1，又a2=b2+c2，解出即可得出；（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），可得， =1，两式相减再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题得=， =1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=4．∴椭圆方程为：．（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），∴， =1，两式相减得=0，∵P是AB中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2， =k，代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，∴直线l：x+y﹣3=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

莆田第二十四中学2014-2015学年上学期高三第二次月考数学(文)试卷高三文科备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 2．设集合2{|20M x x x =--＜｝，{|y 2,N y x x M ==∈｝则集合()R C M N ⋂=( ) A ．(—2，4) B ．(—1，2) C ．∞⋃∞（-,-1][2,+） D ．(∞⋃∞（-,-2)4,+） 3. 已知函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A. R m ∈B. 1>mC. 0>mD. 10<<m 4.已知数列{n a }的前n 项和为n s ，且,22-=n n a s 则2a 等于 （ ） A ． 4 B ．2 C ．1 D ． 2-5.在△ABC 中,c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边,若2()()a b c c b <+-,则△ABC 是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形或钝角三角形6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ） A. 若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m B. 若β//m ，αβ⊥，则α⊥m C. 若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m D. 若n m ⊥，α//n ，则α⊥m7.如图为函数y ＝sin(2x ＋ϕ)的图象，则ϕ的值可以为（ ）A.3π或34πB. 3πC. 34πD. 32π 8．已知l ，m 为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l ⊂α，且m ⊂β，那么下列命题中不正确的是（ ） A ． “l ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 B ． “l ⊥m ”是“l ⊥β”的必要不充分条件 C ． “m ∥α”是“l ∥m ”的充要条件 D ． “l ⊥m ”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )A.①②B. ①④ C .②③ D.③④第9题图 第10题图10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．29πB ．23πC ．169πD ．3π11.若函数()h x 在定义域D 上可导，且其导函数()h x '在D 上也可导，则称()h x 在D 上存在二阶导函数，记作()h x ''，即()()()h x h x ''''=，当()0h x ''<在D 上恒成立时，称()h x 在D 上是凸函数.下列函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是．．凸函数的是（ ） A ．()()sin cos f x x x m m R =++∈ B. ()()ln 2015f x x x m m R =-+∈ C ．()3()2020f x x x m m R =-++∈ D. ()()xf x xe m m R =+∈12.设1x →，2x →，3x →为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足1x →与2x →不共线，1x →⊥3x →，1x →=3x →，则23x x →→的值一定等于（ ）A ．以2x →，3x →为两边的三角形面积 B. 以1x →，2x →为邻边的平行四边形的面积 C ．以1x →，2x →为两边的三角形面积 D. 以2x →，3x →为邻边的平行四边形的面积二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（5*12=60分）1．（5分）给出下列四个语句：①两条异面直线有公共点；②你是二十四中的学生吗？③x∈{1，2，3，4}；④方向相反的两个向量是共线向量．其中是命题的共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（5分）线性回归方程表示的直线必经过的一个定点是（）A．B． C． D．（0，0）3．（5分）在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与304．（5分）命题P：“∃a∈R，则a2≤0”，则￢P为（）A．∃a∈R，a2＞0 B．∀a∈R，a2≤0 C．∀a∈R，a2＞0 D．∃a∈R，a2≤0．5．（5分）200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆6．（5分）为了在运行下面的程序之后输出的y值为16，则输入x的值应该是（）A．3或﹣3 B．﹣5 C．﹣5或5 D．5或﹣37．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．519．（5分）如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥1110．（5分）设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题11．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．1≤a≤3 B．﹣1≤a≤1 C．﹣3≤a≤3 D．﹣1≤a≤312．（5分）给出下列两个命题：命题p：是有理数；命题q：若a＞0，b＞0，则方程ax2+by2=1表示椭圆．那么下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（﹁p）∧q D．（﹁p）∨q二．填空题（4*4=16分）13．（4分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为．14．（4分）甲乙两袋中各有大小相同的两个红球、一个黄球，分别从两袋中取一个球，恰有一个红球的概率是．15．（4分）若“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是．16．（4分）给定下列命题：①“若m＞﹣1，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”的逆否命题；②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若x2+y2=0，则x，y全为零”的逆命题．其中真命题的序号是．三．解答题（12*5+14=74分）17．（12分）一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品，（1）求恰好有一件次品的概率．（2）求都是正品的概率．（3）求抽到次品的概率．18．（12分）把命题“平行于同一直线的两条直线互相平行”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，再判断这四个命题的真假．19．（12分）甲、乙两人玩转盘游戏，该游戏规则是这样的：一个质地均匀的标有12等分数字格的转盘（如图），甲、乙两人各转转盘一次，转盘停止时指针所指的数字为该人的得分．（假设指针不能指向分界线）现甲先转，乙后转，求下列事件发生的概率（1）甲得分超过7分的概率．（2）甲得7分，且乙得10分的概率（3）甲得5分且获胜的概率．20．（12分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．21．（12分）已知命题p：指数函数y=（3﹣2a）x在R上单调递增，命题q：g （x）=x2+2ax+4＞0对任意实数x恒成立．如果“p∨q”是真命题，“￢q”是真命题，求实数a的取值范围．22．（14分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性；（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（3）当销售额为8（千万元）时，估计利润额的大小．（附：b=）2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（5*12=60分）1．（5分）给出下列四个语句：①两条异面直线有公共点；②你是二十四中的学生吗？③x∈{1，2，3，4}；④方向相反的两个向量是共线向量．其中是命题的共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①两条异面直线有公共点，是能够判断真假的陈述句，是命题；②你是二十四中的学生吗？是疑问句，不是命题；③x∈{1，2，3，4}，不能判断真假，不是命题；④方向相反的两个向量是共线向量，是能够判断真假的陈述句，是命题．∴是命题的共有2个，故选：C．2．（5分）线性回归方程表示的直线必经过的一个定点是（）A．B． C． D．（0，0）【解答】解：∵线性回归方程一定过这组数据的样本中心点，∴线性回归方程表示的直线必经过（故选：A．3．（5分）在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30【解答】解：由茎叶图得到所有的数据从小到大排为：12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42∴众数和中位数分别为31，26故选：B．4．（5分）命题P：“∃a∈R，则a2≤0”，则￢P为（）A．∃a∈R，a2＞0 B．∀a∈R，a2≤0 C．∀a∈R，a2＞0 D．∃a∈R，a2≤0．【解答】解：由特称命题的否定为全称命题可知若P：“∃a∈R，则a2≤0”，则￢P为∀a∈R，a2＞0故选：C．5．（5分）200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆【解答】解：由于时速在[50，70）的数据对应的矩形高之和为0.03+0.04=0.07由于数据的组距为10故时速在[50，70）的数据的频率为：0.07×10=0.7故时速在[50，70）的数据的频数为：0.7×200=140故选：D．6．（5分）为了在运行下面的程序之后输出的y值为16，则输入x的值应该是（）A．3或﹣3 B．﹣5 C．﹣5或5 D．5或﹣3【解答】解：本程序含义为：输入x如果x＜0，执行：y=（x+1）2否则，执行：y=（x﹣1）2因为输出y=16由y=（x+1）2，x＜0，可得，x=﹣5由y=（x﹣1）2，x≥0，可得，x=5故x=5或﹣5故选：C．7．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选：D．9．（5分）如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥11【解答】解：∵S=并由流程图中S=S+故循环的初值为1终值为10、步长为1故经过10次循环才能算出S=的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴当i≥11，应满足条件，退出循环填入“i≥11”．故选：D．10．（5分）设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题【解答】解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b＜2是真命题所以原命题是真命题逆命题为：若a，b 中至少有一个不小于1则a+b≥2，例如a=3，b=﹣3满足条件a，b 中至少有一个不小于1，但此时a+b=0，故逆命题是假命题故选：A．11．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．1≤a≤3 B．﹣1≤a≤1 C．﹣3≤a≤3 D．﹣1≤a≤3【解答】解：∵命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，∴∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3．故选：D．12．（5分）给出下列两个命题：命题p：是有理数；命题q：若a＞0，b＞0，则方程ax2+by2=1表示椭圆．那么下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（﹁p）∧q D．（﹁p）∨q【解答】解：显然是无理数，所以命题p是假命题；若a＞0，b＞0且a=b则方程ax2+by2=1表示圆，所以命题q是假命题；∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，￢p为真命题，（￢p）∧q为假命题，（￢p）∨q为真命题；故选：D．二．填空题（4*4=16分）13．（4分）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为15，10，20．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，高三年级抽取的人数是400×=20人，故答案为：15，10，20．14．（4分）甲乙两袋中各有大小相同的两个红球、一个黄球，分别从两袋中取一个球，恰有一个红球的概率是．【解答】解：从甲袋中取一个球，得到红球的概率是，从乙袋中取一个球，得到红球的概率是，从甲袋中取一个红球、从乙袋中取一个黄球的概率等于×（1﹣）=，从甲袋中取一个黄球、从乙袋中取一个红球的概率也等于×（1﹣）=，故所求事件的概率为2××（1﹣）=，故答案为：．15．（4分）若“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．【解答】解：根据逆否命题的定义可知，“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是：若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．故答案为：若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．16．（4分）给定下列命题：①“若m＞﹣1，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”的逆否命题；②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若x2+y2=0，则x，y全为零”的逆命题．其中真命题的序号是①②④．【解答】解：①∵当m＞﹣1时，△=4+4m＞0，∴“若m＞﹣1，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”为真命题，其逆否命题为真命题；②当x=1时，x2﹣3x+2=0，反之，当x2﹣3x+2=0时，x=1或x=2，则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件；③“矩形的对角线相等”的逆命题是：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题；④“若x2+y2=0，则x，y全为零”的逆命题是：“若x，y全为0，则x2+y2=0”，是真命题．∴真命题的序号是①②④．故答案为：①②④．三．解答题（12*5+14=74分）17．（12分）一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品，（1）求恰好有一件次品的概率．（2）求都是正品的概率．（3）求抽到次品的概率．【解答】解：将六件产品编号，ABCD（正品），ef（次品），从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef）．共有15种，（1）设恰好有一件次品为事件A，事件A中基本事件数为：8则P（A）=（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：6则P（B）=（2）设抽到次品为事件C，事件C与事件B是对立事件，则P（C）=1﹣P（B）=1﹣18．（12分）把命题“平行于同一直线的两条直线互相平行”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，再判断这四个命题的真假．【解答】解：若p则q的形式为：若两条直线同时平行于同一直线，则两直线平行．为真命题．逆命题：若两直线平行，则两条直线同时平行于同一直线，为真命题．否命题：若两条直线不同时平行于同一直线，则两直线不平行．为真命题．逆否命题：若两直线不平行，则两条直线不同时平行于同一直线，为真命题．19．（12分）甲、乙两人玩转盘游戏，该游戏规则是这样的：一个质地均匀的标有12等分数字格的转盘（如图），甲、乙两人各转转盘一次，转盘停止时指针所指的数字为该人的得分．（假设指针不能指向分界线）现甲先转，乙后转，求下列事件发生的概率（1）甲得分超过7分的概率．（2）甲得7分，且乙得10分的概率（3）甲得5分且获胜的概率．【解答】解：（1）甲先转，甲得分超过（7分）为事件A，记事件A1：甲得（8分），记事件A2：甲得（9分），记事件A3：甲得（10分），记事件A4：甲得（11分），记事件A5：甲得（12分），由几何概型求法，以上事件发生的概率均为，甲得分超过（7分）为事件A，A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5P（A）=P（A1∪A2∪A3∪A4∪A5）=（2）记事件C：甲得（7分）并且乙得（10分），以甲得分为x，乙得分为y，组成有序实数对（x，y），可以发现，x=1的数对有12个，同样x等于2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的数对也有12个，所以这样的有序实数对（x，y）有144个，其中甲得（7分），乙得（10分）为（7，10）共1个，P（C）=（3）甲先转，得（5分），且甲获胜的基本事件为（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）则甲获胜的概率P（D）=20．（12分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，解得x＞10，或x＜﹣2，记A={x|x＞10，或x＜﹣2}．q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而非p是q的充分不必要条件，而¬p⇒q，∴A⊊B，∴，∴0＜a≤3．21．（12分）已知命题p：指数函数y=（3﹣2a）x在R上单调递增，命题q：g （x）=x2+2ax+4＞0对任意实数x恒成立．如果“p∨q”是真命题，“￢q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵指数函数y═（3﹣2a）x在R上单调递增，∴3﹣2a＞1，即p：a＜1，又∵g（x）=x2+2ax+4＞0对任意实数x恒成立，∴g（x）图象开口向上且与x轴没有交点，∴△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2，即q：﹣2＜a＜2，又“p∨q”是真命题，“﹁q”是真命题，所以p真且q假即，∴a≤﹣2．22．（14分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性；（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（3）当销售额为8（千万元）时，估计利润额的大小．（附：b=）【解答】解：（1）画出散点图：∴两个变量具有线性相关关系．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设线性回归方程为=x+，由=（3+5+6+7+9）=6，=（2+3+3+4+5）=3.4，∴===0.5，=﹣•=0.4，∴y对x的线性回归方程为y=0.5x+0.4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当销售额为8（千万元）时，利润额约为y=0.5×8+0.4=4.4（百万元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

一、单选题1．经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（ ） ()1,2A ． B ． C ． D ．3y x =-21y x -=-(3)y x =--(3)y x =-+【答案】B【分析】根据直线的点斜式方程进行求解.【详解】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率，所以直线方程为tan 451k =︒=．故A ，C ，D 错误.21y x -=-故选：B.2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ） (1,2)P -210x y -+=A ． B ． 240x y ++=20x y +=C ． D ．230x y +-=250x y -+=【答案】B【分析】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程. 210x y -+=【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为210x y -+=12l k =l l '⊥l '2'=-l k l '，即，22(1)y x -=-+20x y +=故选：B ．3．点P 为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ） 22416x y +=1F 2F 13PF =2PF =A ．13 B ．1C ．7D ．5【答案】D【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.1228PF PF a +==【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，221416x y +=1228PF PF a +==故 25PF =故选：D4．直线与圆的位置关系是（ ） 3480x y -+=22(1)(1)16x y -++=A ．相离 B ．相交C ．相切D ．不确定【答案】B【分析】直线与圆的位置关系的判断，第一步求出圆的圆心及半径，第二步求出圆心到直线的距离，距离大于半径相离，等于半径相切，小于半径相交.【详解】圆的圆心坐标为 半径为4，圆心到直线的距离22(1)(1)16x y -++=(1,1)-，所以相交. 34d =<故选：B.5．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A ．48种 B ．36种 C ．24种 D ．12种【答案】B【解析】利用分步计数原理，分3步即可求出 【详解】解：由题意可知，分三步完成： 第一步，从2种主食中任选一种有2种选法； 第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法； 第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有不同的选取方法， 23636⨯⨯=故选：B6．设双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的离()222210,0x y a b a b-=>>()3,0±43y x =±心率为（ ）A ．B ．C ．D 535443【答案】A【分析】根据题意求出，由渐近线方程求出，进而计算出，求出离心率. =3a 4b =5c =【详解】由题意得：， =3a 渐近线方程为，故，b y x a=±43b a =所以， 4b =故，5c ==∴离心率，53e =故选：A.7．开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A ，B ，C 三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有（ ） A ．6种 B ．12种C ．15种D ．18种【答案】B【分析】由题意被安排到A 中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可. 【详解】①若甲单独安排到A 中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学，,B C 共有：种方式，2232C A 6=②若甲和另一名防疫专家被安排到A 中学，则有：种方式，13C 3=则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式，,B C 22A 2=由分步乘法原理有：种方式，1232C A 6=又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有：种方式， 6612+=故选：B.8．抛物线的焦点为F ，其准线与双曲线相交于A 、B 两点，若△ABF 为()220x py p =>22133y x -=等边三角形，则（ ） p =A ．3 B ．6C ．4D ．8【答案】B【分析】表达出B 点坐标，代入双曲线方程，即可求解【详解】由题意得：，，因为△ABF ， FD p =2p OD =p所以，2p B ⎫-⎪⎪⎭将代入方程得：. 2p B ⎫-⎪⎪⎭22133y x -=6p =故选：B二、多选题9．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 1237C C B ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种1239C C C ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 1221337373C C C C C ++D ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 33107C C -【答案】ACD【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A 正确，B 错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD 正确 【详解】解：由题意得：对于A 、B 选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有13C 种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A 正确；27C 1237C C 对于选项C ：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，1237C C 共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合2137C C 33C 格品的抽法有种，故B 错误，C 正确；1221337373C C C C C ++对于选项D ：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出310C 37C 的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D 正确. 33107C C -故选：ACD10．已知直线，则（ ） 12:310,:20l ax y l x by -+=-+=A ．若，则12l l ⊥3ab=-B ．若，则12l l //3ab =C ．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则1l 16a =±D ．当时，不经过第一象限 0b <2l 【答案】BCD【分析】对于AB ，根据线线位置关系判断即可；对于C ，由题得即可解决；对于111123S a=⋅⋅-=D ，数形结合即可.【详解】由题知，直线 12:310,:20l ax y l x by -+=-+=对于A ，当时，，解得或，故A 错误； 12l l ⊥30a b +=3ab=-0a b ==对于B ，当时，，解得，故B 正确； 12l l //30ab -+=3ab =对于C ，在直线中， 1:310l ax y -+=当时，，当时，，0x =13y =0y =1x a =-所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C 正确； 1l 111123S a =⋅⋅-=16a =±对于D ，由题知当时，的图象为 0b <212:l y x b b=+故D 正确； 故选：BCD11．设椭圆C ：的焦点为、，M 在椭圆上，则（ ）221716x y +=1F 2F A ． B ．的最大值为7，最小值为1 128MF MF +=1MF C ．的最大值为16 D ．△面积的最大值为1012MF MF 12MF F 【答案】ABC【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即可. 4,3a b c ===【详解】由椭圆方程知：， 4,3a b c ===∴，故A 正确.12||||28MF MF a +==，，故B 正确.1max 7MF a c =+=1min 1MF a c =-=，此时在椭圆左右顶点上，同时△面积也最大，为21212(||||)164MF MF MF MF +≤=M 12MF F ，故C 正确，D 错误. 故选：ABC12．下列说法正确的有（ ）A ．直线过定点210x my ++=1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．过点作圆的切线，则的方程为()2,0()2214x y +-=l l 240x y --=C ．圆上存在两个点到直线的距离为2()2214x y +-=20x y +-=D ．若圆与圆有唯一公切线，则221:230O x y y +--=222:6100O x y x y m +--+=25m =【答案】AC【分析】A 选项，直线化为点斜式，得到所过定点；B 选项，利用圆心到直线距离等于半径求解切线方程；C 选项，求出圆心到直线的距离，进而求出圆上的点到直线距离的最大值和最小值，进而得到答案；D 选项，结合两圆内切，得到圆心距等于半径之差，求出的值. m 【详解】直线变形为过定点，A 正确；210x my ++=122my x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭当切线斜率不存在时，是圆的切线，当切线斜率存在时，设为，2x =()2214x y +-=l ()2y k x =-圆心到切线距离，解得：，此时的方程为，故的方程为()0,112d 34k =l 3460x y --=l 或，B 错误；2x =3460x y --=圆心到直线的距离距离最大值为()0,120x y +-=2d 20x y +-=的距离为2，C 正确； 2220x y +-=圆的圆心为，半径为2，圆圆心为，半221:230O x y y +--=()0,1222:6100O x y x y m +--+=()3,5，所以5=，解得：，D 错误. 25-=15m =-故选：AC三、填空题13．抛物线的准线方程为______． 214x y =【答案】=1x -【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而利用抛物线的性质求得准线方程． 【详解】整理抛物线方程得， 24y x =∴，2p =∴准线方程为， =1x -故答案为：．=1x -14．某大学的两名教授带领四名学生外出实习，实习前在学院门口合影留念．若站成两排合影，两名教授站在前排，四名学生站在后排，则不同的排法种数为______（用数字作答）． 【答案】48【分析】根据排列数以及分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：先排两名教授，不同的排法有（种）．22A 2=第二步：排四名学生，不同的排法有（种）．44A 24=故由分步乘法计数原理，可得不同的排法共有（种）． 22448⨯=故答案为：4815．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，则实数xOy 2214y x m -=2y x =±m =______. 【答案】1【分析】求出双曲线的渐近线方程为，对照系数后列出方程，求出. y =1m =【详解】双曲线的渐近线方程为， 2214y x m-=y x =，解得：. 2=1m =故答案为：116．设椭圆C ：的左､右焦点分别为，，P 是C 上的点，，22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F 112PF F F ⊥，则C 的离心率为___________. 2145PF F ∠=##1-1-【分析】根据等腰直角三角形性质及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心1PF 2PF 12F F 率公式求解即可.【详解】在中，设，21Rt PF F A 122F F c =因为，所以，，1245PF F ︒∠=12PF c =2PF =所以 1222c PF P a F =++=故 . 122c e a ===.1四、解答题17．已知顶点 ABC A ()()()301311A B C --，、，、，(1)求边上中线所在的直线方程 BC (2)求边上高线所在的直线方程． BC 【答案】(1)； 330x y --=(2). 230x y +-=【分析】（1）求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；BC （2）求出直线的斜率，得到边上高线所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，化为一BC BC 般方程.【详解】（1）线段的中点坐标为，即， BC 1131,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭()0,1-所以边上中线所在的直线方程为：， BC 101030y x ++=--整理得：； 330x y --=（2）直线的斜率为， BC 13211+=+所以边上高线所在直线的斜率为，BC 12-所以边上高线所在直线的方程为， BC ()132y x =--整理得：230x y +-=18．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．2na x ⎛+ ⎝n N *∈329(1)求的值；n (2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．x 56a【答案】(1)； 7n =(2). 8a =【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n 的一元二次方程求解即可.01229n n n C C C ++=（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．x a 【详解】（1）由题设，，整理得，解得（舍）或；01229n n n C C C ++=2560n n +-=8n =-7n =（2）由（1）知：二项式展开式通项为，()51472722177k k kkkk k T C ax x aC x-+---+==当时为含的项，故，解得. 6k =x 756a =8a =19．已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，C ()1F )2F （1）求双曲线的标准方程；C （2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．C P 12PF PF ⊥12PF F △【答案】（1）；（2）1．2214x y -=【分析】（1）由题可知的值即可求出双曲线的标准方程； ,c a C （2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.【详解】（1）设双曲线方程为，22221(0,0)x y a b a b-=>>由条件知， c 24a =∴，2,1a b ==∴双曲线的方程为．C 2214x y -=（2）由双曲线的定义可知，． 124PF PF -=±∵，12PF PF ⊥∴，即22212420PF PF c +==21212()220PF PF PF PF ⨯-+=∴， 122PF PF ⋅=∴的面积． 12PF F △12112122S PF PF =⋅=⨯=20．已知抛物线上的点到焦点F 的距离为6． 2:2(0)C y px p =>(5,)M m (1)求抛物线C 的方程；(2)过点作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点P 是线段的中点，求直线l 方程．(2,1)P AB【答案】(1). 2:4C y x =(2). :230l x y --=【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程. 562p+=（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k ，即可得直:(1)2l x k y =-+线l 方程．【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， 2p x =-∴抛物线定义知：，可得， 562p+=2p =∴.2:4C y x =（2）由题设，直线l 的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程， :(1)2l x k y =-+有，整理得，则，又P 是线段的中点， 24(1)2y k y =-+24420y ky k -+-=4A B y y k +=AB ∴，即，故. 42k =12k =:230l x y --=21．已知圆C ：，直线l ：. 228120x y y +-+=20ax y a ++=(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=l 的方程.【答案】(1)；34a =-(2)或. 20x y -+=7140x y -+=【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公()0,4C 2r =式列方程求参数a 的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a ，即可得直线方程. 【详解】（1）由圆：，可得， C 228120x y y +-+=()2244x y +-=其圆心为，半径，()0,4C 2r =若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.l C C l 2d r =43a =-34a =-（2）由（1）知：圆心到直线的距离d因为，即，解得：2222AB d r ⎛⎫+=⎪⎝⎭2222d +=d =所以，解得：或，d 2870a a ++=1a =-7a =-则直线为或.l 20x y -+=7140x y -+=22．设椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>()1,0F -12(1)求椭圆的方程；C (2)若在轴上的截距为2的直线与椭圆分别交于，两点，为坐标原点，且直线，y l C A B O OA OB 的斜率之和等于12，求的面积．ABF △【答案】(1)； 22143x y +=【分析】（1）由题可列出关于的方程，再结合即可求解； ,a c 222b a c =-（2）由题意可设：，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用斜率公式结合韦达AB 2y kx =+AB 定理可求得的值，可得出直线的方程，然后利用弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面k AB 积公式即得.【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为， ()222210+=>>x y C a b a b：()1,0F -12所以，解得， 112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩2,1a c ==所以，22224,3==-=a b a c 故所求椭圆方程为； 22143x y +=（2）若直线垂直于轴，则、的斜率都不存在，不合题意， AB x OA OB 所以直线斜率存在，设：，、，AB AB 2y kx =+()11,A x y ()22,B x y 联立，化简可得， 222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22341640k x kx +++=由，解得或， ()()221616340k k ∆=-+>12k >12k <-所以，， 1221634k x x k +=-+122434x x k =+所以 ()()122112121222OA OB kx x kx x y y k k x x x x ++++=+=， ()12122162226124x x k k k k x x +-=+=+⋅=-=解得，2k =-所以直线的方程为， AB 22y x =-+此时，， 123219x x +=12419x x =， 6019===点到直线的距离为 ()1,0F -AB d =所以的面积为ABF △160219⨯=。

福建省莆田市第二十四中学2014-2015学年 高二上学期期中考数学（文科）试题一．选择题1．下列说法一定正确的是（ ） A ．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B ．一枚硬币掷一次得到正面的概率是21，那么掷两次一定会出现一次正面的情况 C ．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D ．随机事件发生的概率与试验次数无关 2．设a ，b ，c ∈R ，且a>b ，则 ( )． A ．ac>bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是23，则阴影区域的面积为（ ）A.34 B.8 3 C.23D.无法计算 4．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（ ）A. 61B. 41C. `31D.215． 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从这两个班随机选出16人参加军训表演，则一班和二班分别选出的人数是（ ）A ．8人，8人B ．15人，1人C ．9人，7人D ．12人，4人 6．执行右面的程序框图输出的T 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．107．已知椭圆的一个焦点为F(0，1)，离心率12e =，则该椭圆的标准方程为 A ．22134x y += B ．22143x y += C ．2212x y += D ．2212y x +=8．甲乙两位同学在高二的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x x 乙甲，，则下列正确的是 （ ）7 8 9 8 7 2 8 8 1 082 6 乙甲A. x x >乙甲；乙比甲成绩稳定B. x x >乙甲；甲比乙成绩稳定C. x x <乙甲；乙比甲成绩稳定D. x x <乙甲；甲比乙成绩稳定 9．下表是某厂1—4用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关系，其成性回归方程是y=-0.7x+a ，则a 的值为（ ）A ．5.2 5B ．3.5C ．1.75D ．1.510．若椭圆1422=+y x 上一点到左焦点的距离为1，则该点到右焦点的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 411．已知变量,x y 满足约束条件103260240x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则4z x y =+的最小值为（ ）A ．55B ．-55C ．5D ．-512． 若椭圆2214x y+=的焦点分别为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为 A ．2 B ．4 C ． 8 D ．二．填空题13．为了解某校一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中随机剔除个体的数目是____________．14．椭圆22164x y ＋＝1的离心率为________．15．不等式2560x x --≤的解集为____________.16．若方程13122=-+-my m x 表示椭圆，则m 的取值范围是______________. 三．解答题17．为了估计某校的某次数学考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在[)40,100上，将这些成绩分成六段[)40,50，[)50,60，…[)90,100，后得到如图所示部分频率分布直方图．（1）求抽出的60名学生中分数在[)70,80内的人数；（2）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校优秀人数．18．设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．19.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到(1)回归分析，并求出y 关于x bx ＋a ； (2)试预测加工10个零件需要多少时间？20． 从编号为1，2，3，4，5的五个形状大小相同的球中，任取2个球，请用“列举法”回答下列问题：（1）求取到的这2个球编号之和为5的概率；（2）求取到的这2个球编号之和为奇数的概率．21．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过180000元，甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为1000元/分钟和400元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为3000元和2000元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少元？22．已知椭圆4422=+y x ，直线l ：y ＝x ＋m(1)若l 与椭圆有一个公共点，求m 的值；(2)若l 与椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值．参考答案1．D【解析】当a>b 时，a 3>b 3成立．A 中对c ＝0不成立．B 项取a ＝1，b ＝－1，则1a <1b不成立；C 项取a ＝1，b ＝－2，则a 2>b 2不成立． 2．D 【解析】试题分析：画出可行域得知，当过点49(,)55时，z 取得最小值5. 考点：线性规划. 3．B【解析】试题分析：解：运行第一次，1,2,15S T S ==≥不成立； 运行第二次，6,4,15S T S ==≥不成立； 运行第三次，15,6,15S T S ==≥成立；输出T 的值6. 考点：循环结构. 4．B 【解析】试题分析：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，32==正方形阴影S S P ，又因为4=正方形S ，所以38=阴影S ，故选B.考点：几何概型点评：利用几何概型的意义进行模拟试验，估算不规则图形面积的大小，关键是要根据几何概型的计算公式，探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系，及它们与模拟试验产生的概率（或频数）之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到答案． 5．D【解析】掷一枚骰子，共有6种结果，其中掷得奇数点的结果有3,所求事件的概率为21.6．D【解析】因为随机事件发生的概率与试验次数无关，概率是事件发生的可能性，但并不能确定在一次试验中事件一定发生或不发生，所以应选D. 7．C 【解析】试题分析：每个个体被抽到的概率等于 16154426=+，高三一班有抽出15496⨯=人，二班抽出14276⨯=人．故C.考点：分层抽样方法． 8．C【解析】解：由茎叶图知，甲的平均数是 (72+78+79+85+86+92)/ 6 =82， 乙的平均数是 78+86+88+88+91+93/ 6 =87 ∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定， 故选C ． 9．A 【解析】x 12344 2.5.4.543 2.54 3.5y 0.7x a a .0.7. 3.50.7 2.5 3.51.75 5.255.25y y x =+++==+++==-+∴=+=+⨯=+=解：线性回归方程是，故答案为：．10．A 【解析】试题分析：由题意得，椭圆的焦点在y 轴上，标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y ，且21,1===a c e c ，3,2222=-==∴c a b a ，即椭圆的标准方程为13422=+x y . 考点：椭圆的标准方程.11．C 【解析】试题分析：由椭圆2214x y +=，知2=a ，又弦AB 过点1F ，则根据椭圆的定义知2ABF ∆的周长=84211222==+++=+a F BF AF AF F AF B B考点：椭圆的定义 12．C【解析】根据椭圆的几何性质可知，椭圆上的点到左、右焦点的距离之和等于2a 即4，所以该点到右焦点的距离为4-1=3，故选C 13．2【解析】1252除以50的余数就是总体中需要随机剔除个体的数目． 14．{}|16x x -≤≤【解析】试题分析：原不等式可化为()()160x x +-≤，故解集为{}|16x x -≤≤.考点：一元二次不等式的解法. 15．2【解析】a ＝4，b ＝2，ce＝2c a = 16．(1,2)∪(2,3) 【解析】试题分析：因为，方程13122=-+-my m x 表示椭圆， 所以，103013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得，m 的取值范围是(1,2)∪(2,3)。

2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期末数学试卷（文科）一．选择题（每小题都有四个选项，只有一个正确，每小题5分）1．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．2．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+2≥0B．∃x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜03．若命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＜x，则下列说法正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧（￢q）是真命题C．命题p∧q是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题4．设x∈R，则|x﹣2|＜3是0＜x＜5的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分且不必要条件5．若命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，则（）A．“p∨q”为假 B．p假C．p真D．不能判断q的真假6．命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．“4＜k＜6”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．559．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）10．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．411．在抛物线y2=2px（p＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=C．x=﹣1 D．x=﹣12．曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．3x+y+3=0 B．3x﹣y+3=0 C．3x﹣y=0 D．3x﹣y﹣3=0二．填空题（每小题4分）13．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为．14．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|= ．15．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为．16．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论：①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；②在区间（1，3）内f（x）是减函数；③在x=2时，f（x）取得极大值；④在x=3时，f（x）取得极小值．其中正确的是．三．解答题（12+12+12+12+12+14）17．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？18．已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．19．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．20．已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”．若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．21．已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．22．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题都有四个选项，只有一个正确，每小题5分）1．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．2．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+2≥0B．∃x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，x2﹣x+2＜0”的否定是∃x∈R，x2﹣x+2≥0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．若命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＜x，则下列说法正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧（￢q）是真命题C．命题p∧q是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】容易判断命题p是真命题，q是假命题，所以根据p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q 的关系即可找出正确选项．【解答】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，＜x无解，∴命题q是假命题；∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；故选：B．【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．4．设x∈R，则|x﹣2|＜3是0＜x＜5的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分且不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】利用解绝对值不等式化简|x﹣2|＜3，根据满足条件和结论的数构成的集合的包含关系，判断出条件关系．【解答】解：∵|x﹣2|＜3⇔﹣1＜x＜5∵{x|﹣1＜x＜5}⊇{x|0＜x＜5}∴|x﹣2|＜3是0＜x＜5的必要不充分条件故选B【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简各个命题，然后再利用充要条件的定义进行判断．5．若命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，则（）A．“p∨q”为假 B．p假C．p真D．不能判断q的真假【考点】复合命题的真假．【专题】常规题型；简易逻辑．【分析】由命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，可知q为真，p为假；从而判断四个选项即可．【解答】解：∵命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，∴q为真，p为假；则p∨q为真，故选B．【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．6．命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】四种命题的真假关系．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据不等式的基本性质可以判断出原命题及逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，可得答案．【解答】解：命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b”为真命题；故其逆否命题也为真命题；其逆命题为“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时不成立，故为假命题故其否命题也为假命题故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个故选C【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键．7．“4＜k＜6”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的标准方程，我们易构造不等式组，求出方程表示椭圆时，参数k的取值范围，再由充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：若方程表示椭圆则6﹣k＞0，且k﹣4＞0，且6﹣k≠k﹣4解得4＜k＜5或5＜k＜6故“4＜k＜6”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件故选C【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，椭圆的标准方程，其中根据椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，构造不等式组，求出满足条件的参数k的取值范围，是解答本题的关键．8．阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55【考点】程序框图．【专题】计算题．【分析】经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s的值．【解答】解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故答案为C．【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．9．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把抛物线的方程化为标准形式，即可得出结论．【解答】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．10．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【考点】抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线y2=2px的焦点坐标，即可求出p的值．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4．故选D．【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．在抛物线y2=2px（p＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=C．x=﹣1 D．x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得4﹣（﹣）=5，解之可得p值，进而可得抛物线的准线方程．【解答】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右，焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2故抛物线的准线方程为x=﹣1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．12．曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．3x+y+3=0 B．3x﹣y+3=0 C．3x﹣y=0 D．3x﹣y﹣3=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】先求出函数y=x3+1的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．【解答】解：y′=3x2y′|x=1=3，切点为（﹣1，0）∴曲线y=x3+1在点（﹣1，0）切线方程为y﹣0=3[x﹣（﹣1）]，即3x﹣y+3=0故选B．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．二．填空题（每小题4分）13．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为20 ．【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a，由此能够求出△PQF2的周长．【解答】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a．∴△PQF2的周长=20．，故答案为20．【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．14．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，∴，解得b=1，a=2．∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【考点】归纳推理．【专题】计算题．【分析】观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果．【解答】解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．16．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论：①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；②在区间（1，3）内f（x）是减函数；③在x=2时，f（x）取得极大值；④在x=3时，f（x）取得极小值．其中正确的是③．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的概念及应用．【分析】先求出函数在各个区间上的导函数的符号，再分别对①②③④进行判断．【解答】解：由 y=f'（x）的图象可知，x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确；②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确；x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负，③在x=2时，f（x）取得极大值；而，x=3附近，导函数值为正，所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确．故答案为③．【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．三．解答题（12+12+12+12+12+14）17．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的概念可求当实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是实数，虚数，纯虚数．【解答】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数．【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．18．已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数相等的条件列出方程组，求出方程组的解即为实数x、y的值．【解答】解：由复数相等的条件，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．19．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．20．已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”．若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】若命题p是真命题：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”，则＜1，解得m范围；若命题q是真命题：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”，则m﹣4＜0，解得m范围．若p∨q为真，￢p为真，则p为假命题，q为真命题．解出即可．【解答】解：若命题p是真命题：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”，则＜1，解得1﹣；若命题q是真命题：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”，则m﹣4＜0，解得m＜4．若p∨q为真，￢p为真，则p为假命题，q为真命题．∴．∴实数m的取值范围是或．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）将直线的方程y=x+m与椭圆的方程x2+4y2=4联立，得到5x2+2mx+m2﹣1=0，利用△=0，即可求得m的取值范围；（2）利用两点间的距离公式，再借助于韦达定理即可得到：两交点AB之间的距离，列出|AB|=2，从而可求得m的值．【解答】解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：x2+4（x+m）2=4，即：5x2+8mx+4m2﹣4=0，△=（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）=﹣16m2+80=0解得：m=．（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程5x2+8mx+4m2﹣4=0的两根，由韦达定理可得：x1+x2=﹣，x1•x2=，∴|AB|====2；∴m=±．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．22．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=2取得极值，说明导函数在x=2时值为0，再根据其图象在x=1处的切线斜率为﹣3，列出方程组即可求出a、b的值，进而可以求出函数的单调区间；（2）可以求出函数在闭区间∈[1，3]上的最小值，这个最小值要大于1﹣4c2，解不等式可以得出实数c的取值范围．【解答】解：（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3；由已知所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以由f′（x）=3x2﹣6x＞0得心x＜0或x＞2；所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增；所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c﹣4要使x∈[1，3]，f（x）＞1﹣4c2恒成立只需1﹣4c2＜c﹣4恒成立，所以c＜或c＞1．故c的取值范围是{c|c或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．。

2015-2016学年福建省莆田二十四中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分共70分）1．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．i D．﹣i2．（5分）有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题3．（5分）函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）4．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为（）A．B．C．0 D．15．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°6．（5分）已知||=3，||=5，且+λ与﹣λ垂直，则λ等于（）A．B．± C．± D．±7．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9=（）A．100 B．40 C．20 D．129．（5分）已知实数x，y满足，则x﹣3y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．110．（5分）正项等比数列{a n}的公比为2，若a2a10=16，则a9的值是（）A．8 B．16 C．32 D．6411．（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有（）个（1）y=x+≥2=4（2）y=sinx+≥2=2（x∈（0，）（3）y=lgx+4log x10＞2=4（4）y=3x+≥2=4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1 B．C．2 D．2二、填空题（每小题5分共20分）13．（5分）函数f（x）=的定义域是．14．（5分）已知α是钝角，cosα=﹣，则sin（﹣α）=．15．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ+）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，则φ的值为．16．（5分）函数f（x）=的单调递增区间是．三、解答题（题型注释）17．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 15，求{b n }前n 项和T n ．18．（12分）某厂用甲、乙两种原料生产A 、B 两种产品，已知生产1t A 产品，1t B 产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．问：在现有原料下，A 、B 产品应各生产多少才能使利润总额最大？列产品和原料关系表如下：19．（12分）已知函数f （x ）=x 3﹣3x ； （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求f（x ）在区间[﹣3，2]上的最值． 20．（12分）已知函数f （x ）=﹣2sin 2x +2sinxcosx +1．（1）求f （x ）的最小正周期及对称中心； （2）若x ∈[﹣，]，求f （x ）的最大值和最小值．21．（12分）已知函数f （x ）=x 2+alnx （a ∈R ）．（Ⅰ）若函数f （x ）的图象在x=2处的切线方程为y=x +b ，求a ，b 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）已知直线的极坐标方程为，圆M 的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆M 上的点到直线的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|（I）画出函数y=f（x）的图象；（II）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．2015-2016学年福建省莆田二十四中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共70分）1．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．i D．﹣i【解答】解：．故选：A．2．（5分）有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题【解答】解：A：命题的逆否命题是首先对换命题的条件与结论再分别对新的条件与结论进行否定，故A正确．B：方程x2﹣3x+2=0的解是x=1或x=2，所以“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件是正确的．C：存在性命题的否定是全称命题，即把存在改为任意把小于改为大于等于，所以C正确．D：根据真值表可得：若p∧q为假命题时则p、q至少有一个是假命题，故D错误．故选：D．3．（5分）函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）．故选：C．4．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为（）A．B．C．0 D．1【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：a：b：c=3：4：5，设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得：cosA===．故选：B．5．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选：D．6．（5分）已知||=3，||=5，且+λ与﹣λ垂直，则λ等于（）A．B．± C．± D．±【解答】解：∵+λ与﹣λ垂直，∴（+λ）•（﹣λ）=0，∴=0，即=0，代入数据可得32﹣λ2×52=0，解得λ=±故选：B．7．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A． B．C．D．【解答】解：∵且∥，∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4由此可得，∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4故选：B．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9=（）A．100 B．40 C．20 D．12【解答】解：∵S10=100，∴=100，解得a1+a10=20，由等差数列的性质得，a2+a9=a1+a10=20，故选：C．9．（5分）已知实数x，y满足，则x﹣3y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1【解答】解：设z=x﹣3y，则得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，2）．将A（2，2）代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×2=2﹣6=﹣4．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣4．故选：A．10．（5分）正项等比数列{a n}的公比为2，若a2a10=16，则a9的值是（）A．8 B．16 C．32 D．64【解答】解：∵正项等比数列{a n}的公比为2，a2a10=16，∴a12×210=16，∴a1=，∴a9=a1×28=25=32，故选：C．11．（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有（）个（1）y=x+≥2=4（2）y=sinx+≥2=2（x∈（0，）（3）y=lgx+4log x10＞2=4（4）y=3x+≥2=4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：根据基本不等式成立的条件，对各命题考察如下：（1）y=x+≥2=4，这个运算是错误的，因为只有“正数”才能用基本不等式，即该式中“x＞0”这个条件缺失；（2）y=sinx+≥=2（x∈（0，），这个运算是错误的，因为取最小值2时，sinx=，不等成立，即“=”无法取得；（3）y=lgx+4log x10＞2=4，这个运算是错误的，因为只有“正数”才能用基本不等式，即该式中应限制“x＞1”；（4）y=3x+≥2=4，这个运算是正确的，符合条件“一正，二定，三相等”．所以，只有（4）是正确的，故选：B．12．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，最近；故令y′=2x﹣=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x﹣2的最小值为=；故选：B．二、填空题（每小题5分共20分）13．（5分）函数f（x）=的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．14．（5分）已知α是钝角，cosα=﹣，则sin（﹣α）=﹣．【解答】解：由于α是钝角，cosα=﹣，则sinα==，则sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=（﹣﹣）=﹣．故答案为：﹣15．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ+）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，则φ的值为．【解答】解：由函数图象可得：T=2（）=π，从而可求ω==2，由点（，0）在函数图象上，所以：sin（2×+φ+）=0，解得：φ=k，k∈Z，由0＜φ≤，从而可得：φ=．故答案为：．16．（5分）函数f（x）=的单调递增区间是（0，e）．【解答】解：由于函数的导数为y′=，令y′＞0 可得lnx＜1，解得0＜x＜e，故函数的单调递增区间是（0，e），故答案为：（0，e）．三、解答题（题型注释）17．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设{b n}的公比为q，则，从而q=2，故{b n}的前n 项和．18．（12分）某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1t A产品，1t B产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？列产品和原料关系表如下：【解答】解析：设生产A、B两种产品分别为xt，yt，其利润总额为z万元，根据题意，可得约束条件为…（3分）作出可行域如图：…．（5分）目标函数z=4x+3y，作直线l0：4x+3y=0，再作一组平行于l0的直线l：4x+3y=z，当直线l经过P点时z=4x+3y取得最大值，…．（9分）由，解得交点P…．（12分）所以有…（13分）所以生产A产品2.5t，B产品1t时，总利润最大，为13万元．…（14分）19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x；（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣3，2]上的最值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．令f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数，若x∈（﹣1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数；（II）∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2，∴当x=﹣3时，f（x）在区间[﹣3，2]取到最小值为﹣18．∴当x=﹣1或2时，f（x）在区间[﹣3，2]取到最大值为2．20．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．21．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）已知函数f（x）=x2+alnx，则导数函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：，f（2）=2+aln2=2+b，解得a=﹣2，b=﹣2ln2（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，则≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量得a≥﹣x2，而（﹣x2）在x∈（1，+∞）恒小于﹣1，即得a≥﹣1故a的取值范围为：a≥﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|（I）画出函数y=f（x）的图象；（II）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）函数f（x）可化为：…3′其图象如下：…5′（II）关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解等价于：（f（x）+4）max≥|1﹣2m|．…6′由（I）可知f（x）max=3，（也可由|f（x）|=||x+2|﹣|x﹣1||≤|（x+2）﹣（x﹣1|）|=3，得f（x）max=3）…8′于是|1﹣2m|≤7，解得实数m的取值范围：m∈[﹣3，4]…10′。

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷 数学（文科） V=Sh 其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V=Sh ， 其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则等于（） A．B．C．D． 2．已知复数（）在复平面上对应的点为M，则“且”是“点M在第四象限”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．抛物线的准线方程是（） A．x=－2 B．x=－1 C．y=－2 D． y=－1 4．根据如下样本数据 6 8 10 12 2 3 5 6 得到的线性回归方程为，则的值为（） A．－2 B．－ 2．2 C．－2．3 D．－2．6 5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的k的值等于（） A．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 6．若实数满足不等式组则的最大值是（） A．－1 B．0 C．1 D．2 7．已知函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－x，则不等式f(x）>0的解集为（） A．（－∞，－1）∪（0，1） B．（－∞，－1）∪（1，+∞） C．（－1，0）∪（0，1） D．（－1，0）∪（1，+∞） 8．已知若向量与垂直，则实数的值为（） A．B．C．D． 9．请在“垂直于同一①的两②平行”①和②中填入“直线”或“平面”，使之组成四个不同的命题，则其中真命题的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 11．函数的导函数的图象是如图所示的一条直线，该直线与轴的交点坐标为（1，0），则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 12．如图，所在平面上的点均满足，（其中，是以1为首项的正项数列），则等于（） A．4 B．8 C．16 D．32 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．若集合则集合=． 14．某校对100名参加“妈祖杯”知识竞赛的选手成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这100名学生中，成绩不低于80分的人数． 15．函数的一条切线与直线垂直，则该切线方程为_______． 16．定义：表示不超过的最大整数．例如：，．给出下列结论： ①函数是周期为的周期函数； ②函数是奇函数； ③函数的值域是； ④函数不存在零点． 其中正确的是_____________．（填上所有正确结论的编号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡相应位置． 17．（本小题满分12分） 已知等差数列{an}的首项为1，公差d≠0，且a1，a2，a4成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式与前n项和Sn； （Ⅱ）设（），求使不等式成立的最小正整数n． 18．（本小题满分12分） 已知函数经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下： ①0 1 0 －1 0 （Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数的单调递增区间； （Ⅱ）的内角所对的边分别为，已知，求的面积． 19．（本小题满分12分） 《聪明花开——莆仙话挑战赛》栏目共有五个项目，分别为“和一斗”、“斗麻利”、“文士生”、“讲头知尾”、“正功夫”．《聪明花开》栏目组为了解观众对项目的看法，设计了“你最喜欢的项目是哪一个 ”的调查问卷（每人只能选一个项目），对现场观众进行随机抽样调查，得到如下数据（单位：人）： 合一斗斗麻利文士生讲头知尾正功夫115 230 115 45 460 （I）在所有参与该问卷调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人座谈，其中恰有4人最喜欢“斗麻利”，求n的值及所抽取的人中最喜欢“合一斗”的人数； （II）（I）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，任选2人参加栏目组互动，求恰有1人最喜欢“合一斗”的概率． 20．（本小题满分12分） 已知四边形ABCD为平行四边形，，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面平面ABCD． (Ⅰ)求证：平面ADF； (Ⅱ)若M为CD中点，证明在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，且MN//平面BDF，并求出此时三棱锥N—ADF的体积． 21．（本小题满分12分） 如图，O为坐标原点，椭圆：（）的左、右焦点分别是F1、F2，上顶点为P，离心率e=．直线PF2交椭圆于另一点Q，△PQF1的周长为8． （I）求椭圆的方程； （II）若点R满足，求△PQR的面积； （III）若M、N为椭圆E上异于点P的两动点，试探究：是否存在点M、N，使得△PMN为正三角形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分14分） 已知函数，．，求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：对任意给定的正数，总存在实数，使函数在区间上不单调； （Ⅲ）试探究：是否存在实数，使当时，函数的值域为？若存在，试确定实数的取值范围；若不存在，说明理由． 2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷 数学（文科） 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．A2．A3．B4．C5．C6．D7．D8．C9．B10．A11．B12．C 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共4小题，每小题4分，满分16分． 13．{1，2}14．2515．4x+y+3=016．①③④ 三、本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查等差、等比数列数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）因为a1，a2，a4成等比数列，所以a1a4=a22 ．…………………………………1分 即a1(a1+3d)=(a1+d)2，解得=1或d=0（舍去）． …………………………………………2分 所以an=1+(n－1)1=n，………………………………………………………………………4分 ．………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，…………………………………………7分 所以．…………9分 解，解得n>9，…………………………………………………………………………11分 所以使不等式成立的最小正整数为10． (12)分 18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力考查化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）①处应填入．…………………1分 ……………3分 ．………………4分 T=，，，．…………5分 ，，得， 所以函数的单调递增区间为．……………7分 （Ⅱ）因为，…………8分 解法一：由余弦定理得， 得，．…………10分 所以的面积．………12分 解法二：由正弦定理得， 所以，，而，………8分 所以 ，………10分 即，因为，，所以． 因此为等边三角形，其面积． ……12分 19．本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分． 解（I）由已知得，解得n=22．…………3分 抽取的人中最喜欢“合一斗”有(人)．……………5分 （II）从（I）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，最喜欢“合一斗”的有2人，记为A1、A2，最喜欢“斗麻利”的有4人，记为B1、B2、B3、B4．…………………6分 从中随机抽取2人，所有的可能结果共有15种，它们是: (A1， A2)、(A1， B1)、(A1，B2)、(A1， B3)、(A1， B4)、(A2， B1)、(A2， B2)、(A2， B3)、(A2， B4)、 (B1， B2)、(B1， B3)、(B1， B4)、(B2， B3)、(B2， B4)、(B3， B4)．…………9分 其中，恰有1人最喜欢“合一斗”的可能结果共有8种，它们是：(A1， B1)、(A1， B2)、(A1， B3)、(A1， B4)、(A2， B1)、(A2， B2)、(A2， B3)、(A2， B4)．故所求的概率P=．…………12分 20．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分． (Ⅰ)证：正方形ABEF中，AF⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF平面ABEF， 平面ABEF平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD． 又∵BD平面ABCD，∴AF⊥BD． ……………3分 又，AFAD=A，AF、AD平面ADF，∴平面ADF．……………5分 (Ⅱ)解：当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF，且MN//平面BDF． ……………6分 证明如下：正方形ABEF中，NFBA，形ABCD中，MDBA，NFMD， 四边形NFDM为平行四边形，MN//DF． ……………7分 又DF平面ADF，MN平面ADF，∴MN//平面ADF，同理可证MN//平面BDF． ……………9分 过D作DHAB于H，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又DH平面ABCD，平面ABEF平面ABCD=AB，∴DH⊥平面ABEF． 在Rt?ABD中，AB=2，BD=AD，∴DH=1，……………10分 所以．……………12分 21．本小题主要考查平面向量、点到直线的距离、椭圆的定义与性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想．满分12分． 解法一：（Ⅰ）由已知可得，，4a=8，所以a=2，c=1．·……………2分 又由，解得，所以椭圆的方程为．……………3分 （Ⅱ）因为，所以， 所以R，O，Q三点共线，且R在椭圆E上．……………4分 直线PF2的方程为y=(x－1)，由得5x2－8x=0，解得x=或x=0，……………5分 所以P（0，），Q（，），R（，）．·……………6分 所以S△PQR=S△POR+S△POQ=|PO|·|xQ－xR|=．……………7分 （Ⅲ）存在点M，N，当其坐标为（－，），（，）时，△PMN为等边三角形．…8分 证明如下：当MN⊥x轴时，易得△PMN不可能为等边三角形． 当MN⊥y轴时，因为为等边三角形，结合椭圆的对称性，以及（Ⅱ）可得M，N的坐标为（－，），（，），符合题意．……………9分 当MN不与坐标轴垂直时，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为D（x0，y0）， 由得， 即，所以kMN=．……………10分 因为△PMN为等边三角形，所以kMN·kPD=—1，即， 解得y0=，与y0∈矛盾，此时不存在M，N使△PMN是等边三角形．·……………11分 综上，存在M，N，且其坐标为（－，），（，）时△PMN是等边三角形．……12分 解法二：（Ⅰ）同解法一； （Ⅱ）同解法一，可得|QR|=2|QO|=．………6分 因为直线QR的方程为y=x，即x+8y=0， 所以点P（0，）到直线QR的距离d=． 所以S△PMN=|QR|·d=．……………7分 （Ⅲ）存在点M，N，当其坐标为（－，），（，）时，△PMN为等边三角形．…8分 证明如下：当MN⊥x轴时，易得△PMN不可能为等边三角形． （1）当MN垂直于坐标轴时，同解法一．……………9分 （2）当MN不与坐标轴垂直时，设直线MN的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）． 由得，所以，MN的中点坐标为． 因为△PMN为等边三角形，所以kMN·kPD=—1，即， 化简得，（*） 又因为， 即，这与（*）式矛盾，M，N．……………11分 综上，存在M，N，其坐标为（－，），（，）时△PMN是等边三角形．……12分 22．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分． 解：（Ⅰ）由，（x>0）．………… 1分 令，得，f(x)，的变化情况如下表： (0，1) 1 （1，+∞）+ 0 －单调递增极大值单调递减所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．……………………………… 3分 （Ⅱ）． （1）当时，恒成立，此时函数在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…………………4分 （2）当时，令，得，，的变化情况如下表： + 0 －单调递增极大值单调递减所以函数的增区间为，减区间为．……………… 6分 要使函数在区间上不单调，须且只须，即． 所以对任意给定的正数，只须取实数，就能使得函数在区间上不单调．…………………… 7分 （Ⅲ）假设存在实数，使当时，函数f(x)的值域为． 由得．……………………… 8分 令（1）当时，均在区间（0，+∞）上单调递增， 由已知得为方程的两个不等正根．（*） 令，即． 要使（*）成立，须且只须存在两个零点． ………………………9分 因为． ①当，即时，在区间（0，+∞）上单调递增，（*）不成立． ②当，即时，令，得，此时取到最大值． 要使（*）成立，须且只须，得． 所以当时，要使（*）成立，须且只须．…………………… 10分 （2）当时，由（Ⅱ）知，在处取到最大值． 此时要使命题成立，须且只须有两个零点，结合图形可得： ①若，由均在区间上单调递增知，存在符合题意； ②若，则取符合的解为即可． 由①，②，结合（1）得．…………………… 13分 注意到，所以，且． 综上，当时，存在符合题意； 当时，存在符合是题意； 当时，满足条件的实数不存在．…… 14分。

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．B 12．C二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．{1，2} 14．25 15．4x+y+3=0 16．①③④三、本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等差、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）因为a 1，a 2，a 4成等比数列，所以a 1a 4=a 22 ．…………………………………1分即a 1(a 1+3d)=(a 1+d)2，解得d=1或d=0（舍去）． …………………………………………2分所以a n =1+(n －1)1=n ，………………………………………………………………………4分(1)2n n n S +=．………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2112()(1)1n b n n n n ==-++，…………………………………………7分 所以1211111122(1)2()2()2(1)223111n n b b b n n n n +++=-+-++-=-=+++．…………9分 解2915n n >+，解得n>9，…………………………………………………………………………11分 所以使不等式成立的最小正整数为10．……………………………………………………12分18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）①处应填入6π．…………………1分1cos 21()222x f x x ωω+=-+……………3分12cos 2sin(2)26x x x πωωω=-=-．………………4分 因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω＝，()sin()6f x x π=-．…………5分 令22262k x k πππππ-≤-≤+，Z ∈k ，得22233k x k ππππ-≤≤+， 所以函数)(x f 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()Z ∈k ．……………7分（Ⅱ）因为4()2a c f π+=4sin 3π==…………8分解法一：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-22()22cos()33a c ac ac a c ac π=+--=+-，得223ac =-，3ac =．…………10分所以 ABC ∆的面积11sin 322S ac B ==⨯=．………12分 解法二：由正弦定理得2sin sin sin a c b A C B===， 所以2sin a A =，2sin c C =，而23A CB ππ+=-=，………8分所以2sin 2sin a c A C +=+212sin()2sin 2(cos sin )2sin 322C C C C C π=-+=++3sin C C =+)3C π=-=………10分 即cos()13C π-=，因为0C π<<，2333C πππ-<-<，所以3C π=．因此 ABC ∆为等边三角形，其面积2S == ……12分 19．本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．解（I ）由已知得4115230115345460230n =++++，解得n=22．…………3分 抽取的人中最喜欢“合一斗”有11542230⨯=(人)．……………5分 （II ）从（I ）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，最喜欢“合一斗”的有2人，记为A 1、A 2，最喜欢“斗麻利”的有4人，记为B 1、B 2、B 3、B 4．…………………6分从中随机抽取2人，所有的可能结果共有15种，它们是: (A 1， A 2)、(A 1， B 1)、(A 1， B 2)、(A 1， B 3)、(A 1， B 4)、(A 2， B 1)、(A 2， B 2)、(A 2， B 3)、(A 2， B 4)、 (B 1， B 2)、(B 1， B 3)、(B 1， B 4)、(B 2， B 3)、(B 2， B 4)、(B 3， B 4)．…………9分其中，恰有1人最喜欢“合一斗”的可能结果共有8种，它们是：(A 1， B 1)、(A 1， B 2)、(A 1， B 3)、(A 1， B 4)、(A 2， B 1)、(A 2， B 2)、(A 2， B 3)、(A 2， B 4)．故所求的概率P=815．…………12分 20．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．(Ⅰ)证：正方形ABEF 中，AF ⊥AB ，∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，又AF ⊂平面ABEF ， 平面ABEF ⋂平面ABCD=AB ，∴AF ⊥平面ABCD ．又∵BD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥BD ． ……………3分又AD BD ⊥，AF ⋂AD=A ，AF 、AD ⊂平面ADF ，∴⊥BD 平面ADF ．……………5分 (Ⅱ)解：当N 为线段EF 中点时，MN ∥平面ADF ，且MN//平面BDF ． ……………6分证明如下：正方形ABEF 中，NF //21BA ， 平行四边形形ABCD 中，MD //21BA ，∴NF //MD ， ∴四边形NFDM 为平行四边形，∴MN//DF ． ……………7分又DF ⊂平面ADF ，MN ⊄平面ADF ，∴MN//平面ADF ，同理可证MN//平面BDF ． ……………9分过D 作DH ⊥AB 于H ，∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，又DH ⊂平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD=AB ，∴DH ⊥平面ABEF ．在Rt∆ABD 中，AB=2，BD=AD ，∴DH=1，……………10分所以111112332N ADF D ANF ANF V V DH S --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=分 21．本小题主要考查平面向量、点到直线的距离、椭圆的定义与性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由已知可得，12c a =，4a=8，所以a=2，c=1．·……………2分又由222b a c =-，解得b = 所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………3分 （Ⅱ）因为2=+PO PQ PR ，所以OR QO =，所以R ，O ，Q 三点共线，且R 在椭圆E 上．……………4分直线PF 2的方程为y=－1)，由221,431),x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得5x 2－8x=0，解得x=85或x=0，……………5分所以P （0，Q （85，），R （85-．·……………6分 所以S △PQR =S △POR +S △POQ =12|PO|·|x Q －x R|=11625=．……………7分 （Ⅲ）存在点M ，N ，当其坐标为（－85，），（85，）时，△PMN 为等边三角形．…8分证明如下：当MN ⊥x 轴时，易得△PMN 不可能为等边三角形．当MN ⊥y 轴时，因为∆PMN 为等边三角形，结合椭圆的对称性，以及（Ⅱ）可得M ，N 的坐标为（－85，5-），（85，5-），符合题意．……………9分 当MN 不与坐标轴垂直时，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），MN 的中点为D （x 0，y 0）， 由221122221,431,43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 得12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，即012121212033()4()4x y y x x x x y y y -+=-=--+，所以k MN =0034x y -．……………10分 因为△PMN 为等边三角形，所以k MN ·k PD =—1，即0000314x y y x -⋅=-， 解得y 0=-与y 0∈[矛盾，此时不存在M ，N 使△PMN 是等边三角形．·……………11分综上，存在M ，N ，且其坐标为（－85，），（85，）时，△PMN 是等边三角形．……12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）同解法一，可得|QR|=2|QO|==………6分 因为直线QR 的方程为y=x，即， 所以点P （0到直线QR 的距离=． 所以S △PMN =12|QR|·d=12=……………7分 （Ⅲ）存在点M ，N ，当其坐标为（－85，5-），（85，5-）时，△PMN 为等边三角形．…8分证明如下：当MN ⊥x 轴时，易得△PMN 不可能为等边三角形．（1）当MN 垂直于坐标轴时，同解法一．……………9分（2）当MN 不与坐标轴垂直时，设直线MN 的方程为y=kx+m （k≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,43,⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y kx m 得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434--+==++km m x x x x k k ，MN 的中点坐标为2243(,)3434-++km m D k k ．因为△PMN 为等边三角形，所以k MN ·k PD =—1，即22334134+=-+m k k k ，化简得24)=+m k ， （*）又因为222222644(34)(412)48(43)0∆=-+-=+->k m k m k m ，即2234<+m k ，这与（*）式矛盾，满足条件的M ，N 不存在．……………11分 综上，存在M ，N ，当其坐标为（－85，5-），（85，5-）时，△PMN 是等边三角形．……12分22．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=（x>0）．………… 1分 令()0f x '=，得1x =，f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．……………………………… 3分 （Ⅱ）11()(0)ax f x a x x x-'=-=>． （1）当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…………………4分（2）当0a >时，令()0f x '=，得1x=，()f x ，()f x '的变化情况如下表： 所以函数()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞．……………… 6分要使函数()f x 在区间(,)m +∞上不单调，须且只须1m a >，即10a m<<．所以对任意给定的正数m ，只须取实数1(0,)a m∈，就能使得函数()f x 在区间(,)m +∞上不单调．…………………… 7分 （Ⅲ）假设存在实数1221,(0)x x x x >>，使当12[,]x x x ∈时，函数f(x)的值域为12[1,1]kx kx --．由12120,11,x x kx kx <<⎧⎨-<-⎩得0k >．……………………… 8分令()1g x kx =-．（1）当0a ≤时，(),()f x g x 均在区间（0，+∞）上单调递增，由已知得12,x x 为方程()()f x g x =的两个不等正根． （*）令()()()h x f x g x =-，即()ln ()1h x x a k x =-++．要使（*）成立，须且只须()h x 存在两个零点． ………………………9分 因为1()(0)h x a k x x'=-->． ①当0a k +≤，即k a ≤-时，()h x 在区间（0，+∞）上单调递增，（*）不成立． ②当0a k +>，即k a >-时，令()0h x '=，得1x a k =+，此时()h x 取到最大值． 要使（*）成立，须且只须11()ln()0h a k a k=>++，得1k a <-． 所以当0a ≤时，要使（*）成立，须且只须1a k a -<<-．…………………… 10分（2）当0a >时，由（Ⅱ）知，()f x 在1x a=处取到最大值． 此时要使命题成立，须且只须()h x 有两个零点12,x x ，结合图形可得： ①若121x x a<<，由(),()f x g x 均在区间2(0,)x 上单调递增知，存在12,x x 符合题意； ②若121x x a <<，则取符合11()kx f a -=的解为2x 即可．由①，②，结合（1）得1a k a -<<-． (13)分注意到0k >，所以01a <<，且01k a <<-．综上，当0a ≤时，存在(,1)k a a ∈--符合题意；当01<<a 时，存在(0,1)k a ∈-符合是题意；a 时，满足条件的实数k不存在．…… 14分当1。