2018年秋八年级数学上册 第14章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 14.2.3 三边分别

9.如图,点P在∠AOB的平分线上,若使△AOP≌△BOP,则需添加一个条件. ( 1 )小明添加的条件是:AP=BP.你认同吗? ( 2 )你添加的条件是 ∠APO=∠BPO ,请用你添加的条件完成证明.
解:( 1 )不认同,按小明添加的条件,并不能证明全等. ( 2 )理由:∵点 P 在∠AOB 的平分线上, ∴∠AOP=∠BOP, ∠������������������ = ∠������������������, 在△AOP 和△BOP 中, ������������ = ������������, ∠������������������ = ∠������������������, ∴△AOP≌△BOP( ASA ).
知识点2 判定三角形全等的方法“ASA”的简单实际应用 3.如图,聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分,他根据所学知识很 快就画了一个与书本上完全一样的三角形,那么聪聪画图的依据是 ( C ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 4.如图,要测量河岸相对两点A,B之间的距离,已知AB垂直于河岸BF, 先在BF上取两点C,D,使CD=CB,再过点D作BF的垂线段DE,使点 A,C,E在一条直线上,测出BD=10,ED=4,则AB的长是 ( C ) A.5 B.10 C.4 D.以上都不对
12.( 南充中考 )已知△ABN和△ACM的位置如图所 示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2. ( 1 )求证:BD=CE; ( 2 )求证:∠M=∠N. ������������ = ������������, 证明:( 1 )在△ABD 和△ACE 中, ∠1 = ∠2, ������������ = ������������, ∴△ABD≌△ACE( SAS ), ∴BD=CE. ( 2 )∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM, 由( 1 )得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C, ∠������ = ∠������, 在△ACM 和△ABN 中, ������������ = ������������, ∠������������������ = ∠������������������, ∴△ACM≌△ABN( ASA ), ∴∠M=∠N.

知1－导
知识点 1 判定两三角形全等的基本事实：边角边
探究 1.如图,把圆规平放在桌面上，在圆规的两
脚上各取一点A，C，自由转动其一个脚， △ABC的形状、大小随之改变，那么还需 增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢？
知1－导
2.如图,把两块三角尺的一条直角 边放在同一条直线l上，其中 ∠B，∠C已知，并记两块三角 尺斜边的交点为A.沿着直线l分 别向左右移动两个三角尺，△ABC的大小随之改变，这直 观地说明一个三角形，只知道两个角，这个三角形是不 确定的.那么还需增加什么条件才可以使△ABC确定呢？
AB AB， ∵ABC ABC ,
BC BC ,
∴△ABC≌△A′B′C′. 要点精析：（1）全等的元素：两边及这两边的夹角； （2）在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边、 角、边的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两 边及其夹角对应相等．
知1－讲
3.易错警示：用两边一角证三角形全等时，角必须 是两边的夹角．两边和一边的对角分别相等时两 个三角形不一定全等，即不存在“边边角”．如图，
A．∠ABC＝∠ADE B．∠ABD＝∠ACE C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE
知2－讲
知识点 2 全等三角形判定“边角边”的简单应用
例3 如图，AD∥BC且AD＝BC，AE＝FC. 求证：BE∥DF.
导引：根据题意证明AF＝CE和∠A=∠C，结合AD ＝BC，证明△ADF≌△CBE(SAS)．
AC CA，（公共边）
∴ △ADC ≌△CBA.（SAS）
知1－讲
知1－讲
例2 如图，点C是AB的中点，AD=CE，且AD∥CE. 求证：△ACD≌△CBE.
导引：根据条件找出两个三角形中 的两条边及其夹角对应相等， 根据“SAS”判定两个三角形全等.

14.2 三角形全等的判定（2）
复习导入：
1.什么叫全等三角形？ 2.三角形全等的判定方法1的内容是什么？
学习目标：
1.理解并掌握三角形全等的判定方法2， 即“ASA”。
2.会运用“ASA”证明两三角形全等。
自学提纲：
1.已知两角和夹边时，三角形的形状、大小
能确定吗？你能通过画图来验证吗？
2.判定两个三角形全等的方法2的内容是什 么？
F
证明：∵ AF∥DE（已知）
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵AC=BD（已知）
∴AC-BC=BD-BC（等式的性质）
即AB=DC ∵ BF∥CE（已知）
A
B
C
D
∴∠FBC=∠ECB（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABF+∠FBC=180°, ∠DCE+∠ECB=180° (平角定义）
∴ ∠ABF= ∠DCE (等角的补角相等） E
∠ABC+∠4 =180° （平角定义）
D
又∵ ∠3=∠4 （已知）
A 1 B3
2
4
∴ ∠ABD =∠ABC （等角的补角相 在△ABD和△ABC中，
C
∵ 1 2 （已知）
AB
AB （公共边）
ABD ABC（已证）
∴ △ABD≌△ABC (ASA)
∴ DB=CB （全等三角形对应边相等）.
例4 已知：如图，要测量河对岸相对的两点A、B之间 的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使BC=CD,再 过点D作BF的垂线DE,使点A、C、E在一条直线上，这时 测得DE的长等于AB的长，请说明理由。
3.课本101页例3证明两条线段相等的方法是 什么？
4.例4中测量方法和理由是什么？

知2－练
4如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E， AD⊥CE于点D，下面四个结论：① ∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC； ③AB＝CE；④AD－BE＝DE.其中正确 的是________． 5如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点 B，C在直线PQ上，点E在AB上， AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC， 则AB＝________.
已知：Rt△ABC，其中∠C为直角[如图（1）]. 求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′=AC，A′B′=AB.
知1－导
作法： （1）作∠MC′N=∠C=90°； （2）在C′M上截取C′A′=CA； （3）以A′为圆心、AB长为半径画弧， 交C′N于点B′； （4）连接A′B′. 则Rt△A′B′C′ [如图（2）]就是所求作的直角三角形. 将画好的Rt△A′B′C′与Rt△ABC叠一叠，看看它们能否完 全重合？由此你能得到什么结论？
AF AF， AD AB，
∴Rt△ADF≌Rt△ABF(HL)． ∴DF＝BF. ∴CB－BF＝ED－DF，即CF＝EF.
知2－讲
知2－练
1已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD与BC交于点O， EF过点O，分别交AB，CD于点E、点F.
求证：OE=OF.
（来自教材）
知2－练
2下列条件不能使两个直角三角形全等的是( ) A．斜边和一锐角对应相等 B．有两边对应相等 C．有两个锐角对应相等 D．有一直角边和一锐角对应相等 3如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下 结论：①△ABD≌△ACD；②AB＝AC； ③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分线． 其中正确的有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个

三角形全等。 简记为“斜边、直角边”或“HL”
A
A'
符号语言：
在Rt△ABC 和Rt△ A'B'C' 中，
AB =A'B'
Q
AC=A'C'
B
C B'
C' ∴Rt△ABC ≌Rt△ A'B'C' （H.L）
Hale Waihona Puke • 分组合作• 请同学们将刚才剪下的两张直角三角 形纸片摆成不同的位置，独立思考并 写出已知、求证；请小组成员证明。
14.2 直角三角形全等的判定
——从一般到特殊再探三角形全等
在数学的领域中，提出问题的艺术比解答 问题的艺术更为重要。
——康托儿
1、判定两个三角形全等的方法有哪些？
SAS
ASA
SSS AAS
2、判定两个直角三角形全等除了上面的方法外，还 有其它的方法吗？
已知：RtVABC中，其中C为直角。 求作：RtVA'B'C',使C'为直角，B'C' =BC,A'B' =AB 作法：1.作MC'N =C=90,
1、今天，我学会了…… 2、回顾今天的学习过程…… 复习 新知 操作 方法 应用 3、我的体会……
作业布置：
P.107习题15.3第6、7题
思考：
生活中还有没有特殊的三角形，如果让 你设定条件来证明其全等，你会给出什 么条件？
2.在C'M上截取C'B' =CB， 3.以点B'为圆心，AB的长为半径画弧，交C' N 于点A '， 4.连接A'B'。 则RtVA'B'C'即为所求作的直角三角形。

∴△BCE≌△ADF.(AAS) ∴ CE＝DF.
感悟新知
知6－练
6-1. 如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A， B两点分别作l的垂线 AE，BF，E，F为垂足，AE＝ CF. 求证：∠ACB＝90°.
感悟新知
知1－练
证明：∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即 AE＝CF. ∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE 和△ CDF 中，∵∠ABB＝AEC＝D，∠DCF，
AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF.(SAS)
感悟新知
知2－讲
知识点 2 基本事实“角边角”(或“ASA”)
1. 基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等， 简记为“角边角”或“ASA”.
感悟新知
2. 书写格式 如图14 .2-3， 在△ABC和△A′B′C′中，
∠B＝∠B′， ∵ቐ BC＝B′C′，
∠C＝∠C′， ∴△ABC≌△A′B′C′. (ASA)
知2－讲
感悟新知
特别提醒 1. 相等的元素：两角及两角的夹边. 2. 书写顺序：角→边→角. 3. 夹边即两个角的公共边.
知2－讲
感悟新知
解：△ ADB≌△AEC.证明如下：
知1－练
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE＋∠EAD＝∠CAD＋∠EAD，即∠BAD＝∠CAE. 在△ ADB 和△ AEC 中，∵A∠BB＝AADC＝，∠CAE，
AD＝AE， ∴△ADB≌△AEC.(SAS)
感悟新知
知1－练
1-2. 如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E，F是AC上两点， 且AF＝CE，求证：△ABE≌△CDF.
解题秘方：紧扣“SSS”找出两 个三角形中三边对应相等的条 件来判定两个三角形全等.

∴AB=DE
备选练习
1、已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析: △ ABD ≌△ CBD 边: AB=CB(已知) (SAS)
B
A
D C
角: ∠ABD= ∠CBD(已知)
边:
？
变式1:已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？
A E F B D
证明：∵AD∥BC（已知） ∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等） 又 AE=CF ∴AE+EF=CF+EF（等式性质） 即AF=CE 在△AFD 和△CEB 中 AD=CB（已知） ∠A=∠C（已证） AF=CE（已证）
图3
C
∴△AFD≌△CEB（SAS）
变式训练2 已知：如图5：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2 求证：△ABD≌△ACE
探究2
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度 为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎 样？动手画一画，你发现了什么？
C F
A 40°
B
D
40°
E
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等
注：这个角一定要是这两边所夹的角
探究3
做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形 进行比较，它们互相重合吗？ 若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC
D
F
E
C
例2、如图:要测量河两岸相对的两点A,B的距离, 可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使BC=CD,再 定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,这时测 得DE的长就是AB的长,为什么?

第十四章
14.2 三角形全等的判定
第三课时 SSS
第一页，共二十页。
我们已经学习了几种(jǐ zhǒnɡ)三角形全等的判定方法？ 判定方法1: 两边及其夹角分别相等的两个(liǎnɡ 三 ɡè) 角形全等.（边角边）（SAS） 判定方法2：两角及其夹边分别相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角 形全等. （角边角）（ASA）
转化成证∠ B= ∠ DEF， ∠ACB= ∠ F
而要证∠ B= ∠ DEF， ∠ACB= ∠ F ，可转化 成证△ABC≌△DEF
第十二页，共二十页。
证明(zh∵ènBgmEíng=)：CF(已知)
已知：如图，点B、E、C、F在同一条 直线上，AB=DE，AC=DF ，BE=CF。 求证：AB∥DE，AC∥DF
∴BE+EC =CF+EC (等式性质)
即 BC=EF
在△ABC和△DEF中，
AB=DE (
)
∵ AC=DF (
)
BC=EF ( 已证 )
∴ △ABC ≌ △DEF（ SSS） ∴∠B= ∠DEF,∠ACB=∠F (全等三角形的对应(duìyìng)角相等)
∴AB∥DE，AC∥DF（同位角相等(xiāngděng)，两直线平行）
∵ DB是AB与DF的公共(gōnggòng)部分，
D
且AD=BF
E
∴ AD+DB=BF+DB
C B
F
即 AB=DF
第十四页，共二十页。
2.如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，
求证(qiúzhèng)：△AEB ≌ △ ADC.
证明(zhèngmíng)：∵BD=CE ∴ BD-ED=CE-ED，即BE=CD.

＝60°，则∠ACD 的度数为
( B)
A．45° B．30° C．20° D．15°
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
第 13 页
八年级 数学 上册 沪科版
8．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE 与 CD 相交于点 O，
且 AD＝AE.有下列结论：①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
第 19 页
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解：根据直角三角形全等的判定方法 HL 可知 ①当 P 运动到 AC 的中点时，此时 AP＝BC， ∵∠C＝∠QAP＝90°， 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， BC＝AP，AB＝PQ， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， 即 AP＝BC＝10；
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14．2.5 两个直角三角形全等的判定
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
第1页
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要点感知 判定两个直角三角形全等，常用方法是：(1)找一个锐角和一条边对应相 等，其根据是 A AAS AS 或 ASASA A；(2)找两条直角边对应相等，其根据 是 SASAS S；(3)斜斜边 边和一条直直角角边 边对应相等的两个直角三角形 全等．这是直角三角形特殊的判定方法，简称为“斜边、直角边”或 HL HL.
思维拓展
第 21 页
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13．已知：点 O 到△ABC 的两边 AB，AC 所在直线的距离相等，且 OB＝OC. (1)如图①，若点 O 在边 BC 上，求证：∠ABO＝∠ACO； (2)如图②，若点 O 在△ABC 的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.

△ABC≌△DEF
A
D
B
CE
F
小结：
判定两个三角形全等的第一种方法就是下面 的基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角 形全等，简记为“边角边”或“SAS”(S 表示边，A表示角)
A
D
\\
\\
B
\
CE
\
F
全等三角形的判定
三角形全等判定方法1
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。(可以
简记为“边角边”或“SAS”)
14.2 三角形全等的判定
探究1:
形状 1
在圆规的两脚上各取一点A、C，转动其 一个脚，△ABC的形状、大小随之改变，
那么还需要增加什么条件才可以确定 △ABC的形状呢？
A
形状
2
形状 1
形状 3
B
C
》进入 探究2
14.2 三角形全等的判定
探究1:
形状 1
在圆规的两脚上各取一点A、C，转动其 一个脚，△ABC的形状、大小随之改变，
14.2 三角形全等的判定
—SAS（边角边）
相关知识回顾:
什么叫全等三角形？
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。
全等三角形的对应边、对应角有什么重要性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
A
D
\\
\\
B
\
CE
\
F
想一想：
三角形有六个基本元素（三边三角),要确定 一个三角形的形状与大小，至少需要几个元素呢？
角板，△ABC的形状发生变化。还需
要增加什么条件，才可以使△ABC的
形状确定呢？ 形状 2
A
形状 3
B