山东省德州市2020届高三数学上学期期中试题【含答案】

山东省聊城市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合1，，，则A. B. 1， C. 1，2， D.2.复数，在复平面内复数z的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，若向量与垂直，则A. 10B.C.D.4.设，则有A. B.C. D.5.已知等差数列，，，，若前n项和为，且，则n的值为A. 9B. 10C. 11D. 126.已知直线过点，则的最小值为A. 2B. 4C. 7D. 97.函数的部分图象大致为A. B.C. D.8.定义在R上的函数满足，，且当时，，则A. 1B.C.D.9.已知函数，对于实数a，使成立的一个必要不充分条件是A. B.C. D. 或10.已知是第一象限角，，则A. B. C. D.11.已知角，的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，，终边上分别有点，，且，则的最小值为A. 1B.C.D. 212.已知函数，若函数为常数有三个零点，则实数a的取值范围为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设函数，，的否定是：设函数，______．14.如图，是可导函数．直线l是曲线在处的切线，令，则______．15.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sin A、sin B、sin C成等差数列．，，则b的值为______．16.对于下列命题：对于实数a，b，c，若，则．是的充分而不必要条件．在增减算法统宗中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关“则此人第二天走了九十六里路．设函数的定又域为R，若存在常数：，使对一切实数工均成立、则称为“倍约束函数，所以函数为“倍约束函数”．其中所有真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题）17.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且．求证：a、b、c成等差数列；若，，求的面积18.已知函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为．求函数的表达式及其周期；求函数在上的对称轴、对称中心及其单调增区间19.设数列满足：．证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；若，求数列的前n项和．20.已知函数，且曲线在点处的切线方程为．求实数a，b的值及函数的单调区间；若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．21.新能源汽车是我国汽车工业由大变强的一条必经之路国家对其给予政策上的扶持，己成为我国的战略方针．近年来，我国新能源汽车制造蓬勃发展，某著名车企自主创新，研发了一款新能源汽车，经过大数据分析获得：在某种路面上，该品牌汽车的刹车距离米与其车速千米小时满足下列关系：n是常数行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹车距离米与该车的车速千米小时的关系图．该新能源汽车销售公司为满足市场需求，国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车，在甲地的销售利润单位：万元为，在乙地的销售利润单位：万元为，其中x为销售量单位：辆．Ⅰ若该公司在两地共销售20辆该品牌的新能源汽车，则能获得的最大利润L是多少？Ⅱ如果要求刹车距离不超过米，求该品牌新能源汽车行驶的最大速度．22.已知函数为自然对数的底数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ问：是否存在实数a，使得有两个相异零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：1，，，．故选：A．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，对数函数的单调性，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，．的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：，，，解得，，．故选：B．可以求出，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值，从而可求出的值．本题考查了向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：依题意，，，又因为，所以，即，所以，，所以，故选：B．比较p与的大小，求出q的范围即可得到结论．本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：等差数列，，，，由等差数列的通项公式得：，．解得，等差数列的首项，公差，前n项和为，且，，解得．故选：C．由等差数列的通项公式得：，解得，从而等差数列的首项，公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的项数n的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意可知，，，当且仅当且，即，时取等号，故的最小值为9．故选：D．把已知点代入直线方程，然后利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：定义域为，设，则；故函数为奇函数，图象关于原点中心对称；故舍去C，D；当时，，，，故，故A正确．故选：A．先考虑定义域，，四个选项都满足条件；在考虑奇偶性，；故函数为奇函数，图象关于原点中心对称；故舍去C，D；注意到选项A，B中函数正负不同，可分析接近0时y的正负，可选出正确结果．本题考查了函数的图象与性质，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：，，，，又，故选：B．先判断函数为周期为2的函数，且为奇函数，根据性质，转化为，再代入即可．考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数求值，基础题．9.【答案】C【解析】解：，即．时，，，此时函数单调递增，．时，单调递增，．综上可得：函数在R上单调递增，，解得：．使成立的一个必要不充分条件是：．故选：C．，由，可得利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了函数的单调性、分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：是第一象限角，，则，，，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值，再利用，计算求得结果．本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由已知可得，，，，，即，，当且仅当，即时取等号，故选：C．由题意可得，即，则，利用基本不等式即可求出本题考查了基本不等式的应用和三角函数的性质，考查了计算能力和推理论证能力，属于基础题12.【答案】B【解析】解：令，则，当时，，当时，．在上为增函数，在上为减函数．作出函数的图象如图，函数为常数有三个零点，即与的图象有3个交点．由图可知，实数a的取值范围为故选：B．利用导数研究函数的单调性，画出函数的图象，数形结合得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13.【答案】，【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题可知，，的否定：，．故答案为：：，．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.【答案】【解析】解：由图可知，，，又，，则．故答案为：．由图象可得与的值，再由导数的运算法则求的导数，则答案可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数与导数的运算法则，是基础题．15.【答案】【解析】解：sin A、sin B、sin C成等差数列，可得，由正弦定理可得，，B为锐角，即有，由余弦定理可得，又，即，则，解得．故答案为：．由等差数列的中项性质和正弦定理可得，运用三角形的余弦定理和面积公式，化简整理，解方程可得所求值．本题考查等差数列的中项性质和三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：对于实数a，b，c，若，则，可得，故是真命题．由，不能得到，反之，由，一定得到，是的必要不充分条件，故是假命题．设此人第n天走里路，则是首项为，公比为的等比数列，由等比数列前n项和公式得，解得，则，此人第二天走了九十六里路，故是真命题．，，即，不存在这样的t对一切实数x均成立，函数不是“倍约束函数”，故是假命题．真命题的序号是．故答案为：．由不等式的性质判断与；利用等比数列的通项公式与前n项和求解判断；把代入，变形后可知不存在这样的t对一切实数x均成立，判断函数不是“倍约束函数”．本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，考查等比数列的通项公式与前n项和，是中档题．17.【答案】解：证明：由题设条件及正弦定理，得，由余弦定理，得，所以，所以．因此a、b、c成等差数数列，得证．因为，，由可得，所以，因此，所以的面积．【解析】由题设条件及正弦定理，余弦定理可得，即可证明a、b、c成等差数数列．由可得c，利用余弦定理可求cos C的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，等差数数列的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18.【答案】解：函数，将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的图象对应的函数解析式为，所以函数的最小正周期为；因为，所以，令，得，所以，即为所求函数在上的对称轴；令，得，所以，所以函数在上的对称中心为；由于，则只需，所以．所以函数在上单调增区间是．【解析】化函数为正弦型函数，按照函数的图象平移法则，得出的解析式，再求它的最小正周期；根据正弦函数的图象与性质，求出在上的对称轴、对称中心和单调增区间．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．19.【答案】解：证明：由，所以，又，所以数列是首项为2，公比为的等比数列．所以，即；由得，所以．【解析】对已知等式两边同时加1，再由等比数列的定义和通项公式，可得所求；求得，运用数列的分组求和，以及等比数列和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：因为，所以于因为曲线在点处的切线方程为，则有，即解得，，所以；由，得，所以函数单调递增区间是，由，得，所以函数单调递减区间是；由题意，不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则只需，易得，由，得，设，，因为 0'/>，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，所以当时，，单调递减，当时， 0'/>，单调递增，所以，所以，即所求实数m的范围是．【解析】先求出导函数，再利用曲线在点处的切线方程为，列出方程组即可解出a，b 的值，从而求出函数的单调区间；把恒成立问题利用分离参数法转化为最值问题，求出的最小值即可，利用导数分析出函数的单调性，得出的最小值，从而求出m的取值范围．本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求函数的单调区间和最值，是中档题．21.【答案】解：Ⅰ设公司在甲地销售该新能源品牌的汽车x辆，则在乙地销售该品牌的汽车辆，且．依题意，可得利润．因为，且，所以，当或时，．即当甲地销售该新能源品牌的汽车10辆或11辆时，公司获得的总利润最大值为51万元．Ⅱ由题设条件，得，解得：，，所以．令，即，解得．因为，所以．故该新能源汽车行驶的最大速度是70千米小时．【解析】设在甲地销售x辆，得出总利润关于x的函数，利用二次函数的性质求出最大值即可；利用待定系数法求出y关于x的函数，再根据刹车距离列出不等式求出x的服务．本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．22.【答案】解：Ⅰ因为，所以．时，所时，所以在R上单调递减，此时，函数无极值．时，令，得，时，所以在上单调递减；时，所以在上单调递增．此时，函数有极小值，无极大值．Ⅱ假设存在实数a，使函数有两个相异零点．由Ⅰ知：时，函数在R上单调递减；，所以此时函数仅有一个零点；时，因为，则由可得；取，，令，，可得，所以在单调递减，所以，而．此时，函数在上也有一个零点．所以，当时，函数有两个相异零点．当时，，所以，此时函数仅有一个零点，当时，因，则由Ⅰ；令函数，所以，因为，所以在递增，所以，所以，即．又，所以函数在上也有一个零点，所以，时，函数有两个相异零点．综上述，时，函数有两个相异零点．【解析】Ⅰ先求导，根据参数的范围看导函数在R上的正负值，得原函数的单调性，进而求函数的极值．Ⅱ假设存在实数a，对参数a看原函数有两个零点的条件，进而得a的范围．考查对参数讨论，参数的取值范围不同，零点的个数不同，要两个零点的参数a的范围就讨论出来了，第二问属于比较难的题．山东省济南市章丘区2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、单选题1.已知集合 ,则（）A. B.C.D.2.设 ,则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限3.命题“ ”的否定为（）A. B.C. D.4.设为非零实数,复数 ,则的最小值为（）A.B.C.D.5.函数f(x)=x2+ 的图象大致为( )A. B.C. D.6.若 ,则（）A. B. C.D.7.在平行四边形中, 与交于点 ,则在方向上的投影为（）A.B.C.D.8.已知函数 ,则“ ”是“ 在上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件9. ,则的取值范围为（）A. B.C. D.10.已知定义在上的函数满足 ,且在上单调递增,则（）A. B.C. D.二、多选题11.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,则下列说法正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图象关于点对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到12.已知函数 ,若 ,且 ,则下列结论正确的是（）A. B.C. D.13.定义在上的函数的导函数为 ,且对恒成立.下列结论正确的是（）A.B. 若 ,则C.D. 若 ,则三、填空题14.若向量与互相垂直,且 ,则 ________．15.若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则 ________．16.已知是定义在上的奇函数,当时, ,则的解析式为________．不等式的解集为________．17. 分别为内角的对边.已知（1） ________．（2）若 ,则 ________．四、解答题。

专题5 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10B ．10C ．2 D ．104．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20195．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π66．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．787．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数8．（2020届山东省九校高三上学期联考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA OB r ==，弧AB 长为l （l r <）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中34OC OA =，34OD OB =.已知1(0,)2x ∈时，3sin 3!x x x ≈-，则廊桥CD 的长度大约为（ ）A ．323432r r l - B ．323432l l r - C ．32324l l r-D ．32324r r l-9．（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-110．（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．12．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．213．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2414．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．43D ．5615．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B C ．2D ．416．（2020届山东省烟台市高三上期末）若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-17．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020届山东实验中学高三上期中）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7B ．7C ．1D ．-119．（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．20．（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m21．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多选题23．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 24．（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+25．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为26．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点27．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称28．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ） A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列30．（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( )A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 31．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（ ） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增32．（2019·山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+33．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 三、填空题34．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =______. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.36．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为________．37．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点1tan,1tan1212P ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是α终边上一点，则α的值是________. 38．（2020·全国高三专题练习（文））已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.39．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 40．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.41．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最大值2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.42．（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 四、解答题43．（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S . 44．（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=u r，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭r u r r ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）若02πθ<<，且sin θ=()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.46．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值.47．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．48．（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.49．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=o ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．50．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .51．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23sin 2cos02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为3ABC ∆的周长.52．（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④2b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）53．（20203(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin2A Cb A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.54．（2020届山东师范大学附中高三月考）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2c A a C a +=．（1）求a b的值； （2）若1a =，7c =，求ABC V 的面积． 55．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求：（1）tan tan tan tan A A B C+的值； （2）BC 边上的中线AD 的长.56．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 57.（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B C bsinasinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积58．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆的面积为15，求b ，c 的值； （2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.59．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()23sin cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =，31CD =-，求三角形ABC 的面积.60．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()23sin sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.61．（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.62．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积.63．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()23sin cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64．（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.。

专题3 函数及其应用1.关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换；（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力； 2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；3.常见题型，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，近几年趋向于稳定在选择题、填空题，易、中、难的题目均有可能出现.，预测2020年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注意与导数的结合.一、单选题1．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C 【解析】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0(102f =-=-<，@13211112()()()02228f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C2．（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】:()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A3．（2020·河南高三月考（理））已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ）A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 【答案】D 【解析】》因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，. 》4．（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞ B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-【答案】A 【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m < 故选：A$5．（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,—故选：A6．（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln ()xf x x x=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，"当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.7．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知3log 2a =，143b =，2ln 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】因为3log 2(0,1)a =∈，1431b =>，203c ln =<，则a ，b ，c 的大小关系：b a c >>．|故选：B.8．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C 【解析】∵()3log 21a b +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =， ∴23a b ab +=，且0a >，0b >，《∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233≥+⋅3=， 当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立； 故选：C ．9．（2020届山东省日照市高三上期末联考）三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是（ ）A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<,【答案】A 【解析】0.871>，700.81<<，0.8log 70<，故70.80.8log 70.87<<.故选A.10．（2020届山东省济宁市高三上期末）若0.1212,ln 2,log 5a b c ===,则( ) A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D 【解析】,0.10221a =>=；0ln1ln 2ln 1b e =<=<=；221log log 105c =<=，即a b c >> 故选：D11．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．）12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】2221log log 3log 242=<<=，故12a <<；又22542b =>=，故2b >； 33log 2log 31c =<=，c a b ∴<<，）故选：B.13．（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数()y f x =的大致图像如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=-C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C 【解析】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；(极限思想分析，0,222,022xxx x xx +--→+→→+，A 错误；220,222,x xx xx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C14．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x -- D ．2x【答案】C 【解析】`0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.15．（2020届山东省德州市高三上期末）已知1232a b -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】A 【解析】…1232a b -=⋅，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.()2223122x x x ++=++≥，()21122log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.因此，a b c >>. 故选：A.16．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A 【解析】？因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A17．（2020届山东省临沂市高三上期末）函数()22xf x =-（0x <）的值域是（ ）A ．1,2B ．(),2-∞C ．()0,2D ．1,【答案】A$【解析】0x <，021x ∴<<， 120x ∴-<-<1222x ∴<-<. 即()()2221,xf x =-∈故选：A18．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）)A ．22a b >B ．1b a<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确；如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确； 如果0a =，12b =-，显然C ，102lg <，不正确；因为指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．故选：D ．~19．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出； 因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B.~20．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．18【答案】A 【解析】奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()11111141452451999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 ~故选：A21．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】1x ≥时，()ln 1f x x ==，x e =，所以函数()1y f x =-在1x ≥时有一个零点，从而在1x <时无零点，即()1f x =无解．而当1x <时，21x ->，()(2)f x f x k =-+ln(2)x k =-+，它是减函数，值域为(,)k +∞， 要使()1f x =无解．则1k．|故选：B.22．（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，$()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D.满足条件的只有A. 故选：A23．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log bb =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】C 【解析】/在同一直角坐标系内，作出函数13x y⎛⎫= ⎪⎝⎭，3logy x=，3xy=，13logy x=的图像如下：因为31log3aa⎛⎫=⎪⎝⎭，133logb b=，131log3cc⎛⎫=⎪⎝⎭，所以a是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与3logy x=交点的横坐标；b是3xy=与13logy x=交点的横坐标；c是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与13logy x=交点的横坐标；由图像可得：b c a<<.故选：C.24．（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（）A．()1,0-B．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D．()1,2(【答案】C【解析】311(1)(1)()302f--=--=-<，301(0)0()102f=-=-<，13211112()()()022282f=-=-<，31111(1)1()10222f=-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C25．（2020届山东省德州市高三上期末）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ）A ．()()201920200f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数{C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-【答案】A 【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=， 当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，%若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；|如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.26．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解12341234,,,,x x x x x x x x <<<且，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1- D ．()1,1-'【答案】A 【解析】先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，，因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数，从而()(] 31223411,1x x xx x⋅++∈-⋅，选A.二、多选题27．（2020届山东省临沂市高三上期末）若104a=，1025b=，则（）…A．2a b+=B．1b a-=C．281g2ab>D．lg6b a->【答案】ACD【解析】由104a=，1025b=，得lg4a=，lg25b=，则lg4lg25lg1002a b∴+=+==，25lg25lg4lg4b a∴-=-=，25lg101lg lg64=>>lg6b a∴->)24lg2lg54lg2lg48lg2ab∴=>=，故正确的有：ACD故选：ACD.28．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在R上的函数()y f x=满足条件()()2f x f x+=-，且函数()1y f x=-为奇函数，则（）A．函数()y f x=是周期函数B．函数()y f x=的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【答案】ABC 【解析】、因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-图像关于原点成中心对称，所以B 正确； 又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数》C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,6【答案】BCD 【解析】函数()f x 的图象如图所示：对A ，(3)963f -=-+=-，(2019)(1)(1)1f f f ==-=，所以(3)(2019)2f f -+=-，故A 错误； 对B ，由图象可知()f x 在区间[]4,5上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，直线() 1f x k x =+与函数图象恰有3个交点，故C 正确； ]对D ，由图象可得，当函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则01b <<，所以当0b →时，()610i i i x f x =→∑；当1b →时，()616i i i x f x =→∑，所以()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6，故D 正确. 故选：BCD.30．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h?【答案】AC 【解析】A.∵,u x =v x =,22u v u vx +-==， 由题意4uv =，4v u=在(0,)+∞上是减函数，A 正确．B.125x t -=+126510u v u v+-=+-，整理得15436t u v =++，B 错误；C.由A 、B 得1615363644t u u =++≥=，16u u =即4u =时取等号，4x =，解得31.52x ==，C 正确；D.4x =时，85t =+，7305t -===>，3t >，D 错． :故选：AC.31．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy = B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. {对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.32．（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD;【解析】当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；、由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确； 当()430f x x += ，即()34f x x =-， 函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点， 而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确.<故选：ACD33．（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,22⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增【答案】BCD 【解析】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)A -为圆心，以2为半径的14圆； ,当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(0,0)D 为圆心，以214圆；当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)C 为圆心，以2为半径的14圆； 当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点(4,0)A 为圆心，以2为半径的14圆，与42x -≤<-的形状相同，因此函数()y f x =在[]4,4-恰好为一个周期的图像； 所以函数()y f x =的周期是8； 其图像如下：A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A 错；B 选项，因为函数的周期为8，所以(8)()f x f x +=，因此(4)(4)f x f x +=-；故B 正确；·C 选项，由图像可得，该函数的值域为0,22⎡⎣；故C 正确；D 选项，因为该函数是以8为周期的函数，因此函数()y f x =在区间[]6,8的图像与在区间[]2,0-图像形状相同，因此，单调递增；故D 正确； 故选：BCD.34．（2020届山东师范大学附中高三月考）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．2yxC ．xy e =D ．2lg y x =【答案】CD 【解析】本题主要考查函数的单调性和函数的奇偶性.|A 项，对于函数3y x =，因为()33()()f x x x f x -=-=-≠，所以函数3y x =不是偶函数.故A 项不符合题意.B 项，对于函数2yx ，因为当1x =时，1y =，当2x =，14y =，所以函数2y x 在区间(0,)+∞上不是单调递增的.故B 项不符合题意.C 项，对于函数x y e =，因为定义域为R ，()()x x g x g x e e --===，所以函数xy e =为偶函数，因为函数xy e =，当0x >时，xx y e e ==，而1e >，函数x y e =在R 上单调递增，所以函数xy e =在区间(0,)+∞上为增函数.故C 项符合题意.D 项，对于函数2lg y x =，因为函数()22lg )(l ()g h x x x h x -=-==，所以函数2lg y x =是偶函数.而2yx 在(0,)+∞上单调递增，lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以函数2lg y x =在(0,)+∞上单调递增.故D 项符合题意. 故选：CD.35．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B ．2C ．2e D【答案】BCD—【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，/∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，.只需使102g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得e a， a ∴的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 三、填空题36．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若()3,0{1,0x x f x x x≤=>,则()()2f f -=__________． 【答案】9 【解析】《因为21(2)309f --==>，所以1((2))()99f f f -==，应填答案9. 37．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，10,3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，1()03f -=，11()()033f f ∴=-=，则不等式18(log )0f x >等价为不等式181(|log |)()3f x f >，即181|log |3x <⇒1811log 33x -<<⇒122x <<，{即不等式的解集为1(,2)2， 故答案为：1(,2)2.38．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，[]1.51=，[]1.72-=-.令()2x f x x =⋅，[]()()g x f x x =-，则下列说法正确的是__________.①()g x 是偶函数 ②()g x 是周期函数③方程()0g x -=有4个根④()g x 的值域为[]0,2 【答案】②③|【解析】1111()([])()33333g f f =-==，1112()([])()33333g f f -=---== 显然11()()33g g -≠，所以()g x 不是偶函数，所以①错误；[][](1)(11)()()g x f x x f x x g x +=+-+=-=，所以()g x 是周期为1的周期函数，所以②正确； 作出函数y x =的图象和()g x 的图象：根据已推导()g x 是周期为1的周期函数，只需作出()g x 在[0,1)x ∈的图象即可，当[0,1)x ∈时[]()()()2x g x f x x f x x =-==⋅，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：》可得()g x 值域为[0,2)，函数y x =()g x 的图象一共4个交点，即方程()0g x x =有4个根， 所以③正确，④错误； 故答案为：②③39．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 【答案】-2 【解析】因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，）故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.40．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．【答案】(,1)-∞- 【解析】根据已知条件：当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，得函数()f x 是定义在R 上的减函数，…又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)f f -=-，故(31)(2)0f x f ++>等价于(31)(2)(2)f x f f +>-=-，所以312x +<-，即1x <-. 故答案为：(),1-∞-.41．（2020届山东省济宁市高三上期末）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈） 【答案】124011 【解析】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 。

山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。

是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。

的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。

，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。

高三生物试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间90分钟。

注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、试卷类型、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3.考试结束后，监考人员将答题卡一并收回。

第Ⅰ卷(选择题共45分)一、单项选择题(本题共20小题，每小题1.5分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.下列有关细胞中有机物的叙述，正确的是A.蛋白质中的N元素主要位于氨基中B.构成蓝藻遗传物质的碱基有5种C.核糖体和细胞膜中都有含磷有机物D.等量的脂肪比糖类氧化分解产生的水少2.下列关于“植物细胞质壁分离与复原实验”的说法正确的是A.洋葱根尖细胞在适宜条件下都可以发生质壁分离B.处于质壁分离状态时细胞液浓度小于外界溶液浓度C.能否发生质壁分离和复原可作为细胞死活的判断依据D.若细胞中存在叶绿体会干扰实验现象的观察3.头发主要是由角蛋白组成的，下图为烫发的原理示意图，下列相关叙述错误的是A.角蛋白的S元素位于氨基酸的Ｒ基上B.烫发过程中角蛋白空间结构发生变化C.角蛋白的S－S键在核糖体上形成D.烫发过程中角蛋白分子质量发生变化4.某化学反应自然状态下进行到t1时加入酶，在适宜条件下进行反应，其过程如图所示，下列说法正确的是A.t1～t2反应速率逐渐下降B.t2后酶的活性丧失C.若提高温度，则t2会变小D.该过程体现了酶具有高效性5.下列生理过程需要膜蛋白参与的是A.葡萄糖氧化分解为酒精和CO2B.氨基酸脱水缩合形成肽键C.［H］还原C3形成糖类化合物D.胰岛素促进组织细胞摄取葡萄糖6.受体介导的胞吞作用主要用于摄取特殊大分子物质，其过程如右图所示，下列说法不正确的是A.网格蛋白参与细胞膜的内陷运动B.该过程需要细胞识别，不消耗能量C.囊泡膜的基本支架是磷脂双分子层D.该过程体现了细胞膜控制物质进出的功能7.右图表示ATP的结构，A、B表示化学键，①②③表示物质，下列相关叙述错误的是A.ATP中的N元素存在于物质①中B.①②③构成的物质可作为转录的原料C.B中的能量可来自光能，也可转化为光能D.人体在剧烈运动时，ATP的合成速率大于分解速率8.下列有关细胞生命历程的叙述，正确的是A.细胞的凋亡速率与其功能有关B.衰老细胞的代谢减慢，酶的活性都降低C.肝细胞与肌细胞中表达的基因均不相同D.癌细胞与正常细胞具有相同的遗传物质9.番茄果实的颜色由一对等位基因控制，某兴趣小组进行杂交实验，结果如下表所示。

2020届山东省德州市高三上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{|A x y ==，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则()RA B =（ ）A ．[1,3)B ．(1,3)C ．(1,0][1,3)- D ．(1,0](1,3)-【答案】B【解析】A 是函数的定义域，B 是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算． 【详解】由题意{|10}{|1}A x x x x =-≥=≤，{|13}B x x =-<<，{|1}R C A x x =>，∴(){|13}(1,3)R C A B x x =<<=．故选：B ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合,A B 中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算．2．命题“0x ∃>，ln 0x <”的否定为（ ） A ．0x ∃>，ln 0x ≥ B ．0x ∀≤，ln 0x ≥ C ．0x ∀>，ln 0x > D ．0x ∀>，ln 0x ≥【答案】D【解析】把命题的结论改反过来，同时存在变成任意的即可． 【详解】命题“0x ∃>，ln 0x <”的否定是“0,ln 0x x ∀>≥”． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题的否定，注意与否命题的要求区分开来，命题的否定是命题的结论改反过来，同时存在量词与全称量词互换，而否命题是条件与结论均要反过来，当然存在量词与全称量词也要互换．3．若1log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,(1,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．110,,33⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】利用对数函数的性质进行解答． 【详解】 当1a >时，1log 013a <<，成立，当01a <<时，1log 1log 3a a a <=，103a <<，综上1(0,)(1,)3a ∈+∞．故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，要注意对数函数的单调性要对底数按(0,1)和(1,)+∞两个范围分类讨论．4．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数．平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆．已知角α的终边与单位圆的交点为34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos()sin()παα++-=（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】C【解析】由三角函数定义得出sin ,cos αα，然后再由诱导公式计算． 【详解】 由题意43sin ,cos 55αα==， ∴347cos()sin()cos sin 555παααα++-=--=--=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．5．已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为3π，则a 与b a -的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】C【解析】可先计算a b ⋅，然后再由向量的数量积计算所求角， 【详解】由题意111cos32a b π⋅=⨯⨯=，2221()212112b a b a b a b a -=-=-⋅+=-⨯+=，2()11cos ,122a b a a b a a b a a b a⋅-<->==⋅-=-=--， ∴,a b a <->23π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量的数量积的运算法则是解题基础．本题也可用几何法求解．6．已知某函数图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）A ．22xx y =B ．22xy =-C ．xy x e =-D ．22xy x =-【答案】D【解析】从函数的性质，特殊值等方面考查. 【详解】首先此函数图象关于y 轴对称，因此其为偶函数，可排除C ，又0x =时，0y <，又可排除A 、B ，只有D 可选． 故选：D ． 【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，为此可通过图象研究函数的性质，如奇偶性，单调性、对称性，函数的特殊值、函数值的正负等等，用排除法得出正确结论． 7．函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin 2g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()f x 的图象（ ） A ．向右平移512π个单位长度 B ．向右平移56π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度 【答案】A【解析】先得出周期，求出ω，然后再由三角函数图象变换得出结论． 【详解】由题意函数的周期为22T ππ=⨯=，∴222T ππωπ===，即()2sin(2)3f x x π=+，而5()2sin(2)2sin[2()]2123g x x x πππ=-=-+，因此将()f x 的图象向右平移512π即得()g x 的图象．故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象与性质.在平移变换中要注意变换只针对自变量x 进行加减．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前2020项和为（ ） A ．2020320212-+⨯ B ．2020320192+⨯ C ．2020120212+⨯ D ．2020120192+⨯【答案】D【解析】首先求出等比数列的通项公式，然后用错位相减法求数列的和. 【详解】等比数列{}n a 公比是q ，显然1q ≠，∴313616(1)71(1)631a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩， ∴12n na ，202012202022020S a a a =+++220191223220202=+⨯+⨯++⨯，232019202020202222322019220202S =+⨯+⨯++⨯+⨯，∴2201920202020122220202S -=++++-⨯202020202120202=--⨯2020120192=--⨯，∴20202020120192S =+⨯．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列11{}n n a a +的求和用裂项相消法，数列{}n n a b 的求和用错位相减法．9．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．7323D ．8323【答案】B【解析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，334623v ==（米/秒）． 故选:B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件． 10．非零向量m ，n 的夹角为3π，且满足(0)n m λλ=>，向量组1x ，2x ，3x 由两个m 和一个n 排列而成，向量组1y ，2y ，3y 由一个m 和两个n 排列而成，若112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 所有可能值中的最大值为252m ，则λ的值为（ ） A ．1 B ．53C ．3D ．4【答案】A【解析】由于任意排列，因此可对向量组1x ，2x ，3x 固定一种排列，而写出向量组1y ，2y ，3y 的所有排列，然后计算112233⋅+⋅+⋅x y x y x y ，比较后让最大的等于252m 即可． 【详解】22cos322m n m n m m πλλ⋅===，向量组1x ，2x ，3x 与向量组1y ，2y ，3y 对应的排列方式有如下3种： 1x ，2x ，3x ：,,m n n （固定），1y ，2y ，3y ：①,,m m n ；②,,m n m ；③,,n m m ，对于①，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2222(1)2m m n n m λλ1=+⋅+=++， 对于②，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2222(1)2m n m n m λλ1=++⋅=++，对于③，112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 2332m n m λ=⋅=，显然213122λλλ++>，因此215122λλ++=，解得1λ=（负值舍去）．故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题难点在两个向量组都是由一些向量任意排列而成，解题关键是由于任意性，可固定一个向量组，而只要把另一向量组任意排列，然后计算．这也是我们解决多种任意性问题的一种思考方法．二、多选题11．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc <； B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0c a b >>>，则a bc a c b >-- D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < 【答案】BCD【解析】由不等式的性质判断． 【详解】若0c >，则由a b >得ac bc >，A 错；若0a b <<，则2a ab >，2ab b > 22a ab b >>，B 正确； 若0c a b >>>，则0c b c a ->->，∴110c a c b>>--，∴a b c a c b >--，C 正确；若a b >，且,a b 同号时，则有11a b <，因此由11,a b a b>>得0,0a b ><，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中特别要注意性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘数一定要分正负，否则易出错．12．已知向量(sin ,m x =，()2cos ,cos x x n =，函数()32f x m n =⋅+，下列命题，说法正确的选项是（ ） A ．()y f x =的最小正周期为π B ．()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()y f x =的图象关于直线12x π=对称D ．()y f x =的单调增区间为52,2()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】AB【解析】由数量积运算计算出()f x 并化为一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质验证各选择支． 【详解】()3f x m n =⋅+2sin cos x x x =1sin 22sin(2)23x x x π==-， 其最小正周期是22T ππ==，A 正确； 又sin(2)063ππ⨯-=，因此()f x 图象关于点(,0)6π对称，B 正确；232x k ππ-=π+得5()212k x k Z ππ=+∈，因此12x π=-是()f x 图象的一条对称轴，C错误； 由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+，即增区间5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈，D 错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查三角函数的图象与性质．三角函数问题常常把函数化为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后利用正弦函数的性质求解．13．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若21()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2ek > 【答案】ACD【解析】求出导函数，利用导数研究函数()f x 的性质． 【详解】函数定义域为(0,)+∞，312ln '()xf x x-=,当x ∈时，'()f x ＞0，()f x 单调递增，当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x单调递减，所以()f x 在x =12f e=，A 正确； (1)0f =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，因此()f x 只有一个零点，B 错误；<<，因此f f <，又ln 1ln 2f πππ==⋅，1ln 2222f ==⋅1ln 424=⋅， 设ln ()xh x x =，则21ln '()x h x x-=， (,)x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减，而4e π<<，∴()(4)h h π>，即ln ln 4ln 242ππ>=，∴f f <，即f f f <<，C 正确；令22ln 1()x g x x x =+（0x >），则312ln '()xg x x +=-，易知当x ∈时，'()0g x >，)x∈+∞时，)'(0g x <，()g x 在x =2eg =，∴21()f x k x+<在(0,)x ∈+∞上恒成立，则2e k >，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，难度较大．掌握导数与单调性、极值的关系是解题的基础，解题要注意问题的转化，例如恒成立问题可能转化为求函数的最值．三、填空题14．函数()(13)x f x x e =-⋅在点(0,(0))P f 处的切线方程为__________． 【答案】210x y +-=【解析】求出导函数'(0)f ，即切线斜率，然后可得切线方程． 【详解】∵'()3(13)(23)x x x f x e x e x e =-+-=-+，∴'(0)2f =-，又(0)1f =， ∴切线方程为12(0)y x -=--，即210x y +-=． 故答案为：210x y +-=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数()f x 在0x 的导数就是函数()f x 的图象在0x 处的切线的斜率，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-．15．已知向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足a b ，且方向相同，则x =__________． 【答案】1【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【详解】∵a b ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．16．已知等比数列{}n a 满足0n a >，且232310(2)nn a a n -=≥，则当1n >时，1321lg lg lg n a a a -+++=__________．【答案】2n【解析】首先由递推关系求出数列{}n a 的通项，然后代入计算． 【详解】由已知26310a =，∵30a >，∴3310a =，又43110a a =，∴110a =，∴10q ==，即10nn a =，lg n a n =．∴21321lg lg lg 135(21)n a a a n n -+++=++++-=．故答案为：2n ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项，掌握基本量法是解决等差数列和等比数列的基础．17．已知函数}{}1,(0,2],()min 1,3,(2,4],min 3,5,(4,),x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩其中min{,}a b 表示a ，b 中较小的数．（1）若()f x a =有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是__________；（2）若关于x 的方程()()(0)f x T f x T -=>有且只有三个不同的实根，则实数T 的取值范围是__________． 【答案】(1,)+∞ (2,4)【解析】（1）化简函数式，作出函数()f x 的图象，由图象观察可得． （2）把()f x 图象向右平移，只要与原图象有三个交点即可． 【详解】（1）函数式化简后为：1,(0,2]()3,(2,4]5,(4,)x x f x x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，作出函数图象，如图，()f x 在(0,1]，[2,3]，[4,5]上都是单调递减的，在[1,2],[3,4],[5,)+∞上都是增函数，(2)(4)(6)1f f f ===，因此当1a >时，函数()f x 的图象与直线y a =有且只有一个交点，∴()f x a =有且只有1根；（2）如图，把()f x 的图象向右平移，只有当a 段与d 段有一个交点，b 与e ，c 与f 各有一个交点，才能满足题意，这样有24T <<，故答案为：（1）(1,)+∞；（2）(2,4)． 【点睛】本题考查方程根与函数零点的关系，把方程的根转化为函数图象交点问题是常用方法．解题方法是数形结合思想，通过图象变换观察得出结论，对选择题填空题可起到意想不到的效果，对解答题也能提供解题思路．四、解答题18．已知集合{}22|(22)20A x x a x a a =--+-≤，{}2|540B x x x =-+≤． （1）若AB =∅，求a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)(6,)-∞+∞（2）[]3,4【解析】分别化简集合,A B ，（1）根据两集合交集为空集得出a 的不等关系，解之即可；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的子集，由子集的概念可得． 【详解】{}22|(22)20{|2}A x x a x a a x a x a =--+-≤=-≤≤ {}2|540{|14}B x x x x x =-+≤=≤≤（1）因为AB =∅，所以24a ->或1a <，即6a >或1a <．所以a 的取值范围是(,1)(6,)-∞+∞；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以AB ，则214a a -≥⎧⎨≤⎩，解得34a ≤≤．所以a 的取值范围是[]3,4． 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的包含关系，属于基础题型． 19．如图，在四边形ABCD 中，23ADC ∠=π，3AD =，2sin 3BCD ∠=，连接BD ，34BD BC =．（1）求BDC ∠的值； （2）若1BD =，3AEB π∠=，求ABE ∆的面积最大值．【答案】（1）6BDC π∠=（23【解析】（1）在BCD ∆中，利用正弦定理求解，注意角的大小；（2）由（1）可得ABD ∆是直角三角形，从而可得AB ，然后在ABE ∆中用余弦定理表示出2AB ，利用基本不等式求得AE BE ⋅的最大值，从而可得面积的最大值． 【详解】（1）BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD BC BCD BDC=∠∠，所以sin 1sin 2BC BCD BDC BD ⋅∠∠==． 因为34BD BC =，所以BD BC ，所以BDC ∠为锐角， 所以6BDC π∠=．（2）在ABD ∆中，3AD =，1BD =，2362ADB πππ∠=-=， 所以222AB AD BD =+=．在ABE ∆中，由余弦定理得2222cos3AB AE BE AE BE π=+-⋅⋅，所以224AE BE AE BE =+-⋅≥2AE BE AE BE AE BE ⋅-⋅=⋅， 当且仅当AE BE =时等号成立， 所以4AE BE ⋅≤， 所以113sin 43232ABE S AE BE π∆=⋅⋅≤⨯=即ABE ∆ 【点睛】本题考查解三角形的应用，考查正弦定理和余弦定理，属于基础题． 20．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设． 【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足22S 2n n n a a =+-，且()*0n a n >∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*5(41)n n n n b n na -=∈N ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：152n T ≥． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析【解析】（1）在22S 2n n n a a =+-中令1n =可求得1a ，然后求1(2)n n n a S S n -=-≥可得{}n a 的递推式，从而得数列{}n a 是等差数列，由此可得通项公式；（2）由（1）得15(41)55(1)1n n nn n b n n n n+-==-++，从而可用裂项相消法求得{}n b 的和n T ，利用10n n T T +->可得{}n T 是递增数列，因此题设不等式可证，1152n T T ≥=． 【详解】（1）当1n =时，211122S a a =+-，解得12a =或11a =-（舍） 又22S 2n n n a a =+-①当2a ≥时，211122n n n S a a ---=+-②①－②，得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以10n n a a ->+，故11n n a a --=， 所以{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列． 故2(1)11n a n n =+-⋅=+．（2）15(41)55(1)1n n nn n b n n n n+-==-++， 所以12n n T b b b =+++=232115555555523211n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为211155(43)5021(1)(2)n n n n n n T T n n n n +++++⋅-=-=>++++， 所以{}n T 是递增数列故21515522n T T =-=≥．【点睛】本题考查由数列前n 项n S 与项n a 的关系求通项公式，此问题一般由1n n n a S S -=-转化，注意这里2n ≥，即可能不含1a ．证明与数列有关的不等式可先证明数列的单调性，利用单调性性质证明更方便．22．已知函数322()69()f x x ax a x a =-+-∈R ． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）当1a ≥时，若[0,2]x ∀∈，都有()8f x ≥-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()=0f x 极大值，()4f x =-极小值（2）1a ≤≤【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间，从而可确定极值；（2）仿（1）确定()f x 的单调区间，然后按a 比2大和比2小分类，求得()f x 在[0,2]上的最小值，由这个最小值大于等于－8可得a 的范围． 【详解】（1）当1a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+-=---所以当(,1)x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数，当(1,3)x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数， 所以()()=30f x f =极大值，()()14f x f ==-极小值．（2）22()31293()(3)(1)f x x ax a x a x a a '=-+-=---≥，所以()f x 在()0,a 和()3,a +∞单调递减，在(),3a a 单调递增．（i ）当2a ≥时，()f x 在[0,2]单调递减，2min ()(2)82418f x f a a ==-+-，由题得2824188a a -+≥--，解得403a ≤≤，又3a ≥，所以a 值不存在． （ii ）当12a ≤<时，23a a <<，此时，()f x 在()0,a 单调递减，在[],2a 上递增，所以3333min ()()694f x f a a a a a ==-+-=-，由题意得348a -≥-解得a ≤1a ≤≤，综上a 的取值范围为1a ≤≤【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用的较多，不能分离参数时，同样转化为求函数的最值，由最值得不等关系，从而求得参数范围．23．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为136005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升，其中k 为常数，且48100k ≤≤．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为10升，欲使每小时的油耗不超过7.2升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【答案】（1）60100x ≤≤（2）当60100k ≤≤时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220720k -元，当4860k ≤<时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为256k -． 【解析】（1）120x =时，油耗为10升，求得k ，再解不等式136007.25x k x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭；（2）列出行驶100千米的油耗2100136002072000205k y x k x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭，(60120)x ≤≤，设1t x=可转化为关于t 的二次函数，结合二次函数的性质可得最小值．【详解】（1）由题意，当120x =时，13600105x k x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以100=k ． 由136001007.25x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭， 得213636000x x -+≤，所以36100x ≤≤． 又因为60120x ≤≤，所以60100x ≤≤． （2）设该汽车行驶100千米的油耗为y 升， 则210013600207200020(60120)5k y x k x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭， 令1t x =，则11,12060t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22272000202072000207200720k k y t kt t ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭， 对称轴7200kt =，48100k ≤≤， 所以11,720015072k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ①若17200120k ≥，即60100x ≤≤， 则当7200k t =，即7200x k =时，2min 20720k y =-；②若17200120k <，即4860k ≤<， 则当1120t =，即120x =时，min 256ky =-．答：当60100k ≤≤时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220720k -元，当4860k ≤<时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为256k-．【点睛】本题考查函数的应用题．解题关键是列出函数解析式，再根据函数的性质求解．1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点．(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．2．利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．。

2020-2021学年山东省德州市十校高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线的焦点坐标为( )A. B.C.D.2.若构成空间的一个基底，则( )A. 不共面B. 不共面C. 不共面D.不共面3.若方程表示一个圆，则实数m 的取值范围是( )A. B. C.D.4.已知直线和互相平行，则实数m 的取值为( )A.或3B.C.D. 1或5.设x ，，向量，，，且，，则( )A.B. C. 3 D. 46.在平面直角坐标系xoy 中，已知的顶点和，顶点B 在椭圆上，则等于( )A.B.C. D.7.在一平面直角坐标系中，已知，，现沿x 轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为( )A. B.C.D.8.对于直线，其倾斜角的取值范围是( )A.B. C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，底面ABCD ，，M ，N ，R分别是OA ，BC ，AD 的中点，以下说法正确的是( ) A. 直线MN 与平面OCD 的距离为 B. 平面MNR 与平面OCD 的距离为C. 点M 与平面OCD 的距离为D. 点N 与平面OCD 的距离为10.已知椭圆的左、右焦点分别，，P 是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是( )A.B.C.D.11.下列命题正确的是( )A. 已知和是两个互相垂直的单位向量，且垂直，则实数B. 已知，，，则向量在上的投影向量的模长是C. 圆上有且仅有3个点到直线l ：的距离等于1D. 不过原点的直线都可以用方程表示12.在如图所示的棱长为1的正方体中，点P 在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的是( )A. 若点P 总满足，则动点P 的轨迹是一条直线B. 若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹是一个周长为的圆C. 若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D. 若点P 到平面的距离与到直线CD 的距离相等，则动点P 的轨迹是抛物线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省各地市2020年高考数学（理科）最新试题分类大汇编：第11部分：圆锥曲线（1）一、选择题【山东省青州市2020届高三2月月考理】10. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于A ．5B ．25C ．6D ．26 【答案】B滕州二中【山东省微山一中2020届高三10月月考理】8. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 （ ）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(1,2]D ．(1,2)答案:C解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P 使得OP 斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率大于2,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.【山东省临沭一中2020届高三12月理】8．已知双曲线22221x y a b -=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A.224515y x -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514y x -= 【答案】D【山东省实验中学2020届高三上学期第一次诊断性考试理】12. 点P 在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3(C) .4(D) .5【答案】D【山东省滕州二中2020届高三上学期期中理】11: 已知直线l 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右准线，如果在直线l 上存在一点M ，使得线段OM （O 为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．)1,23[B ． )1,22[C ．)1,22( D ． )1,21[【答案】B【山东省青岛市2020届高三期末检测 理】10.以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=【答案】D【山东省青岛市2020届高三期末检测 理】11.以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线 A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定【答案】C【山东省莱芜市2020届高三上学期期末检测 理】正三角形一个顶点是抛物线)0(22>=p py x 的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有A.0个B.1个C.2个D.4个 【答案】C【山东省莱芜市2020届高三上学期期末检测 理】若点O 和点F 分别为椭圆15922=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u r的最小值为A.411B.3C.8D.15 【答案】A【山东省烟台市2020届高三期末检测理】7.直线022=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 A.55 B.21 C.552 D.32 【答案】C【山东省潍坊市重点中学2020届高三2月月考理】11．若双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线212x y b=的焦点分成3:2的两段，则此双曲线的离心率为A ．98 B ．63737 C ． 533 D ． 52121【答案】D【山东省潍坊市三县2020届高三12月联考理】10.若椭圆mx 2+ny 2=1与直线x+y-1=0交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为22则nm=（ ） A 2 B 22 C 23 D 92【答案】B【山东省潍坊市三县2020届高三12月联考理】11．过双曲线2222by a x -=1（a >0，b >0）的左焦点F （-c ，0）（c >0），作圆4222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若()OP OF OE +=21，则双曲线的离心率为（ ） A ．10 B ．510C ．210D ．2【答案】C【山东省枣庄市2020届高三上学期期末理】11.已知双曲线12222=-b y a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，且该双曲线的离心率为5，则该双曲线的渐近线方程为A.x y 21±= 2 B.x y 2±= 4C.x y 2±=D.x y 22±= 【答案】C【山东实验中学2020届高三第一次诊断性考试理】12. 点P 在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3(C) .4(D) .5【答案】D【解析】解：设|PF 2|,|PF 1|，|F 1F 2|成等差数列，且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m 2=(m+d)2,解得m=4d=8a,5252d ce da ∴===故选项为D【山东省聊城市五校2020届高三上学期期末联考】6．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,0,)0(1212222=⋅>>=+PF PF b a b y a x 且上一点 ,21tan 21=∠F PF 则该椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．32 C ．31 D ．35 【答案】D【山东济宁梁山二中2020届高三12月月考理】12．设F 是抛物线()02:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线1C 与双曲线1:22222=-by a x C ()0,0>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为A ． 25B ． 5C ． 3D ． 2【答案】B【莱州一中2020高三第三次质量检测理】10.已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-=的距离是2d ，则12d d +的最小值是 3B.362D. 3【答案】C【山东省滨州市沾化一中2020届高三上学期期末理】9．若椭圆221x y m n+=（m ＞n ＞0）和双曲线221x y a b-=（a ＞b ＞0）有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是（ ）A ．m －aB ．1()2m a -C ．m 2－a 2D m a -【答案】A【山东济宁邹城二中2020届高三上学期期中】2．已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2， 点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=u u u u r u u u u r则点M 到x 轴的距离为( )A ．43B ．53 CD【答案】C【山东济南市2020界高三下学期二月月考理】已知点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 A ．(1,)+∞B．C ．（1，2）D．(1,1+【答案】D【山东济南市2020界高三下学期二月月考理】抛物线214y x =的焦点坐标是 A ．,0161（） B ．(1,0）C ．1-,016（）D ． 0,1（）【答案】D【山东省济宁市2020届高三上学期期末检测理】2.抛物线y x 42=的焦点坐标为 A.（1，0） B.（2，0）C.（0，1）D.（0，2）【答案】C【山东省济南一中2020届高三上学期期末理】10. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是 A ．19 B ．125C ．15D ．13 【答案】A【山东省苍山县2020届高三上学期期末检测理】2．抛物线28x y =的焦点到准线的距离是 （ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【山东省潍坊市2020届高三上学期期末考试理】10．已知点P 是抛物线x y 82-=上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线010=-+y x 的距离是d 2，则d l +d 2的最小值是 A. 3 B. 32 C. 26 D ．3 【答案】C【山东省苍山县2020届高三上学期期末检测理】12．已知圆22:6480C x y x y +--+=，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 （ ）A ．221124x y -= B ．221412x y -= C ．22124x y -= D ．22142x y -= 【答案】B 二、填空题【山东省潍坊市2020届高三上学期期末考试理】15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为332，焦距为2c ，且2a 2=3c ，双曲线 上一点P 满足为左右焦点）、2121(2F F PF PF =•,则=•||||21PF PF ． 【答案】4【山东省莱芜市2020届高三上学期期末检测 理】若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线122+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率等于 .【答案】3【山东省潍坊市三县2020届高三12月联考理】13. 已知AB 是过抛物线22y x =焦点的弦，||4AB =，则AB 中点的横坐标是 .【答案】23【莱州一中2020高三第三次质量检测理】15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率，焦距为2c ，且223a c =,双曲线上一点P 满足1212(PF PF F =u u u r u u u r g 、2F 为左、右焦点），则12||||PF PF =u u u r u u u r g .【答案】4【山东省东营市2020届高三上学期期末（理）】15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为332，焦距为2c ，且2a 2=3c ，双曲线 上一点P 满足为左右焦点）、2121(2F F PF PF =•,则=•||||21PF PF． 【答案】4【山东省济宁市汶上一中2020届高三11月月考理】12．已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，且120,PF PF ⋅=u u u r u u u u r 121tan ,2PF F ∠=则该椭圆的离心率等于________． 【答案】35【山东省临沭一中2020届高三12月理】16. 椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120︒的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为 【答案】32-三、解答题【山东实验中学2020届高三第一次诊断性考试理】22.(本小题满分14分）己知椭圆C ：旳离心率e =,左、.右焦点分别为，点.，点尽在线段PF 1的中垂线i. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 设直线与椭圆C 交于M ，N 两点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线/过定点，并求该定点的坐标.【解题说明】本试题主要考察椭圆的标准方程，以及恒过定点的直线，直线与圆锥曲线的综合运用。

2019-2020学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．把正确答案涂在答题卡上1．设集合{|A x y ==，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则()(R A B =ð )A ．[1，3)B ．(1,3)C ．(1-，0][1，3)D ．(1-，0](1,3)2．命题“0x ∃>，0lnx <”的否定为( )A ．0x ∃>，0lnx …B ．0x ∀…，0lnx …C ．0x ∀>，0lnx >D ．0x ∀>，0lnx …3．若1log 13a<，则a 的取值范围是( ) A ．(0，11)(33⋃，)+∞B ．1(3，)+∞C ．1(3，1)D ．(0，1)(13⋃，)+∞4．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数．平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆．已知角α的终边与单位圆的交点为34(,)55P ，则cos()sin()(παα++-= ) A ．15-B ．15C ．75-D ．755．已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为3π，则a 与b a -的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．已知某函数图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是( )A ．2||2x x y =B ．||22x y =-C ．||x y x e =-D ．2||2x y x =-7．函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin()2g x x πω=-的图象，只需将函数()f x 的图象( )A ．向右平移512π个单位长度 B ．向右平移56π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前2020项和为( )A ．2020320212-+⨯B ．2020320192+⨯C ．2020.120212+⨯D ．2020120192+⨯9．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）( )A B C D 10．非零向量m ，n 的夹角为3π，且满足(0)n m λλ=>，向量组1x ，2x ，3x 由两个m 和一个n 排列而成，向量组1y ，2y ，3y 由一个m 和两个n 排列而成，若112233x y x y x y ++所有可能值中的最大值为252m ，则λ的值为( )A ．1B ．53C ．3D ．4二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全的，得2分，有选错的得0分． 11．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是( ) A ．若a b >，则ac bc < B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0c a b >>>，则a bc a c b>-- D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b <12．已知向量(sin ,m x =，2(cos ,cos )n x x =，函数3()2f x m n =+，下列命题，说法正确的选项是( )A ．()y f x =的最小正周期为πB ．()y f x =的图象关于点(,0)6π对称C ．()y f x =的图象关于直线12x π=对称D ．()y f x =的单调增区间为5[2,2]()1212k k k Z ππππ-+∈ 13．对于函数2()lnxf x x =，下列说法正确的是() A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C．f f f << D ．若21()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2e k > 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 14．函数()(13)xf x x e =-在点(0P ，(0))f 处的切线方程为 ．15．已知向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足//a b ，且方向相同，则x = ．16．已知等比数列{}n a 满足0n a >，且232310(2)n n a a n -=…，则当1n >时，1321n lga lga lga -++⋯+= ．17．已知函数|1|,(0,2],(){|1|,|3|},(2,4],{|3|,|5|},(4,),x x f x min x x x min x x x -∈⎧⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎩其中{min a ，}b 表示a ，b 中较小的数．（1）若()f x a =有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是 ；（2）若关于x 的方程()()(0)f x T f x T -=>有且只有三个不同的实根，则实数T 的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知集合22{|(22)20}A x x a x a a =--+-…，2{|540}B x x x =-+…． （1）若AB =∅，求a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 19．如图，在四边形ABCD 中，23ADC π∠=，AD =，2sin 3BCD ∠=，连接BD ，34BD BC =． （1）求BDC ∠的值； （2）若1BD =，3AEB π∠=，求ABE ∆的面积最大值．20．已知函数21()2(2)2f x x alnx a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n nn S a a =+-，且*0()n a n N >∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若*5(41)()n n n n b n N na -=∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：152n T …． 22．已知函数322()69()f x x ax a x a R =-+-∈． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）当1a …时，若[0x ∀∈，2]都有()8f x -…，求实数a 的取值范围． 23．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为13600()5x k x-+升，其中k 为常数，且48100k 剟．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为10升，欲使每小时的油耗不超过7.2升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．2019-2020学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．把正确答案涂在答题卡上 1．设集合{|A x y ==，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则()(R A B =ð )A ．[1，3)B ．(1,3)C ．(1-，0][1，3)D ．(1-，0](1,3)【解答】解：集合{|{|10}{|1}(A x y x x x x ===-==+∞厔，1]； 集合{|(1)(3)0}{|13}(1B x x x x x =+-<=-<<=-，3)， 则(1,)R A =+∞ð； 所以()(1R A B =ð，3)．故选：B ．2．命题“0x ∃>，0lnx <”的否定为( )A ．0x ∃>，0lnx …B ．0x ∀…，0lnx …C ．0x ∀>，0lnx >D ．0x ∀>，0lnx …【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“0x ∃>，0lnx <”的否定为：0x ∀>，0lnx …． 故选：D ． 3．若1log 13a<，则a 的取值范围是( ) A ．(0，11)(33⋃，)+∞B ．1(3，)+∞C ．1(3，1)D ．(0，1)(13⋃，)+∞【解答】解：若1log 13a <，则13log log a a a <，∴0113a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩或113a a >⎧⎪⎨<⎪⎩， 103a ∴<<或1a >， 故选：D ．4．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数．平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆．已知角α的终边与单位圆的交点为34(,)55P ，则cos()sin()(παα++-= ) A ．15-B ．15C ．75-D ．75【解答】解：角α的终边与单位圆的交点为34(,)55P ，347cos()sin()cos sin 555παααα∴++-=--=--=-．故选：C ．5．已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为3π，则a 与b a -的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【解答】解：已知a ，b 为单位向量，a 与b 的夹角为3π，∴111cos32a b π=⨯⨯=． 设a 与b a -的夹角为θ，[0θ∈，]π，222||()21111a b a b a a b b ∴-=-=-+=-+=，故有2()11cos 11122||||a b a a b a a b a θ--===-=-⨯-，23πθ∴=，故选：C ．6．已知某函数图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是( )A ．2||2x x y =B ．||22x y =-C ．||x y x e =-D ．2||2x y x =-【解答】解：A ．当x →+∞，()0f x →，与图象不符合，故A 错误， B ．当0x =时，||22211x y =-=-=，与图象不符合，故B 错误，C ．函数||x y x e =-为非奇非偶函数，与图象关于y 轴对称不符合，故C 错误，故选：D ．7．函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()2sin()2g x x πω=-的图象，只需将函数()f x 的图象( )A ．向右平移512π个单位长度 B ．向右平移56π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度 【解答】解：由()f x 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，∴周期22T ππ=⨯=，即2ππω=，得2ω=，则()2sin(2)3f x x π=+，则55()2sin(2)2sin(2)2sin[(2)]2sin[2()]223363123g x x x x x ππππππππ=-=--+=-+=-+，即只需将函数()f x 的图象向右平移512π个单位长度， 故选：A ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前2020项和为( )A ．2020320212-+⨯B ．2020320192+⨯C ．2020.120212+⨯D ．2020120192+⨯【解答】解：等比数列{}n a 的公比设为(1)q q ≠，前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则31(1)71a q q -=-，61(1)631a q q -=-， 解得2q =，11a =， 则12n n a -=，数列{}n na 的前n 项和为11122342n n T n -=+++⋯+，21224382n n T n =+++⋯+，相减可得112422n n n T n --=+++⋯+-12212nn n -=--， 化简可得1(1)2n n T n =+-，则数列{}n na 的前2020项和为2020120192+， 故选：D ．9．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）( )A B C D 【解答】解：如图所示，依题意知45AEC ∠=︒，1806015105ACE ∠=︒-︒-︒=︒， 1804510530EAC ∴∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理知sin sin CE ACEAC AEC=∠∠，sin 4520AC ∴=︒=（米)，∴在Rt ABC ∆中，sin 20AB AC ACB =∠==（米)， 国歌长度约为46秒，∴=/秒）． 故选：B ．10．非零向量m ，n 的夹角为3π，且满足(0)n m λλ=>，向量组1x ，2x ，3x 由两个m 和一个n 排列而成，向量组1y ，2y ，3y 由一个m 和两个n 排列而成，若112233x y x y x y ++所有可能值中的最大值为252m ，则λ的值为( )A ．1B ．53C ．3D ．4【解答】解：根据题意可知112233x y x y x y ++的计算结果可能有： ①22222221||||cos (1)32m m n n m m m m m πλλλλ++=++=++， ②3m n m n m n ++=23||||cos32m m m πλλ=， 又因为222131311()2224λλλλλλ++-=-+=-+，所以215122λλ++=，解得1λ=，3(2λ=-舍去），故选：A ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全的，得2分，有选错的得0分． 11．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是( ) A ．若a b >，则ac bc < B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0c a b >>>，则a bc a c b>-- D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < 【解答】解：对于实数a 、b 、c ， A 错，0c >，不成立，B 对0a b <<，因为0a <，所以22a ab b >>成立，C 对，若0c a b >>>，0c a ->，0c b ->，()()0ac ab bc ab ac bc c a b ---=-=->，故()()a c b b c a ->-，则a bc a c b>--成立， D 对，a b >，11a b >，则0b a ab ->，得0ab <，若0a <，0b >，11a b>不成立，故0a >，0b <．故选：BCD ．12．已知向量(sin ,m x =，2(cos ,cos )n x x =，函数3()2f x m n =+，下列命题，说法正确的选项是( )A ．()y f x =的最小正周期为πB ．()y f x =的图象关于点(,0)6π对称C ．()y f x =的图象关于直线12x π=对称D ．()y f x =的单调增区间为5[2,2]()1212k k k Z ππππ-+∈ 【解答】解：向量(sin ,m x =，2(cos ,cos )n x x =， 则函数231s 2)3()s i n o sc o s s i n (22223f x m nx x x x π=+=+=+=-， 所以函数最小正周期为22T ππ==．故A 正确． 当6x π=时，sin(2)063ππ-=，所以函数的图象关于点(,0)6π对称，故B 正确． 当12x π=时，1()sin(2)1121232f πππ=-=-≠，故C 错误． 令222()232k x k k Z πππππ-+-+∈剟，解得5()1212k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以函数的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈故错误．故选：AB ． 13．对于函数2()lnxf x x =，下列说法正确的是( ) A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若21()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2e k > 【解答】解：①函数2()lnx f x x=，所以2431212()(0)x lnx xlnx x f x x x x --'==>， 令()0f x '=，即21lnx =，解得x =当0x <时，()0f x '>，故函数在上为单调递增函数．当x >时，()0f x '<，故函数为单调递减函数．所以函数在x =时取得极大值12f e=，故A 正确，②由于当1x =时，f （1）0=，当0x <<时，()0f x '>，故函数在上为单调递增函数，当x >()0f x '<，故函数为单调递减函数，且102f e=>． 所以函数()f x 有两个不同的零点．故B 正确．③由于当x >()0f x '<，故函数为单调递减函数．所以f f <，由于24ln f ==，2ln f ππ==所以2244ln ln f f ππππ-=-， 由于22ππ>，所以f f <，即f f f <<，故C 正确． ④由于21()f x k x <-，故2211()lnx k f x x x +>+=，由于函数在(0,)+∞上恒成立， 所以21()max lnx k x +>，设21()lnx g x x +=，则321()lnx g x x --'=， 令()0g x '=，解得x=，所以0x<<x >函数单调递减，所以()22max e eg x g e ==-=．故2ek >，故D 正确． 故选：ABCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 14．函数()(13)x f x x e =-在点(0P ，(0))f 处的切线方程为 210x y +-= ． 【解答】解：由()(13)x f x x e =-，得()3(13)(23)x x x f x e x e x e '=-+-=--， ()2f x ∴'=-．又(0)1f =，∴函数()(13)x f x x e =-在点(0P ，(0))f 处的切线方程为21y x =-+，即210x y +-=．故答案为：210x y +-=．15．已知向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足//a b ，且方向相同，则x = 1 ． 【解答】解：向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足//a b ，且方向相同， ∴112x x +=，求得1x =，或2x =-（此时2b a =-，不合题意，舍去）， 故答案为：1．16．已知等比数列{}n a 满足0n a >，且232310(2)n n a a n -=…，则当1n >时，1321n lga lga lga -++⋯+= 2n ．【解答】解：等比数列{}n a 满足0n a >，且232310(2)n n a a n -=…， 可得2232310n n na a a -==， 解得10n n a =，当1n >时，32113211321()(101010)n n n lga lga lga lg a a a lg ---++⋯+=⋯=⋯ 2132121010n n lg lg n ++⋯+-===．故答案为：2n ．17．已知函数|1|,(0,2],(){|1|,|3|},(2,4],{|3|,|5|},(4,),x x f x min x x x min x x x -∈⎧⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎩其中{min a ，}b 表示a ，b 中较小的数．（1）若()f x a =有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是 (1,)+∞ ；（2）若关于x 的方程()()(0)f x T f x T -=>有且只有三个不同的实根，则实数T 的取值范围是 ．【解答】解：（1）作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知当1a >时，()f x a =只有1解．（2）关于x 的方程()()(0)f x T f x T -=>有且仅有3个不同的实根， ∴将()f x 的图象向右平移T 个单位后与原图象有3个交点，24T ∴<<．故答案为：（1）(1,)+∞；（2）(2,4)．四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知集合22{|(22)20}A x x a x a a =--+-…，2{|540}B x x x =-+…． （1）若AB =∅，求a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【解答】解：22{|(22)20}{|2}A x x a x a a x a x a =--+-=-剟?，2{|540}{|14}B x x x x x =-+=剟?．（1）AB =∅，24a ->或1a <，即6a >或1a <．a ∴的取值范围是(-∞，1)(6⋃，)+∞；（2） “x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，A B ∴Ü， 则214a a -⎧⎨⎩……，解得34a 剟． a ∴的取值范围是[3，4]．19．如图，在四边形ABCD 中，23ADC π∠=，AD =，2sin 3BCD ∠=，连接BD ，34BD BC =． （1）求BDC ∠的值； （2）若1BD =，3AEB π∠=，求ABE ∆的面积最大值．【解答】解：（1）BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD BCBCD BDC=∠∠，所以sin 1sin 2BC BCD BDC BD ∠∠==．因为34BD BC =， 所以BD BC >， 所以BDC ∠为锐角， 所以6BDC π∠=．（2）在ABD ∆中，AD =1BD =，2362ADB πππ∠=-=，所以2AB ==．在ABE ∆中，由余弦定理得2222cos3AB AE BE AE BE π=+-，所以2242AE BE AE BE AE BE AE BE AE BE =+--=…，当且仅当AE BE =时等号成立， 所以4AE BE …，所以11sin 4232ABE S AE BE π∆=⨯=…，即ABE ∆20．已知函数21()2(2)2f x x alnx a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解（1）当1a =时，21()23(0)2f x x lnx x x =+->． 所以2232(2)(1)()3x x x x f x x x x x-+--'=+-==，令()0f x '…，则01x <…或2x …，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(0，1]和[2，)+∞，单调递减区间为(1,2)；（2）假设存在实数a ，满足题设． 因为函数323414()()22929g x f x ax x x alnx x x =++=+-+， 所以224()23a g x x x x '=+-+， 要使函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-+∈+∞…， 即3243660x x x a +-+…，32436(0,)6x x xx a +-∈+∞⇔-…，(0,)x ∈+∞， 令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当1(0,)2x ∈时，()0h x '<，()h x 在1(0,)2上单调递减，当1(,)2x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在1(,)2+∞上单调递增，所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17()224h =-， 所以存在724a -…，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增． 21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n nn S a a =+-，且*0()n a n N >∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若*5(41)()n n n n b n N na -=∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：152n T …． 【解答】解：（1）当1n =时，21111222a S a a ==+-，解得12a =或11a =-（舍)，又222n nn S a a =+-① 当2a …时，211122n n n S a a ---=+-②①-②，得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(1)0n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以10n n a a -+>，故11n n a a --=， 所以{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列． 故2(1)11n a n n =+-=+．（2）证明：15(41)55(1)1n n nn n b n n n n+-==-++，所以2321112555555(5)()()523211n n n n n T b b b n n n ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-++， 因为211155(43)5021(1)(2)n n n n n n T T n n n n +++++-=-=>++++，所以{}n T 是递增数列，故21515522n T T =-=…． 22．已知函数322()69()f x x ax a x a R =-+-∈． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）当1a …时，若[0x ∀∈，2]都有()8f x -…，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+-=---， 所以当(,1)x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数， 当(1,3)x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以()f x f =极大值（3）0=，()f x f =极小值（1）4=-．（2）22()31293()(3)(1)f x x ax a x a x a a '=-+-=---…， 所以()f x 在(0,)a 和(3,)a +∞单调递减，在(,3)a a 单调递增．()i 当2a …时，()f x 在[0，2]单调递减，2()(2)82418min f x f a a ==-+-， 由题得2824188a a -+--…，解得403a剟，又3a …，所以a 值不存在． ()ii 当12a <…时，23a a <<，此时，()f x 在((0,)a 单调递减，在[a ，2]上递增，所以3333()()694min f x f a a a a a ==-+-=-，由题意得348a --…解得a …，所以1a 剟综上a 的取值范围为1a 剟23．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为13600()5x k x-+升，其中k 为常数，且48100k 剟．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为10升，欲使每小时的油耗不超过7.2升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【解答】解：（1）由题意，当120x =时，13600()105x k x -+=，所以100k =．由13600(100)7.25x x-+…， 得213636000x x -+…，所以36100x 剟． 又因为60120x 剟，所以60100x 剟． （2）设该汽车行驶100千米的油耗为y 升， 则10013600()5y x k x x =-+ 2207200020(60120)k x x x =-+剟， 令1t x =，则11[,]12060t ∈， 所以22272000202072000()207200720k k y t kt t =-+=-+-， 对称轴7200kt =，48100k 剟， 所以11[,]720015072k ∈． ①若17200120k …，即60100x 剟， 则当7200k t =，即7200x k=时，220720min k y =-；②若17200120k <，即4860k <…， 则当1120t =，即120x =时，256min k y =-． 答：当60100k 剟时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220720k -元，当4860k <…时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为256k-．。

专题29 空间向量与立体几何（解答题）1．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC AC ⊥，BC AC ⊥，2AC PC ==，4CB =，M 是PA 的中点．（1）求证：PA ⊥平面MBC ；（2）设点N 是PB 的中点，求二面角N MC B --的余弦值．【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【解析】（1）平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥，因为AC PC =，M 是PA 的中点，所以CM PA ⊥， 因为CMBC C =，,CM BC ⊂平面MBC ，所以PA ⊥平面MBC ．（2）因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC =AC ，PC ⊂平面PAC ，PC AC ⊥，所以PC ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PC BC ⊥，以C 为原点，CA ，CB ，CP 为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，(2,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)M ，(0,2,1)N ，则(1,0,1)CM =，(0,2,1)CN =，(2,0,2)PA =-，由（1）知(2,0,2)PA =-是平面MBC 的一个法向量，设(,,)n x y z =是平面MNC 的法向量，则有00CM n CN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-，2x =，所以(2,1,2)n =-，设二面角N MC B --所成角为θ，由图可得θ为锐角，则2cos cos ,||||PA n PA n PA n θ⋅⨯=<>===【名师点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案． 2．在四棱锥P ABCD -中，PAB △为直角三角形，90APB ∠=︒且12PA AB CD ==，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD 且DAB ∠为直角，E 为AB 的中点，F 为PE 的四等分点且14EF EP =，M 为AC 中点且MF PE ⊥．（1）证明：AD ⊥平面ABP ；（2）设二面角A PC E --的大小为α，求α的取值范围． 【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】（1）证明见解析；（2）,32ππα【解析】（1）取PE 的中点N ，连接AN ，DN ，CE ，如图所示：因为12AE AB =，12AP AB =，所以AP AE =，AN PE ⊥．因为四边形ABCD 为直角梯形，且90DAB ∠=︒，12CD AB =， 所以四边形AECD 为正方形，即M 为DE 的中点． 因为14EF EP =，N 为PE 的中点，所以F 为EN 的中点．所以//MF DN ． 因为MF PE ⊥，所以DN PE ⊥．所以PE DN PE ANPE DN AN N ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面ADN ． 因为DA ⊂平面ADN ，所以PE DA ⊥．所以DA AB DA PEDA PE AB E ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面ABP ． （2）以A 为原点，AB ，AD 分别为y ，z 轴，垂直AB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设AD a =，1PA CD ==，2AB =，则()0,0,0A，1,02P ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0E ，()0,1,C a ． 31,02AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,AC a =，1,02PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,CE a =-． 设平面PAC 的法向量()111,,n x y z =，则1111310220AP n x yAC n y az ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令1y =，解得11x =，1z =，故1,3,n⎛=- ⎝⎭． 设平面PEC 的法向量()222,,m x y z =，则222310220PE mx y CE m az ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令2y =21x =，20z =，故()1,3,0m =．由图知，二面角A PC E --的平面角α为锐角，所以11cos 0,2α-⎛⎫==⎪⎝⎭．故,32ππα．3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，112BC AD ==且CD =E 为AD 的中点，F 是棱PA 的中点，2PA =，PE ⊥底面ABCD ．AD CD ⊥（1）证明：//BF平面PCD ； （2）求二面角P BD F --的正弦值；（3）在线段PC （不含端点）上是否存在一点M ，使得直线BM 和平面BDF 所成角的正弦值为13？若存在，求出此时PM 的长；若不存在，说明理由． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】（1）证明见解析；（2（3）存在，7PM = 【解析】（1）由题意得//BC DE ，=BC DE ，90ADC ∠=︒，所以四边形BCDE 为矩形， 又PE ⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0A，()B ，()1,0,0D -，(P ，()C -，1,0,22F ⎛ ⎝⎭，设平面PCD的法向量为(),,m x y z=，()0,DC =，(DP =则00DC m DP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则0x ==⎪⎩，则0y =，不妨设x =1z =，可得()3,0,1m =-，又1,22BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，可得0BF m ⋅=，因为直线BF ⊄平面BCD ，所以//BF 平面BCD ．（2）设平面PBD 的法向量为()1111,,x n y z =，()1,DB =，(0,BP =，则1100DB n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设x =()13,1,1n =--，设平面BDF 的法向量为()2222,,n xy z =，32DF ⎛= ⎝⎭，则2200DB n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222203022x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设2x =，可得()2n =-，因此有121212cos ,65n n n n n n ⋅==-⋅，（注：结果正负取决于法向量方向） 于是21212465sin ,1cos ,n n n n =-=，所以二面角P BD F --．（3）设((),PM PC λλλ==-=-，()0,1λ∈(),BM BP PM λ=+=-，由（2）可知平面BDF 的法向量为()23,1,3n =-，2223cos ,BM n BM n BM n⋅===⋅，有23410λλ-+=，解得1λ=（舍）或13λ=， 可得1,333PM ⎛=-- ⎝⎭，所以73PM =． 4．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA =//DC AB ，90DAB ∠=︒，3AB =，2AD CD ==，M 是棱PD 的中点．（1）求异面直线DP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求AM 与平面PBC 所成的角的大小；（3）在棱PB 上是否存在点Q ，使得平面QAD 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小为60°？若存在，求出AQ 的长；若不存在，说明理由．【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考 【答案】（1；（2）45︒；（3）125． 【解析】如图，以,,AD AB AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则(()()()()(,0,0,0,3,0,0,2,2,0,0,2,0,P A B C D M ，（1）(0,DP =-，()1,2,0BC =-，所以cos,DP BC==，即异面直线DP与BC（2）(AM=，(3,0,PB=-，()1,2,0BC=-设平面PBC的法向量(),,m x y z=，则mPBm BC⎧⋅=⎨⋅=⎩，3020xx y⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，所以可取(m=，设AM与平面PBC所成的角为θ，则sin cos,AM mθ===，所以AM与平面PBC所成的角为45︒；（3）平面ABCD的法向量可取()10,0,1n=，设(()3,0,3,0,PQ PBλλλ==-=-，则()3Qλ，所以()3AQλ=，()0,2,0AD =，设平面QAD的法向量为()2222,,n x y z=，则22nAQn AD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，()2223020x zyλ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取()223,0,3nλ=-，因为平面QAD与平面ABCD所成的锐二面角的大小为60°.所以121cos,2n n=，12=，解得25λ=或2λ=-（舍）所以6,0,55AQ⎛=⎝⎭，所以61255AQ⎛==5．如图，在正四面体A BCD-中，点E，F分别是,ABBC的中点，点G，H分别在,CD AD 上，且14DH AD=，14DG CD=．（1）求证：直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上； （2）求直线AB 与平面EFGH 所成角的正弦值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（理） 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）因为//,//EF AC GH AC ，11=,=24EF AC GH AC ，所以//GH EF 且12GH EF =，故E ，F ，G ，H 四点共面，且直线,EH FG 必相交于一点，设=EH FG M ，因为,∈M EH EH平面ABD ，所以M ∈平面ABD ，同理：M ∈平面BCD ，而平面ABD ⋂平面BCD BD =，故M ∈平面BCD ，即直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上； （2）取BD 的中点O ，则,⊥⊥BD OA BD OC ，所以BD ⊥平面AOC ，不妨设OD =，则BD AC ==12AO CO ==， 所以1441441921cos 212123+-∠==⨯⨯AOC ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,(12,0,0),(6,--A B C F G ，故=BA ，(=-FG ，(8,0,=-AC ，(4,0,=-EF ，设平面EFGH 的法向量为(,,)n x y z =，由00n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得50y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，则(52,=n ，则182cos ,3||||92⋅<>===⨯BA n BA n BA n ，故直线AB 与平面EFGH ． 6．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====（1）求证：//EF DA ；（2）求二面角A EF B --的余弦值．【试题来源】江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考 【答案】（1）证明见解析；（2）35． 【解析】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ，//AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，所以//EF AD ；（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，60BAD ︒∠=，21BC OA OC OB OD =∴====，2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，EM =11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC，//,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM∴∴，从而1(0,1,0),((0,1,0),(22A B C D E---，设平面ADEF一个法向量为(,,)m x y z=，则m DAm DE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即12yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令11,(1,x y z m=∴===-，设平面BCEF一个法向量为(,,)n x y z=，则n BCn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩，令11,(1,3,1)x y z n=∴==-=--，3cos,5|||,|m nm nm n⋅∴<>==，因此二面角A EF B--的余弦值为35．7．如图，在四棱锥P ABCD-中，90BAD∠=，//AD BC，PA AD⊥，PA AB⊥，122PA AB BC AD====．（1）求证：//BC平面PAD；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）解法1．因为//BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以//BC平面PAD，解法2．因为PA AD⊥，PA AB⊥，AD AB⊥，所以以A为坐标原点，,,AB AD AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C ，平面PAD 的法向量为(1,0,0)t ， (0,2,0)BC = ，因为 0120000t BC ⋅=⨯+⨯+⨯= ，BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD ； （2）因为PA AD ⊥，PA AB ⊥AD AB ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C所以平面PAB 的法向量为(0,1,0)n = ， 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， (2,2,2)PC =-，(0,4,2)PD =- ，所以2220042020x y z x y m PC m PC y z z y m PD m PD ⎧⎧+-==⎧⎧⊥⋅=⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨-==⊥⋅=⎩⎩⎩⎩，令1(1,1,2)y m ==得 ，cos ,1n mn m n m ⋅<>===⨯，设平面PAB 与平面PCD 所成角为θθ，为锐角， 所以cos θ=． 8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE ．（1）求证：BE PA ⊥；（2）求二面角A PD C --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PF PB 的值；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）证明见解析；（2）7-；（3）存在；12PF PB =． 【解析】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =．因为3BAD π∠=，E 为AD 的中点，所以BE AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，所以BE ⊥平面PAD ． 因为PA ⊂平面PAD ，所以BE PA ⊥．（2）连结PE ．因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥．由（1）可知BE ⊥平面PAD ，所以BE AD ⊥，PE BE ⊥．设2AD a =，则PE a =．如图，建立空间直角坐标系E xyz -．所以(,0,0),,0),(2,0),(,0,0),(0,0,)A a B C a D a P a --．所以),0(D C a =-，(,0,)D a P a =．因为BE ⊥平面PAD ，所以(0,,0)EB =是平面PAD 的一个法向量．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00ax ax az ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，所以,.x x z ⎧=⎪⎨=-⎪⎩令3x =，则1y =，z =(3,1,n =．所以cos ,||||7n EB n EB n EB ⋅===．由题知，二面角A PD C --为钝角，所以其余弦值为- （3）当点F 是线段PB 的中点时，//EF 平面PCD ．理由如下： 因为点E ∈/平面PCD ，所以在线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD 等价于0EF ⋅=n ．假设线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD ．设([0,1])PF PBλλ=∈，则PF PB λ=．所以(0,0,),),)EF EP PF EP PB a a a a a λλλ=+=+=+-=-．由)0EF a a a λ⋅=-=n ，得12λ=． 所以当点F 是线段PB 的中点时，//EF 平面PCD ，且12PF PB =． 9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，4PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别为PB ，PC 的中点．（1）求证：平面ADE ⊥平面PCD ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．因为PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ．因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面PCD ．（2）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．如图建立空间直角坐标系D xyz -．因为4PD =，底面ABCD 为边长为2的正方形，所以()0,0,4P ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()1,1,2E ，()0,1,2F ． 则()2,0,0DA =，()1,1,2DE =，()2,1,2BF =--．设平面ADE 的法向量(),,m x y z =，由00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020x x y z =⎧⎨++=⎩． 令1z =-，则0x =，2y =．所以()0,2,1m =-．设直线BF 与平面ADE 所成角为θ，则,sincos ,9BF mBF m BF m θ====．所以直线BF 与平面ADE ． 【名师点睛】本题考查了面面垂直的判定，核心是要求面面垂直，先考虑线面垂直；同时也考查了线面角的计算方法，核心是要求正弦值，先求余弦值．10．如图，已知11ABB A 是圆柱1OO 的轴截面，O 、1O 分别是两底面的圆心，C 是弧AB 上的一点，30ABC ∠=，圆柱的体积和侧面积均为4π．（1）求证：平面1ACA ⊥平面1BCB ；（2）求二面角11B A B C --的大小．【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题【答案】（1）证明见解析 ；（2）60 ．【解析】（1）因为1AA 是圆柱的母线，所以1AA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ， 所以1AA BC ⊥，又C 是弧AB 上的一点，且AB 是圆O 的直径，所以AC BC ⊥，因为1AA AC A =，所以BC ⊥平面1ACA ，又BC ⊂平面1BCB ，所以平面1ACA ⊥平面1BCB ；（2）设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，因为圆柱的体积和侧面积均为4π，所以2244rl r l ππππ=⎧⎨=⎩，解得，2r ，1l =，即4AB =，11AA =，因为30ABC ∠=，所以2AC =，BC =设圆柱过C 点的母线为CD ，以C 为原点，CA ，CB ，CD 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示；则()0,0,0C ，()B ，()12,0,1A ，()1B ；所以()12,0,1CA =，()10,CB =，()12,BA =-，()10,0,1BB = 设平面11CA B 的法向量为(),,n x y z =，由1120000x z n CA n CB z ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，取z =x =1y =-，所以平面11CA B的一个法向量为(3,n =--， 设平面11BA B 的法向量为(),,m a b c=，由1102000m BA a c m BB c ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩， 取1b =，则a =0c ，所以平面11BA B 的一个法向量为()3,1,0m =， 所以1cos ,23n mm n n m ⋅===-+⋅， 由图中可看出二面角11B A B C --是锐角，故二面角11B A B C --的值为60．【名师点睛】证明面面垂直的方法：（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可； （2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）； （4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0．11．如图1，正方形ABCD ，边长为a，,E F 分别为,AD CD 中点，现将正方形沿对角线AC 折起，折起过程中D 点位置记为T ，如图2．（1）求证：EF TB ⊥；（2）当60TAB ︒∠=时，求平面ABC 与平面BEF 所成二面角的余弦值．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）取AC 中点O ，连,,OT OB BT ，因为ABCD 为正方形，所以,AC OT AC OB ⊥⊥，又OT OB O ⋂=，所以AC ⊥平面OBT ，而TB ⊂平面OBT ，所以AC TB ⊥． 又,E F 分别为,AD CD 中点，所以//EF AC ，所以EF TB ⊥；（2）因为60TAB ︒∠=，所以TAB △为等边三角形，TB a =，又2OT OB a ==，所以222TB OB OT =+，即OT OB ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则,0,0,0,,B E F ⎫⎛⎛⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，220,,0,,,2244EF a EB a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，平面ABC 法向量(0,0,1)m =设平面BEF 法向量(,,1)x n y =，由00n EF n EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00244y ay =⎧+-=⎩，012y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，1,0,1,cos ,2||||11mn n m n m n ⋅⎛⎫=<>=== ⎪⋅⎝⎭⋅， 记平面ABC 与平面BEF 所成二面角为θ，则θ为锐角，所以cos 5θ=即平面ABC 与平面BEF ． 12．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E ，F 分别在棱1AA ，1CC 上，且满足113AE AA =，113CF CC =，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ．（1）证明：直线l ⊥平面1BDD ；（2）已知2EF =，14BD =，设BF 与平面1BDD 所成的角为θ，求sin θ的取值范围．【试题来源】海南省2021届高三年级第二次模拟考试【答案】（1）证明见解析；（2）35⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】（1）如图，连接AC ，与BD 交于点O ．由条件可知//AE CF ，且AE CF =，所以//AC EF ，因为EF ⊂平面BEF ，所以//AC 平面BEF ．因为平面BEF 平面ABC l =，所以//AC l ． 因为四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，所以AC BD ⊥，1AC BB ⊥，又1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面1BDD ，所以l ⊥平面1BDD ．（2）如图所示，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC 的方向为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系．设2BD a =，因为1BD BD <，所以02a <<．则OB a =，1DD ==所以(,0,0)B a ，(0,1,0)C，F ⎛ ⎝． 由（1）可知(0,1,0)OC =是平面1BDD的一个法向量，而BF a ⎛=- ⎝， 所以sin cos ,OC BF OC BF OC BF θ⋅=<>===当02a <<35<<，即3sin 5θ⎫∈⎪⎪⎝⎭．【名师点睛】求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果．13．在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，1AA =AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 是1B C 的中点．（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值．【试题来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）由1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，得1AB B C ⊥， 又AB AC ⊥，1CB AC C =，故AB ⊥平面1AB C ， AB 平面11ABB A ，故平面11ABB A ⊥平面1AB C ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，1CB 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B，又BC =11BB AA == 故11CB =，()10,0,1B ，10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0CA =， ()111,1,1AA BB ==--，11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =， ()0,1,1n =， 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ，故1sin 102nAEn AE θ⋅===，即直线AE 与平面11AAC C14．如图，在平面四边形PABC 中，PA AC ⊥，AB BC ⊥，PA AB ==，2AC =，现把PAC △沿AC 折起，使P 在平面ABC 上的射影为O ，连接OA 、OB ，且OB//AC ．（1）证明：OB ⊥平面PAO ；（2）求二面角O PB C --的余弦值．【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）PO ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO AC ∴⊥，又PA AC ⊥，PAPO P =，所以AC ⊥平面PAO ， //OB AC ，所以OB ⊥平面PAO ；（2）在Rt ABC 中，AB =2AC =，则1BC ==，30BAC ∴∠=，在Rt OAB 中，903060OAB ∠=-=，所以12OA AB ==，32OB =，Rt PAO 中，PA =AO =32OP ∴==， 以点O 为坐标原点，OB 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则0,,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33,0,22PB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，32PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由（1）可知()0,1,0m =为平面POB 的一个法向量，设平面平PBC 的法向量为(),,n x y z =，则有330223202x z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y x z x ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩，取x =(3,n =-，cos ,717m n m n m n ⋅===-⋅⨯， 由图可知，二面角O PB C --为钝角，所以，二面角O PB C --的余弦值为7-． 15．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//,90BC AD ADC ∠=︒，11,2BC CD AD E ===为线段AD 的中点，过BE 的平面与线段,PD PC 分别交于点,G F ．（1）求证：GF ⊥平面PAD ；（2）若PA PD ==G为PD 的中点，求平面PAB 与平面BEGF所成锐二面角的余弦值．【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（理）【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】证明：（1）因为12BC AD =，且E 为线段AD 的中点，所以BC DE =， 因为//BC AD ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以//BE CD ，因为CD ⊂平面,PCD BE ⊂/平面PCD ，所以//BE 平面PCD ，又平面BEGF ⋂平面PCD GF =，所以//BE GF ，又BE AD ⊥，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 所以BE ⊥平面PAD ，所以GF ⊥平面PAD ；（2）因为,PA PD E =为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥，‘’因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -；则11(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),,0,22P A B E D G ⎛⎫--⎪⎝⎭， 则11(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0),(1,0,1),,0,22PA PB BE DP EG ⎛⎫=-=-=-==- ⎪⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则0{0PA m PB m ⋅=⋅=，，，即11110,0x z y z -=⎧⎨-=⎩， 不妨令11x =，可得(1,1,1)n =为平面BEGF 的一个法向量，设平面BEGF 的法向量为()222,,n x y z =，则0{0BE n EG n ⋅=⋅=，，，即222011022y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，不妨令21x =，可得(1,0,1)n =为平面BEGF 的一个法向量，设平面PAB 与平面BEGF 所成的锐二面角为α，于是有2cos |cos ,|32m n α=〈〉==； 所以平面PAB 与平面BEGF ．16．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，对角线AC 与BD 交于点F ，侧面SBC 是边长为2的等边三角形，点E 在棱BS 上．（1）若//SD 平面AEC ，求SE EB的值； （2）若平面SBC ⊥平面ABCD ，求二面角B AS C --的余弦值．【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）1；（2． 【解析】（1）连结EF ，因为//SD 平面AEC ，SD ⊂平面BSD ，平面BSD ⋂平面AEC EF =，所以//SD EF ．因为底面ABCD 是正方形，F 为AC 中点，所以EF 是SD 的中位线，则1SE EB=． （2）取BC 的中点为O ，AD 的中点为M ，连结MO ，则MO BC ⊥， 因为平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC平面ABCD BC =，OM ⊂平面ABCD ， 所以OM ⊥平面SBC ．又OS BC ⊥，所以O 为坐标原点．以{},,OS OC OM 为正交基底建立空间直角坐标系O xyz -．则()0,1,2A -，()010B -,,，()0,1,0C，)S，1,022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而()SC =-，()0,2,2AC =-，()0,0,2AB =-，()3,1,2AS =-． 设平面ASC 的法向量为(),,m x y z =， 则0,0.m SC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0.y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩取1x =，则y =z = 所以平面ASC的一个法向量为(1,3,m =．设平面ASB 的法向量为(),,n x y z =， 则0,0.n AB n AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,20.z y z -=⎧⎪+-=取y =1x =-，0z =． 所以平面ASB 的一个法向量为()1,3,0n =-．所以7cos ,7m n m n m n ⋅〈〉==． 因为二面角B AS C --的平面角为锐角，所以二面角B AS C --的余弦值为7． 【名师点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．（2）设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．17．在三棱锥P ABC -中，底面ABC 为正三角形，平面PBC ⊥平面,1,ABC PB PC D ==为AP 上一点，2,AD DP O =为三角形ABC 的中心．（1）求证：AC ⊥平面OBD ；（2）若直线PA 与平面ABC 所成的角为45︒，求二面角A BD O --的余弦值．【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【解析】（1）证明：连接AO 并延长BC 交于点E ，则E 为BC 中点，连接PE ．如图所示：因为О为正三角形ABC 的中心，所以2,AO OE =又2AD DP =，所以//,DO PE 因为PB PC =，E 为BC 中点，所以,PE BC ⊥ 又平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC 平面ABC BC =，所以PE ⊥平面,ABC 所以DO ⊥平面,ABC AC ⊂平面PBC ，所以,DO AC ⊥又,AC BO DO BO O ⊥⋂=，所以AC ⊥平面OBD ．（2）由PE ⊥平面ABC 知，所以45PAE ∠=︒ ，所以,PE AE =所以,ABE PBE ≌ 所以1AB PB BC AC ====，由（1）知，,,EA EB EP 两两互相垂直，所以分别以,,EA EB EP 的方向为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则1,0,,0,0,0,,22263A B P D ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以31,,0,2231,,623AB BD ⎛⎫-⎛= ⎪ ⎪⎝⎭=-⎝⎭， 设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =， 则302302x y nBD z y n AB x ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令1,x =可得1y z ==，则()1,3,1n =． 由（1）知AC ⊥平面,DBO 故1,02AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭为平面DBO 的法向量， 所以2cos ,5nAC n AC n AC -⋅===-，由图可知二面角A BD O --的为锐二面角，所以二面角A BDO --的余弦值为5． 18．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60°，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【试题来源】山西省运城市2021届高三上学期期末（理）【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，则1//2NQ AC ，且12NQ AC =， 又1//2MF AC ，且12MF AC = ，所以//MF NQ 且MF NQ =， 所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊄平面FCB ，所以//MN 平面FCB ；（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，可得1BC =，AC =90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ，所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，所以1FC =．因为FB =，所以222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),,0,12A B M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3,0,1,(3,1,0)2MA AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则00MA m AB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30230x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，取23x =，则(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，又(0,1,0)n =为平面MAC的一个法向量， 所以657257cos 571||m n mn m n ⋅〈〉====⨯∣∣， 故平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值为5719． 19．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）若H 为EF 的中点，证明：//GH 平面ABCD ；（2）若14=EH EF ，求直线CH 与平面ACG 所成角的正弦值． 【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】（1）证明见解析；（26． 【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．因为该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，所以截面AEFG 是平行四边形，则4=-=DG CF EB ．因为36==FC EB ，所以1(26)42=⨯+=HM ，且DG//HM ，所以四边形DGHM 是平行四边形，所以GH //DM ．因为DM ⊂平面ABCD ，GH ⊄平面ABCD ，所以//GH 平面ABCD ．（2）解：如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(4,0,0)A ，(0,4,0)C ，(0,0,4)G ，(3,4,3)H ，(4,4,0)=-AC ，(4,0,4)=-AG ，(3,0,3)=CH ．设平面ACG 的法向量为(,,)n x y z =，则440440AC n x y AG n x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =．因为cos ,3||||32⋅〈〉===⨯CH n C n n CH H ，所以直线CH 与平面ACG 所成角的正弦值为3．【名师点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过严密推理证明线线平行从而得线面平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解．20．如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，120ECD ∠=︒．22BC CD CE AD BG ====．（1）求证：//AG 平面BDE ；（2）求二面角E BD C --的余弦值．【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（理）【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）证明：在平面BCEG 中，过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连DM ， 由题意知，MG MN =，////MN BC DA 且12MN AD BC ==， 因为//MG AD ，MG AD =，故四边形ADMG 为平行四边形，所以//AG DM ， 又DM ⊂平面BDE ，AG ⊂/平面BDE ，故//AG 平面BDE ．（2）由题意知BC ⊥平面ECD ，在平面ECD 内过C 点作CF CD ⊥交DE 于F ， 以C 为原点，CD ，CB ，CF 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设1AD =，则22BC CD CE BG ====．且()0,0,0C ，()2,0,0D ，()0,2,0B ，(E -，设平面EBD 的法向量(),,n x y z =，则由0,0,DE n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,220,x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1y =，得(1,1,3n =，易知平面BCD 的一个法向量为()0,0,1m =，3cos ,51m nm n m n ⋅==⋅=⋅E BD C --． 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，M 为PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BDM ；（2）若PB PC ==CD PC ⊥，求二面角C DM B --的余弦值．【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（理）【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）连接AC 交BD 于E ，连接EM ，则E 为AC 中点，所以EM 为APC △的中位线，所以//EM AP ，因为EM ⊂平面BDM ，AP ⊄平面BDM ，所以//AP 平面BDM ．（2）在PBC 中，因为2224PB PC BC +==，所以PB PC ⊥，取BC 中点O ，AD 中点F ，连接PO ，OF ，则PO BC ⊥，1PO =，因为BC CD ⊥，CD PC ⊥，BC 、PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，所以CD ⊥平面PBC ，因为PO ⊂平面PBC ，所以CD PO ⊥，因为PO BC ⊥，BC CD C ⋂=，BC 、CD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为OF ⊂平面ABCD ，所以PO OF ⊥，所以PO ，OF ，OB 两两垂直，如图所示，以O 为原点，OF ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,1,0)D -，(0,0,1)P ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，所以110,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得112,,22DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,2,0)BD =-，(2,0,0)CD =．设平面BDM 的法向量为()111,,m x y z =， 则0 0m BD m DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11111220112022x y x y z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取(1,1,3)m =， 设平面CDM 的法向量为()222,,n x y z =，则00n CD n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222220112022x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取(0,1,1)n =-，所以222cos ,11||||112m n m nm n ⋅〈〉===⋅⨯， 所以二面角C DM B --的余弦值为11．22．如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直， //BE CF ，BCF CEF ∠=∠=90°，AD =EF =（1）求证：EF ⊥平面DCE（2）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60°． 【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【解析】（1）因为平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD 平面BEFC BC =，CD BC ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面BEFC ，EF ⊂平面BEFC ，从而CD EF ⊥． 因为EF CE ⊥，CD CE C =，,CD CE ⊂平面CDE ，所以EF ⊥平面CDE ．（2）如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系．过点E 作EG CF ⊥于点G ．在Rt EFG中，EG AD ==EF =1FG =．因为CE EF ⊥，则90EFC ECF BCE ∠=︒-∠=∠，所以Rt EFG Rt ECB △△，EG GF EF BE BC EC==，所以2,BE CE == 所以2CG =，所以3CF =．设AB a ，则()0,0,0C，)A a，)E ，()0,3,0F ．()0,2,AE a =-，()EF =-，()2,2,0CE =， 设平面AEF 的法向量(),,n x y z =．则00n AE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200y az y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令2z=，得,2n a ⎫=⎪⎭．因为CD ⊥平面EFC ，()0,0,CD a =，所以1cos ,2n CD ==，解得a =所以当AB =A EF C --的大小为60°．【名师点睛】本题考查空间向量法求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出平面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．23．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，//CD AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）证明：当2MA EM =时，直线//CE 平面BDM ；（2）当AE ⊥平面MBC 时，求二面角E BD M --的余弦值．【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理）【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）连结BD 与AC 交于点N ，连结MN ，//AB CD ，24AB CD ==， CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴==， 12EM MA =，EM CN MA AN∴=，MN //EC ∴， 又MN ⊂面BDM ，CE ⊂面BDM ，//CE ∴平面BDM ．（2）AE 平面MBC ，AE BM ∴⊥，M ∴是AE 的中点，取AB 的中点为O ， OE ∴⊥平面ABCD ，以OD ，OA ，OE 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0)B-，E ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，M ，设平面EBD 的法向量为()1111,,x n y z=，则1111112200020x y n BD n BE y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令11z =，则1y=1x =1(3,3,1)n ∴=-，设平面BDM 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222222200030x y n BD n BM y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩，令2z 21y =-，21x =，1(1,13)n ∴=-， 1212123105cos ,||n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ∴二面角E BD M --的余弦值为35． 24．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为2，M 为棱CD 的中点，N 为面对角线1BC 的中点，如图．（1）求证：ND AN ⊥；（2）求平面1AMD 与平面11AAC C 所成锐二面角的余弦值．【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末（理）【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）取BC 的中点分别为F ，连接NF ，DF ，因为N ，F 分别为1BC ，BC 的中点，1111ABCD A B C D -是正方体，易得NF ⊥平面ABCD ，所以NF AM ⊥；因为FC MD =，AD DC =，FCD MDA ∠=∠，所以FCD MDA ≌△△，所以CFD DMA ∠=∠，所以90FDC DMA ∠+∠=︒，所以FD AM ⊥，因为NF FD F =，NF ⊂平面NFD ，FD ⊂平面NFD ，所以AM ⊥平面NFD ， 又DN ⊂平面NFD ，所以ND AM ⊥；（2）以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系：连接BD ，1C D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1BD C D =，且N 为1BC 中点，所以1DN BC ⊥．又11//BC AD ，所以1AD DN ⊥． 因为1AD AM A =，1AD ⊂平面1AMD ，AM ⊂平面1AMD ，所以ND ⊥平面1AMD ，故ND 为平面1AMD 的一个法向量；由1111ABCD A B C D -是正方体，得BD ⊥平面11AAC C ，故BD 为平面11AAC C 的一个法向量，因为()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,1,1N ， 所以()2,1,1ND =--，()2,2,0BD =-， 所以(cos ,ND BDND BD ND BD -⋅<>===⋅则平面1AMD 与平面11AAC C25．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上．（1）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ；（2）当平面BDM 与平面ABFM 在线段EC 上的位置．【试题来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试（理）【答案】（1）证明见解析；（2）点M 为EC 中点．【解析】（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,2)E ，所以(0,2,1)M ．所以(2,0,1)BM =-， 又(0,4,0)DC =是平面ADEF 的一个法向量．因为0BM DC ⋅=即BM DC ⊥，BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ；（2）设(,,)M x y z ，则(,,2)EM x y z =-，又(0,4,2)EC =-，设()01EM EC λλ=≤≤，则0,4,22x y z λλ===-，即(0,4,22)M λλ-．设111(,,)n x y z =是平面BDM 的一个法向量，则11112204(22)0DB n x y DM n y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取11x =得11y =-，此时显然1λ=时不符合，则121z λλ=-，即2(1,1,)1n λλ=--， 又由题设，(2,0,0)DA =是平面ABF 的一个法向量，所以cos ,622DA n DA n DA n ⋅===⋅，解得12λ=，即点M 为EC 中点． 【名师点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．26．如图所示，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB BC CD ==，四边形ADEF 为矩形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF AB λ=．（1）证明：//DF 平面BCE ；（2）若二面角C BE F --λ的值． 【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）取AB 的中点为M ，连接FM CM DM ，，，因为//AM CD 且AM CD =，四边形AMCD 为平行四边形，所以//AD MC 且AD MC =，因为四边形ADEF 为矩形，所以//FE MC 且=FEMC ，所以四边形EFMC 是平行四边形，所以//FM EC ，且EC ⊂平面BEC ，FM ⊄平面BEC ，。