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直线的倾斜角与斜率（含答案）一、单选题1．经过点A ( 3，－2)和B (0,1)的直线l 的倾斜角α为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线l 1: 3+m x +4y =5−3m ,l 2:2x + 5+m y =8平行，则实数m 的值为（）A ．−7B ．−1C ．−1或−7D ．1333．已知直线l 1:x +my +7=0和l 2:(m −2)x +3y +2m =0互相平行，则实数m =（ ）A ．m =−3B ．m =−1C ．m =−1或3D ．m =1或m =−3 4．已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（）A ．1BC ．2D ．5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y )|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( )A ．3B ．0C ．－1D ．0或－16．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A ．2，13B ．－2，−13C ．−12，－3D ．－2，－3 7．已知两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行，则m 的值是（）A ．4-B ．1-C ．1D ．48．已知坐标平面内三点P(3，-1),M(6，2),N − ,直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围（）A ． 450,1500B ． 450,1350C ． 600,1200D ． 300,6009．直线1y =+的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒二、填空题10．设直线l 1:(a +1)x +3y +2−a =0，直线l 2:2x +(a +2)y +1=0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为______，若l 1∥l 2，则实数a 的值为_______．11．直线l 1:x +2y −4=0与l 2:mx + 2−m y −1=0平行，则实数m =________.12．线2cos α•x﹣y ﹣1=0，α∈[π6，23π]的倾斜角θ的取值范围是__________13．直线x + 3y +1=0的倾斜角的大小是_________.14．若直线l 1:ax +2y =8与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行,则a =__________.15．已知点P 2,−3 ,Q 3,2 ，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是____；16．若x ，y 满足约束条件 x −y +2≥0,2x +y −3≤0,y ≥1,则y +1x +2的最小值为__________．17．直线ax +(a −1)y +1=0与直线4x +ay −2=0互相平行，则实数a =________．18．直线x +2y +2=0与直线ax −y +1=0互相垂直，则实数a 等于________．三、解答题19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060,,BAD E F ∠=分别为,PA BD 的中点，2.PA PD AD ===（1）证明：//EF 平面PBC ；（2）若PB =A DEF -的体积.20．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=．（1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值．21．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为 （1）求直线l 的方程．（2）求与直线l平行，且过点()2,3的直线方程．（3）求与直线l垂直，且过点()2,3的直线方程．22．已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，P1,22在椭圆上，椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，△PAF1的面积是△POF2的面积的2−1倍．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C交于M，N，连接MF1，NF1并延长交椭圆C于D，E，连接DE，指出k DE与k之间的关系，并说明理由．23．已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)(1))若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．24．已知直线l1：x+my+6=0，l2：( m−2 ) x+3y+2m=0.求当m为何值时，l1，l2 (1) 平行；(2) 相交；(3) 垂直.25．已知直线l1：x−y+1=0，l2：(a−1)x+ay+12=0．(1)若l1//l2，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，设l1，l2与x轴的交点分别为点A与点B，平面内一动点P到点A 和点B的距离之比为P的轨迹方程E．26．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为2，离心率为22，右顶点为A.（I）求该椭圆的方程；（II）过点D(2,−2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P、Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.27．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,且椭圆C与圆M:(x−3)2+y2=34的公共弦长为(1)求椭圆C的方程(2)椭圆C的左右两个顶点分别为A1,A2,直线l:y=kx+1与椭圆C交于E,F两点,且满足k A1F =2k A2E,求k的值.参考答案1．C【解析】分析：先由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围及倾斜角的正切值等于斜率，求得倾斜角的值．详解：由直线的斜率公式得，经过点A(，－2)和B(0,1)的直线l的斜率为0−3＝－，又倾斜角大于或等于0°小于180°，倾斜角的正切值等于－3，故倾斜角等于120°，故选C.点睛：本题考查直线的斜率公式以及倾斜角的范围、倾斜角与斜率的关系．2．A【解析】【分析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=−3+m4x+5−3m4，y=−25+mx+85+m，∵两条直线平行，∴−3+m4=−25+m，5−3m4≠85+m，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故选：A．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．3．C【解析】【分析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果.【详解】由题意得1m−2=m3≠72m∴m=−1或3,选C.【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题.4．D【解析】设12AF F ∆的内切圆圆心为1,I ，12BF F ∆的内切圆圆心为2,I ，边1212A F A F F F 、、上的切点分别为M N E 、、，易见1I E 、横坐标相等，则1122AM AN F M F E F N F E ===，，，由122AF AF a -=， 即122AM MF AN NF a +-+=（），得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记1I 的横坐标为0x ，则00E x （，），于是002x c c x a +--=（），得0x a =，同理内心2I 的横坐标也为a ，则有12I I x ⊥轴，设直线的倾斜角为θ，则22129022OF I I F O θθ∠=∠=︒-，，则211212221tan ,tan tan 90222tan 2r r I F O r r F E F E θθθ⎛⎫=∠=︒-=== ⎪⎝⎭ ，222tan 12tan ,tan tan 22221tan 2θθθθθ∴==∴==- 故选D.5．D 【解析】A B ?⋂＝，即直线()212602320l x a y l a x ay a ：＋＋＝与：－＋＋＝平行， 令()2132a a a ⨯＝－，解得01a a ＝或＝－或3a ＝.0a ＝时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1∥l 2.a ＝－1时，l 1：x ＋y ＋6＝0，l 2：－3x －3y －2＝0.l 1∥l 2.a ＝3时，l 1：x ＋9y ＋6＝0，l 2：x ＋9y ＋6＝0，l 1与l 2重合，不合题意．∴a ＝0或a ＝－1.答案：D.点睛：本题考查两条直线平行的判定；已知两直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若化成斜截式再判定往往要讨论该直线的斜率是否存在，容易出错，可记住以下结论进行判定： 已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，（1）121221//0l l A B A B ⇔-=且12210AC A C -≠；（2））1212120l l A A B B ⊥⇔+=.6．B【解析】【分析】可分别令x =0,y =0，求出相应的y 和x 的值，即为相应坐标轴上的截距.【详解】令x =0，解得：y =−13，即为y 轴上截距； 令y =0，解得：x =−2，即为x 轴上截距.故选B.【点睛】本题考查截距的求法，即直线分别与x 轴、y 轴交点的横坐标和纵坐标，根据坐标轴上点的特点将0代入即可.7．A【解析】由两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行可得，斜率相等，截距不相等，即22m =-且132≠-，解得4m =-，故选A. 8．A【解析】【分析】先由P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），M （6，2），求得直线NP 和MP 的斜率，再根据直线l 的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线l 绕P 点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线l 斜率的范围，进而得到直线l 的倾斜角的取值范围．【详解】∵P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），∴直线NP 的斜率k 1= 3+1− 3−3=﹣ 33．同理可得直线MP 的斜率k 2=2+16−3=1．设直线l 与线段AB 交于Q 点，当直线的倾斜角为锐角时，随着Q 从M 向N 移动的过程中，l 的倾斜角变大，l 的斜率也变大，直到PQ 平行y 轴时l 的斜率不存在，此时l 的斜率k ≥1；当直线的倾斜角为钝角时，随着l 的倾斜角变大，l 的斜率从负无穷增大到直线NP 的斜率，此时l 的斜率k ≤﹣ 33．可得直线l 的斜率取值范围为：（﹣∞，﹣ 33]∪[1，+∞）．∴直线l 的倾斜角的取值范围 450,1500故选：A ．【点睛】本题给出经过定点P 的直线l 与线段MN 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．9．B【解析】设倾斜角为θ，直线1y =+tan θ=60θ=︒，故选B ．10．−85−4 【解析】分析：由题意得到关于a 的方程或方程组，据此求解方程即可求得最终结果. 详解：若l 1⊥l 2，则：2 a +1 +3 a +2 =0，整理可得：5a +8=0，求解关于实数a 的方程可得：a =−85. 若l 1∥l 2，则a +12=3a +2≠2−a 1，据此可得：a =−4.点睛：本题主要考查直线垂直、平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．23【解析】【分析】由直线的平行关系可得1× 2−m −2m =0，解之可得答案【详解】∵直线l1:x+2y−4=0与l2:mx+2−m y−1=0平行，∴1×2−m−2m=0，解得m=23故答案为23【点睛】本题主要考查的是直线的与直线的平行关系，继而求得斜率与斜率之间的关系，属于基础题。
第八章 解析几何第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l __向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__． 知识点二 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 __y －y 0＝k (x －x 0)__不含直线x ＝x 0 斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含垂直于坐标轴的直线 截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于x 轴、平行于x 轴和__过原点的__直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 其中要求__A 2＋B 2≠0__适用于平面直角坐标系内的所有直线重要结论直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90°90° 90°＜α＜180° k 0k ＞0且α越大，k 就越大不存在k ＜0且α越大，k 就越大双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 38T3)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3．3．(必修2P 100A 组T9)过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0__．[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5．所以直线方程为x ＋y －5＝0． 题组三 走向高考4．(2016·北京，7)已知A (2,5)，B (4,1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( C ) A ．－1 B ．3 C ．7D ．8 [解析] 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)， 2≤x ≤4．即2x ＋y －9＝0,2≤x ≤4，因为P (x ，y )在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9．又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7，故2x －y 最大值为7．5．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )A ．⎣⎡⎭⎫0，π4B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2 C ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4D ．⎣⎡⎭⎫3π4，π[解析] 由题意可知切线的斜率k ＝tan α＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x＋1ex ＋2，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴3π4≤α＜π，故选D ．考点突破·互动探究考点一 直线的倾斜角与斜率——自主练透例1 (1)(2021·兰州模拟)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( B )A ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3 C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( A )A ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π B ．⎣⎡⎦⎤0，π4 C ．⎣⎡⎭⎫34π，π D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤34π，π (3)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C ) A ．e B ．－e C ．1eD ．－1e[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α．由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3． (2)如图所示，设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)． k P A ＝－1＋20－1＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1．∵直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点， ∴－1≤tan α≤1．∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π．故选A ． (3)解法一：∵f (x )＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ．设切点P (x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e．解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f (x )＝ln x 及曲线f (x )＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C ．[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l 的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．[引申2]若将题(2)中A (1，－2)改为A (－1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__⎣⎡⎦⎤π4，3π4__．[解析]∵P (0，－1)，A (－1,0)， B (2,1)，∴k AP ＝－1－00－(－1)＝－1，k BP ＝1－(－1)2－(0)＝1．如图可知，直线l 斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤π4，3π4．名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)求直线斜率的方法： ①定义法：k ＝tan α； ②公式法：k ＝y 2－y 1x 2－x 1；③导数法：曲线y ＝f (x )在x 0处切线的斜率k ＝f ′(x 0)．(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2，直线垂直于x 轴．〔变式训练1〕(1)(2021·大庆模拟)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( B ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π (2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的值可以是( ABC )A ．12B ．－2C ．0D ．1[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，选B ．(2)由已知直线l 恒过定点P (2,1)，如图所示，若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ， ∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12，故选A 、B 、C ．考点二 直线的方程——师生共研例2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍； (4)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称． [解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35．∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34．又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5．即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0．(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3．又直线过点(－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0． (3)若直线过原点，则其斜率k ＝25，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0．若直线不过原点，则设其方程为x 2b ＋y b ＝1，由52b ＋2b ＝1得b ＝92，故所求直线方程为x 9＋2y9＝1，即x ＋2y －9＝0．∴所求直线的方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0．(4)直线3x －4y －5＝0的斜率为34，与y 轴交点为⎝⎛⎭⎫0，－54，故所求直线的斜率为－34，且过点⎝⎛⎭⎫0，－54，∴所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0．名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．〔变式训练2〕(1)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__x ＋13y ＋5＝0__．(2)直线3x －y ＋4＝0绕其与x 轴的交点顺时针旋转π6所得直线的方程为__3x －3y ＋4＝0__．(3)已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__x －6y＋6＝0或x －6y －6＝0__．[解析] (1)由题意可知BC 的中点为H ⎝⎛⎭⎫32，－12， ∴k AH ＝0－⎝⎛⎭⎫－12－5－32＝－113．故所求直线的方程为y －0＝－113(x ＋5)，即x ＋13y ＋5＝0．(2)直线3x －y ＋4＝0与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－433，0，斜率为3，倾斜角θ为π3，可知所求方程直线的倾斜角为π6，斜率k ＝33⎝⎛⎭⎫或由k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π6求，故所求直线的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x ＋433，即3x －3y ＋4＝0．(3)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则3b 2＝3，∴b ＝±1，故所求直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．考点三 直线方程的应用——多维探究例3 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O为坐标原点．求：(1)当△AOB 面积最小时，直线l 的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l 的方程； (3)当|MA |·|MB |取最小值时，直线l 的方程； (4)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． [解析] 设直线的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b＝1．(1)∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4．此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1．即x ＋2y －4＝0．(2)a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋ab≥3＋22b a ·ab＝3＋22．故a ＋b 的最小值为3＋22，此时2b a ＝a b ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋2．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y 2＋1＝1．即x ＋2y －2－2＝0．(3)解法一：设∠BAO ＝θ，则sin θ＝1|MA |，cos θ＝2|MB |，∴|MA |·|MB |＝2sin θcos θ＝4sin 2θ，显然当θ＝π4时，|MA |·|MB |取得最小值4，此时k l ＝－1，所求直线的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0．解法二：|MA |·|MB |＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab ≥4．当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴|MA |·|MB |的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．解法三：若设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )，∴|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤－1k ＋(－k )≥4，当且仅当－k ＝－1k，即k ＝－1时，取等号．故|MA |·|MB |的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．(4)同(3)|MA |＝1sin θ，|MB |＝2cos θ， ∴|MA |2＋|MB |2＝1sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎫1sin 2θ＋4cos 2θ ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥9．⎝⎛⎭⎫当且仅当cos 2θ＝2sin 2θ，即tan θ＝22时取等号∴|MA |2＋|MB |2的最小值为9， 此时直线的斜率k ＝－22，故所求直线的方程为y －1＝－22(x －2)， 即2x ＋2y －2(2＋1)＝0．注：本题也可设直线方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)求解．名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．〔变式训练3〕已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，O 为坐标原点．若S △AOB＝92，求直线l 的方程． [解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，ab ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝32故所求直线方程为x 3＋y 3＝1或x 6＋2y3＝1，即x ＋y －3＝0或x ＋4y －6＝0．名师讲坛·素养提升(1)定点问题例4 (此题为更换后新题)已知直线l ：kx －y ＋1＋3k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第一象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k (x ＋3)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－3,1)．(2)令x ＝0得y ＝3k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，3k ＋1≤0解得k ≤－13．故k 的取值范围是(－∞，－13]．(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第四象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k (x ＋2)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－2,1)．(2)令x ＝0得y ＝2k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，2k ＋1≥0解得k ≥0．故取值范围是[0＋∞)．名师点拨过定点A (x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．方程为y －y 0＝k (x －x 0)是直线过定点A (x 0，y 0)的充分不必要条件．(2)曲线的切线问题例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A ．2B ．12C ．1D ．3[解析] 设切点为⎝⎛⎭⎫m ，1m ，m ≠0，y ＝1x 的导数为y ′＝－1x 2，可得切线的斜率k ＝－1m 2，切线方程为y －1m ＝－1m 2(x －m )，代入(2,0)，可得－1m ＝－1m 2(2－m )，解得m ＝1，则切线方程为y －1＝－x ＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×2＝2．故选A ． 〔变式训练4〕(1)直线y ＝kx －k －2过定点__(1，－2)__．(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为__2x －y －2＝0__．。
直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。
(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)。
2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ。
(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1。
3．直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B.3 C ．－ 3 D ．－332． 已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0走进教材答案1．A ； 2． B ；二、查漏补缺1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝04．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。
5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。
查漏补缺答案5．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。
2.2 直线的方程2.2.1 直线的点斜式方程1.B [解析] 倾斜角为120°的直线斜率为-√3,故直线的点斜式方程为y-1=-√3(x-√3),整理得y=-√3x+4.故选B .2.D [解析] 直线的斜率为tan 60°=√3,则由题意可知,所求直线的方程为y=√3x-2.故选D .3.D [解析] 因为直线mx+ny+3=0在y 轴上的截距为-3,所以0-3n+3=0,解得n=1.直线√3x-y=3√3的斜率为√3,由已知可得,直线mx+y+3=0的斜率为-√3,即-m=-√3,所以m=√3.故选D .4.C [解析] 因为直线方程为y+2=k (x+1),所以由直线的点斜式方程可得直线恒过点(-1,-2).故选C .5.C [解析] 记l 1:y=kbx ,l 2:y=kx+b.对于选项A,由直线l 1得kb>0,由直线l 2得k>0,b<0,∴kb<0,∴A 错误;对于选项B,由直线l 1得kb>0,由直线l 2得k<0,b>0,∴kb<0,∴B 错误;对于选项C,由直线l 1得kb<0,由直线l 2得k<0,b>0,∴kb<0,∴C 正确;对于选项D,由直线l 1得kb<0,由直线l 2得k>0,b>0,∴kb>0,∴D 错误.故选C .6.C [解析] 依题意得k AB =5-12-4=-2,∴线段AB 的方程为y-1=-2(x-4),x ∈[2,4],即y=-2x+9,x ∈[2,4],故2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9,x ∈[2,4].设h (x )=4x-9,x ∈[2,4],易知h (x )=4x-9在[2,4]上单调递增,故当x=4时,h (x )max =4×4-9=7.故选C .7.D [解析] 当θ=π2+k π(k ∈Z)时,直线l :x=-2,则其倾斜角为π2;当θ≠π2+k π(k ∈Z)时,直线l :y=-1cosθx-2cosθ,则其斜率k=-1cosθ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),∴α∈[π4,π2)∪(π2,3π4].综上所述,直线l 的倾斜角α的取值范围为[π4,3π4].故选D .8.AC [解析] 对于A,由y=ax-2a+1整理得y-1=a (x-2),所以该直线经过定点(2,1),故A 正确;对于B,对于3x-2y+4=0,令x=0,解得y=2,故该直线在y 轴上的截距为2,故B 错误;对于C,直线√3x+y+1=0的斜率k=-√3,设该直线的倾斜角为θ,则k=tan θ=-√3,由于θ∈[0,π),故θ=2π3,故C 正确;对于D,直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度,再沿y 轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置,则直线l 的一个方向向量为v=(-3,1),所以直线l 的斜率为-13,故D 错误.故选AC .9.ABC [解析] 由题意知,直线l 的倾斜角可以是π6或π3或5π6或2π3,所以直线l 的斜率k=tan π6=√33或k=tan π3=√3或k=tan 5π6=-√33或k=tan 2π3=-√3,所以直线l 的方程可以为y-√3=√33(x-1)或y-√3=√3(x-1)或 y-√3=-√33(x-1)或y-√3=-√3(x-1).由y-√3=√3(x-1),整理得y=√3x ,此时直线l 过原点,无法与x 轴和y 轴围成直角三角形,舍去.故选ABC .10.y=-2x+6 [解析] ∵直线l 与直线y=12x+4互相垂直,∴直线l 的斜率为-2.∵直线l 与直线y=x+6在y 轴上的截距相等,∴直线l 经过点(0,6),故直线l 的方程为y=-2x+6.11.y=1或y=√3x+1-2√3 [解析] 直线y=√33x-√3的斜率为√33,所以其倾斜角为30°,所以直线l 的倾斜角为0°或60°.当直线l 的倾斜角为60°时,直线l 的方程为y-1=√3(x-2),即y=√3x+1-2√3;当直线l 的倾斜角为0°时,直线l 的方程为y=1.故直线l 的方程为y=1或y=√3x+1-2√3.12.(-∞,-2]∪[53,+∞) [解析] 直线l :kx-y-2k-3=0,即y+3=k (x-2),∴直线l 过定点P (2,-3),且斜率为k.如图,直线PA 的斜率k PA =-3-32+1=-2,直线PB 的斜率k PB =-3-22-5=53,∵直线l 与线段AB 相交,∴k 的取值范围是(-∞,-2]∪[53,+∞).13.解: (1)∵直线l 的倾斜角为60°,∴直线l 的斜率为tan 60°=√3,又直线l 过点P (√3,-2),∴由直线的点斜式方程得,直线l 的方程为y-(-2)=√3(x-√3),即y=√3x-5.(2)∵直线l 在y 轴上的截距为4,∴由直线的斜截式方程得,直线l 的方程为y=√3x+4.14.解:(1)k BC =3-02-4=-32,故过点A 且与BC 平行的直线方程为y-1=-32(x-1),即3x+2y-5=0. (2)线段AB 的中点为(32,2),k AB =3-12-1=2,故线段AB 的垂直平分线的斜率为-12,故所求直线方程为y-2=-12(x -32),即2x+4y-11=0.(3)设直线AB 的倾斜角为α,则tan α=2,故tan 2α=2tanα1-tan 2α=-43,故所求直线方程为y-1=-43(x-1),即4x+3y-7=0.15.32 [解析] 由题意,直线y=kx 将△ABC 分割为两部分,不妨记两部分的面积分别为S 1,S 2,故S △ABC =S 1+S 2=12×|AB|×|OC|=32(O 为坐标原点),且S 1>0,S 2>0,结合基本不等式可得32=S 1+S 2≥2√S 1S 2,即S 1S 2≤916,当且仅当S 1=S 2=34时等号成立,即直线y=kx 将△ABC 分割为面积相等的两部分时两部分的面积之积最大.因为S △OBC =12×1×1=12<34,所以若两部分的面积相等,则直线y=kx 与线段AC 相交,设交点为D (x D ,y D ),故S △OAD =12|OA|×y D =y D =34,易知直线AC 的方程为y=-12(x-2),将y D =34代入可得x D =12,故D (12,34),由D (12,34)在直线y=kx 上,得k=32. 16.解:由题意知k ≠0,∵直线l :y=k (x-2)+3与x 轴、y 轴的交点分别是A (2-3k ,0),B (0,3-2k ), ∴S △AOB =12×|2-3k |×|3-2k|=12×(2k -3)2|k |. 当k>0时,S △AOB =12×4k 2-12k+9k =12×(4k +9k -12),∵4k+9k ≥2√4×9=12,当且仅当k=32时取等号, ∴当m>0时,存在两个k (k>0)满足S △AOB =m.当k<0时,S △AOB =12×4k 2-12k+9-k =12×[(-4k +9-k )+12],∵-4k+9-k ≥2√4×9=12,当且仅当k=-32时取等号, ∴当0<m<12时,不存在k (k<0)满足S △AOB =m ;当m=12时,存在唯一一个k (k<0)满足S △AOB =m ;当m>12时,存在两个k (k<0)满足S △AOB =m.综上,若使△AOB (O 为坐标原点)的面积为m 的直线l 共有四条,则正实数m 的取值范围是(12,+∞).。
直线的倾斜角.斜率.直线方程基础练习题一、选择题1．直线013=++y x 的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )A ．所有的直线都有倾斜角和斜率B ．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C ．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D ．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角3．若直线经过(0,1),4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为( ) A ．30o B ．45o C ．60o D ．120o 4．直线0334=-+y x 的斜率为（ ） A.34 B.43 C.43- D.34- 5．在直角坐标系中，已知(1, 2)A -，(3, 0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ）. A.（2,2） B.（1,1） C.（-2，-2） D.（-1，-1） 6．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 7．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 8．一条直线经过点1(2,3)P -，倾斜角为45α=o，则这条直线的方程为( )A. 50x y ++=B.50x y --=C. 50x y -+=D. 50x y +-= 9．若直线l 经过原点和点A （2，2），则它的倾斜角为 A ．－45° B ．45° C ．135° D ．不存在 10．若直线的倾斜角为︒120，则直线的斜率为（ ） A. 3 B. 3- C. 33 D. 33-11．直线02:=--+a y ax l 在x 轴和y 灿上的截距相等，则a 的值是 A.1B .－1C .－2或－1D. －2或112．倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y xA ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒14．过点(3,0),(2,3)的直线的倾斜角为（ ）A 、0120B 、030C 、060D 、0150 15．若直线1=x 的倾斜角为α，则α等于 A.︒0 B. ︒45 C. ︒90 D.不存在16．如右图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 （A ）123k k k << （B ）312k k k << （C ）132k k k << （D ）321k k k <<17． 经过两点 (4,0)(0,3)A B -、的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B. 34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=18．将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90度，再向右平移1个单位，所得的直线方程为则（ ） A. 3131+-=x yB. 131+-=x y C. 33-=x y D. 131+=x y 19．直线x ＝－1的倾斜角为 （ ▲ ）（A ）135︒ （B ）90︒ （C ）45︒ （D ）0︒ 20． 直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -,则直线的斜率为 A. -1 B. 1 C . 0 D . 221．已知直线l 经过)2,3(-A ，)3,2(-B 两点，那么直线l 的倾斜角为（ ） A.3π B.6π C.4π D.43π22．直线(2m 2－5m +2)x －(m 2－4)y +5m =0的倾斜角是4π，则m 的值为 A.2 B.3 C.－2D.－323．直线31y x =+的倾斜角是A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 24．下列四种说法中正确的是（ ）A ．一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角叫做这条直线的倾斜角B ．直线l 的倾斜角取值范围是第一象限角或第二象限角C ．已知直线l 经过),(),,(222111y x P y x P 两点，则直线l 的斜率1212x x y y k --=D ．与x 轴垂直的直线斜率为0 25．直线l 的倾斜角为45°，且过（0,1），则直线l 的方程是A x+y+1=0B x-y+1=0C x-y-1=0D x+y-1=0 26．直线l 过P （1，0）、Q （12,2+-），则直线l 的倾角α=A 、ο135B 、ο45C 、ο60D 、ο225 27．直线3410x y +-=的倾斜角为α，则cos α的值为( ) A ．45-B.45C.35D. 34- 28．过点P (-2,0),斜率为3的直线方程是( )A.y =3x -2B.y =3x +2C.y =3(x -2)D.y =3(x +2)29．已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是( ) A.(5，8) B.(8,+∞) C.(,8)D.(5,)30．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）．A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 31．已知直线l 的倾斜角为120o，则直线l 的斜率是（ ）． A ．3 B ．3- C ．33- D ． 3332．直线x tan7π+y =0的倾斜角是（ ） A.－7π B.7π C.7π5 D .7π633．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在D ．0180，不存在34． ）A B C D 35．直线30x y -+=的倾斜角是（ ）A 、300B 、450C 、600D 、90036．已知直线l 过点()1,2P ，()5,7Q ，则直线l 的斜率为（ ） A ．45 B ．45- C ．54 D ．54- 37．直线0cos 40sin 4010x y -++=的倾斜角是（ ） A ．040 B ．050 C ．0130 D ．0140 二、填空题38．已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α . 39．已知点(3,8),(2,4)A B -，若y 轴上的点P 满足PA 的斜率是PB 斜率的2倍，则P 点的坐标为_________.40．经过两点A(-3,5),B(1,1 )的直线倾斜角为________.4110y ++=的倾斜角是 ．42．给定三点A(0,1)，B(a ,0)，C(3,2)，直线l 经过B 、C 两点，且l 垂直AB ，则a 的值为________．43．直线5x-2y-10=0在y 轴上的截距为 。
高考数学直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式专项训练一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
3.2.1直线的点斜式方程（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x＋3)【答案】C[因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y－2＝3(x＋3)．]2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为()A．y＝3x＋2B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2D．y＝3x－2【答案】D[直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式得y＝3x－2.]3．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为()A．a＋b B．2a－bC．b－2a D．|2a－b|【答案】C[由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a.]4．直线l过点(－3,0)，且与直线y＋1＝2x垂直，则直线l的方程为()A．y＝－12(x－3)B．y＝－12(x＋3)C．y＝12(x－3)D．y＝12(x＋3)【答案】B[因为直线y＝2x－1的斜率为2，所以直线l的斜率为－12.又直线l过点(－3,0)，故所求直线的方程为y＝－12(x＋3)，选B.]5．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()【答案】D[对于A 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a ＜0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＜0，b ＞0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a ＞0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0.故选D.]二、填空题6．直线y ＝2x ＋1的斜率为________.【答案】27．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．【答案】[－2,2][b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．]8．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________.【答案】y ＝34x －3[依题意设直线方程为y ＝34x ＋b ，令x ＝0可得纵截距为b ，令y ＝0可得横截距为－43b ，∴－43b ＋b ＝1，∴b ＝－3，所以直线方程为y＝34x－3.]三、解答题9．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝33x的倾斜角的2倍，求这条直线的点斜式方程．【答案】∵直线y＝33x的斜率为33，∴它的倾斜角为30°，∴所求直线的倾斜角为60°，斜率为 3.又直线经过点A(2，－3)，∴这条直线的点斜式方程为y＋3＝3(x－2)．10．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程.【答案】直线AB的斜率k AB＝－3－03－(－5)＝－38，过点A(－5,0)，∴直线AB的点斜式方程为y＝－38(x＋5)，即所求的斜截式方程为y＝－38x－158.同理，直线BC的方程为y－2＝－53 x，即y＝－53x＋2.直线AC的方程为y－2＝25 x，即y＝25x＋2.∴直线AB，BC，AC的斜截式方程分别为y＝－38x－158，y＝－53x＋2，y＝25x＋2.1．已知等边三角形ABC 的两个顶点A (0,0)，B (4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是()A ．y ＝－3xB ．y ＝－3(x －4)C ．y ＝3(x －4)D ．y ＝3(x ＋4)【答案】C[由题意，知直线BC 的倾斜角为60°，故直线BC 的斜率为3，由点斜式得所求直线的方程为y ＝3(x －4)．]2．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是图中的()【答案】B[直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距为1a.当a ＞0时，斜率a ＞0，在y轴上的截距1a ＞0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a ＜0时，斜率a ＜0，在y 轴上的截距1a ＜0，则直线y ＝ax ＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．]3．设直线l 的倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的12，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的方程是________.【答案】y ＝3x ±3[直线y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°，所以直线l 的倾斜角为60°，∴k l ＝tan 60°＝3，又直线l 在y 轴上的截距为b ＝±3.所以直线l 的方程为y ＝3x ±3.]4．已知直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)[令y ＝0，则x ＝－2k .令x ＝0，则y ＝k ，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12|k |·|－2k |＝k 2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k 2≥1，所以k 的取值范围是k ≥1或k ≤－1.]5．已知直线l ：y ＝ax ＋3－a5.(1)求证：无论a 为何值，直线l 必经过第一象限；(2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】(1)当x ＝15时，y ＝35，所以直线ll 必经过第一象限．(2)如图，直线OA 的斜率k OA ＝35－015－0＝3.若直线l 不经过第二象限，则直线l 的斜率k l ≥3，即a ≥3.所以实数a 的取值范围为[3，＋∞).。
高二数学直线的倾斜角与斜率试题1.直线的参数方程为 (t为参数)，则直线的倾斜角为()A．40°B．50°C．140°D．130°【答案】C【解析】,所以，故选C.【考点】直线的参数方程2.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A．[0，π)B．∪C．D．∪【答案】B【解析】xsinα＋y+2=0的斜率为-sina，-sina取值范围为[-1,1]，故斜率范围为[-1,1]，即倾斜角的范围就是∪.【考点】倾斜角与斜率.3.若直线y＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A．0B．C．D．不存在【答案】A【解析】∵直线y＝0的斜率为0，倾斜角的正切值是斜率，∴α=0。
【考点】直线的倾斜角与斜率.4.过点和的直线的斜率为 .【答案】【解析】根据求斜率的公式可知：.【考点】直线的斜率.5.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角的大小是___ __.【答案】【解析】根据直线方程知道直线的倾斜角为零角.【考点】由直线的方程求直线的斜率.6.在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为.（Ⅰ）若直线过点，求直线的方程；（Ⅱ）若直线在轴、轴上的截距之和为，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意知道所求直线的斜率为，经过点.由点斜式方程可得的方程；（Ⅱ）设直线的方程为.再由直线在轴、轴上的截距之和为解得.试题解析：（Ⅰ）由题意，直线的斜率为，所以直线的方程为，即：.（Ⅱ）由题意，直线的斜率为，所以设直线的方程为.令，得.令，得.由题知，解得.所以直线的方程为，即.【考点】直线的点斜式方程；直线方程中的截距.7.直线l经过点，则它的倾斜角是（）A．300B．600C．1500D．1200【答案】D【解析】由二点先求斜率,通过斜率再求倾斜角.由斜率公式,再由倾斜角的范围知, 故选D【考点】直线的倾斜角8.直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线的倾斜角满足=，所以，=。
直线的倾斜角、斜率知识精要：一、正确理解直线的倾斜角、斜率的概念，明确直线的倾斜角与斜率之间的关系，掌握两者的转化方法1．倾斜角及斜率的概念 （1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°. 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.根据以上定义知，平面内任意一条直线都有唯一的的倾斜角与它相对应，反之，倾斜角为某一值的直线有无数条，只有倾斜角不能确定直线。
（2）直线的斜率倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tan α（α≠90°）.倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）. （4）求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α.②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k =1212x x y y --.2．直线的倾斜角与斜率的关系平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 斜率的图象如下图.（1）已知倾斜角α，求斜率k 。
2tan 2k παπαα⎧∅=⎪⎪⎨⎪=≠⎪⎩ 当02πα≤<时，0k ≥；当2παπ<<时，0k <。
（2）已知斜率k ，求倾斜角α。
arctan 0arctan 0k k kk απ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩。
二、理解直线的方向向量、法向量与倾斜角、斜率之间的关系，掌握转化的基本方法 设直线l 的方向向量(,)d u v =，倾斜角为α，斜率是k 。
1. 直线的方向向量设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量.向量121x x -21F F =（1，1212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率.2. 已知(,)d u v =，当0u ≠时，v k u =，arctan 0arctan 0v vuuvv u uαπ⎧≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩；当0u =时，k 不存在，2πα=。
