直线的倾斜角和斜率练习题教学教材

直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时●教学目标(一)教学知识点1.“直线的方程”与“方程的直线”的概念.2.直线的倾斜角和斜率.3.斜率公式(二)能力训练要求1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念.2.理解直线的倾斜角和斜率的定义.3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率.4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系.2.用联系的观点看问题.●教学重点直线的倾斜角和斜率概念.●教学难点斜率概念理解与斜率公式.●教学方法学导式本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口.●教具准备投影片三张第一张：“直线的方程”与“方程的直线”概念（记作§7.1.1 A）第二张：斜率公式推导过程（记作§7.1.1 B）第三张：本节例题（记作§7.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点?［生］一次函数形如y＝kx＋b，它的图象是一条直线.［师］如果我们现在对于一给定函数y＝2x＋1，如何作出它的图象.［生］由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.［师］这两点与函数式y＝2x＋1有何关系?［生］这两点就是满足函数式的两对x，y值.［师］好，这一同学回答的完全正确.从上述作图过程可以看出，满足函数式y＝2x＋1的每一对x，y的值都是函数y＝2x＋1的图象上的点，也就是一条直线上的点；同样，这条直线上的每一点的坐标都满足函数式y＝2x＋1.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直线，它是以满足y ＝kx ＋b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y ＝kx ＋b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.［师］有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的概念：(给出投影片§7.1.1 A)以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.［师］在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.下面，请同学们通过自学了解直线的倾斜角与斜率的有关概念，并注意它们的变化范围.2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.［师］因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的概念辨析题.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).［生］上述说法中，E 正确，其余均错误，原因如下：A.与x 轴垂直的直线倾斜角为2π，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但ta n120°＝－3＜tan30°＝33；C.平行于x 轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是2π，但斜率不存在，也就谈不上相等.［师］通过上面的练习，我们可以总结出如下几点(板书)说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°；③倾斜角是90°的直线没有斜率.［师］下面我们对于“两点确定一条直线”这一事实，研究怎样用两点的坐标来表示直线的斜率.3.斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出投影片§7.1.1 B)推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1 212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.［师］下面通过例题讲评逐步熟悉斜率公式.4.例题讲解：［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120°参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-，cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝?-??-?40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=?-?-?-?=?-??-?=又α∈［0，π］∴α＝120°故选D.［师］接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.Ⅲ.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.Ⅴ.课后作业(一)课本P 37习题7.11.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：l 1：2x ＋3y －6＝0 l 3：2x ＋3y ＋6＝0l 2：2x －3y ＋6＝02.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝30°；（2）α＝４5°；（3）α＝65π；（４）α＝32π；（5）α＝８9°；（6）α＝2. 解：(1)∵tan30°＝3 3，∴直线斜率为33；(2)∵tan ４5°＝1，∴直线的斜率为1；(3)∴tan 65π＝－tan 6π＝－33，∴直线斜率为－33；(4)∵tan 32π＝－tan 3π＝－3，∴直线斜率为－3；(5)∵tan ８9°＝57.29，∴直线的斜率为57.29. (6)∵tan2＝－2.1８４，∴直线的斜率为－2.1８４.(二)1.预习内容：斜率公式2.预习提纲：尝试总结斜率公式的特点. ●板书设计。

《直线的倾斜角与斜率》教案及说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握计算方法，并能应用于解决实际问题。

通过本教案的学习，学生应能理解直线的倾斜角与斜率之间的关系，并能运用斜率计算直线的倾斜角，反之亦然。

教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念。

2. 掌握计算直线的斜率的方法。

3. 理解直线的斜率与倾斜角之间的关系。

4. 能运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题。

教学内容：一、直线的倾斜角1. 直线的倾斜角的定义。

2. 直线的倾斜角的计算方法。

二、直线的斜率1. 直线的斜率的定义。

2. 直线的斜率的计算方法。

三、直线的斜率与倾斜角之间的关系1. 斜率与倾斜角的定义及关系。

2. 斜率与倾斜角的计算方法。

四、运用直线的斜率和倾斜角解决实际问题1. 运用斜率和倾斜角计算直线的长度。

2. 运用斜率和倾斜角计算直线的交点。

五、巩固练习1. 计算给定直线的斜率和倾斜角。

2. 解决实际问题，运用直线的斜率和倾斜角。

教学方法：1. 采用直观演示法，通过图形和实例引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法。

3. 采用实践法，让学生通过实际问题解决来运用直线的斜率和倾斜角。

教学评估：1. 课堂练习：学生在课堂上完成给定的练习题，检验对直线的倾斜角和斜率的理解和应用能力。

2. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对直线的倾斜角和斜率的掌握。

3. 考试：设置有关直线的倾斜角和斜率的考试题目，全面评估学生的掌握情况。

教学资源：1. 教学PPT：提供直观的图形和实例，帮助学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 练习题库：提供丰富的练习题，供学生课堂练习和课后作业。

3. 实际问题案例：提供实际问题，供学生解决，运用直线的斜率和倾斜角。

教学步骤：一、直线的倾斜角1. 引入直线的倾斜角的概念，引导学生理解直线的倾斜角的意义。

2. 讲解直线的倾斜角的计算方法，引导学生掌握计算直线的倾斜角的方法。

2.1.1直线的点斜式方程（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】题型1直线的倾斜角与斜率的关系【详解】直线0x y +=的斜率为1-，而倾斜角在0180︒︒间，tan1351︒=-，∴倾斜角为135︒．故选：D ．题型2求直线方程6.已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)A ．1C ．0或2【答案】D【详解】当AB 与CD 斜率均不存在时，题型4直线的斜截式方程所以AC 的倾斜角为45，BC 的倾斜角为135，因为直线l 过点(0,2)C 且与线段AB 相交，所以l 的倾斜角取值范围为045,α≤≤或135180,α≤≤所以直线l 的斜率k 的取值范围是[]1,1-，故选:D.【能力提升】一、单选题【详解】如图，要使直线l 与线段AB 相交，则应满足PA k k ≤或k ≥342+=--，123134PB k +==+，或34k ≥.已知直线l 1过点A (-1，1)和B (-2，-1)，直线l 2过点C (1，）-2B ．2A ．123k k k <<【答案】B【分析】设直线123,,l l l 所对应的倾斜角为斜角与斜率的关系可得23k k <二、多选题9.下列说法正确的是（）A ．直线的倾斜角α取值范围是0πα≤<B ．若直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αC ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大【答案】AC【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误.【详解】A ：直线倾斜角α范围为0πα≤<，正确；B ：当直线斜率为tan α，则该直线的倾斜角为[0,π)内正切值为tan α的角，错误；C ：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；D ：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误.故选：AC10.以下四个命题正确的是（）A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角则31421PA k --==--，213314PB k --==--∴直线l 与线段AB 相交时，斜率k 的取值范围是∴直线l 的斜率k 的取值可以为34，4，4-故选：ABC三、填空题13.已知点()1,3A -，点()3,9B ，则直线AB 的斜率为【答案】32【解析】根据两点间斜率公式,可直接求解.【详解】因为()1,3A -,()3,9B 393-所以y的取值范围是1[,2]-.【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．四、解答题（2）由题意可知直线l 的倾斜角介于直线因为直线PB 的倾斜角是45︒，直线所以α的取值范围是45135α︒≤≤20.已知点(1,1)(2,4)、-A B .(1)求直线AB 的倾斜角。

直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)。

2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ。

(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1。

3．直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B.3 C ．－ 3 D ．－332． 已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0走进教材答案1．A ； 2． B ；二、查漏补缺1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝04．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。

5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。

查漏补缺答案5．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。

直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角；（2）掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率；（3）能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察实际情境，让学生感受直线的倾斜角和斜率的概念，培养学生的观察能力和思维能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线的倾斜角的概念；（2）直线的斜率与倾斜角的关系；（3）运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

2. 教学难点：直线的斜率与倾斜角的计算。

三、教学过程1. 导入新课：通过展示实际情境，如倾斜的梯子、斜坡等，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 讲解直线的倾斜角：（1）介绍直线的倾斜角的概念，即直线与水平线之间的夹角；（2）引导学生通过观察和思考，理解直线的倾斜角的大小与直线的斜率之间的关系。

3. 讲解直线的斜率：（1）介绍直线的斜率的概念，即直线的倾斜角的正切值；（2）引导学生通过观察和思考，掌握直线的斜率与倾斜角的关系；（3）举例说明如何计算直线的斜率。

4. 练习与巩固：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

四、课后作业1. 请描述直线的倾斜角和斜率的概念，并说明它们之间的关系。

（1）直线y = 2x + 3；（2）直线x = 4。

五、教学反思通过本节课的教学，学生应该能够理解直线的倾斜角和斜率的概念，并掌握它们之间的关系。

在教学过程中，要注意引导学生通过观察和思考，培养学生的观察能力和思维能力。

布置适量的练习题，让学生巩固所学知识。

在课后，要关注学生的学习情况，及时进行教学反思，不断提高教学质量。

六、教学拓展1. 探讨直线的倾斜角与斜率在实际应用中的例子，如建筑设计中的斜屋顶、物理学中的倾斜面等。

2. 引导学生思考直线的倾斜角和斜率在几何图形中的作用，如在三角形、四边形等图形中的运用。

《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。

3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。

2. 直线的斜率的概念。

3. 直线的倾斜角与斜率的关系。

4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。

5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。

2. 直线的斜率的概念。

3. 直线的倾斜角与斜率的关系。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。

五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。

3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。

6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。

说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。

在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。

六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。

2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。

3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。

七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。

2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。

直线的倾斜角与斜率一、教学内容与目标1、内容：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2、目标：①初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想②理解直线倾斜角与斜率的概念③掌握过两点的直线的斜率公式二、知识背景与内容引导1、情境引入：以“爱心”曲线r=a(1-sinθ)为引子，介绍解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想。

进一步了解解析几何的基本内涵和方法，设计意图：感悟本章的“灵魂”，打好开章之局，统领全局。

为后续的学习探究“埋好暗线”。

2、明确目标：以思想方法为指引，明确本节课的学习目标，开启本节课的探索学习。

我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，以实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的。

问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？设计意图：明确几何与解析几何研究内容的一致，方法的区别。

三、知识探究【一】用倾斜角刻画直线的位置问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？（预设，还有没有其他确定一条直线的方法？）问题3：我们利用直角坐标系进一步确定直线位置的几何要素。

观察下图中经过定点p的直线束，他们的区别是什么？你能利用直角坐标系中的一些元素讲这些直线区分开么？追问：如何表示这些直线的方向？能否利用图中的元素确定它的方向？生成：构建概念倾斜角：追问：你认为直线的倾斜角在什么范围：规定：自主测试1.下列图中表示直线倾斜角为( )3.如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在3.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l 的倾斜角为__________ 设计意图：正确理解应用倾斜角，明确倾斜角对直线方向的刻画。

【二】推导直线的斜率公式问题4：直线l 的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？探究：直线l 可由其上任意两点)(),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中唯一确定，可以推断，直线l 的倾斜角一定与21,P P 两点的坐标有内在联系。

《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。

3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学内容：1. 直线的倾斜角：定义、求法。

2. 斜率与倾斜角的关系：正切函数的应用。

3. 直线的斜率：定义、求法。

4. 实际问题中的应用：求直线的倾斜角和斜率。

三、教学重点与难点：1. 重点：直线的倾斜角的概念、斜率与倾斜角的关系。

2. 难点：直线的斜率的求法、实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解直线的倾斜角和斜率的定义及求法。

2. 利用例题，演示直线的倾斜角和斜率的计算过程。

3. 引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾直线的倾斜角和斜率的概念，引导学生思考两者之间的关系。

2. 讲解直线的倾斜角：介绍直线的倾斜角的定义，讲解求法，举例说明。

3. 讲解斜率与倾斜角的关系：引入正切函数，讲解斜率与倾斜角的关系，举例说明。

4. 讲解直线的斜率：介绍直线的斜率的定义，讲解求法，举例说明。

6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识。

8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度，观察学生能否正确求解直线的倾斜角和斜率。

2. 课堂练习：评估学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题的能力，观察学生是否能够正确计算和应用。

3. 课后作业：评估学生对直线的倾斜角和斜率知识的掌握程度，检查学生是否能够独立完成相关练习。

七、教学反思：1. 反思教学内容：根据学生的学习情况，调整直线的倾斜角和斜率的教学内容，确保学生能够理解和掌握。

2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高学生的学习兴趣和参与度。

八、教学拓展：1. 直线的倾斜角和斜率在实际应用中的例子：如工程测量、物理学中的运动分析等。

直线的倾斜角与斜率教案直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标：1. 知识目标：了解直线的倾斜角和斜率的概念；2. 能力目标：能够计算直线的倾斜角和斜率；3. 情感目标：培养学生对数学知识的兴趣和自信心。

二、教学重难点：1. 重点：直线的倾斜角和斜率的概念；2. 难点：直线的斜率的计算方式。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）：通过给学生出示两条不同斜率的直线，让学生观察并思考，引导学生讨论直线的倾斜角和斜率的关系，激发学生学习的兴趣。

2. 了解直线的倾斜角和斜率（10分钟）：通过简单直观的图形，引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。

并且给出直线的斜率公式：k = tanθ，其中k为直线的斜率，θ为直线的倾斜角。

3. 计算直线的倾斜角和斜率（25分钟）：（1）通过给出两个点的坐标，引导学生计算直线的斜率的计算方法：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)；（2）通过给出直线方程，引导学生计算直线的倾斜角的计算方法：θ = arctank。

4. 练习与巩固（15分钟）：让学生进行相关的计算练习，巩固和加深对直线的倾斜角和斜率的理解。

通过多种情况的练习，让学生熟练掌握计算直线斜率和倾斜角的方法。

5. 拓展（10分钟）：通过给学生展示各种曲线的斜率和倾斜角的计算方法，引导学生思考如何计算曲线的斜率和倾斜角。

通过观察各种曲线的特点，引导学生发现曲线斜率和倾斜角的规律。

6. 总结（5分钟）：对刚才的学习内容进行总结，帮助学生回顾和巩固所学知识。

引导学生思考直线斜率和倾斜角的重要性以及实际应用。

四、教学反思：本节课通过以具体的图形为例，引导学生理解直线倾斜角和斜率的概念，通过具体的计算方法，让学生能够实际计算直线的斜率和倾斜角。

同时，通过拓展的内容引导学生思考更加复杂形状的曲线的斜率和倾斜角的计算方法，培养学生的综合应用能力。

针对学生的不同水平，提供了多种练习，巩固学生对知识的掌握，创设了有利于学生自主思考和交流的氛围。

高二上册《直线的倾斜角和斜率》说课稿一、教材信息•课程：高二上册数学•单元：解析几何•主题：直线的倾斜角和斜率二、教学目标•知识目标：掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能够运用它们进行相关问题的解答。

•能力目标：培养学生观察问题并运用所学知识解决问题的能力。

•情感目标：激发学生对数学的兴趣和学习的积极性。

三、教学重点•直线的倾斜角和斜率的概念理解•利用斜率求直线倾斜角和利用倾斜角求斜率的方法四、教学内容1. 直线的倾斜角•定义直线的倾斜角为直线与x轴正方向之间的夹角。

倾斜角的取值范围为0到180度。

•倾斜角可以用tan函数来表示。

2. 直线的斜率•定义直线的斜率为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

•斜率可以用两点间的坐标表示，或者用斜率公式进行计算。

3. 直线的倾斜角和斜率的关系•直线的倾斜角等于斜率的反正切值，即tan(倾斜角) = 斜率。

4. 计算实例•通过具体的计算实例，让学生掌握如何计算直线的倾斜角和斜率。

五、教学方法1.教师引导式教学：通过提问、示范和讲解，引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2.讨论合作学习：学生分组进行讨论和合作，共同解决问题，培养学生的合作和交流能力。

3.实例演练：通过具体的计算实例，让学生运用所学知识解决问题，巩固学习成果。

六、教学过程1.导入：通过提出问题或引入实际生活中的例子，激发学生的兴趣，并引导他们思考直线的倾斜角和斜率的意义。

2.理论讲解：讲解直线的倾斜角和斜率的定义和计算方法，并与实例进行对比，让学生理解概念。

3.分组讨论：将学生分为小组，让他们一起讨论解答一些简单的问题，以巩固对直线的倾斜角和斜率的理解。

4.实例演练：教师给出一些具体的计算实例，让学生运用所学知识进行计算，并与同伴分享和讨论解题思路。

5.拓展应用：通过一些拓展问题，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，培养他们观察、分析和解决问题的能力。

6.总结归纳：对直线的倾斜角和斜率进行总结归纳，梳理学生的思路和方法。

3.1.1直线的倾斜角与斜率教学目标:1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2、理解直线的倾斜角的唯一性.3、理解直线的斜率的存在性.4、斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式．重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学过程：一、复习准备：1.讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢2.在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢二、讲授新课：1.教学直线倾斜角与斜率的概念：我们知道,经过两点有且只有确定一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢1它们都经过点P.2它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同引入直线的倾斜角的概念:①直线倾斜角的概念：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.;讨论:倾斜角的取值范围是什么呢0°≤α＜180°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角α..②直线斜率的概念：直线倾斜角 的正切值叫直线的斜率.常用k 表示,tan k α=讨论:当直线倾斜角为90︒度时它的斜率不存在吗.倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系斜率为正或负时,直线过哪些象限呢 α取值范围是0°≤α＜180°.给定两点P 1x 1,y 1,P 2x 2,y 2,x 1≠x 2,如何用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点111(,)p x y 与222(,)p x y ,则过这两点的直线的斜率2121y y k x x -=- 思考:1直线的倾斜角α确定后,斜率k 的值与点1p ,2p 的顺序是否有关2当直线平行表于y 轴或与y 轴重合时,上述公式2121y y k x x -=-还适用吗归纳：对于上面的斜率公式要注意下面四点：1当x 1=x 2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α=90°,直线与x 轴垂直；2k 与P 1、P 2的顺序无关,即y 1,y 2和x 1,x 2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;3斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;4当y 1=y 2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x 轴平行或重合.2.教学例题:例1．已知A3,2,B-4,1,C0,-1求直线AB 、AC 、BC 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.例2．在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为1,2,3--的直线123,,l l l .例3．已知三点Aa,2、B5,1、C-4,2a 在同一直线上,求a 的值;27 三.巩固与提高练习:1．教材P86面练习第1、2、3、4题;2．若直线l 向上的方向与y 轴正方向成30°角,则l 的倾斜角为60°、l 的斜率为3;3．已知等边三角形ABC,若直线AB 平行于y 轴,则∠C 的平分线所在的直线的倾斜角为0°, 斜率为0,另两边AC 、BC 所在的直线的倾斜角为120°、60°,斜率为－3、3;4．当且仅当m为何值时,经过两点Am,3、B-m,2m-1的直线的倾斜角为60°四.小结:倾斜角、斜率的概念,斜率的计算公式.五:作业习案十七。

6C ． 2π2D ．(0,3]7 ．若右图中的直线 l , l , l 的斜率为 k , k , k ,则（y ）人教 A 版必修 2 第三章第一节直线的倾斜角与斜率同步练习一、选择题1 ．对于下列命题:①若θ 是直线 l 的倾斜角,则 0︒ ≤ θ < 180︒ ；②若直线倾斜角为α ，则它斜率 k = tan α ；③任一直线都有倾斜角,但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角。

其中正确命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2 ．判断下列命题的正确性①任何一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于 x 轴的直线倾斜角是 0︒ 或180︒ ； ③直线斜率的范围是 (-∞,+∞) ； ④直线的倾斜角越大，斜率越大；⑤两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；⑥两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等。

其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43 ．过两点 A (4, y ), B (2, -3) 的直线的倾斜角为3π 4,则 y 等于（ ）A ． -1B ． -5C ．1D ． 54 ．已知点 A (1,3), B (-1,3 3) ,则直线 AB 的倾斜角是（ ）A ．π3B ．π3D ．5π 65 ．已知三点 A (1,-1), B (a ,3), C (4,5) 在同一直线上,则实数 a 的值是A ．1B ．4C ．3D ．不确定6 ．如果直线 l 过 (1,2) 点，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（ ）（ ）A ． [0,1]B ． [0,2]C ． [0, 1 ]1 2 3 1 2 3l 2l 3l 1A ． k < k < kB ． k < k < k1 23312C ． k < k < k213D ． k < k < k3 21O x8 ．坐标系中的正三角形 ∆ABC ，若 BC 所在直线斜率是零，则 AC , AB 所在直线斜率之和为Ａ． -2 3Ｂ．0Ｃ． 3 Ｄ． 2 39 ．直线 l 与直线 y = 1，直线 x = 7 分别交于 P , Q 两点，PQ 中点为 M (1,-1) ，则直线 l 的斜率是 （ ）3B．2A．13C．-32D．-1310．实数x,y满足3x-2y-5=0(1≤x≤2),则yx的取值范围是（）A．(-∞,-1]B．[-1,1]411C．[0,]D．[,+∞)4411．直线l过点M(-1,2),且与以P(-2,-3),Q(4,0)为端点的线段PQ相交,则l的斜率的取值范围是（）222ππ2 A．[-,5]B．[-,0) (0,5]C．[-,) (,5]D．(-∞,-] [5,+∞) 55522512．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45︒，得到直线l，则直线l的倾斜角为11（）A．α+45︒B．α-135︒C．135︒-αD．当0︒≤α<135︒时为α+45︒，当135︒≤α<180︒时为α-135︒二、填空题13．若直线l向上的方向与y轴正方向的夹角为30︒，则l的斜率为___________。

课题：直线的倾斜角和斜率教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节一、教学目标：1、知识及能力：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念.(2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角.(3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系.2、过程及方法：(1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系.(2)从数及形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想.(3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路.3、情感态度及价值观：1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观.2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”及“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.二、教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用.三、教学难点：倾斜角概念的形成，斜率公式的推导四、教学方法及手段：计算机辅助教学及发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现及形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构.【教学过程】一、知识导入在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对)x来表示和确定.则直线呢？在平面直角坐标系中，(y,问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.则，问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢短暂思考和讨论后，学生可以回答预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同.则，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用.二、知识探索(一)直线倾的斜角1．定义：直线L及x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向及直线L向上的方向之间所成的角 叫做直线L的倾斜角.教师指出：对于定义的理解，我们强调的是x轴正向及直线L向上的方向所成的角.为了帮助学生加深理解，此时，可以借助几何画板来直观呈现.如下图所示：教师在演示的过程中再次向学生强调：从x轴正方向出发，到直线向上的方向之间所成角α就是直线L的倾斜角.〖设计意图〗学生开始对倾斜角概念还有些模糊，再此数形结合，向学生动态、直观的展示给定直线倾斜角的形成过程，加深学生对概念的理解.【快速练习一】1．下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )A B C D2．请标出下列直线L的倾斜角α.〖设计意图〗该题组的设计均为加深学生对倾斜角概念的理解.第一题比较简单，通过PPT 展示出来后，让学生集体回答即可.第二题稍难一些，在实际授课时，教师将四个图形画到黑板上，请一个同学到黑板上来画.这个题目看起来简单，而实际上，题目中设置了一些问题，图（4）情况的倾斜角学生找一会儿，可就是找不到的！这样就给学生的制造了一定的认知冲突，激发了学生学习探究的兴趣，同时加深了学生对图（4）这种特殊情况下倾斜角的记忆.教师一边巡查一边指导.待学生完成后指出，图（1）的倾斜角是锐角，图（2）是钝角，图（3）是直角.那图（4）呢？问题：为什么图（4）的倾斜角我们没能标出来呢？则它到底应该是多少呢？学生可能难以回答.此时让学生再看到倾斜角的定义，然后学生可以发现：预案：定义中的倾斜角是要求直线L及x轴相交的，而图（4）中的直线L却是及x轴平行的.教师指出：因此，对于图（4）的直线的倾斜角并不能用该定义标出.所以，我们对于此类直线，也就是当直线L及x轴平行或是重合时，我们规定它们的倾斜角均为00.所以，根据上述四种情况，我们可以得到直线L倾斜角的范围为：00≤α＜1800.〖设计意图〗至此，直线倾斜角的定义从引入到解读基本完成.由易到难，由旧到新，符合学生的认知过程.学生很自然的完成了知识的过渡，并通过动态演示、认知冲突加深了对倾斜角这个概念的理解，让学生明白了“直线的倾斜角通俗的讲就是直线对x轴正方向的倾斜程度.”为了更加深直线和倾斜角之间的关系，我们继续提问：问题：在平面坐标系中，每一条直线有多少个倾斜角呢？预案：有且只有一个.问题：一个倾斜角对应的直线有多少条呢？预案：无数条.它们都是互相平行的.如右图.所以仅有倾斜角是不能确定直线的！问题：倾斜角再加什么条件就可以确定直线呢？预案：再加一个点.即一个点P和倾斜角α可以唯一确定一条直线.〖设计意图〗每提出一个问题，让学生自己先行思考，或是合作讨论，老师再加以点评.以加深对直线倾斜角的理解，明晰直线和倾斜角之间的关系.（二）直线的斜率问题：除了倾斜角外，我们还有没有其他表示倾斜程度的量呢？学生可能难以回答此问题.老师可以慢慢引导.在日常生活中，我们还会遇到一个叫“坡度”的概念，坡度即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）.其实坡度的实际就是倾斜角α的正切.用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度.1．直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母 k 表示，即αtan =k .【快速练习二】已知直线的倾斜角如下，分别求出其斜率.（1）030=α （2）060=α （3）090=α （4）0120=α〖设计意图〗学生对于初中学过的特殊角的三角函数值已经有些陌生，在此既复习特殊角的三角函数值，又熟悉直线斜率的求法.对于（4）要告诉同学们公式0tan(180)tan αα-=-（α是锐角）.同时，根据题目可以总结出一些结论，承上启下.教师：从上面的运算或是正切的计算可以得到：（设直线的倾斜角为α）我们也可以通过几何画板来直观演示斜率的正负和倾斜角的关系，请大家看屏幕.(略) 问题：任何一条直线都有斜率吗？预案：倾斜角为900的直线没有斜率.教师：所以，我们要知道，所有的直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都有斜率的. 〖设计意图〗加深对倾斜角和斜率之间的关系的理解.2．过两点的直线斜率的公式学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度了.我们知道，如果给定直线的倾斜角α()︒≠90α，我们当然可以根据斜率的定义αtan =k 求出直线的斜率.我们也知道，两点确定一条直线，也就是给定直线上两点坐标，直线就确定了，倾斜角也就确定了，则怎么求出该直线的斜率呢？也就是：问题：已知直线L 上两个点的坐标),(),,(222111y x P y x P ，21x x ≠，如何求直线L 的斜率呢？ 对于这个问题，学生一下难以回答.教师可以先给出一个图形（图一），一定要让学生结合图形思考，先让学生提出思路，教师启发引导，最后共同完成公式的推导（图二）,得出1212x x y y k --=. 图一 图二图三教师：我们知道倾斜角还有可以是钝角，则当α为钝角时，公式还成立吗？在此老师要适当引导学生，得出0180αθ+=(如图三)，再利用诱导公式0tan(180)tan αα-=-钝角的情况转化为锐角来求解.具体过程由同学们自己推导.让一个学生到黑板上推导.〖设计意图〗整个斜率的推导过程体现了数形结合和分类讨论的思想，教学中一定要向学生不断渗透这些数学思想.师生共同完成了倾斜角为锐角的推导过程，而倾斜角为钝角的推导则通过教师引导，由学生自己完成，让学生真正体会到知识的形成过程，并利用这一过程将外在的知识点内化成自身知识体系的一部分，完成知识飞跃，完善知识结构.问题：当α=00时，公式1212x x y y k --=还成立吗？ 预案：当α=00时，直线及x 轴平行或重合.000=tan .12y y =，此时0=k ，所以当α=00时公式依然成立.问题：及P 1，P 2在直线上的顺序有关吗？让学生思考，讨论.学生开始会觉得及顺序有关，但是后来有觉得应该是没有关系的，但说不出具体的利用.此时教师结合几何画板，再结合图象，拖动点P 1，P 2的位置，让学生直观发现直线L 的斜率并没有因P 1，P 2位置的改变而改变.详细推导过程留给学生课外完成.预案:无关.即21y y ,和21x x ,在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子、分母不能交换. 问题：从几何角度怎样理解公式中要求21x x ≠呢？预案：当21x x =，直线垂直x 轴，倾斜角为900，此时斜率不存在.所以一定要注意公式适用的范围.〖设计意图〗通过问题引导，层层推进，分解公式难点，挖掘公式中的隐含知识点.同时结合几何画板，加深对公式的理解.留下一定的思考题，将课堂内容延伸到课外，培养学生合作探究的能力和习惯.教师：到现在为止，我们用代数的方法刻画出了直线的斜率公式.我们也有两种方式来求直线的斜率了.一是利用倾斜角，二是利用直线上两点的坐标.而且我们还可以先利用直线上两点的坐标算出斜率，进而求得直线的倾斜角.三、知识应用例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：（1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）（2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 （ ）（3）平行于x 轴的直线的倾斜角是00或1800（ ）（4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 （ ）〖设计意图〗斜率及倾斜角概念的辨析题，巩固对斜率及倾斜角的理解.例2：已知A(3,2)，B(-4,1)，C(0,1)，求直线AB 、BC 、CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜任意拖动改变P1,P2位置斜率k 的大小并没有改变角是锐角还是钝角.〖设计意图〗斜率公式的直接应用和斜率的正负及倾斜角之间的关系.练习：1．求经过点A(2，-1)和点B(a ，-2)的直线L 的斜率，并讨论a 为何值时，直线L 的倾斜角是锐角、钝角、直角？〖设计意图〗例2知识点的延伸，同时隐含了分类讨论的思想.2．已知三点A(a ，2)，B(3，7)，C(-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值.〖设计意图〗加深对斜率公式的理解，让学生明白斜率的求得及直线上的点的选择无关.同时此题也是用斜率研究三点共线问题，为后面的学习做铺垫.〖题组设计意图〗整个练习的设计围绕斜率和倾斜角展开，由浅入深.同时注意了知识的承上启下和数学思想的渗透.四、知识小结1、直线的倾斜角定义及其范围：00≤α＜18002、倾斜角和斜率k 之间的关系：3、直线斜率的两种求法：①若已知倾斜角)(090≠αα时，αtan =k②若知直线过两点),(),,(222111y x P y x P 且21x x ≠，1212x x y y k --=五、板书设计 教案说明全课以化归思想为主线，达到化未知为已知，化难为易，化几何问题为代数问题的目的.通过利用多媒体课件辅助教学，帮助学生变抽象为具体，破解教学难点.本节课在教法上力求通过设置问题，层层递进，揭示知识的形成发展过程，讲清知识的来龙去脉，突出知识的本质特征，整节课突出“问题解决”.从而使学生对所学的知识理解得更加深刻.（一）设置层层疑问，促进学生探究在教学过程中按照“教、学、研同步协调原则”，充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位.借助提问，给学生营造一个思考情境，促进学生探究，给每个学生提供思考、创造、表现及获得成功的机会，使学生在民主开放、和谐愉悦的教学氛围中获取新知识，提高能力，发展自我.（二）引导学生反思,渗透数学思想.数学思想方法是数学问题的灵魂.解析几何是用代数方法研究几何问题，坐标法思想则是解析几何的核心思想.本节课注重了启发学生思维，引导学生反思思维过程，注重了数学思想方法的渗透.在贯穿坐标法思想的同时渗透了数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想等.（三）灵活应用多媒体，突破教学难点多媒体的灵活运用，很好的帮助学生突破了难点.倾斜角概念的形成、斜率公式的得到以及倾斜角和斜率之间的关系等，都是本节课知识的难点.借助几何画板，直观、动态演示了形成过程和变化趋势，很好的帮助学生解决了难点，内化了知识.。

直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。

3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，求直线的倾斜角和斜率的方法。

2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

三、教学方法采用讲解法、演示法、练习法、讨论法等相结合的方法进行教学。

四、教学准备1. 教学课件。

2. 练习题。

3. 黑板、粉笔。

五、教学过程1. 导入新课通过复习旧知识，引导学生回顾直线方程的基本形式，提出直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 讲解直线的倾斜角讲解直线的倾斜角的定义，通过图形演示直线的倾斜角，让学生理解直线的倾斜角的概念。

3. 讲解直线的斜率讲解直线的斜率的定义，通过图形演示直线的斜率，让学生理解直线的斜率的概念。

4. 求直线的倾斜角和斜率讲解如何求直线的倾斜角和斜率，通过例题演示求直线的倾斜角和斜率的方法，让学生跟随讲解，理解求直线的倾斜角和斜率的过程。

5. 练习巩固布置练习题，让学生独立完成，巩固直线的倾斜角和斜率的概念。

6. 课堂小结对本节课的内容进行小结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及求法。

7. 作业布置布置课后作业，让学生进一步巩固直线的倾斜角和斜率的知识。

六、教学拓展1. 讨论斜率与倾斜角的关系：斜率k 与倾斜角α的关系是k = tan(α)。

通过这个关系，学生可以理解为什么斜率是倾斜角的正切值。

2. 探索非锐角直线的斜率：讨论当直线倾斜角大于90度时，斜率是什么。

学生将了解到，当直线垂直于x轴时，倾斜角为90度，斜率是无穷大；当直线逆时针旋转超过90度时，斜率变为负无穷。

七、应用实例1. 实际问题：给定直线的倾斜角，求直线的方程。

学生可以通过已知的倾斜角和一点来求解直线的斜率和方程。

2. 实际问题：给定直线的斜率，求直线的倾斜角。

学生可以通过已知的斜率来求解直线的倾斜角，并理解斜率与倾斜角的关系。

2.1.1直线的倾斜角与斜率（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则（）A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【答案】D【分析】根据倾斜角的大小结合斜率与倾斜角的关系判断即可【详解】由题图知直线1l 的倾斜角为钝角，∴10k <．又直线2l ，3l 的倾斜角均为锐角，且直线2l 的倾斜角较大，∴320k k <<，∴132k k k <<．故选：D2．（2022·全国·高二课时练习）若(1,2)A --，(4,8)B ，(5,)C x ，且,,A B C 三点共线，则x =()A ．－2B ．5C ．10D ．123．（2022·全国·高二课时练习）已知两点，2,1B ，直线l 过点0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4．（2022·全国·高二单元测试）若直线经过（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可【详解】因为直线经过()1,0A ，B 所以直线AB 的斜率为03314k +=-设直线AB 的倾斜角为θ，则tan θ又0180θ︒≤<︒，所以120θ=°，所以直线AB 的倾斜角为120︒．故选：C5．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-6．（2022·江苏·高二阶段练习）已知两点A ，直线l 过点0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．(,1]-∞-C ．()1,1-D ．[1,)+∞【答案】A【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可【详解】如图所示，直线PA 的斜率为PA k =k∈-．图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率[1,1]故选：A．二、多选题7．（2022·全国·高二）下列四个命题中，错误的有（）θ>A．若直线的倾斜角为θ，则sin0≤<B．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπC．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tanθD．若一条直线的斜率为tanθ，则此直线的倾斜角为θ8．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（）A．-2B．0C．1D．29．（2022·全国·高二课时练习）若直线l 的斜率2k =-，且过点()3,2，则直线l 经过点（）A ．()0,4B ．()4,0C ．()6,4-D ．()2,1-10．（2022·全国·高二课时练习）已知点()11,A x y ，()22,B x y 在函数()y f x =的图像上，若函数()f x 在[]12,x x AB 的倾斜角为______．【答案】3π11．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过(3,1),(4,21)++A m B m 两点且倾斜角为π6，则m 的值为_____.1112，则2为__．【答案】0【分析】直线斜率tan k α=，α为倾斜角.【详解】直线1y =的图像如图所示:易知其倾斜角0α=︒，其斜率tan 00k =︒=故答案为：014．（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点()2,A a ､()1,21B a a ++､()4,1C a --在同一条直线上，则实数a 的值为___________.15．（2022·江苏·高二）已知A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点，则x的取值范围是_______.所以y的取值范围是1[,2]-.线段AB恒有交点，则k的取值范围是___________．17．（2021·浙江·杭州高级中学高二期中）已知点且直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________【答案】(][),21,-∞-+∞【分析】画出图象，结合图象求得k 【详解】设()2,0C -，18．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若45135α<<，则k 的取值范围为______.【答案】()(),11,-∞-⋃+∞【分析】分4590α<<、90α=、90135α<<三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得k 的取值范围.【详解】由正切函数的性质知，当4590α<<时，()tan 1,k α=∈+∞；当90α=时，k 不存在；当90135α<<时，()tan ,1k α=∈-∞-.综上，k 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞.故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.四、解答题19．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 过点(2,3)A a 和点(2,1)B -，分别求出满足下列条件的a 的取值或取值范围.(1)直线l 的倾斜角为直角；(2)直线l 的倾斜角为锐角；(3)直线l 的倾斜角为钝角.(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为ABC的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高二）设点(3,5)A -，(2,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³或3k ≤-B ．31k -≤≤C ．13k -≤≤D ．以上都不对【答案】A【分析】先画出线段AB ，之后连接PA ，PB 求得PA ，PB 的斜率，通过观察图像找到直线l 斜率的取值范围【详解】如图所示，直线PB ，PA 的斜率分别为1PB k =，3PA k =-结合图形可知1k ³或3k ≤-故选：A2．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率是（）A3B ．33-C D ．3．（2022·全国·高二课时练习）若过两点，的直线l 的倾斜角为45︒，则m =（）A ．-2或-1B ．1C ．-1D ．-2是ABC 内部及其边界上一点，则1yx +的最大值为（）A ．12B ．32C ．23D5．（2022·江苏·高二）已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．144k -≤≤-B ．4k ≤-或14k ≥-C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤当直线l 过A 时，3121k --==-当直线l 过B 时，2131k -==--由图知：4k ≤-或14k ≥-.故选：B 二、多选题6．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中，表述正确的是()A ．向量()3,3m =-在直线l 上，则直线l 的倾斜角为56πB ．若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角为4πθ-C ．若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，则代数式32y x ++的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则()12sin 1θθ-=是12l l ⊥的充要条件由图可知，[3(3)2(2)BC y y k x x +--=∈+--④若直线1l 、2l 的倾斜角分别为∴12πθθπ-<-<，则(1sin θθ-7．（2022·全国·高二专题练习）直线cos 50x y θ+-=的倾斜角α的取值范围是_______.8．（2021·全国·高二课时练习）已知两点，3,2B ，直线l 经过点2,1P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是______．【答案】3k ≥或1k ≤-【分析】根据题意作图如下，结合图形可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间，根据随着倾斜角的变化直线斜率的变换规律，分直线l 的倾斜角小于90和大于90两种情况分别求出直线l 的斜率k 的取值范围即可.【详解】如图所示：因为直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 经过(2,1)A 、2(1,)B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.10．（2022·江苏·高二课时练习）经过点()0,1P -作直线l ，且直线l 与连接点()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α和斜率k 的取值范围．所以PA PB k k k ≤⇒≤1k -≤≤所以0tan 1α≤≤或1tan α-≤由于tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭及2π⎛ ⎝所以直线l 的倾斜角α的范围为：故倾斜角的范围为0,4π⎡⎤⎡⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣11．（2022·江苏·高二专题练习）求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．(1)(3,4),(2,4)C D -；(2)(0,0),(1,3)P Q -；(3)(3,2),(2,3)M N --；(4)(7,0),(7,2)E Q -．【答案】(1)存在，斜率为CD k (2)存在，斜率为3PQ k =-，倾斜角为(3)存在，斜率为1MN k =，倾斜角为(4)不存在.【分析】根据横坐标是否相等判断斜率存在与否，若不相等时，斜率存在，再结合斜率公式12．（2022·全国·高二课时练习）（1）若直线l 的倾斜角,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线l 斜率k 的范围；（2）若直线l 的斜率[]1,1k ∈-，求直线l 倾斜角α的范围.13．（2022·全国·高二专题练习）已知(3,3),(4,2),(0,2)A B C --．(1)求直线AB 的斜率并写出直线BC 的一个方向向量；(2)若点D 在线段BC （包括端点）上移动，求直线AD 的斜率的变化范围．14．（2022·全国·高二课时练习）已知过坐标原点9的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线与函数3log y x =的图象交于C ，D 两点．(1)证明：点C ，D ，O 在同一条直线上；(2)当直线BC 的斜率为0时，求点A 的坐标．【答案】(1)证明见解析(2)()92,log 2【分析】(1)设点()191,log A x x ，(B B 三点共线，知OA OB k k =，即有91log x OC OD k k =，从而得证；由A ，O ，B 三点共线，知OA OB k k =，所以919212log log x x x x =，即313212log log 22x x x x =，所以313212log log x x x x =，即OC OD k k =．所以点C ，D ，O 在同一条直线上．（2）当直线BC 的斜率为0时，BC x ∥轴，则9231log log x x =，即32311log log 2x x =，所以2x =由（1）知313212log log x x x x =，所以23131211log log x x x x ==所以点A 的坐标为()92,log 2．15．（2022·江苏·高二专题练习）已知坐标平面内两点(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？16．（2022·全国·高二课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11x +的取值范围.。