(教师卷)双曲线专题复习

双曲线专题复习讲义考点1双曲线的定义及标准方程 题型1:运用双曲线的定义题型1求离心率或离心率的范围 2 2［例3］已知双曲线X y 每 1,（a 0,b 0）的左，右焦a b点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线的右支上，且端点，若该椭圆的长轴长为 4，则△ AF 1F 2面积的最大值 为 ___ .4.过点（-6 , 3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线 的双曲线方程为 _________________ 。

| PF 1 | 4|PF 2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.【新题导练】双曲线x264 y236=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4,那么点P 到左准线的距离是 题型2与渐近线有关的问题在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化 解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容： （1）已知双曲线方程,求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的b 、f c2 — a2 /c2. ----------斜率与离心率的关系，如k =a —a2—1= . e2—1. 【新题导练】 21. 设P 为双曲线X 2- 1上的一点F 1、F 2是该双曲 12 线的两个焦点，若|PF 1|： |PF 2|=3 : 2,则厶PF 1F 2的面 积为 （ ） A. 6、3 B. 12 C. 12 .3 D. 24 2 2 2. 如图2所示，F 为双曲线C : — — 1的左焦点， 9 16 双曲线C 上的点P 与P 7 i i 1,2,3关于y 轴对称， ［例4］若双曲线2X ~2a2莒 1（a 0,b 0）的焦点到渐b 2 近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为7. 【新题导练】2双曲线— 42y_ 9 1的渐近线方程是A.2 x B. 3C.D.2则 RF P 2F P 3F F 4F F ^F P 6F 的值是（） 8.焦点为（0, 6），且与双曲线1有相同的渐近线A . 9 B. 16 C. 18 D. 27 题型2求双曲线的标准方程 2 ［例2 ］已知双曲线C 与双曲线— 16 2—=1有公共焦点, 4的双曲线方程是2A .—122y 2421B .—122x24 )2C . 乂242 x12 2 D .— 24 2乂 112双曲线专题练习且过点（3 ...2，2）.求双曲线C 的方程. 【新题导练】3.已知双曲线的渐近线方程是 y 2，焦点在坐标轴上 且焦距是10，则此双曲线的方程为 __________________ ; 4•以抛物线y 2 8 -. 3x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线 是x J3y 0的双曲线方程为 _________________________ .考点2双曲线的几何性质一、填空题21 .椭圆工9k= 。

理科数学复习试题选编31：双曲线一、选择题1 ．（六校联盟高三回头联考理科数学试题）已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF =C ，则该双曲线的离心率为（ ）A 1B ．12C 1D ．12【答案】C2 ．（绍兴市高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点.若△AOF 的面积为b ，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D3 ．（高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）直线过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线的条数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 解：因为点(2,1)P 在渐近线上，故旋转直线一周只有2条符合条件.4 ．（杭州高中高三第六次月考数学（理）试题）设双曲线C ：22221x y a b -=(a >0，b >0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2.过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （ ）AB ．2C D ．3【答案】A5 ．（高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．),2(∞+【答案】D6 ．（嘉兴市高三上学期基础测试数学（理）试题）已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是（ ）A ．233B ．2C ．5D ．52【答案】B7 ．（杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）设双曲线22143x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为 （ ）A ．192B ．11C ．12D ．16【答案】B 解：由题意，得：21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然，AB 最短即通径，2min23b AB a=⋅=，故()22min11BF AF +=8 ．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知21F F 、分别是双曲线:C 12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为： （ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D解析：方法一：设),(y x P 为2F 关于渐近线x aby l =:的对称点，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=-2)2c x a b y b a c x y （，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2222222)(b a abc y b a b a c x ， 由⋅1=0可得：0222=++y cx x ，将上式代入化简可得：0))((2)(2222222=+-++b a b a b a ，即223a b =，即224a c =，即2==ace ，故选 D ．方法二：如图：设2F 关于其渐近线的对称点为P ，连接PO ﹑1PF ，由于点P 恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，故有11PF PO OF c ===，易得02160PF =∠F ，01230PF =∠F 故12PF PF ⊥，又2OH PF ⊥，故0260OHF ∠=，即3600==tan a b ，即2==ace .故选 D ．9 ．（嘉兴市高三第二次模拟考试理科数学试卷）设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C ：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线.10．（【解析】镇海中学高三5月模拟数学（理）试题）已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，12,F F 分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过1F 作一条斜率为(0)k k ≠的直线与双曲线交于两个点,M N ，则MAN ∠为 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能【答案】答案：B 解析：由离心率为2，可得2c a =，223b a =，则双曲线方程为22233xy a -=.设1122(,),(,)M x y N x y ，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为2x my a =-，与双曲线方程联立得222(31)1290m y amy a --+=，从而有2310m -≠，1221231amy y m +=-，且11．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知F 1、F 2是双曲线C ：)0(12222>>=-b a by a x的两个焦点，过曲线C 的左焦点F 1(-c ，0)和虚轴端点B(0，b )作直线l 交曲线C 左支于A 点，右支与D 点，连接AO 、DF 2，AO∥DF 2 ，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3B ．6C ．36+D ．25+【答案】C 提示 联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1)(2222b y ax c x c b y 削去x 得02322=+-b y c by 221221,2b y y b c y y =⋅=+(*)，由题意的2212y y =代入(*)中，得到⎪⎩⎪⎨⎧==2222223by b c y ，削去y 得4489c b =，可以解得2692+=e .12．（考试院高三上学期测试数学（理）试题）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦A ，B 两点.若 | AB | ： | BF 2 | ： | AF 2 |=3：4 ： 5，（ ）．13．15 C ．2D ．3【答案】A13．（“六市六校”联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设F 1，F 2 是双曲线)0,(1x 2222>=-b a by a 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212F F PF =，且54cos 21=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．043=±y xB ．053=±y xC ．034=±y xD ．045=±y x 【答案】C14．（海宁市高三2月期初测试数学（理）试题）已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点(如图)，点N 恰好xy OA B F 1F 2平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ）5B ．2C ．3D ．215．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D16．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2， 则曲线C 的离心率等于 （ ）A ．2332或B ．23或2 C ．12或2 D ．1322或【答案】D17．（嘉兴市第一中学高三一模数学（理）试题）已知双曲线c ： )0(12222>>=-b a b y a x ，以右焦点F为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O)，若|MN|=a 32，则双曲线C的离心率 是（ ）A 2B ．3C ．2D ．13+【答案】COxyA BF 1F 2xyOM NP 1F 2F18．（黄岩中学高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知A ，B ，P 是双曲线12222=-by a x (0>a ，0>b )上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点O ，若直线PA ，PB 的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C19．（温州中学高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点，F 是右焦点，()0,B b 是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i p i =，使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 （ ）A ．)+∞B ．1,)2+∞C ．1(1,)2D ．1)2【答案】D ．20．（湖州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知A B P ，，是双曲线()2222100y x a b a b -=>>，上不同的三点，且A B ，连线经过坐标原点O ，若直线PA PB ，的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则双曲线的离心率为 （ ）AB C ．2D【答案】C21．（温州市高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知是双曲线14222=-y ax 的左焦点，双曲线右支上一动点P ，且x PD ⊥轴，D 为垂足，若线段PD FP -的最小值为52，则双曲线的离心率为 （ ）A ．53B ．52C ．25D ．5【答案】A22．（杭州市高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b ，A ，B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上.P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2=45，则双曲线的离心率是 （ ）A ．355 B ．94C ．32D ．95【答案】C23．（温州市十校联合体高三上学期期末联考理科数学试卷）已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．12+B ．13+C ．215+ D ．2122+【答案】A24．（名校新高考研究联盟高三第一次联考数学（理）试题）已知P 为双曲线C ：221916x y -=上的点，点M满足1OM =，且0OM PM ⋅=，则当PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ）A ．95B ．125C ．4D ．5【答案】B 二、填空题25．（永康市高考适应性考试数学理试题 ）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若FB AF 4=，则该双曲线的离心率为____;【答案】210526．（乐清市普通高中高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）设O 为坐标原点，B A ,是双曲线1322=-y x 的渐近线上异于O 的两点，且2||||==OB OA ，则→→⋅OB OA =_______.【答案】2±，-4 27．（金丽衢十二校高三第二次联合考试理科数学试卷）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是_______【答案】328．（温州市高三第二次模拟考试数学（理）试题）己知F 1，F 2分别是双曲线1222=-b y x 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF 2|=2且∠F 1AF 2=450.廷长AF 2交双曲线右支于点B ，则ΔF 1AB 及的面积等于___【答案】429．（建人高复高三第五次月考数学（理）试题）已知A 、B 分别是双曲线22:4C x y -=的左、右顶点，则P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则PBA PAB ∠-∠=__________.【答案】略30．（五校联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以12A A 为直径的圆上，则双曲线的离心率为______________.【答案】231．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）如果双曲我的两个焦点分别为12(0,3)(0,3)F F 和，其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2332．（诸暨中学高三上学期期中考试数学（理）试题）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，则双曲线的离心率的取值范围是____________【答案】33．（温州市高三第一次适应性测试理科数学试题）已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为2y x=，则其离心率为____【答案】34．（五校联盟高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆22420x y x+-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】。

专题10双曲线问题（解答题）一、解答题1．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.3．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b -=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=u u u r u u u u r ，求b 的取值范围． 4．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN P ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ V 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ V 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10． (1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点为). (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线2y x =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，求AB . 7．已知双曲线E ：2214x y -=与直线l ：3y kx =-相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点． (1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92． (1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l '与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．9．过点()4,2的动直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>交于,M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN =l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．10．已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =． (1)求双曲线E 的标准方程；(2)设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．11．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且ABD △是直角三角形．(1)求双曲线C 的方程；(2)M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，若122k k =-，求点A 到直线MN 的距离d 的取值范围．12．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为()2,0,F O 为坐标原点，过点F 作直线l 与一条渐近线垂直，垂足为A ，与另一条渐近线相交于点B ，且,A B 都在y 轴右侧，OA OB +=(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1l 与双曲线C 的右支相切，切点为1,P l 与直线23:2l x =交于点Q ，试探究以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点.13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,,F F C 的离心率为2，直线l 过2F 与C 交于,M N 两点，当2OM OF =时，12MF F △的面积为3.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知,M N 都在C 的右支上，设l 的斜率为m .①求实数m 的取值范围；②是否存在实数m ，使得MON ∠为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且经过点. (1)求C 的方程：(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，求AB 的取值范围：(3)已知点P是C上的动点，是否存在定圆222:()0O x y r r+=>，使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足PM PN=？若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由.15．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的焦点与椭圆2215xy+=的焦点重合，其渐近线方程为y=. (1)求双曲线C的方程；(2)若,A B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线1:3l y x=过AB的中点，求直线AB的斜率.。

双曲线单元复习测试一、选择题1、已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．65B ．75C ．58 D ．95解：设双曲线22221x y C a b -=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB 知直线AB 的倾斜角为16060,||||2BADAD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==- 11||(||||)22AB AF FB ==+. 又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= 故选A 2、设F 1和F 2为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点, 若F 1,F 2，P(0,2b )是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A ．23B ．2C ．25 D ．3【解析】由tan62c b π==有2222344()c b c a ==-,则2c e a ==,故选B. 3、设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(2【解析】222222)11(1)1()(a a a a a c e ++=++==，因为a 1是减函数，所以当1a>时11<<a，所以522<<e ，即52<<e 【高考考点】解析几何与函数的交汇点4、设ABC △是等腰三角形，120ABC∠= ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+D ．31+【答案解析】【答案】B 【解析】由题意BC c =2,所以c c AC 3260sin 220=⨯⨯=，由双曲线的定义，有c a c c BC AC a )13(2322-=⇒-=-=，∴231131+=-==a c e【高考考点】双曲线的有关性质，双曲线第一定义的应用5、双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为A B C D ．3【答案解析】B6、双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案解析】【标准答案】Ｄ【试题解析】由双曲线方程得22210,212==∴=ab c ，于是==c c ，选Ｄ【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量,,a b c 的关系与椭圆混淆，而错选Ｂ【全品备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高7、已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于A ．24B ．36C ．48D ．96【答案解析】C∵双曲线22:1916x y C -=中3,4,5a b c === ∴()()125,0,5,0F F - ∵212PF F F = ∴12261016PF a PF =+=+=作1PF 边上的高2AF ，则18AF = ∴26AF ==∴12PF F ∆的面积为12111664822PF PF ⋅=⨯⨯= 故选C 【解2】：∵双曲线22:1916x y C -=中3,4,5a b c === ∴()()125,0,5,0F F - 设()()000,0P x y x >，， 则由212PF F F =得()22200510x y -+= 又∵P 为C 的右支上一点 ∴22001916x y -= ∴22001619x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴()220051611009x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 即20025908190x x +-=解得0215x =或03905x =-<（舍去）∴0485y ===∴12PF F ∆的面积为12011048225F F y ⋅=⨯⨯= 故选B 【点评】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；【突破】：由题意准确画出图象，解法1利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法2利用待定系数法求P 点坐标，有较大的运算量；8、若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是A ．3B ．5C ．3D ．5【答案解析】D9、设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y =x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A ．45 B ． 5 C ．25 D ．5【答案解析】D【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40b a -=, 所以2b a =,2c e a ====故选D. 答案:D.10、若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于 A ． 2B ．32D ． 1【答案解析】解析解析由222123x y a a-===c 可知虚轴e=a ，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.11、已知双曲线12222=-y x 的准线过椭圆14222=+b y x 的焦点，则直线y=kx +2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A ．K ]21,21[-∈B ．K ),21[]21,(+∞⋃--∞∈C.K ]22,22[-∈D ．),22[]22,(+∞⋃-∞∈K 【答案解析】A【解析】易得准线方程是2212a xb =±=±=±所以222241c a b b =-=-= 即23b =所以方程是22143x y +=联立2 y kx =+可得22 3+(4k +16k)40x x +=由0∆≤可解得A12、已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e,则双曲线方程为 A ．22x a －224y a =1 B ．222215x y a a -= C.222214x y b b-= D ．222215x y b b -= 【答案解析】C二、填空题13、点00(,)A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ；【答案解析】【答案】2【解析】考查双曲线的比值定义，利用点A 到右焦点比上到右准线的距离等 于离心率得出0x =214、过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点作圆x 2+y 2=2a 的两条切线， 切点分别为A ，B ，若∠AOB=120°（O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 【答案解析】12060302AOBAOF AFO c a ∠=⇒∠=⇒∠=⇒= , 2.ce a∴== 15、已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。

高二数学双曲线练习题1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( A )A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x2．双曲线2216436x y -=上一点P 到右焦点的距离是 8，则P 到左焦点的距离是 ( B )A.325 B. 965C. 8D. 27 3.已知双曲线的实轴长为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为（ C ）A.116922=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x 或116922=-x y D. 191622=-y x 或116922=-y x 4、若双曲线标准方程为1222=-y x ，则双曲线的离心率是( C )A.22 B.23 C.26 D.1 5．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ C ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线6.双曲线14322=-y x 的实轴长和虑轴长分别是( A )A. 32，4B.4，32C.3，4D. 2，37.双曲线221102x y -=的焦距为( D ) A. 32B. 42C. 33D. 438. 双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 ( D ) A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12)9. “ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件10.双曲线221169x y -=上的点P 到点(5, 0)的距离是15则点P 到点(－5, 0)的距离是( D ) A.7 B.23 C.5或25 D.7或2311.已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为F 1、F 2 ，P 为C 的右支上一点，且||||212PF F F =，则△PF 1F 2 的面积等于( C )（A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）9612．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)13．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2C ．1或12D ．1 解析：选D.依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2.解得a ＝1.故选D.14．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或23解析:选D.(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点，||PF 1|－|PF 2||＝8，∴|PF 1|＝15＋8或15－8，即7或23.15．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( )A ．2 B. 3 C.32D ．116．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析:选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A.17．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.y 24－x 24＝1 B.x 24－y 24＝1 C.y 24－x 29＝1 D.x 28－y 24＝1解析：选A.2a ＋2b ＝2²2c ，即a ＋b ＝2c ，∴a 2＋2ab ＋b 2＝2(a 2＋b 2)，∴(a －b )2＝0，即a ＝b .∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a 2＝b 2＝4，∴y 2－x 2＝4，即y 24－x 24＝1.18．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.53解析：选D.依题意，2a ＋2c ＝2²2b ，∴a 2＋2ac ＋c 2＝4(c 2－a 2)，即3c 2－2ac －5a 2＝0，∴3e 2－2e －5＝0，∴e ＝53或e ＝－1(舍)．故选D.19．(2009²宁夏、海南)双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1[答案] A [解析] 本题主要考查双曲线的几何性质．由双曲线x 24－y 212＝1得焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为3x ±y ＝0，∴焦点到渐近线的距离d ＝|43|3＋1＝2 3. 20．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝1[答案] B[解析] 顶点为(0,2)，∴a ＝2且焦点在y 轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，∴有4＋2b ＝2²2c ，且4＋b 2＝c 2，解得b ＝2.21．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．2 2[答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，又两渐近线互相垂直，所以a ＝b ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，e ＝ca＝ 2. 二、填空题22.如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的短轴长为___52_____23.．等轴双曲线的一个焦点是F 1（4，0），则它的标准方程是12222=-y x24.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到右焦点的距离为___7_____ 25.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的离心率为_5____26.若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 (,4)(1,)-∞-+∞ 。

专题9.4双曲线练基础1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）AB C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）则a =（）B．4C．2D．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a a=，解得12a =，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 60c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩ ，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a 2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y =2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.故答案为：3练提升1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为()53C．22【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c==PO a∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅e 3∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（）A B ．53C D ．103【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即3c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．233C D ．33【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)3P x x ±，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为3y x =±，可令00(,)3P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)3F P x =+± ，200(2,)3F P x x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a=D ．若M 为直线2a xc =（c ）上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t --∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMN S = 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||3AC R =，1(31)(||||)22R a AC BC -=-=，31==+c e a ．故答案为：31+练真题1.（2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B 132C 7D 13【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =.故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -OP |=（）A．222B．4105C．710【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（）B．C．2D．【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（）A．324B．2C．D．【答案】A 【解析】由2,a b c ===．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在22y x =上，113322224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=．。

双曲线专题复习讲义题型一 双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ． 例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ． 【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二 与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义， 是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±． 故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =； 又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ． 例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=， 解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ． 【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五 求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ． 例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】 求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六 与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =， 设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=， 所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． 显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一 双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二 与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上． 故选C ．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===， 所以1253PF PF =，又122PF PF a -=， 所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-， 所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =， 又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=， 所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+， 所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五 求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六 与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =， 因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =， 所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =， 因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是 ．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ． 【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。

专题23双曲线【考点命题趋势分析】双曲线是圆锥曲线的重要组成部分，通过对近几年高考数学全国卷和省市卷的研究发现，高考对于双曲线的考查多以选择题、填空题为主.题型主要分为两类:一类是基础题，单纯考查双曲线的基本概念和简单几何性质，考查学生对双曲线基础知识的掌握情况；一类是综合题，表现为双曲线与平面几何的有关知识(如等边三角形的有关性质、三角形的中位线定理、线段垂直平分线的性质、圆的有关定理等)、向量、不等式、函数等知识相结合，考查数形结合、化归与转化、方程思想等，同时考查学生的运算求解能力.在求解策略上，对于基础题可直接套用相对应的公式或运用相关性质，学生要注重对双曲线基础知识的掌握，加强训练，熟练运用相关公式和性质；对于综合题，基本思想方法是“几何入手，代数解决”.根据题目给出的条件建立相对应的平面直角坐标系，画出图像，借助图像结合平面几何的知识对题目加以分析，从而找出问题求解的“钥匙”，最终实现对问题的求解. 典型例题与解题方法1依托方程思想与不等式，突破双曲线基础题双曲线的基本题型主要考查基本概念和几何性质，通常以求标准方程，求未知数的具体数值或取值范围的题目为主.求解方法主要是分析已知条件，结合双曲线的概念性质建立相应的方程组.涉及取值范围的题目则需要借助不等式来求解. 例1双曲线x 2a2−y 29=1(a >0)的一条渐近线方程为y =35x ，则a =.思路探求:本题考查双曲线的简单几何性质，考查方程思想和学生的运算求解能力，由条件易知{b 2=9b a=35，解得a =5.方法点睛:这是一道基础题，学生只要把握好双曲线不同标准方程对应的不同渐近线方程，即可正确求解.类似的题目还有2017年高考数学北京卷文科第10题，这类题型主要考查学生对双曲线的基本概念和双曲线基础知识的掌握情况，如a ，b ，c 之间的关系、离心率、渐近线等. 例2已知方程x 2m 2+n−y 23m 2−n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(−1,3)B ．(−1,√3)C ．(0,3)D ．(0,√3)思路探求:本题主要考查双曲线的简单几何性质及求解不等式，考查学生的运算求解能力.解法1:根据双曲线的标准方程的概念，由x 2m 2+n −y 23m 2−n =1可得(m 2+n )(3m 2−n )>0，从而－m 2<n <3m 2.由已知条件和双曲线的定义可知{c 2=(m 2+n )+(3m 2−n )=4m 22c =4，解得m 2=1所以1<n <3，即n 的取值范围是(－1，3).解法2:同解法1有m2=1.所以双曲线的方程变为x21+n −y23−n=1，根据双曲线的定义，则{1+n>03−n>0或{1+n<03−n<0，由此解得n的取值范围是(−1,3).方法点睛:本题求双曲线方程中未知数的取值范围，需要注意双曲线的焦距是2c而不是c，这点容易出错.学生容易根据焦距求出m2=1，但是如何根据m2=1找出n的不等关系，则体现学生对双曲线定义的理解和把握.2从“几何人手，代数解决”，突破双曲线高考综合题双曲线的综合题主要分为两种，一种是双曲线和椭圆或抛物线的综合题，一种是双曲线和平面几何的有关知识、函数、向量或不等式相结合的综合题.求解双曲线的综合题的中心思想就是“几何入手，代数解决”，大致分为三步:一是根据已知条件建立平面直角坐标系画出图像，使问题变得直观、清晰；二是“以形助数”，分析图像蕴含的几何信息，得出结论与条件之间的数量关系；三是“以数解形”，根据分析的结果运用代数的方法列式解题.例3已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为.思路探求:本题主要考查双曲线与圆的性质，数形结合、化归转化思想和运算求解能力.如图所示，可作AP ⊥MN，点A的坐标为(a，0)，AM=AN=b，而AP⊥AM，所以∠P AN=30°，根据距离公式，点A(a，0)到渐近线y=ba x的距离为AP=√1+2a2.在Rt△P AN中，cos∠PAN=PANA，代入计算可得a2=3b2，即a=√3b，由a，b，c的关系c2=a2+b2可得c=2b，所以e=ca =√3b=2√33.方法点睛:本题是求双曲线的离心率，中等难度.双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下几点:①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc，与此同时，要结合图形适当加以转化，方能顺利解决问题.例4已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A．√5B．2C．√3D．√2思路探求:本题主要考查双曲线标准方程和简单几何性质、解直角三角形，考查学生的几何思想.设双曲线方程为x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N.在Rt△BMN中，|BN|=a，|MN|=√3a，故点M的坐标为M(2a,√3a)，代入双曲线方程得a2=b2.又c2=b2+a2，即c2=2a2，所以e=√2，故选D.方法点睛:本题求双曲线的离心率，属于中档题，正确表示点M的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键.诸如此类题目的求解思路大多由几何入手，加以分析，最后用代数方法求解.3借助化归与转化，巧解双曲线高考综合题对部分双曲线高考综合题，经常要结合题目所给的条件加以化归转化求解.如双曲线的交点问题，可借助已知条件转化为一元二次方程，依托根与系数的关系(韦达定理)使得问题得以解决.例5在平面直角坐标系中，双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为.思路探求:本题主要考查双曲线与抛物线的简单几何性质，考查化归与转化、方程思想和学生的运算求解能力.根据抛物线的性质可知:|AF|+|BF|=y A+p2+y B+p2=4|OF|=4×p2，化简可以得到y A+y B=p.因为双曲线的右支与抛物线交于A，B两点，所以由{x2a2−y2b2=1x2=2py可得a2y2−2pb2y+a2b2=0，所以y A+y B=2pb2a2=p，整理得a=√2b.所以渐近线的方程为y=±ba x=±√22x.方法点睛:本题求双曲线的渐近线方程，难度中等.结合抛物线的定义将|AF|+|BF|=4|OF|转化为y A+y B=p，同时根据条件联立方程{x2a2−y2b2=1x2=2py得出关于y的一元二次方程a2y2−2pb2y+a2b2=0.由韦达定理得出y A +y B =2pb 2a 2=p ，从而解得a ，b 之间的关系，进而求出双曲线的渐近线方程.由此可见，结合题目条件恰当进行化归转化，在解决此类双曲线综合题时往往会收到意想不到的惊喜. 4备考建议4.1重视基础，强化画图、计算能力在复习过程中，要重视学生对双曲线的基本概念、性质的理解，如a ，b ，c 的关系，双曲线的离心率和渐近线等；强化学生的作图能力，即强化文字语言，符号语言与图形语言之间的“互译”能力，这是解题的基础；加强学生的运算能力，尽可能减少运算上的失误.4.2重视思想方法的渗透，强化分析问题、解决问题的能力在复习的过程中要注重渗透数形结合、方程思想、化归与转化等思想方法，“思想引领”是正确解题的指明灯.以高考真题为解题训练的主要素材，把训练重点放在数学思想方法的提炼上，不断强化学生分析问题、解决问题的能力. 最新模拟题强化训练1．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于( )．A ．2B ．C ．4D ．【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．2．抛物线2(0)y ax a =>的准线与双曲线22:184x y C -=的两条渐近线所围成的三角形面积为则a的值为 ( ) A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A抛物线2(0)y ax a =>的准线为4a x =-， 双曲线22:184x y C -=的两条渐近线为 2y x =±， 可得两交点为,,,4848a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎪， 即有三角形的面积为1 244a ⨯⨯=，解得8a =，故选A ． 3．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．C ．(0,3)D ．【答案】A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x yn n-=+-表示双曲线，所以10{30n n +>->，解得1{3n n >-<，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．4．过双曲线()222210,0x y a b a b-＝＞＞的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(B ．(C ．D ．【答案】C双曲线右焦点为，过右焦点的直线为y kx =-y可得到22222222222()2()0b a k x a k a a k b k b -+-++=，由题意可知，当k=1时，此方程有两个不相等的异号实根，所以22222(2)0a a b b a+>-，得0＜a ＜b ，即1b a >；当k=3时，此方程有两个不相等的同号实根，所以22222(910)09a a b b a+<-，得0＜b ＜3a ，3b a <；又e ==，所以离心率的取值范围为．故答案为C5．已知(),0F c 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，若圆F ：()222x c y a -+=上恰有三个点到双曲线C 的一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为( ).AB C D 【答案】A双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆F ：()222x c y a -+=的圆心为(),0c ，半径为a ，∵圆F ：()222x c y a -+=上恰有三个点到双曲线C 的一条渐近线的距离为2a， ∴圆心到渐近线的距离为22a a a -=2a =，化简得2a b =，∴222222225544c a b b e a a b +====，即2e =， 故选：A.6．已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b -=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点F 和另一个点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是( )A B C D 【答案】C如图，设抛物线24y cx =的准线为l ，作PQ l ⊥于Q ，双曲线的右焦点为'F ，由题意可知'FF 为圆222x y c +=的直径，∴设()(),,0P x y x >，则'PF PF ⊥，且tan 'b PFF a∠=， ∴满足22224,,,y cx x y c y b x c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩①②③，将①代入②得2240x cx c +-=，则2x c ==-，即)2x c =或()2x c =(舍去)，将)2x c =ba==即)1bcy a=，再将,x y 代入①得，))22222142b c c a=，即))222142ba =，)()22222224211b c a e a a -∴===-， 解得2e 12=C. 7．已知双曲线()221my x m R -=∈与抛物线28x y =有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为A ．13y x =±B ．3y x =±C．y = D．3y x =±【答案】C 【解析】由抛物线方程可知其焦点为：()0,2，即为双曲线的一个焦点，由参数关系可得：114m+=，解得13m =，所以双曲线的方程为：2213y x -=，所以渐近线方程为：y =.故选C.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等，则该双曲线的离心率为( )A．5B．4CD．2【答案】C由题意知等腰ABP ∆中，||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角． ∵ABP ∆，∴2sin aθ=，∴sin θ=，cos θ=∴243sin 22,cos 22155θθ===⨯-=． 设点P 的坐标为(,)x y ，则118(cos 2),sin 255a ax a AP y AP θθ=-+=-==， 故点P 的坐标为118(,)55a a-． 由点P 在双曲线上得2222118()()551a a a b -=，整理得2223b a =，∴c e a ===．选C ． 9．若双曲线221x y m-=的一条渐近线为20x y -=，则实数m =( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B∵双曲线的方程为221x y m-=，∴双曲线的渐近线方程为x 又∵一条渐近线方程为y=12x ∴m=4 故选：B10．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2．则双曲线C 的离心率为( ) ABCD【答案】B双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=． 又曲线22420x y x +-+=化为()2222x y -+=， 则其圆心的坐标为()2,0由题得，圆心到直线的距离1d ==，1d ==．解得2213b a=，所以e ==== 故选B ．11．在平面直角坐标系中，经过点P的双曲线的标准方程为( )A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147x y -=【答案】B 【解析】由==c e a 得b a=当焦点在x 轴时，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，代入(P ，得22821a b -=，解得227,14a b ==，当焦点在y 轴时，设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，代入(P ，得22281a b -=，无解．所以227,14a b ==，即双曲线方程为221714x y -=，选B.12．方程22123+=-+x y m m 表示双曲线的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜0B ．－3＜m ＜2C ．－3＜m ＜4D ．－1＜m ＜3【答案】A 【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.13．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是( )AB ．2C ．52D ．5【答案】B 【解析】若1:3:4AF AB =，则可设13,4AF m AB m ==，因为2F 是AB 的一个四等分点； 若214BF AB =,则22,3BF m AF m ==,但此时12330AF AF m m -=-=，再由双曲线的定义，得122AF AF a -=，得到0a =，这与0a >矛盾；若214AF AB =,则22,3AF m BF m ==，由双曲线的定义，得12112122532{{AF AF m a BF am a BF BF BF m a -====-=-=⇒，则此时满足22211AF AB BF +=,所以1ABF ∆ 是直角三角形，且190BAF ∠=︒ ,所以由勾股定理，得2222221212(3)(2)AF AF F F a a c +=⇒+=，得e , 故选B.14．已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为( )A B ．2+C D ．4【答案】C解：21||||2MP PF MP PF a +=++1222MF a a c +==，22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =e =故选：C15．已知抛物线22y px =(0p >)与双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)有相同的焦点F ，点A 是两条曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是( ) A ．06π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．32ππ⎛⎫⎪⎝⎭， C ．43ππ⎛⎫⎪⎝⎭， D ．64ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 【答案】B因为抛物线与双曲线焦点相同，所以2p c =，因为AF 与x 轴垂直，所以可求得点A 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程可得：222214p p a b-=，因为222b c a =-，代入上式可得：2222241c c a c a --=，化简得：422460c c a a -+=，两边同时除以4a 得：42610e e -+=，解得23e =+3-舍)，设渐近线斜率为k ，由22222211c b e k a a==+=+，解得223k =+>，所以倾斜角应大于60，所以区间可能是,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选B.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为( )A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B因为双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②由①②解得a ＝2，b ，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.17．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是( ) A ．一条射线 B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线， 其方程为：0,3y x =≥，故选A .18．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为( )A ．12±B ．C ．1±D ．【答案】C 【解析】，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，与双曲线()222210,0x y m n m n-=>>具有相同焦点F 1，F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，若∠F 1PF 2，3π，则2212e e +的最小值是A B ．C D 【答案】A 【解析】根据题意，可知12122,2PF PF a PF PF m +=-=， 解得12,PF a m PF a m =+=-，根据余弦定理，可知222(2)()()2()()cos60c a m a m a m a m =++--+-，整理得22234a m c +=，所以222222221222223344c c a m a m e e a m a m+++=+=+22221321()1422m a a m =++≥+=， 故选A.20．以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-=( ) A ．2 B ．4C ．1D ．1-【答案】A 作出简图如下∵椭圆22195x y +=，∴其顶点坐标为3030-（，）、（，）， 焦点坐标为(2020-，）、（，）， ∴双曲线方程为22145x y -=，12(3,0),(3,0)F F - 由11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，可得1 M F 在1PF 与21 F F 方向上的投影相等，1111111tan 5MA F A F B MF A MF B MF A F A ∴=∴∠=∠∠==，，，112122tan 55tan 11tan12125MF A PF A MF A ∠∴∠===-∠-，∴直线1PF 的方程为5312y x （）=+．即：512150x y -+=，把它与双曲线联立可得532P （，） ，2PF x ∴⊥轴，又2tan 1MF O ∠=，所以245MF O ∠=︒，即M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，12121114222PMF PMF SSPF PF ∴-=-⨯=⨯=（）． 故选A ． 21．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．【答案】3【解析】如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°， ∴|AP|=2b ， ∴=设双曲线C 的一条渐近线y=b ax 的倾斜角为θ，则tan θ=||||AP OP = 又tan θ=b a，ba=，解得a2=3b2，∴==．22．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线22(0)x py p=>交于,A B两点，若AF+BF=4OF，则该双曲线的渐近线方程为_________.【答案】2y x=±【解析】||||=4222A B A Bp p pAF BF y y y y p++++=⨯⇒+=，因为22222222221202x ya y pb y a ba bx py⎧-=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩，所以222A Bpby y p aa+==⇒=⇒渐近线方程为y x=.23．双曲线2214xy-=的渐近线方程________．【答案】12y x=±∵双曲线2214xy-=的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为y=±bxa∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x 故答案为y=±12x 24．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，(a ＞a 1)，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, ∵∠F 1PF 2=3π，则∴由余弦定理可得4c 2=(r 1)2+(r 2)2﹣2r 1r 2cos 3π，① 在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②， 在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以， 由柯西不等式得(1+13)(221213e e +)≥(121e e +21211e e +≤所以25．平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______________【答案】32【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =,则OB 所在的直线方程为b y x a=-, 解方程组2{2by x a x py == 得：222{2pb x apb y a== ，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , 抛物线的焦点F 的坐标为:0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为F 是ABC ∆ 的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- , 所以，2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫- ⎪-=-⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以，2222293142c b e e a a ==+=⇒= .26．过点()6,3M -且和双曲线2222x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为______．【答案】221189x y -=【解析】设双曲线方程为：222x y λ-=，双曲线过点()6,3M -，则：222362918x y λ=-=-⨯=，故双曲线方程为：22218x y -=，即221189x y -=.27．已知双曲线2221(0)12x y a a -=>0y -=，左焦点为F ，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22(3)4x y +-=上运动时，则||||MN MF +的最小值为__________． 【答案】7解：由双曲线方程222112x y a -=，得b =y x a=±0y -=，得2a =所以双曲线方程为221412x y -=，点()4,0F -记双曲线的右焦点为()'4,0F ，且点M 在双曲线右支上，所以4'MF MF =+ 所以'4MN MF MN MF +=++由两点之间线段最短，得'4MN MF ++最小为'4F N + 因为点N 在圆()2234x y +-=上运动所以'F N 最小为点F 到圆心()0,3的距离减去半径2 所以'523min F N =-= 所以MN MF +的最小值为7 故答案为7.28．如图，在ABC 中，已知120BAC ∠=︒其内切圆与AC 边相切于点D ，延长BA 到E ，使BE BC =，连接CE ,设以,E C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,E C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则当1221e e +取最大值时，AD DC的值为__．【答案】16. 设内切圆与AB ，BC 分别切于,P Q 点，所以AD AP =，BP BQ =，CD CQ =，BE BC =，则CQ PE =，设1AD AP ==，CD CQ PE m ===，根据圆的切线性质，可得1,1AC m AE PE AP m =+=-=-， 在AEC 中，22222cos603CE AC AE AC AE m =+-⋅=+， 设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 由椭圆双曲线定义，12+2a AC AE m ∴==，1a m ∴=，222a AC AE =-=，21a ∴=，1e ∴=，2e =1221e e ∴+== 令22161643m m y m ++=+，则()()21616430y m m y -++-=， 当16y =时，方程有解，满足条件，当16y ≠时，则应满足()()216416430y y ∆=---≥，解得5203y ≤≤且16y ≠， 综上，520,3y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可得当6m =时，y 取得最大值为523，此时1221e e +16AD DC ∴=. 故答案为：16. 29．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114=F P FT ，则双曲线C 的离心率为______. 【答案】53如图，由题可知12OF OF c ==，OT a =，则1FT b =， 又114F P FT =，3TP b ∴=，14F P b ∴=， 又122PF PF a -=，242PF b a ∴=- 作2//F M OT ，可得22F M a =，TM b =，则2PM b = 在2MPF ∆，22222PM MF PF +=，即()222c b a =-，2b a c =+ 又222c a b =+，化简可得223250c ac a --=，同除以2a ，得23250e e --=解得53e = 双曲线的离心率为53 30．已知双曲线C，22221x y a b -=(a，0，b，0)，圆M，222()4b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M相切，则当22147ln 2b a a +-取得最小值时，C 的实轴长为________， 【答案】4 设渐近线方程为b y x a=，即0bx ay -=， 0bx ay -=与()2224b x a y -+=相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，2232b b a =⇒=， ()2222147147ln 3ln 22b a a a f a a a +-=+-=， ()423324712474'622a a f a a a a a--∴=--= ()()()()()2223312141212222a a a a a a a +-++-==，0,2a a >∴>时，()'0f a >；2a <时，()'0f a <， ()f a 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 2a ∴=时，()f a 有最小值，此时实轴24a =，故答案为4.。