高中数学选修1-1(人教版 练习)：3.4生活中的优化问题含答案

3.4生活中的优化问题举例内 容 标 准学 科 素 养 1.了解导数在解决实际问题中的作用．2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.利用数据分析 提升数学建模 及逻辑推理[基础认识]知识点生活中的优化问题预习教材P 101－103，思考并完成以下问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．某厂家计划用一种材料生产一种盛500mL 溶液的圆柱形易拉罐． (1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ (2)如何制作使用材料才能最省？ 提示：(1)计算出圆柱的表面积即可．(2)要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x ，列出圆柱表面积S ＝2πx 2＋1000x(x >0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可．知识梳理(1)利用导数解决生活中优化问题的基本思路 (2)解决优化问题的基本步骤①分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；②求导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；③比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值； ④依据实际问题的意义给出答案．[自我检测]1．已知某厂家生产某种产品的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋36x ＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．11万件B ．9万件C ．7万件D ．6万件 答案：D2．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 3答案：B授课提示：对应学生用书第72页 探究一几何中的最值问题[阅读教材P 101例1]学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？题型：几何中的最值问题． 方法步骤：①设出版心的高为x ， 得出版心的宽为128x .②建立目标函数S ＝f (x )． ③利用导数求出函数的最小值．[例1]请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解析](1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x )cm,0<x <30， 所以包装盒侧面积为 S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为202cm ，高为102cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.方法技巧面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪探究1.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积． 解析：(1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)． 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)． 令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：S ′ ＋0 － S极大值所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝37503m 2，此时AB ＝150m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150m.探究二实际生活中的最值问题[教材P 104习题3.4A 组6题]已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系为C ＝100＋4q ，单价p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q .求产量q 为何值时，利润L 最大？解析：利润L ＝pq －C ＝⎝⎛⎭⎫25－18q q －(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，∴L ′＝－14q ＋21.令L ′＝0，得q ＝84.当q ∈(0,84)时，L ′>0；当q ∈(84,200)时，L ′<0. ∴当产量q 为84时，利润L 最大． 产量为84时，利润L 最大．[例2]某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[解析](1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,21]． (2)对(1)中函数求导得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，12) 12 (12，21) 21 f ′(x )－＋－∵f (0)＝9072，f (12)＝11664，∴定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大．方法技巧利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．跟踪探究2.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)解析：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大.授课提示：对应学生用书第73页[课后小结]正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．[素养培优]解决实际优化问题时忽略定义域甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为b (b >0)，固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域． (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？易错分析解决实际应用问题时，要注意问题中某些关键量的实际限制条件或隐含条件．若忽视这些限制条件或隐含条件导致最值错误．考查数据分析及数学运算．自我纠正 (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋b v 2·s v＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋b v ， 故所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫av ＋b v ，v (0，c ]．(2)由题意知s ，a ，b ，v 均为正数． 由y ′＝s ⎝⎛⎭⎫b －av 2＝0，得v ＝ab，v ∈(0，c ]． ①若ab ≤c ，则v ＝ab是极值点， 即当v ＝ab时，全程运输成本y 最小． ②若ab>c 因为v ∈(0，c ]，此时y ′<0，则函数在(0，c ]上为减函数，所以当v ＝c 时，y 最小．综上所述，为使全程运输成本y 最小，当ab ≤c 时，行驶速度v ＝ab ；当ab>c 时，行驶速度v ＝c .。

3．4 生活中的优化问题举例一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为() A．4 B．6C．4.5 D．8[答案] A[解析]设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256x2，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·256x2＝x2＋4×256x，∴S′(x)＝2x－4×256x2.令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A．0.016 2 B．0.032 4C．0.024 3 D．0.048 6[答案] B[解析]依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．如果圆柱截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π [答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<r <l 4.则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3[答案] B[解析] 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)． 水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32 (cm 3)(0<x <120)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判断得x＝80 (cm)时，V取最大值为128 000 cm3.5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．[答案] 3[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝27 R2，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·27 R ，∴S′(R)＝2πR－54πR2＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．6．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.[答案]16[解析]设矩形的长为x m，则宽为16－2x2＝(8－x)m(0＜x＜8)，∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x，∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，则x＝4，又在(0,8)上只有一个极值点且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解 设版心的高为x dm ，则版心的宽为 128x dm ，此时四周空白面积为 S (x )＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫128x ＋2－128＝2x ＋512x ＋8，x >0. 求导数，得S ′(x )＝2－512x 2.令S ′(x )＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)． 于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0. 因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使四周空白面积最小． 二、能力提升8．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( ) A.32 3 cm 2 B ．4 cm 2 C ．3 2 cm 2 D ．2 3 cm 2[答案] D[解析] 设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4]≥23(cm 2)，故选D.9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( ) A ．150 B ．200 C ．250 D ．300[答案] D[解析] 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎨⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)． [答案] 6 3[解析] 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝kab ，其中k (k >0)为比例系数．依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝30－a 2＋a(0<a <30)．于是y ＝k ab ＝k30a －a 22＋a＝k (2＋a )30a －a2.令y ′＝a 2k ＋4ak －60k(30a －a 2)2＝0 得a ＝6或a ＝－10(舍去)．∵本题只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1. 所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx (2＋x )x ＝256m x ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12 ＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小．12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)＝(kx3＋200)·ax ＝a(kx2＋200x)．由已知条件，得40＝k·203，∴k＝1200，∴f(x)＝a(1200x2＋200x)．令f′(x)＝a(x3－20 000)100x2＝0，得x＝10320.当0<x<10320时，f′(x)<0；当10320<x<100时，f′(x)>0.∴当x＝10320时，f(x)有最小值，即速度为10320 km/h时，总费用最少．三、探究与创新13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解 (1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr2＝803r 2－43r ＝43(20r 2－r )．由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20r 2－r )×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2 ＝8π(c －2)r 2(r 3－20c －2)，0<r ≤2.由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >92时， 令y ′＝0，得r ＝m . 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.。

课时作业 (八)一、选择题1．将 8 分为两个非负数之和，使其立方和最小，则应分为 () A．2和 6B．4和4C．3和 5D．以上都不对分析：设一个数为x，则另一个数为(8－x)，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2且0≤x≤8，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x ＝4.当 0≤x<4 时， y′<0；当 4<x≤8 时， y′>0，所以当 x＝4时， y 最小．答案：B2 ．一个箱子的容积与底面边长 x的关系为 V(x) ＝260－xx ()(0<x<60)，则当箱子的容积最大时， x 的值为 ()2A ．30B．40C．50D．60分析： V(x)＝－132322x＋30x，V′(x)＝－2x ＋60x，令 V′(x)＝0，得 x＝40(x＝0 舍去 )，且当 0<x<40 时V′(x)>0，当 40<x<60 时 V′(x)<0，故 V(x)在 x＝40 时获得最大值．答案： B3．某商场从生产厂家以每件20 元的价钱购进一批商品．若该商品零售价定为 P 元，销售量为 Q，则销售量 Q(单位：件)与零售价 P(单位：元)有以下关系： Q＝8 300－170P－P2.最大毛利润为 (毛利润＝销售收入－进货支出 )()A ．30 元B．60 元C ．28 000 元D ．23 000 元分析： 设毛利润为 L(P)，由题意知L(P)＝PQ －20Q ＝Q(P －20)＝ (8 300－ 170P － P 2)(P － 20)＝－ P 3 － 150P 2＋ 11 700P － 166 000，所以 L ′(P)＝－ 3P 2－ 300P ＋11 700.令 L ′(P)＝0，解得 P ＝30，或 P ＝－ 130(舍去 )．此时， L(30)＝23 000.依据实质问题的意义知， L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为 23 000 元．答案： D4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为 ()A.3 VB.32V C.3 4VD ．23V分析： 设正三棱柱的底面边长为 x ，高为 h ， 则 V ＝32，4 x h∴ S ＝2×43x 2＋3xh ＝ 23x 2＋4 x 3V.当 S ′＝4 3V 3 x 3－4V得， ＝ 3 3x －＝＝xxx 4V.当 0<x<3 4V 时， S ′<0，当 x> 34V 时， S ′>0，∴ x ＝34V 时， S 最小．答案： C5．某银行准备设一种新的按期存款业务，经展望，存款额与存款利率的平方成正比，比率系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行汲取的存款能所有放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获取最大利润的存款利率为()A ．3.2%B．2.4%C．4%D．3.6%分析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获取的贷款利息是0.048kx2，所以银行的利润是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，故 y′＝0.096kx－ 3kx2.令 y′＝0，解得 x＝0.032 或 x ＝0(舍去 )．当 0<x<0.032 时，y′>0；当 0.032<x<0.048 时，y′<0因.此，当 x＝0.032 时， y 获得极大值，也是最大值，即当存款利率定为 3.2%时，银行可获取最大利润．答案： A6．某商场依据过去规律估计某种商品2011年第 x 月的销售量 f(x)＝－ 3x2＋40x(x∈N*, 1≤x≤ 12)，该商品的进价 q(x)与月份 x 的关系是 q(x) ＝150＋2x(x∈N*, 1≤x≤ 12)，该商品每件的售价为 185 元，若不考虑其它要素，则此商场今年销售该商品的月利润估计最大是() A．3 120元B．3 125 元C．2 417 元D．2 416 元分析：该商场估计销售该商品的月利润为g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)＝6x3－185x2＋1 400x(x∈N*, 1≤x≤12)，g′(x)＝18x2－370x＋1 400.140令 g′(x)＝0，解得 x＝5，x＝9 (舍去 )．当 1≤x≤5 时， g′(x)>0；当 5<x≤12 时， g′(x)<0，∴当 x＝5 时， g(x)max＝g(5)＝3 125(元)．综上， 5 月份的月利润最大是 3 125 元．答案： B7．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为 ()336A. 3d， 3 dB.3 d，3d636C. 3 d，3 dD. 3 d， 3d分析：以下图，设矩形横断面的宽为x，高为 y，由题意，知当 xy2取最大值时，横梁的强度最大．∵y2＝d2－x2，∴ xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．令 f(x)＝x(d2－ x2)(0<x<d)，求导数，得 f′(x)＝d2－3x2.令 f′(x)＝0，解得 x＝333 d，或 x＝－3 d(舍去 )．当 0<x<3时，′( ；当3时，′(，3 df x)>03 d<x<d f x)<03所以，当 x＝3 d 时， f(x)获得极大值，也是最大值．综上，当矩形横断面的高为63 d，宽为33 d 时，横梁的强度最大．答案：C8．在半径为r 的半圆内有一内接梯形，其下底为直径，其余三边为圆的弦，则梯形面积最大时，该梯形的上底长为()A.rB.3r 22 3C. 3 r D．r分析：设梯形的上底长为2x(0<x<r)，高为 h，面积为 S.∵ h＝r 2－x2，∴S＝2r＋2xr2－x2＝(r＋x) ·r2－x2.2∴ S′＝ r2－x2－x r ＋x＝r2－rx－2x22222 r －x r －xr－2x r＋x＝r2－x2.r3令 S′＝0，得 x＝2(x＝－ r 舍去 )，则 h＝2 r.r当 x∈(0，2)时， S′>0；r当2<x<r 时， S′<0.r∴当 x＝2时， S取极大值，也就是最大值．∴当梯形的上底长为r 时，它的面积最大．答案： D二、填空题9．某商品一件的成本为30 元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出 (200－x)件，当每件商品的订价为 ________元时，利润最大．解 析 ： 利 润 为 S(x) ＝ (x － 30)(200 － x) ＝ － x 2 ＋ 230x － 6 000(30≤x ≤200)，S ′(x)＝－ 2x ＋230，由 S ′(x)＝0 得 x ＝115，当 30≤x<115 时， S ′(x)>0；当 115<x ≤200 时， S ′(x)<0.所以当 x ＝115 时利润最大．答案： 115π10．函数 y ＝x ＋2cosx 在区间 [0，2] 上的最大值是 ________．分析： 令 y ′＝1－2sinx ＝0，得 x ＝ πππ π≤≤ ，比较，， 处的6(0 x2)0 62π 函数值，得 y max ＝＋ 3.6π答案： 6＋ 311．某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)＝1 200＋752x 3(万元 )，已知产品单价的平方与产品件数 x 成反比，生产 100 件这样的产品单价为 50 万元，则产量定为 ________件时，总利润最大．分析： 设产品的单价为 p 万元，依据已知，可设p 2＝kx ，此中 k为比率系数．由于当 x ＝100 时， p ＝50，所以 k ＝250 000，所以 p 2＝ 250 000500x ，p ＝ x ，x>0.设总利润为 y 万元，5002 3则 y ＝·－－x x 1 200 75x＝ 500 x －752x 3－1 200.求导数得， y ′＝250x －252x 2.令 y ′＝ 0 得 x ＝25.故当 x<25 时， y ′>0；当 x>25 时， y ′<0.所以当 x ＝25 时，函数 y 获得极大值，也是最大值．答案： 2512．某企业租地建库房，每个月土地占用费 y 1 与库房到车站的距离成反比，而每个月库存货物的运费y 2 与到车站的距离成正比，假如在距离车站 10 千米处建库房，这两项花费 y 1 和 y 2 分别为 2 万元和 8万元．那么，要使这两项花费之和最小，库房应建在离车站________千米处．分析：依题意可设每个月土地占用费 y 1＝kx 1，每个月库存货物的运费y 2＝k 2x ，此中 x 是库房到车站的距离．k 1于是由 2＝10，得 k 1＝20；4由 8＝10k 2，得 k 2＝5.所以两项花费之和为20 4x20 4y ＝ x ＋ 5 ，y ′＝－ x 2 ＋5，20 4令 y ′＝－ x 2 ＋5＝0 得 x ＝5(x ＝－ 5 舍去 )，此点即为最小值点．故当库房建在离车站 5 千米处时，两项花费之和最小．答案： 5三、解答题13．现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地，已知轮船的最大航行速度为 35 海里 /时，A 地至 B 地之间的航行距离约为500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余花费构成， 轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比 (比率系数为 0.6)，其余花费为每小时960 元．(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里 /时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解： (1)依题意得 y ＝500＋2＝480 000＋300x ，且由题意x (9600.6x )x知，函数的定义域为 (0,35]，即 y ＝480 000＋300x(0<x ≤35)． x(2)由(1)知， y ′＝－480 0002＋300，令 y ′＝0，x解得 x ＝40，或 x ＝－ 40(舍去 )．由于函数的定义域为 (0,35]，所以函数在定义域内没有极值点． 又当 0<x ≤35 时， y ′<0，所以 y ＝480 000＋300x 在(0,35]上单一递减，x480 000故当 x ＝35 时，函数 y ＝＋300x 获得最小值．故为了使全程运输成本最低，轮船应以35 海里 /时的速度行驶．14．某企业为了获取更大的利润， 每年要投入必定的资本用于广告促销．经检查，每年投入广告费t(百万元 )，可增添销售额约为－ t2＋ 5t(百万元 )(0 ≤t ≤5)，现该企业准备共投入 300 万元，分别用于广告促销和技术改造．经展望，每投入技术改造费x(百万元 )，可增添的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x(百万元 )．为使该企业由此获取的利润最大，求 x 的值．解：设用于技术改造的资本为 x(百万元 )，则用于广告促销的资本为 (3－x)(百万元 )，又设由此获取的利润是g(x) ，则有 g(x)＝ ( － 1x 3 ＋ x 2 ＋ 3x) ＋ [ － (3 － x)2 ＋ 5(3 － x)] －33(0≤x≤3)，即 g(x)＝－31x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴ g′(x)＝－ x2＋4，令 g′(x)＝0 得 x＝－ 2(舍去 )或 x＝2，又当 0≤x<2 时， g′(x)>0；当 2<x≤3 时， g′(x)<0，∴ g(x)在[0,2] 上是增函数，在 (2,3]上是减函数，∴当 x＝2 时，g(x)取最大值，马上 2 百万元用于技术改造，该企业利润最大．15．用长为90 cm，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，而后把四边翻转 90°，再焊接而成(如图 )，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为 x cm，容器的体积为V(x) cm3.则 V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)．V′(x)＝ 12x2－552x＋ 4 320＝ 12(x2－ 46x＋ 360)＝ 12(x－ 10)(x－36)(0<x<24)．令 V′(x)＝0，得 x1＝10， x2＝36(舍去 )．当 0<x<10 时， V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24 时， V′(x)<0，V(x)是减函数．所以，在定义域 (0,24)内，只有当 x＝ 10 时函数 V(x)获得最大值，其最大值为 V(10)＝10×(90－20) ×(48－ 20)＝19 600(cm3)．故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是 19 600cm3.[ 拓展延长 ]16．某商场销售某种商品的经验表示，该商品每天的销售量y(单位：千克 )与销售价钱 x(单位：元 /千克 )知足关系式 y＝x－a3＋10(x－6)2，此中 3<x<6，a 为常数．已知销售价钱为 5 元/千克时，每天可售出该商品 11 千克．(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确立销售价钱x 的值，使商场每天销售该商品所获取的利润最大．a解： (1)由于 x＝5 时 y＝11，所以2＋10＝11，解得 a＝2.(2)由(1)知该商品每天的销售量y＝x－23＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获取的利润f(x)＝(x－3)[ x－23＋ 10(x－ 6)2]＝2＋ 10(x－3)(x－6)2,3<x<6；f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－ 6)]＝30(x－4)(x－6)，令 f′(x)＝0，得 x＝4 或 x＝6(舍去 )．函数 f(x)在(3,4)上递加，在 (4,6)上递减，所以当 x＝4 时函数 f(x) 获得最大值 f(4)＝42.即当销售价钱为 4 元 /千克时，商场每天销售该商品所获取的利润最大，最大值为42元．。

§3.4生活中的优化问题举例课时目标通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题↓优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程．一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2 (0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )A ．3VB ．32VC ．34VD ．23V 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A ．33 cmB ．1033 cmC ．1633 cmD ．2033cm6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2xx，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．3007．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．三、解答题10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)13．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．§3.4 生活中的优化问题举例答案知识梳理1．优化问题 导数 导数 优化问题 作业设计1．B [V ′(x )＝60x －32x 2＝0，x ＝0或x ＝40.可见当2．C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．]3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．]4．C [设底面边长为a ，直三棱柱高为h . 体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V3a2， 表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a2＝32a 2＋43V a ， S ′＝3a －43Va 2，由S ′＝0，得a ＝34V .经验证，当a ＝34V 时，表面积最小．]5．D [设高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ， 体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值．]6．D [由题意，总成本为c ＝20 000＋100x ， 所以总利润为p ＝r －c＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 x60 000－100x x，p ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x x －x，p ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，p ′<0恒成立， 易知当x ＝300时，总利润最大．]7．5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．1∶1解析 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx 2.由L ′＝0，得x ＝2Sπ＋4，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫ 2S π＋4，＋∞时，L ′>0， 所以当x ＝2Sπ＋4时，L 取最小值， 此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.9．3解析 设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r 2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．10．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x(2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．11．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：极小值，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x2， 令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0； 当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．13．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2.利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)， L ′＝－14q ＋21， 令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 取得最大值． 所以产量q 为84时，利润L 最大．。

第三章导数及其应用3.4 生活中的优化问题举例一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是 A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末【答案】D2．现做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为 A ．2033cm B ．100cmC ．20cmD ．203cm 【答案】A【解析】设高为x cm ，则底面半径为2400x -cm ，所以圆锥形漏斗的体积3231π(400)π(400c 3)m 3x x x x V -⋅-⋅==，2π(4003)3V x '=-， 令0V '=，得2033x =或2033x =-（舍去），则当2033x =cm 时，体积最大．故选A ． 3．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为348m ，高为3m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为 A ．900元 B ．840元 C ．818元D ．816元【答案】D【解析】设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得48481615122(3)24072()(0)3l x x x x x =⨯+⨯+=++>，21672(1)l x-'=． 令0l '=，解得4x =或4x =-(舍去)．当04x <<时，0l '<；当4x >时，0l '>； 故当4x =时，l 取得最小值，为816．因此，当箱底是边长为4m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D ． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．4．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24y x =-在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为______________．【答案】233和835．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为______________万件． 【答案】9【解析】由31812343y x x =-+-，得281y x '=-+，由2810x -+=，得19x =-（舍去），29x =． 当(0,9)x ∈时，0y '>，函数31812343y x x =-+-为增函数；当(9,x ∈+∞)时，0y '<，函数31812343y x x =-+-为减函数，所以当9x =时，函数有极大值，也就是最大值，为3198192342523-⨯+⨯-=（万元）．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：厘米）满足关系：()(010)35kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值． 【答案】（1）40k =，800()6(010)35f x x x x =+≤≤+；（2）隔热层5cm 厚时，总费用最小为70万元．（2）22400()6(35)f x x '=-+，令()0f x '=，解得5x =或253x =-（舍去）．当05x <<时，()0f x '<；当510x <<时，()0f x '>， 故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值是800(5)3070155f =+=+． 故当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元．7．请你设计一个包装盒，如图，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【答案】（1）15；（2）当20x =时V 取得最大值，包装盒的高与底面边长的比值为12．（2）23222(30)62(20)V a h x x V x x ==-+=-'，，由0V '=，得0x =(舍去)或20x =． 当(020)x ∈，时，0V '>；当 (2030)x ∈，时，0V '<． 所以当20x =时，V 取得极大值，也是最大值． 此时1 2ha =，即包装盒的高与底面边长的比值为1 2． 8．如图1，45ACB ∠=︒，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠=︒（如图2所示）．则当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大？图1 图2【答案】当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．【解析】在如题图1所示的ABC △中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．由AD BC ⊥， 45ACB ∠=︒知，ADC △为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-．由折起前AD BC ⊥知，折起后（如题图2），AD D C ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D = ，所以AD ⊥平面BCD ．因为90BDC ∠= ，所以11(3)22BCD S BD CD x x =⋅=-△． 于是321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+△．令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．9．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为0π38立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．【答案】（1）2160π4π(2),02y c r r r =-+<≤；（2）3202r c =-．（2）由（1）得322160π20()(028π(2)8π))2(2c r r r r c y c r -'=--=-<≤-， 因为3c >，所以20c ->，当32002r c -=-时，3202r c =-．令3202m c =-，则0m >．所以222(π(()2))8r m r rm m r c y -++-'=． ①当02m <<，即92c >时，令0y '=，解得r m =． 当(0,)r m ∈时，0y '<，函数y 单调递减；当(2)r m ∈，时，0y '>，函数y 单调递增． 所以3202r m c ==-是函数2160π4π(2)y c r r =-+的极小值点，也是最小值点．②当2m ≥，即932c <≤时，当(02]r ∈，时，0y '≤，函数y 单调递减， 所以2r =是函数2160π4π(2)y c r r=-+的最小值点．综上所述，当932c <≤时，该容器的建造费用最小时2r =；当92c >时，该容器的建造费用最小时3202r c =-． 10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 【答案】（1）3300π()54()V r r r -=，053r <<；（2）见解析．（2）因为V (r )＝π5(300r －4r 3)（053r <<），所以2()3001π(52)V r r =-'． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝5-（因为r 2＝5-不在定义域内，舍去）． 当r ∈(0，5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．本学期结束。

技能演练1.把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为( )A ．2B ．4C ．8D ．以上都不对解析 设矩形的长为x ，则宽为4－x ，则面积S ＝x (4－x )＝4x －x 2，∴当x ＝2时，S max ＝4.答案 B2．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1:2B ．1:πC ．2:1D ．2:π解析 设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2·x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)，当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为4，底面周长:高＝4:2＝2:1.答案 C3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎨⎧ －x 3900＋400x ，(0≤x ≤390)，90090，(x >390)，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析 ∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390，90090－100x －20000，x >390，由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.答案 D4．正三棱柱体积是V ，当其表面积最小时，底面边长为() A.3V B.32V C.34V D ．23V解析 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V3x 2，∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2·sin60°＋3·x ·l＝32x 2＋43V x ，S ′表＝3x －43Vx 2＝0，∴x 3＝4V ，即x ＝34V .又当x ∈(0，34V )时，y ′<0，x ∈(34V ，V )时，y ′>0，∴当x ＝34V 时，表面积最小．答案 C5．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．如果铁丝网长40 m ，那么围成的场地面积最大为________．解析 设靠墙的一面长x m ，围成的场地面积为y m 2，此时矩形的宽为40－x 2>0.∴y ＝x ·40－x 2＝－12x 2＋20x .(0<x <40)y ′＝－x ＋20，令y ′＝0得x ＝20，当0<x <20时，y ′>0.当20<x <40时，y ′<0.∴x ＝20时，y 最大＝20×10＝200.答案 200 m 26．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能够全部贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为________时，银行可获得最大收益．解析 由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx.令y′＝0，得x＝0.024.依题意知，y在x＝0.024处取得最大值．答案0.0247．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，才使得所用材料最省？解设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S(R)＝2πRh＋2πR2，又V＝πR2h，则h＝VπR2，∴S(R)＝2πR·VπR2＋2πR2＝2VR＋2πR2，由S′(R)＝－2VR2＋4πR＝0，解得R＝3V2π，从而h＝VπR2＝23V2π，即h＝2R，当R< 3V2π时，S′(R)<0，当R>3V2π时，S′(R)>0.因此，当R＝3V2π时，S(R)有极小值，且是S(R)的最小值．答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省．8.某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地形AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，假设AB 长度为x 米．(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？(2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)解 (1)依题意三角形NDC 与三角形NAM 相似， ∴DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD 20，AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为S ＝20x －23x 2，定义域为0<x <30，要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，即20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18，∴AB 长度应在[12,18]内．(2)仓库体积为V ＝20x 2－23x 3(0<x <30) V ′＝40x －2x 2＝0，得x ＝0，或x ＝20，当0<x <20时V ′>0，当20<x <30时V ′<0，∴x ＝20时V 取最大值8 0003米3,即AB 长度为20米时仓库的库容量最大.感悟高考(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析 ∵y ′＝－x 2＋81，∴当x >9时，y ′<0，当0<x <9时，y ′>0.∴函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增．∴x ＝9是函数的极大值点．又∵函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，∴在x＝9处取得最大值．答案 C。

1．利用导数解决优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．______是求函数最值问题的有力工具．解决优化问题的基本思路是：K知识参考答案：1．导数K—重点利用导数解决生活中的优化问题K—难点利用导数解决利润最大、用料最省、效率最高等问题K—易错求利润最大、用料最省、效率最高等问题时，易忽略实际意义最大值问题实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值．如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【答案】箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3．【解析】设箱子的底边长为x cm，则箱子高602xh-=cm，箱子容积23260()2x xV x x h-==(060)x<<，得23()602V x x x '=-，令()0V x '=，解得10x =（不合题意，舍去），240x =． 当x 在(0)60，内变化时，()V x '的正负如下表：因此在40x =处，函数()V x 取得极大值，并且这个极大值就是函数()V x 的最大值． 将40x =代入()V x ，得最大容积为2360404016000(cm )2-⨯=． 所以，箱子底边长为40cm 时，容积最大，最大容积为16000cm 3．【名师点睛】（1）求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值；（2）注意根据实际意义对求出的解进行取舍．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 【答案】（1）3300π()54()V r r r -=，053r <<；（2）见解析．（2）因为V (r )＝π5(300r －4r 3)（053r <<），所以2()3001π(52)V r r =-'． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝5-（因为r 2＝5-不在定义域内，舍去）． 当r ∈(0，5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0，5)上为增函数； 当r ∈(5，53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．最小值问题实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为10海里/小时时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【答案】速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小．【名师点睛】本题是费用最少问题，若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左减右增，则此时唯一的极小值就是最小值．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：厘米）满足关系：()(010)35kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．【答案】（1）40k =，800()6(010)35f x x x x =+≤≤+；（2）隔热层5cm 厚时，总费用最小为70万元．（2）22400()6(35)f x x '=-+，令()0f x '=，解得5x =或253x =-（舍去）． 当05x <<时，()0f x '<；当510x <<时，()0f x '>， 故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值是800(5)3070155f =+=+． 故当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元．1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为2(60)()(060)2x x V x x -=<<，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为 A ．30 B ．40 C ．50D ．352．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件D ．7万件3．路灯距地平面8m ，一个身高为1.6m 的人以2m/s 的速度在地平面上，从路灯在地平面上的射影点C 开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速度v 为 A ．207m/s B ．247m/sC ．227m/s D ．21m/s 4．现有一段长为18m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是 A ．1mB ．1.5mC ．0.75mD ．0.5m5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，则使公司的收益最大时应该订购的合同件数是 A ．150 B ．175 C ．200D ．2256．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______________ cm ，宽为______________ cm ，高为______________ cm 时，可使表面积最小． 7．某商品一件的成本为30元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大，每件定价为______________元．8．已知某厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问： （1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？9．请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．10．为了美化城市，某市将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，如图所示．要求B在AM 上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3米，|AD|＝2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度分别是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．11．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，焊接成水箱，则水箱的最大容积为A．120000cm3B．128000cm3C．150000cm3D．158000cm312．某产品的销售收入y 1(万元)关于产量x (千台)的函数为y 1＝17x 2(x >0)；生产成本y 2(万元)关于产量x (千台)的函数为y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产 A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台D ．9千台13．某工厂需要建一个面积为512m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，要使砌墙所用材料最省，堆料场的长和宽分别为 A ．16m ，16m B ．32m ，16m C ．32m ，8mD ．16m ，8m14．已知某厂生产x （百件）某种商品的总成本为321()629153x C x x x =-++（万元），总收益为2()20R x x x =-（万元），则生产这种商品所获利润的最大值为______________万元，此时生产这种商品______________百件．15．某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m 与商品单价的降低值x （单位：元，90<≤x ）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．（1）将一星期的商品销售利润y 表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？16．某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人．某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人．该兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该景点对外开放的第x (1)x ≥年与当年的游客人数y （单位：万人）之间的关系．（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数()y f x =所具有的性质； （2）若()f x =mn x+，试确定m ，n 的值，并说明该函数是否符合上述两点预测； （3）若()f x =(0,1)xa b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取值范围．17．（江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ．如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2．5千米，以12,l l 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型． （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．18．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个△，要求,A B均在线段温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDPMN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．△的面积，并确定sinθ的取值范围；（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43:．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．1．【答案】B【解析】由题可得3223()(30)6022x V x x x x ''=-=-，060x <<．令)0(V x '=，解得40x =，所以当40x =时，箱子的容积有最大值．故选B ．2．【答案】C【解析】y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．故选C ． 3．【答案】D【解析】如图，设人从C 点运动到B 处路程为x m ，时间为t s ，AB 为人影长度，AB 长为y m ．由于DC∥BE ，则AB BEAC CD=，即1.6185y y x ==+，∴y =41x =21t ，∴v =y ′=21m/s ．故选D ．4．【答案】A5．【答案】B【解析】设x 表示订购的件数，R 表示公司的收益，则R 等于每件的售价×订购的件数x ，当x ≤150时，R ＝200x ，最大收益为200×150=30000元；当x >150时，R ＝[200－(x －150)]x ＝350x －x 2，R ′＝350－2x ，令R ′＝0，得x ＝175，当(150,175)x ∈时，0R '>，当(175,)x ∈+∞时，0R '<，则当x ＝175时，R 有最大值，最大收益为350×175－1752＝30625元，故选B ． 6．【答案】6 3 4【解析】设底面相邻两边长分别为x cm 、2x cm ，高为y cm ． 则V ＝2x 2y ＝72，y ＝2722x ＝236x，S ＝2(2x 2＋2xy ＋xy )＝4x 2＋6xy ＝4x 2＋216x ． S ′＝8x －2216x ，令S ′＝0，解得x ＝3，则长为6cm ，宽为3cm ，高为4cm 时，表面积最小． 7．【答案】115【解析】依题意可得利润为L ＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6000(0＜x ＜200)． L ′＝－2x ＋230，令L ′＝－2x ＋230＝0，解得2301152x ==． 因为在(0，200)内L 只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大． 8．【答案】（1）1000件；（2）6000件．（2）设利润为L 元，则22500(25000200)300250004040x x L x x x =-++=--，所以2(30025000)3004020x xL x ''=--=-， 令0L '=，解得6000x =，可知当6000x =时L 取得极大值且为最大值， 因此要使利润最大，应生产6000件产品．9．【答案】（1）15；（2）当20x =时V 取得最大值，包装盒的高与底面边长的比值为12． 【解析】设包装盒的高为 cm h ，底面边长为cm a ． 由已知得22(30)2a x h x ===-，，030x <<， （1）248(30)8(15)1800S ah x x x ==-=--+，所以当15x =时，S 取得最大值．（2）2322(30)62(20)V a h x x V x x ==-+=-'，， 由0V '=，得 0x =(舍去)或20x =．当(020)x ∈，时，0V '>；当 (2030)x ∈，时，0V '<． 所以当20x =时，V 取得极大值，也是最大值．此时1 2h a=，即包装盒的高与底面边长的比值为1 2． 10．【答案】（1）8(2,)(8,)3+∞（单位：米）；（2）|AN |＝6米，|AM |＝4．5米，最小面积为27平方米．【解析】设AN 的长为x 米(x >2)，易得||||||||AM DC AN DN =，∴23||-=x xAM ， ∴232AMPNx S AN AM x =⋅=-矩形．（2）令232x y x =-，则2226(2)33(4)(2)(2)x x x x x y x x ---'==--，∴当4x >时，0y '>，即函数234xy x =-在(4,)+∞上单调递增，∴函数234x y x =-在[6,)+∞上单调递增，∴当x ＝6时，232-=x x y 取得最小值，即AMPN S 矩形取得最小值，为27（平方米）．此时|AN |＝6米，|AM |＝4.5米．故当AM ，AN 的长度分别是4.5米、6米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积是27平方米． 11．【答案】B【解析】设水箱的高为x cm(0<x <60)，则水箱底面边长为(120－2x )cm ，水箱的容积V ＝(120－2x )2·x ＝(1202－480x ＋4x 2)·x ，∴V ′＝12x 2－960x ＋120×120，令V ′＝0，得x ＝20或x ＝60(舍去)．当0<x <20时，V ′>0；当20<x <60时，V ′<0．∴当x ＝20时，V 有最大值，且最大值为128000cm 3．故选B ． 12．【答案】A【解析】设利润为y 万元，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－2x 3＋x 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，令y ′>0，得0<x <6，令y ′<0，得x >6，∴当x ＝6时，y 取最大值，故为使利润最大，应生产6千台．故选A ． 13．【答案】B【解析】如图所示，设场地垂直于墙的一边长为x m ，则其邻边长为512xm ．因此新墙总长度5122(0)L x x x =+>，25122L x'=-．令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．可知当x ＝16时，L 取得最小值，当x ＝16时，5125123216x ==．故当堆料场的宽为16m ，长为32m 时，可使砌墙所用的材料最省．故选B ． 14．【答案】66 915．【答案】（1）3254575675y x x x ∴=-+-+)90(<≤x ；（2）商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．【解析】（1）依题意，设2kx m =，由已知有215⋅=k ，从而5=k ，25x m =∴，232(145)(755)54575675(09)y x x x x x x ∴=--+=-+-+≤<．（2）易得215907515(1)(5)y x x x x '=-+-=---， 由0>'y 得51<<x ，由0<'y 得10<≤x 或95<<x ， 可知函数y 在[0,1)上递减，在(1,5)递增，在(5,9)上递减， 从而函数y 取得最大值的可能位置为0=x 或5=x ，675x y==，5800x y==，∴当5=x 时，800max =y ．答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．16．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 (0,]3．【解析】（1）根据题中两点预测可知()f x在[1,)+∞上单调递增，()130f x<对[1,)x∈+∞恒成立．（2）将（1，100），（2，120）代入my nx=+中，得1001202m nmn=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得40140mn=-⎧⎨=⎩．所以40()140f xx=-+，所以240()0f xx'=>，故()f x在[1,)+∞上单调递增，符合预测①；又当4x≥时，40()140130f xx=-+≥，所以此时()f x不符合预测②．17．【答案】（1）1000a=，0b=；（2）①6243410(),[5,20]2f t t tt⨯=+∈，②当102t=l的长度最短，为153千米．【解析】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40),(20,2.5)．将其分别代入2ay x b =+，得4025 2.5400ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．18．【答案】（1）矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[，1）；（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法．【解析】（1）连结PO并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．。

3．4生活中的优化问题举例Q错误!错误!现实生活中，当汽车行驶距离一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗量最少或每升汽油能够使汽车行驶最长的路程．如何使汽油的使用效率最高？X错误!错误!1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中__自变量__的取值范围．2．实际优化问题中,若只有一个极值点,则极值点就是__最优__点．3．解决优化问题的基本思路：Y错误!错误!1．某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（万元)与营运年数x(x∈N*）满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( C )A．3 B．4C．5 D．6［解析] 由题意得每辆客车营运的年平均利润为错误!＝－x－错误!＋12，∴（错误!）′＝－1＋错误!＝错误!，令错误!＝0,得x＝5。

当0<x<5时，(错误!)′>0，当x〉5时，(错误!）′〈0，∴当0〈x〈5时，年平均利润递增，当x〉5时，年平均利润递减，即当x＝5时，年平均利润取最大值．2．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－错误! x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ C )A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件［解析］∵y＝－错误!x3＋81x－234,∴y′＝－x2＋81（x〉0）．令y′＝0得x＝9，令y′<0得x〉9,令y′>0得0<x<9，∴函数在(0，9）上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时,函数取得最大值．故选C．3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R（x）＝错误!，则总利润最大时,每年生产的产品是（ D ) A．100 B．150C．200 D．300[解析］由题意,总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝错误!，P′＝错误!,令P′＝0，当0≤x≤400时,得x＝300；当x>400时,P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．4．在周长为l的矩形中，面积的最大值为__ l216__.［解析］设一边长为x,则另一边长为错误!（l－2x），其面积S＝错误!x（l－2x）（0〈x<错误!）,由S′＝错误!l－2x＝0得x＝错误!，此时S＝错误!。

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课后提升训练二十五
生活中的优化问题举例
(分钟分)
一、选择题(每小题分,共分)
.用长为的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为( )
【解析】选.设长方体的底面边长为,
则高为(),
所以<<,则·(),
′,
令′得或(舍),
所以当∈()时是增函数,
当∈()时是减函数,
所以当时×().
.某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为( )
【解析】选.如图所示,
设场地一边长为,则另一边长为.因此新墙总长度(>),
′.令′,得或(舍去).
因为在(∞)上只有一个极值点,
所以它必是最小值点.因为,所以.
故当堆料场的宽为,长为时,可使砌墙所用的材料最省.
.已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数
关系式为,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) 万件万件万件万件
【解析】选′,令′,解得或(舍去).当<<时′>,当>时′<,所以当时取得最大值.
.(·烟台高二检测)若商品的年利润(万元)与年产量(百万件)的函数关系式为(>),则获得利润最大时的年产量为( )
百万件百万件
百万件百万件
【解析】选.因为(>),
所以′()()(>),。