福建省福州第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题

福建省福州第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题参考答案1．D 【思路点拨】根据两条直线垂直，列方程求解即可.【解析】由题：直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=相互垂直， 所以240a +=， 解得：2a =-. 故选：D【名师指导】此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.2．D 【解析】试题分析：设公比为，由2580a a +=，得，解得，所以．故选D ．3．A 【思路点拨】对选项逐一画出图象，由此判断真假性，从而确定正确选项.【解析】对于A 选项，当//αβ时，画出图象如下图所示，由图可知，m n ⊥，故A 选项正确.对于B 选项，当//αβ时，可能m β⊂，如下图所示，所以B 选项错误.对于CD 选项，当αβ⊥时，可能n ⊂α，//m n 如下图所示，所以CD 选项错误.故选：A【名师指导】本小题主要考查线、面位置有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，属于基础题.4．B 【解析】本小题主要考查均值定理．11()12x f x x x==≤x x=，即1x =时取等号．故选B ． 5．C【解析】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ∥A 1B ，∠EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EC 1B 为60，故选C ．6．B 【思路点拨】先求出动点P 轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定PQ 的最大值取法，计算即可得结果.【解析】设(,)P x y ，因为2PA PB =2222(2)2(1)x y x y ++-+22(2)4x y ∴-+=因此PQ 22(22)3+2+3=5+3-+故选：B【名师指导】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题.7．D 【思路点拨】如图，BCD △中可得30CBD ∠=︒，再利用正弦定理得802BD =，在ABD △中，由余弦定理，即可得答案；【解析】如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴30CBD ∠=︒， 由正弦定理得80sin135sin 30BD =︒︒，解得802BD =，ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ，ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠2280(802)280802cos135=+-⨯⨯⨯︒ 2805=⨯，∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．故选：D.【名师指导】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．C 【思路点拨】取AC 中点D ，连接,BD PD ，证明BD ⊥平面PAC ，故DPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角为30，球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D ，计算得到答案.【解析】取AC 中点D ，连接,BD PD ，2AB BC ==，则BD AC ⊥.PA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，故PA BD ⊥.PA AC A =，故BD ⊥平面PAC ，故DPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角为30.22PB =，故2BD =，6PD =，22AC =，故2ABC π∠=.球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D ， 根据OA OP =知，1,,12OH AP AH HP OD AP ⊥===，故2223R OD AD =+=， 故球的表面积为2412R ππ=. 故选：C.【名师指导】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D 是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．BD 【思路点拨】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【解析】当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确； 若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增， 所以11()()f f a b >，即3311()()a b>，所以B 正确； 若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确； 若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ab ++≤<≤= 所以D 正确. 故选：BD【名师指导】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.10．ABD 【思路点拨】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D.【解析】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD【名师指导】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.11．AD 【思路点拨】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【解析】设(,),C x y AB 的垂直平分线为yx =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20xy -+=与直线yx =-的交点为(1,1)M -，22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故选:AD【名师指导】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.12．ABD 【思路点拨】由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等;依题意可证1BFD E ,1D F BE ,故四边形1BFD E 一定是平行四边形;当,E F 为棱中点时,EF ⊥平面1BB D ,平面1BFD E ⊥平面1BB D ;当F 与A 重合,当E 与1C 重合时1BFD E 的面积有最大值. 【解析】解: 对于A ：由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故A 正确;对于B ：因为平面1111ABB A CC D D ,平面1BFD E平面11ABB A BF =,平面1BFD E平面111CC D D D E =,1BFD E ∴.同理可证：1D F BE ,故四边形1BFD E 一定是平行四边形,故B 正确; 对于C ：当,E F 为棱中点时,EF ⊥平面1BB D ,又因为EF ⊂平面1BFD E , 所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 不正确;对于D ：当F 与A 重合,当E 与1C 重合时1BFD E 的面积有最大值,故D 正确. 故选:ABD【名师指导】本题考查正方体的截面的性质, 解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系,考查空间想象力. 13．52【解析】x 2－x 1＝4a －(－2a)＝6a ＝15，解得52a = 14．28π；【解析】由三视图知,圆锥底面的直径为4,所以半径为2,高为23所以母线长为4= ,圆柱的底面直径4,半径为2,高为4.所以该组合体的表面积为224+224228ππππ⨯⨯⨯⨯+⨯= .15．()2,3【思路点拨】先由22sin cos 1A B +=得2B A =，然后利用正弦定理得c b a -2cos 1A =+，再由02π,0π3πB A C A =⎧⎨=-⎩＜＜＜＜，求出角A 的范围，从而可得cb a -的取值范围.【解析】解：在ABC 中，因为22sin cos 1A B +=，所以cos cos 2B A =，所以2B A =． 由正弦定理及题设得()sin sin sin sin sin sin A B c Cb a B A B A +==--- sin cos 2cos sin 2sin 2sin A A A AA A+=-()22sin 2cos 12sin cos 2sin cos sin A A A AA A A-+=-24cos 12cos 12cos 1A A A -==+-， 由02π,0π3πB AC A =⎧⎨=-⎩＜＜＜＜得π03A ＜＜，故1cos 12A ＜＜，所以cb a-的取值范围为()2,3． 故答案为：()2,3【名师指导】本小题考查解三角形等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性，属于基础题． 16．215-121n - 【思路点拨】根据和项与通项关系得1112n n S S +-=，再根据等差数列定义与通项公式求1nS ，即得结果，最后根据条件3322a S S =-直接求3.a 【解析】111111120202n n n n n n n n na S S S S S S S S ++++++=∴+=∴--=所以11112(1)2121n n n n S S S n =+-=-∴=- 332112225315a S S =-=-⨯⨯=-故答案为：215-，121n - 【名师指导】本题考查和项与通项关系、等差数列定义与通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【思路点拨】（1）先利用向量求D 点坐标，再根据两点式求直线AD 的方程； （2）先利用向量求cos ABC ∠，再根据三角形面积公式求结果. 【解析】（1）在平行四边形ABCD 中，AB DC =,设(,)(3,1)(2,2)5,1,(5,1)D x y x y x y D ∴-=----∴=-=---所以直线AD 的方程为41454210151y x y x ---=∴-+=+-+； （2）(3,1),(4,5)||10,||41BA BC BA BC =-=--∴==cos 10||||BABC ABC BA BC ⋅∴∠===⋅sin ABC ∴∠=因此平行四边形ABCD 的面积为122||||sin 192ABCSBA BC ABC =⨯⨯∠==【名师指导】本题考查直线方程、三角形面积公式应用、向量数量积求夹角，考查综合分析求解能力，属基础题.18．【思路点拨】（1）不论选那个，都先列出关于公差的方程，解出结果代入等差数列通项公式即可；（2）利用裂项相消法求和. 【解析】（1）322153=15=5S a a =∴∴选①21a -为11a -与31a +的等比中项，则22213(1)(1)(1)(51)(51)(51)a a a d d -=-+∴-=--++2+28012d d d d ∴-=>∴=；选②等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =， 则23311555()24b a d d -==+=⋅∴=1d >∴舍故只能选①，2(2)52(2)=21n a a n d n n =+-=+-+ （2）111111=()(21)(23)22123n n a a n n n n +=-++++ 所以111111111111()()()()2352572212323233(23)n n T n n n n =-+-++-=-=++++ 【名师指导】本题考查等差数列通项公式、裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.19．【思路点拨】（1）由菱形性质得AC BD ⊥，由等腰三角形中线的性质得PO BD ⊥，再根据面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用B CDM M BCD V V --=进行转化，先证出OM ⊥平面ABCD ，从而确定出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.【解析】（1）证明：设BD 交AC 于点O ，连接PO ，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥， 又PB PD =，O 是BD 的中点，∴PO BD ⊥，AC PO O =，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面ABCD ，故平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）解：连接OM ，M 为PC 的中点，且O为AC 的中点，∴//OM PA ，由（1）知，BD PA ⊥，又PA AC ⊥， 则BD OM ⊥，OM AC ⊥， 又AC BD O =，∴OM ⊥平面ABCD ， 又11122BCDSBD OC =⋅=⨯=132OM PA ==， ∴1133133B CDM M BCD BCDV V SOM --==⋅=⨯⨯=.∴三棱锥B CDM -的体积为1.【名师指导】本题主要考查面面垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法. 证明面面垂直，可根据判断定理进行证明，即先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直，本质上是证明线面垂直；求三棱锥体积时，如果不能直接求解或者直接求解比较麻烦，可以进行转化，比如本题中，三棱锥B CDM -的体积可以转化为以三角形BCD 为底，求M BCD -的体积.20．【解析】（I ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin B =． 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠，又2AB =，4ADB π∠=，22sin B =．∴83AD =．（II ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，，又423ADC S ∆=，∴42ABC S ∆= ∵1·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD ACCAD AB∠=∠，在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠． ∴42AC =∴sin 2?42sin BAD ACCAD AB∠==∠21．（1）3（2）8【思路点拨】（1）根据等差数列求和公式得n 年每台充电桩总维修费用，再列利润，令利润大于零，解得结果；（2）先列年平均利润，再根据基本不等式求最值.【解析】（1）每台充电桩第n 年总利润为16400[1000(1)400]128002n n n n -+-- 216400[1000(1)400]128000286402n n n n n n -+-->∴-+< 14233142332625.4325n .n n N n ∴-<<+∴<<∈∴≤≤所以每台充电桩第3年开始获利 （2）每台充电桩前n 年的年平均利润16400[1000(1)400]128002n n n n n-+-- ][6464=200282002822400n n n n ⎡⎤⎛⎫-+≤-⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 当且仅当64,8n n n==时取等号 所以每台充电桩前8年的年平均利润最大【名师指导】本题考查等差数列实际应用、基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.22．【解析】（1）由（x ﹣4）2+（y ﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．∵圆C 2过O ，A 两点，∴可设圆C 2的圆心C 1（a ，2）．直线C 2O 的方程为：y=x ，即x ﹣2y=0．∵直线C 2O 与圆C 1相切，∴=，解得a=﹣1，∴圆C 2的方程为：（x+1）2+（y ﹣2）2=，化为：x 2+y 2+2x ﹣4y=0． （2）存在，且为P （3，4）．设直线OM 的方程为：y=kx ．代入圆C 2的方程可得：（1+k 2）x 2+（2﹣4k ）x=0．x M =，y M =．代入圆C 1的方程可得：（1+k 2）x 2﹣（8+4k ）x=0．x N=，y N=．设P（x，y），线段MN的中点E．则×k=﹣1，化为：k（4﹣y）+（3﹣x）=0，令4﹣y=3﹣x=0，解得x=3，y=4．∴P（3，4）与k无关系．∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM=PN始终成立．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.。

1．D 【解析】由单位圆的性质可得： 1,2P ⎛⎝⎭，则： sin 2y y r θ===± ． 本题选择D 选项．3．A 【解析】由题意可得： 5,5,6410a b a b ==⋅=+= ，则向量b 在向量a 方向上的投影为10255a b a ⋅== ． 本题选择A 选项．4．D 【解析】由题意可得： ()313444AD AB BD AB AC AB a b =+=+-=+ ． 本题选择D 选项．点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．5．A 【解析】由题意： 0000tan21tan24tan4511tan21tan24+==- ， 则： ()000000tan21tan24tan21tan241tan21tan2411++=-+= ． 本题选择A 选项．6．B 【解析】由题意可得： ()0CB AB AC ⋅+= ,即： ()()0AB AC AB AC -⋅+= ，据此有： AB AC = ，即ABC ∆形状为等腰三角形． 本题选择B 选项．点睛：判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．由5252sin 2838f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,得5sin 112πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．∴52122k k Z ππϕπ+=+∈， ． 取k=0,得12πϕπ=< ．∴2,312πωϕ== ． 本题选择A 选项．8．B 【解析】由题意可得，AB=10000，A=30°，C=45°，△ABC 中由正弦定理可得，AB BCsinC sinA=，110000ABsinABC sinC⨯===B ．点评：中档题，解题的关键是根据已知题意把所求的实际问题转化为数学问题，结合图形分析，恰当选用正弦定理．9．A 【解析】由题意： 1cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则： 227cos 2cos22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．本题选择A 选项．点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可． 10．B 【解析】绘制函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，结合题意可得实数m 取值范围为1,2⎛-- ⎝⎦． 本题选择B 选项．综上：正确的命题的序号是①③④． 本题选择D 选项．12．C 【解析】由224k x k ππωππ≤+≤+ 可得函数的单调递减区间为223,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 令0k = 可得： 3,44x ππωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，结合题意有：42{ 34ππωππω-≤≤，求解不等式组有： 1324ω-≤≤ ，且0ω> ，故： ω的取值范围为 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．本题选择C 选项．13．A 【解析】如下图，过点P 作1l 的垂线为y 轴，以1l 为x 轴，建立平面直角坐标系，【点睛】向量是衔接代数和几何的桥梁，所以用坐标法解决向量问题是，是代数在几何中的何中的体现，对于规矩，等腰，垂直的图形，更多的会采用坐标法．建立合适的坐标将有利于我们解决向量及几何问题． 14．2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】函数有意义，则： 1cos 02x -≥ ，求解三角不等式可得函数的定义域为2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．15【解析】因为单位向量a ,b的夹角为，故222124?414432a ba b a b -=-+=+-⨯=，故2a b -=16．126【解析】由题意可得sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 1cos cos cos cos sin sin 33333326ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ． 17．92【解析】由题意可得：D 为△ABC 的内心，如图所示，取AB 的中点E ，则： AD AB BD =+ ，且DE 为边AB 的中垂线，据此有： 2922AB AD AE ⋅== ．点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．19．【解析】试题分析：(Ⅰ)利用向量平行的充要条件得到关于实数,k λ 的方程组，求解方程组可得12k =-； (Ⅱ)向量垂直，则数量积为0，结合夹角公式求得余弦值，据此可得3πθ=．（Ⅱ）7k =- 7d a b ∴=-又c d ⊥()()270a b a b ∴--=22215?70a a b b ∴-+=又2,1a b ==·1a b ∴=， ·1cos 2a b a b θ∴== 又[]0,θπ∈3πθ∴=20．【解析】试题分析：(Ⅰ)化简函数的解析式为()3f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质可得 ()f x 的增区间为5112,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．(Ⅱ)由函数的解析式结合函数的定义域可得函数的值域为⎡⎤-⎣⎦．试题解析：（Ⅰ）()·3cosf x a bx x ==1233sinx x x ππ⎫=-⎪⎪⎭⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）322,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈∴ ()f x 的增区间为5112,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）0x π≤≤2333x πππ∴-≤-≤sin 123x π⎛⎫∴-≤-≤ ⎪⎝⎭ ()3f x ∴-≤≤()f x ∴的值域为⎡⎤-⎣⎦点睛：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．21．【解析】试题分析：(Ⅰ)利用几何关系可得y 与θ之间的函数关系是2cos 2(0)2y πθθ=+<<．(Ⅱ)利用二倍角公式化简三角函数的解析式可得3πθ=时， max 5y =．22．【解析】试题分析：(1)利用题意求得1cos ,23B B π=∴=；(2)利用正弦定理结合余弦定理可得32ABC S ∆+=试题解析：解法一：（1）在ABC 中， 2cos cos cos b B a C c A ⋅=⋅+⋅，2222222cos 22a b c b c a b B a c b ab bc +-+-∴⋅=⋅+⋅=，1cos ,23B B π∴=∴=，（2）在ACD 中，由余弦定理可得2222214cos 22AC CD ADC AC CD +-+-===⋅⋅， 4C π∴=, 512A B C ππ∴=--=，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC ABB C =， sin sin34AB ππ∴=， 2AB ∴=．11sin 222ABCSAB AC A ∴=⋅⋅⋅=⋅= 23．【解析】试题分析：(Ⅰ)利用题意结合平移变换的性质可得()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(Ⅱ)不等式恒成立等价于()212m g x ≥-+,结合对勾函数的性质可得35m ≥．(Ⅲ)求得两个零点之间的距离，结合函数的特征可得b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=． 试题解析：（Ⅰ）()()2sin 2f x x =， ()2sin 212sin 2163g x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （Ⅱ）()()2mg x m g x +≥()()()2m g x g x +≥()20g x +≠()()()()()2221222g x g x m g x g x g x +-∴≥==-+++令()g x t =， ()212u t t =-+ ()13g x -≤≤，即13t -≤≤，()u t ∴在[－1，3]为增函数， ()max 233155u ∴=-= 故35m ≥点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ．(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．。

福州一中2016-2017学年第二学期第四学段模块考试高一数学（必修4）模块试卷（完卷100分钟，满分100分）（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）班级座号姓名一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）（1）设︒=36sin a ，)52cos(︒-=b ，︒=218tan c ，则（ ） （A ）a ＜b ＜c（B ）a ＜c ＜b（C ）b ＜c ＜a（D ）b ＜a ＜c（2）△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A a sin =B b cos =Cccos ，则△ABC 是（）（A ）等边三角形（B ）有一个角是30°的直角三角形 （C ）等腰直角三角形（D ）有一个角是30°的等腰三角形（3）已知向量a ，b 不共线，且c =b a +λ，d =b a )12(-λ+，若c 与d 方向相反，则实数λ的值为（ ）（A ）1 （B ）-21 （C ）1或-21 （D ）-1或-21 （4）已知θtan =2，则θ4sin +θθ22cos sin -θ4cos =（ ）（A ）-2511（B ）57 （C ）257（D ）2519 （5）函数)(x f =x x 2cos )2cos 121-（，∈x R 是（ ） （A ）最小正周期为π的偶函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 （C ）最小正周期为π的奇函数 （D ）最小正周期为2π的奇函数（6）下列说法正确的是（ ） （A ）若⋅=⋅且≠且= （B ）若θsin =53+-m m ，θcos =524+-m m，且θ∈[2π，π]，则m =0或m =8 （C ）△ABC 中，若BC AB ⋅＜0，则△ABC 为钝角三角形（D ）△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠A=60°，a=34，b=24，则∠B=45° （7）已知αtan ，βtan 是方程4332++x =0的两根，α，β∈（0，π），则α+β=（ ） （A ）3π（B ）32π （C ）34π （D ）3π或34π（8）如图，在某地A 第北偏西25°方向上有一条笔直的公路L ，某天，A 地收到在它北偏东35°方向，距离24km 的观测站C 的报告：与C 相距31km 的公路L 上的B 处有一个人正以每小时5km 的速度向A 地进发。

2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若扇形的半径为6cm，所对的弧长为2πcm，则这个扇形的面积是（）A．12πcm2B．6 cm2C．6πcm2D．4 cm22．（5分）在△ABC中，若，∠B＝90°则m＝（）A．﹣B．C．﹣D．3．（5分）若，则tanα的值是（）A．B．C．1D．以上答案都不对4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin A＝sin C，b2﹣a2＝ac，则∠A＝（）A．B．C．D．5．（5分）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．6．（5分）以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（）A．若任意向量共线且为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得B．对于任意非零向量，若，则C．任意非零向量满足，则同向D．若A，B，C三点满足，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近7．（5分）在△ABC中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是（）A．a＝3，b＝6，A＝30°B．a＝6，b＝5，A＝150°C．D．8．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．﹣9．（5分）已知△ABC满足，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（）A．﹣B．C．﹣2D．10．（5分）若函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，且在y轴上的截距为，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣D．11．（5分）下列对于函数f（x）＝2+2cos2x，x∈（0，3π）的判断不正确的是（）A．对于任意x∈（0，3π），都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值为B．存在a∈R，使得函数f（x+a）为偶函数C．存在x0∈（0，3π），使得f（x0）＝4D．函数f（x）在区间内单调递增12．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足，，动点M，N满足、＝，则的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知角α的终边过点，则cosα的值为．14．（5分）平面上点O为坐标原点，A（0，2），B（1，0），C是平面上任意一点且满足，则C点坐标是．15．（5分）若，则sin2θ＝．16．（5分）在下列五个命题中：①已知大小分别为1N与2N的两个力，要使合力大小恰为，则它们的夹角为；②已知，，则sinα＜cosβ；③若A，B，C是斜△ABC的三个内角，则恒有tan A+tan B+tan C＝tan A tan B tan C成立；④；⑤已知，则x的大小为；其中错误的命题有．（写出所有错误命题的序号）三、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤（17小题10分，18-22小题各12分，共70分）．17．（10分）已知，且∥，设函数y＝f（x）（Ⅰ）求函数y＝f（x）的对称轴方程及单调递减区间；（Ⅱ）若，求函数y＝f（x）的最大值和最小值并写出函数取最值时x的值．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足＝，＝2，记，，试以为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题；（Ⅰ）用来表示向量；（Ⅱ）若|AB|＝3，|AD|＝2，且|BF|＝，求||．19．（12分）平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①y＝A sin（ωt+ϕ），②y＝A cos（ωt+φ）+b，③y＝﹣A sinωt+b（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＝60°，c＝4．（Ⅰ）若b＝6，求角C的余弦值；（Ⅱ）若点D，E在线段BC上，且BD＝DE＝EC，，求AD的长．21．（12分）设向量，函数．（Ⅰ）若ω是函数y＝g（x）在上的零点，求sinω的值；（Ⅱ）设，，求sin（α+β）的值．22．（12分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝a sin x+b cos x，称向量为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量的伴随函数．（Ⅰ）设函数，试求g（x）的伴随向量；（Ⅱ）记向量的伴随函数为f（x），求当且时sin x的值；（Ⅲ）由（Ⅰ）中函数g（x）的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到h（x）的图象．已知A（﹣2，3）B（2，6），问在y ＝h（x）的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若扇形的半径为6cm，所对的弧长为2πcm，则这个扇形的面积是（）A．12πcm2B．6 cm2C．6πcm2D．4 cm2【解答】解：∵扇形的弧长l为l＝2πcm，半径r为r6cm，∴扇形的面积为S＝lr＝＝6πcm2．故选：C．2．（5分）在△ABC中，若，∠B＝90°则m＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：由已知得到＝3﹣2m＝0，所以m＝；故选：D．3．（5分）若，则tanα的值是（）A．B．C．1D．以上答案都不对【解答】解：∵，可得：＝2+，∴解得：tanα＝＝．故选：A．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin A＝sin C，b2﹣a2＝ac，则∠A＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∵b2﹣a2＝ac，∴b2＝a2+c2，∴∠A＝．故选：B．5．（5分）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°＝cos43°cos77°+sin43°cos（90°+77°）＝cos43°cos77°﹣sin43°sin77°＝cos（43°+77°）＝cos120°＝﹣cos60°＝﹣．故选：D．6．（5分）以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（）A．若任意向量共线且为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得B．对于任意非零向量，若，则C．任意非零向量满足，则同向D．若A，B，C三点满足，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近【解答】解：对于A，共线且为非零向量，若＝时，则不存在实数λ，使成立，∴A错误；对于B，对于任意非零向量，若，则﹣＝0，即，∴B正确；对于C，任意非零向量满足，则它们夹角的余弦值cosθ＝±1，∴同向或反向，C错误；对于D，如图所示，，∴+＝+，∴（﹣）＝（﹣），∴2＝，∴点A是线段BC的三等分点且离B点较近，∴D错误．故选：B．7．（5分）在△ABC中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是（）A．a＝3，b＝6，A＝30°B．a＝6，b＝5，A＝150°C．D．【解答】解：对于A，由正弦定理可得：sin B＝＝＝1，可得B为90°，C ＝60°，只有一解；对于B，由正弦定理可得：sin B＝＝＝，b＜a，可得B锐角，三角形只有一解；对于C，由正弦定理可得：sin B＝＝＝2，可得这样的三角形无解；对于D，由正弦定理可得：sin B＝＝，由b＞a，可得B∈（30°，150°），有2解；故选：D．8．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．﹣【解答】解：∵已知＝cos[﹣（﹣）]＝cos（+），则＝cos2（+）＝2﹣1＝2•﹣1＝，故选：C．9．（5分）已知△ABC满足，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（）A．﹣B．C．﹣2D．【解答】解：，可得•＝4×2×cos＝8×（﹣）＝﹣4，由点D、E分别是边AB，BC的中点，可得＝，由DE＝2EF，可得＝＝，则＝（+）•（﹣）＝（+）•（﹣）＝﹣2+2+•＝﹣×16+×4﹣×4＝﹣4+3﹣＝﹣．故选：A．10．（5分）若函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，且在y轴上的截距为，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣D．【解答】解：根据函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象，可得＝＝3﹣1，∴ω＝．再根据五点法作图可得•1+φ＝，∴φ＝，函数的解析式为y＝A sin（x+）．由于该函数在，∴A sin＝，∴A＝2，故函数的解析式为y＝2sin （x+）．∴M（1，2）、N（5，﹣2），∴＝5﹣4＝1．设方向上的投影为a，∵＝1＝a•||＝a，∴a＝，故选：B．11．（5分）下列对于函数f（x）＝2+2cos2x，x∈（0，3π）的判断不正确的是（）A．对于任意x∈（0，3π），都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值为B．存在a∈R，使得函数f（x+a）为偶函数C．存在x0∈（0，3π），使得f（x0）＝4D．函数f（x）在区间内单调递增【解答】解：f（x）＝2+2cos2x＝2+cos2x+1＝3+cos2x，对于A，函数f（x）的周期为，对于任意x∈（0，3π），都有f（x1）≤f（x）≤f （x2），可知f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，故A正确；对于B，不妨取a＝π，则函数f（x+a）＝3+cos（2x+2π）＝3+cos2x为偶函数，故B正确；对于C，x＝π∈（0，3π），cos2x＝1，f（x）＝4，故存在x0∈（0，3π），使得f（x0）＝4，故C正确；对于D，当x∈时，2x∈，此时函数不具备单调性，故D不正确．∴对于函数f（x）＝2+2cos2x，x∈（0，3π）的判断不正确的是：D．故选：D．12．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足，，动点M，N满足、＝，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：平面内定点A，B，C，D满足，，可设：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣），∵动点M，N满足||＝2，＝，可设N（2+2cosθ，2sinθ），由＝得M（+cosθ，﹣+sinθ），∴＝（cosθ﹣，sinθ﹣），∴＝+＝cos2θ﹣3cosθ++sin2θ﹣sinθ+＝4﹣3cosθ﹣sinθ＝4﹣2sin（θ+）≥4﹣2，当且仅当sin（θ+）＝1时取等号，∴的最小值是4﹣2．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知角α的终边过点，则cosα的值为﹣．【解答】解：∵角α的终边过点，∴x＝tan＝﹣1，y＝2，r＝|OP|＝，∴cosα＝＝＝﹣，故答案为：．14．（5分）平面上点O为坐标原点，A（0，2），B（1，0），C是平面上任意一点且满足，则C点坐标是（1，2）．【解答】解：由平面上点O为坐标原点，A（0，2），B（1，0），C是平面上任意一点，得＝（0，﹣2）+2（1，0）+（﹣1，2）＝（1，0），设C（x，y），A（0，2），则＝（x，y﹣2）＝（1，0），∴x＝1，y＝2．则C点坐标是：（1，2）．故答案为：（1，2）．15．（5分）若，则sin2θ＝﹣．【解答】解：若＝，则tanθ＝﹣4，∴sin2θ＝＝＝＝﹣，故答案为：．16．（5分）在下列五个命题中：①已知大小分别为1N与2N的两个力，要使合力大小恰为，则它们的夹角为；②已知，，则sinα＜cosβ；③若A，B，C是斜△ABC的三个内角，则恒有tan A+tan B+tan C＝tan A tan B tan C成立；④；⑤已知，则x的大小为；其中错误的命题有①②④⑤．（写出所有错误命题的序号）【解答】解：对于①，||＝1，||＝2，|+|＝，∴||+2||×||cosθ+||＝1+2×1×2×cosθ+4＝6cosθ＝，∴它们的夹角θ≠，①错误；对于②，，，且sin＝cos（﹣）＝cos，cos（﹣）＝cos0＜＜＜π，∴cos＞cos，∴sinα＞cosβ，②错误；对于③，斜△ABC中，A+B＝π﹣C，∴tan（A+B）＝tan（π﹣C），∴＝﹣tan C，∴tan A+tan B+tan C＝tan A tan B tan C，③正确；对于④，sin50°（1+tan10°）＝sin50°•＝＝＝＝1，∴④错误；对于⑤，（cos x+1）＝sin x，∴sin x﹣cos x＝，∴sin（x﹣）＝，又x∈（0，），∴x﹣∈（﹣，），∴x﹣＝或x﹣＝，解得x＝或x＝π，⑤错误．综上，错误的命题是①②④⑤．故答案为：①②④⑤．三、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤（17小题10分，18-22小题各12分，共70分）．17．（10分）已知，且∥，设函数y＝f（x）（Ⅰ）求函数y＝f（x）的对称轴方程及单调递减区间；（Ⅱ）若，求函数y＝f（x）的最大值和最小值并写出函数取最值时x的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，，且∥，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由，得x＝．由，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴，函数在[kπ+，kπ+]，（k∈z）递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）∵∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足＝，＝2，记，，试以为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题；（Ⅰ）用来表示向量；（Ⅱ）若|AB|＝3，|AD|＝2，且|BF|＝，求||．【解答】解：（Ⅰ）∵在平行四边形ABCD中，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵|AB|＝3，|AD|＝2，且∴∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴＝﹣+＝＝9﹣6×+1＝7∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①y＝A sin（ωt+ϕ），②y＝A cos（ωt+φ）+b，③y＝﹣A sinωt+b（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．【解答】（满分12分）解：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：依题意，选②y＝A cos（ωt+ϕ）+b做为函数模型，∴，∵∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）又∵函数y＝0.9cos（φ）+1.5的图象过点（3，2.4），∴2.4＝0.9×cos（+φ）+1.5，∴cos（+φ）＝1，∴sinφ＝﹣1，又∵﹣π＜φ＜0，∴φ＝﹣，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：令y≥1.05，即∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴，∴12k﹣1≤t≤12k+7又∵5≤t≤18∵5≤t≤7或11≤t≤18﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＝60°，c＝4．（Ⅰ）若b＝6，求角C的余弦值；（Ⅱ）若点D，E在线段BC上，且BD＝DE＝EC，，求AD的长．【解答】（满分12分）解：（Ⅰ）∵由正弦定理得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵B＝60°，c＝4，b＝6，∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵b＞c∴∠B＞∠C∴∠C为锐角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）∵BD＝DE＝EC，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）在，∵B＝60°，∴，∴∠BAE＝30°或150°（不合题意，舍去）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）设向量，函数．（Ⅰ）若ω是函数y＝g（x）在上的零点，求sinω的值；（Ⅱ）设，，求sin（α+β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数，∴g（x）＝•＝4cos x•sin（x+）+1×（﹣1）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝2sin（2x+）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由得：∴又∵∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）∵，∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝a sin x+b cos x，称向量为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量的伴随函数．（Ⅰ）设函数，试求g（x）的伴随向量；（Ⅱ）记向量的伴随函数为f（x），求当且时sin x的值；（Ⅲ）由（Ⅰ）中函数g（x）的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到h（x）的图象．已知A（﹣2，3）B（2，6），问在y ＝h（x）的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴∴g（x）的伴随向量（Ⅱ）∵的伴随函数为f（x），且，∴又∵且sin2x+cos2x＝1，∴（Ⅲ）由（Ⅰ）知：（用余弦表示也可以）将函数g（x）的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数再把整个图象向右平移个单位长得到h（x）的图象，得到设，∵A（﹣2，3）B（2，6），∴又∵，∴，∴（x+2）（x﹣2）+（2cos x﹣3）（2cos x﹣6）＝0，，∴（*）∵，∴∴又∵，∴当且仅当x＝0时，和同时等于，这时（*）式成立，∴．第21页（共21页）。

___2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含答案福州一中2016-2017学年第二学期第四学段模块考试高一数学（必修4）模块试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.设a=sin36°，b=cos(-52°)，c=tan218°，则（）A) a<b<cB) a<c<bC) b<c<aD) b<a<c2.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a/b=b/c，则△ABC是（）A) 等边三角形B) 有一个角是30°的直角三角形C) 等腰直角三角形D) 有一个角是30°的等腰三角形3.已知向量a，b不共线，且c=λa+μb，d=a+(2λ-1)b，若c 与d方向相反，则μ的值为（）A) 1/2B) -1/4C) 1/4或-1/4D) -1/24.已知tanθ=2，则sin(θ+sin^-1(7/25))-cosθ=（）A) -11/25B) 2/5C) 7/25D) 19/255.函数f(x)=(1-cos2x)cos^2(x/2)，x∈R是（）A) 最小正周期为π的偶函数B) 最小正周期为π的偶函数C) 最小正周期为π的奇函数D) 最小正周期为π的奇函数6.下列说法正确的是（）A) 若a·b=c且a≠0，则b=c/aB) 若sinθ=1/3，cosθ=4/5，且θ∈[π/2,π]，则tanθ=-3/4C) △ABC中，若AB>AC，则∠A>∠BD) 若f(x)是偶函数，则f(-x)也是偶函数7.已知tanα=tanβ/3，b=42，则∠B=45°是方程x^2+2πx+33+4=0的两根，α，β∈(π/3,π)，则α+β=（）A) π/3或4π/3B) 2π/3或5π/3C) π或2π/3D) π/3或4π/38.如图，在某地A第北偏西25°方向上有一条笔直的公路L，某天，A地收到在它___方向，距离24km的观测站C的报告：与C相距31km的公路L上的B处有一个人正以每小时5km的速度向A地进发。

福州一中2016-2017学年第二学期第四学段模块考试高一数学（必修4）模块试卷（完卷100分钟，满分100分）（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）班级座号姓名一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）（1）设︒=36sin a ，)52cos(︒-=b ，︒=218tan c ，则（ ） （A ）a ＜b ＜c（B ）a ＜c ＜b（C ）b ＜c ＜a（D ）b ＜a ＜c（2）△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A a sin =B b cos =Cccos ，则△ABC 是（）（A ）等边三角形（B ）有一个角是30°的直角三角形 （C ）等腰直角三角形（D ）有一个角是30°的等腰三角形（3）已知向量a ，b 不共线，且c =b a +λ，d =b a )12(-λ+，若c 与d 方向相反，则实数λ的值为（ ）（A ）1（B ）-21 （C ）1或-21 （D ）-1或-21 （4）已知θtan =2，则θ4sin +θθ22cos sin -θ4cos =（ ）（A ）-2511（B ）57 （C ）257（D ）2519 （5）函数)(x f =x x 2cos )2cos 121-（，∈x R 是（ ）（A ）最小正周期为π的偶函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 （C ）最小正周期为π的奇函数 （D ）最小正周期为2π的奇函数（6）下列说法正确的是（ ） （A ）若b a ⋅=c a ⋅且0≠a 且b =c （B ）若θsin =53+-m m ，θcos =524+-m m，且θ∈[2π，π]，则m =0或m =8 （C ）△ABC 中，若BC AB ⋅＜0，则△ABC 为钝角三角形（D ）△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠A=60°，a=34，b=24，则∠B=45° （7）已知αtan ，βtan 是方程4332++x =0的两根，α，β∈（0，π），则α+β=（ ） （A ）3π（B ）32π （C ）34π （D ）3π或34π（8）如图，在某地A 第北偏西25°方向上有一条笔直的公路L ，某天，A 地收到在它北偏东35°方向，距离24km 的观测站C 的报告：与C 相距31km 的公路L 上的B 处有一个人正以每小时5km 的速度向A 地进发。

2016—2017学年第二学期期末考试高一数学考试时间：120分钟 试卷满分：150分2017.7.12Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1. 化简cos 15°cos 45°－co s 75°sin 45°的值为A.12B.32C ．－12D ．－322.设a n =211111123n n n n n++++++++（n ∈N *），则a 3=A .13 B.11113456+++ C.19D.111349+++3.若AD 是△ABC 的中线，已知=，，则等于A .1()2a b - B.1()2a b + C.1()2a b -+ D. 1()2a b -+ 4. 若递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A.2B.12C.2或12D.无法确定5.若将函数f （x ）=2sinxcosx -2sin 2x +1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最大负值是A .－8πB.－58πC.－38πD.－34π 6.已知12(2,1),(1,3),(1,2),e e a ===-若1122a e e λλ=+，则实数对（λ1，λ2）为 A.（1，1） B.（-1，1） C.（-1，-1） D.无数对7.在△ABC 中，2cos ab C=，则这个三角形一定是 A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角D.等腰或直角三角形8.已知α为锐角，且3cos(),cos245παα+==A.2425B.725C. －2425D.±24259. 已知x =12π是函数f （x ）（2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f （x ）的图象向右平移34π个单位后得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）在[－4π，6π]上的最小值为 A.－2B.－1C.D.10.平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知（(2)()0DB DC AD AB AC ++⋅-=，则△ABC的形状是 A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.无法确定二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）11.已知tan （α+β）=3，tan （α-β）=2，则tan 2α的值为 ______ ． 12. 如图，一栋建筑物的高为(30－，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.13.已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a =，CA b =，给出下列命题：①12AD a b =-； ②12BE a b =+； ③1122CF a b =-+，④0AD BE CF ++=＝0. 其中正确命题的序号为________． 14.数列{a n }中，11,213nn na a a a +==+，则 a 10= ______ ．三、解答题：（本大题3个小题，共30分）15.（本小题10分）已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3．求： （Ⅰ）•； （Ⅱ）|+2|．16. （本小题10分）已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5 = －5．（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求a 1+a 4+a 7+…+a 3n +1．17. （本小题10分）在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且BD=2，sin． （Ⅰ）求sin ∠BAD 的值；（Ⅱ）求AC 的长．Ⅱ卷一、选择题：（本大题2个小题，每小题5分，共10分）18. 将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 01119. 已知向量满足，若M 为AB 的中点，并且，则λ+μ的最大值是A.1B. 1+D. 1+ 二、填空题：（本大题5分）20.给出四个命题：①若sin 2A=sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A=cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；④若cos （A-B ）cos （B-C ）cos （C-A ）=1，则△ABC 为正三角形，以上正确命题序号的是_____________________． 三、解答题：（本大题3 个小题，共35分）21. （本小题11分）已知等差数列{a n }中公差d ≠0，有a 1+a 4=14，且a 1，a 2，a 7成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式a n 与前n 项和公式S n ； （Ⅱ）令b n =nS n k + (k<0)，若{b n }是等差数列，求数列{11n n b b +}的前n 项和T n ．22. （本小题12分）已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足asin A-csin C=b(sinA－sin B ）．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若边长c=4，求△ABC 的周长最大值．23. （本小题12分）已知=（sinx ，cosx ），=（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数f （x ）=•且f （3π－x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cos x 在x ∈[0，4π]上恒成立，求实数a 的取值范围．高一数学 必修4 试卷参考答案及评分标准Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. A2. D3. A4. A5. A6. B7.A8. A9. B 10. C 二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）11.－1 12. 60 13.②③④ 14.三、解答题：（本大题3个小题，共30分）15. （本小题10分）【解析】：（Ⅰ）•=…………2分； ……5分（Ⅱ）|+|2==13，…………9分所以，|+|=．…………10分16. （本小题10分）【解析】：（Ⅰ）由等差数列的性质，可得，………………………2分解得a1=1，d=-1，……4分则{a n}的通项公式a n=1-（n-1）=2-n；…………………………5分（Ⅱ）∵{a n}为等差数列，∴a1+a4+a7+…+a3n+1以1为首项，以-3为公差的等差数列，…………8分∴a1+a4+a7+…+a3n+1=n+1+=…………10分17.（本小题10分）【解析】：（1）在△ABD中，BD=2，sin B=，AD=3，∴由正弦定理=，得sin∠BAD═==；……4分（2）∵sin B=，∴cos B=，…………5分∵sin∠BAD=，∴cos∠BAD=，………………6分∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=×-×=－，………………7分∵D为BC中点，∴DC=BD=2，∴在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2-2AD•DC cos∠ADC=9+4+3=16，…9分∴AC=4．…………10分Ⅱ卷一、选择题：（本大题2个小题，每小题5分，共10分）18.D 19. B二、填空题：（本大题5分）20.③④三、解答题：（本大题3 个小题，共35分）21.（本小题11分）【解析】：（Ⅰ）∵a1+a4=14，∴2a1+3d=14，①………………1分∵a1，a2，a7成等比数列，∴，即，②……………………2分由①②得d2=4a1d，∵d≠0，∴d=4a1，代入①解得d=4、a1=1，………………3分∴a n=a1+（n-1）d=4n-3，……………………4分S n==2n2-n；………………5分（Ⅱ）由（1）知，∵{b n}是为等差数列，∴2b2=b1+b3，即=，解得，或k=0，由条件知，，即b n=2n，………………7分则…………………………8分∴=……………………………………10分所以，T n=……………………………………………………11分22.（本小题10分）【解析】：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理，asin A-csin C=（a-b）sin B 得，a2-c2= b（a-b），即a2+b2-c2=ab．………………2分由余弦定理得cos C==．又C∈（0，π）．所以C=．……………………5分（Ⅱ）∵C=，，A+B=，………………6分∴，可得：a=sin A，b=sin B=sin（－A），………………8分∴a+b+c=+sin A+sin（－A）=+sin A+（cos A+sin A）=8sin（A+）+4……………………10分∵由0＜A＜可知，＜A+＜，可得：＜sin（A+）≤1．……11分∴△ABC的周长a+b+c的最大值为12．……………………12分23.（本小题12分）【解析】：（Ⅰ）∵f（x）=•=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），…2分再由f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，∴+φ=+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=…………4分∴f（x）=sin（x+），由2kπ-≤ x+≤2kπ+可得2kπ-≤x≤ 2kπ+，∴函数的递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z； (6)分（Ⅱ）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立．也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，]上恒成立. …………8分令h（x）=sinx-cosx=sin（x-），x∈[0，]；φ（x）= ax-1 ………………10分如下图：h（x）的图象在φ（x）图象的下方，则：a ≥k AB==，故a ≥.………………12分。