(参考资料)数值分析课后答案1

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

习题一（P.14）1. 下列各近似值均有4个有效数字,300.2,521.13,001428.0***===z y x ,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解*20.001428=0.142810x -=⨯有4个有效数，即4n =，2m =-由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为611101022m n --⨯=⨯， 由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *213.521=0.1352110y =⨯有4个有效数，即4n =，2m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为211101022m n --⨯=⨯， 由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *12.300=0.230010z =⨯有4个有效数，即4n =，1m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为311101022m n --⨯=⨯， 由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101024n a ---⨯=⨯.2．下列各近似值的绝对误差限都是31021-⨯,试指出它们各有几位有效数字.***2.00021,0.032,0.00052x y z ===解*12.000210.20002110x ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯， 即3m n -=-，所以，2n =；*10.0320.3210y ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯， 即3m n -=-，所以，4n =；*30.000520.5210z -==⨯，即3m =-由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯， 即3m n -=-，所以，0n =.4.设有近似数35.2,84.1,41.2***===z y x 且都有3位有效数字，试计算***z y x S +=，问S 有几位有效数字.解 方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，|(**)||*(*)*(*)|*|(*)|*|(*)|e y z z e y y e z z e y y e z ≈+≤+222112.3510 1.8410 2.0951022---≤⨯⨯+⨯⨯=⨯，221|(***)||(*)(**)|10 2.095102e x y z e x e y z --+≈+≤⨯+⨯1110.259510102--=⨯≤⨯， 又1***=2.41 1.84 2.350.673410x y z ++⨯=⨯，此时1m =，1m n -=-，从而得2n =.方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.41r e x e x x -⨯≤， 211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 1.84r e y e y y -⨯≤，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.35r e z e z z -⨯≤|(**)||(*)(*)|r r r e y z e y e z ≈+，***|(***)||(*)(**)|******r r rx y z e x y z e x e y z x y z x y z +≈+++2.41 1.84 2.35|(*)||(*)+(*)|2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35r rr e x e y e z ⨯≤++⨯+⨯22211110 1.8410 2.35102222.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35---⨯⨯⨯⨯⨯≤+++⨯+⨯+⨯20.385410-<⨯21102-<⨯，由有效数字与绝对误差的关系得2n =.5.序列{}n y 有递推公式),2,1(,1101 =-=-n y y n n若41.120≈=y （三位有效数字），问计算10y 的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解 用0ε表示0y 的误差，由41.120≈=y ，得0=0.0042ε，由递推公式),2,1(,1101 =-=-n y y n n ，知计算10y 的误差为810=0.4210ε⨯，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明()1nkk lx ==∑，对所有的x其中()k l x 为Lagrange 插值奇函数. 证明 令()1f x =，则()1i f x =， 从而 0()()()()nnn k k k k k L x l x f x l x ====∑∑，又(1)1()()()0(1)!n n n f R x x n ξω++==+，可得 ()()1n l x f x ==，从而()1nkk lx ==∑.4. 求出在=012x ，，和3处函数2()1f x x =+的插值多项式. 解 方法一 因为给出的节点个数为4，而2()1f x x =+从而余项(4)34()()()04!f R x x ξω==，于是233()()()()=+1L x f x R x f x x =-=（n 次插值多项式对次数小于或等于的多项式精确成立）.方法二 因为(0)1(1)2(2)5(3)10f f f f ====，，，， 而0(1)(2)(3)1()=-(1)(2)(3)(01)(02)(03)6x x x l x x x x ---=------，1(2)(3)1()=(2)(3)(10)(12)(13)2x x x l x x x x --=-----，2(1)(3)1()=-(1)(3)(20)(21)(23)2x x x l x x x x --=-----，3(1)(2)1()=(1)(2)(30)(31)(32)6x x x l x x x x --=-----，从而30123()()(0)()(1)()(2)()(3)L x l x f l x f l x f l x f =+++2=+1x .5. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-.证明 因()()0f a f b ==，则1()0L x =， 从而1()()()()()2!f f x R x x a x b ξ''==--，由极值知识得 21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-6. 证明 (()())()()()(+)f x g x f x g x f x g x h ∆=⋅∆+∆⋅. 证明 由差分的定义(()())(+)()()()f xg x f xh g x h f x g x ∆=+-[(+)()()(+)][()()()()]f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x =+-++-()()()(+)f x g x f x g x h =⋅∆+∆⋅或着 (()())(+)()()()f x g x f x h g x h f x g x ∆=+-[(+)()()()][()()()()]f x hg xh f x h g x f x h g x f x g x =+-+++- ()()()()f x h g x f x g x =+⋅∆+∆⋅7. 证明 n 阶差商有下列性质(a ) 如果()()F x cf x =，则0101[,,,][,,,]n n F x x x cf x x x =. (b ) 如果()()()F x f x g x =+，则010101[,,,][,,,][,,,]n n n F x x x f x x x g x x x =+.证明 由差商的定义 (a ) 如果()()F x cf x =，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n cf x x x cf x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n f x x x f x x x c x x -=⋅-01[,,,]n cf x x x =.(b ) 如果()()()F x f x g x =+，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-12120110110[[,,,][,,,]]-[[,,,][,,,]]n n n n n f x x x g x x x f x x x g x x x x x --++=-12011120110,,,]-[,,,][,,,][,,,]+n n n n n n f x x x f x x x g x x x g x x x x x x x ---=--[ 0101[,,,][,,,]n n f x x x g x x x =+8. 设74()3431f x x x x =+++，求0172,2,,2]f [，0182,2,,2]f [.解 由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商0172,2,,2]=3f [(()f x 的最高次方项的系数)，8阶差商0182,2,,2]=0f [(8阶以上的差商均等与0).9. 求一个次数不超过4次的多项式()P x ，使它满足：(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =.解 方法一 先求满足插值条件(0)0P =，(1)=1P ，(2)1P =的二次插值多项式2()P x 213=22x -+(L-插值基函数或待定系数法)， 设()P x 22=()(1)(2)(1)(2)P x Ax x x Bx x x +--+--213=22x x -+2+(1)(2)(1)(2)Ax x x Bx x x --+-- 从而()P x '323=4B +(39)(641)(2)2x A B x A B x A -+-+-++，再由插值条件(0)0P '=，(1)1P '=，得3=,4A -1=,4B所以 ()P x 213=22x x -+231(1)(2)(1)(2)44x x x x x x ---+--， 即 ()P x 41=4x 332x -29+4x .方法二 设()P x 23401234=a a x a x a x a x ++++， 则 ()P x '231234=234a a x a x a x +++由插值条件(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =，得010********0123400++++1+2+3+41+2+4+8+161a a a a a a a a a a a a a a a a =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩ 解得 234931=,=-,=424a a a ， 从而()P x 41=4x 332x -29+4x . 方法三 利用埃尔米特插值基函数方法构造. 10. 下述函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数吗？3232321,12()=92217,23x x x x S x x x x x ⎧-++≤≤⎨-+-+≤≤⎩ 解 因为22362,12()=31822,23x x x S x x x x ⎧-+≤≤'⎨-+-≤≤⎩， 66,12()=618,23x x S x x x -≤≤⎧''⎨-+≤≤⎩而12(2)=1=(2)S S ，12(2)=2=(2)S S ''，12(2)=6=(2)S S ''''， 又()S x 是三次函数，所以函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数.补 设f (x )=x 4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解 因为 (4)34()()()(+1)(1)(2)4!f R x x x x x x ξω==--，从而3233()()()22L x f x R x x x x =-=+-习题3 ( P.159)1．设n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组且)(x k ϕ为首项系数为1的k 次的多项式，则n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.解 方法一 因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，采用反证法：若{}n ϕϕϕ,,,10 于],[b a 线性相关，于是，存在不全为零,,,,10n c c c 使0011()()()0,[,]n n c x c x c x x a b ϕϕϕ+++=∈上式两边与i ϕ作内积得到0011(,)(,)(,)0(0,1,,)i i n i n c c c i n ϕϕϕϕϕϕ+++==，由于{}i c 不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解),,,,(10n c c c 故系数矩阵的行列式为零，即{}0,,,10=n G ϕϕϕ 与假设矛盾.方法二 因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，由( P.95)定理2得n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.2．选择α，使下述积分取得最小值1221()[],a x x dx α--⎰120()()x b e x dx α-⎰解1221()[]a x x dx αα-∂-∂⎰1221=[]x x dx αα-∂-∂⎰1221=2[]()x x x dx α--⋅-⎰5112=5x α-4=5α，令1221[]=0x x dx αα-∂-∂⎰，得=0α. 12()()x b e x dx αα∂-∂⎰120=()xe x dx αα∂-∂⎰1=2()()x e x x dx α-⋅-⎰2=23α- 令120()=0x e x dx αα∂-∂⎰，得=3α.3．设],3,1[,1)(∈=x xx f 试用},1{1x H 求)(x f 一次最佳平方逼近多项式.解 取权函数为()x x ω=(为了计算简便)，则32311(1,1)42x xdx ===⎰,33321126(1,)(,1)33x x x x dx ====⎰, 343311(,)204x x x x dx ===⎰,33111((),1)2f x xdx x x=⋅==⎰，3232111((),)42x f x x x dx x =⋅==⎰， 得法方程0126423264203a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，解得011211311a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以)(x f 的一次最佳平方逼近多项式1123()1111P x x =-. 8．什么常数C 能使得以下表达式最小？ ∑=-ni x i iCe x f 12))((解21(())i n x i i f x Ce C =∂-∂∑1=2(())()i i nx x i i f x Ce e =-⋅-∑， 令21(())=0i nx i i f x Ce C =∂-∂∑，得121()(),iinx x ii nx xx i f x ef x e C e e e=-=⋅==∑∑（）（，）. 14．用最小二乘法求解矛盾方程组2+314921x y x y x y =⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩. 解 方法一方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，原问题转化成在已知三组离散数据3142211()922t f t ----下求一次最小二乘逼近函数1()P x x yt =+(x 与y 为一次函数的系数，t 为自变量)，取1H 基{}1,t ,求解法方程331133321113()()i i i i i i i i i i i x t f x t t t f x y =====⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑, 即3-3-93737-32x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得到矛盾方程组的解为37=-3156=31x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 方法二方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，令(,)I x y 2223111=+-+4+9++2222x y x y x y --（）（）（）(,)I x y x ∂∂3111=2+-+24+9+2+2222x y x y x y ⨯⨯-⨯-（）（）（）=6618x y -+，(,)I x y y ∂∂331111=+44+9+222222x y x y x y ⨯--⨯--⨯-（）（）（） 37=3372x y -+- 令(,)0(,)0I x y x I x y y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩， 得3373372x y x y -=-⎧⎪⎨-+-⎪⎩， 解之得矛盾方程组的解为37315631x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 习题47. 对列表函数 124810()0152127x f x求(5)(5).f f '''，解 一阶微商用两点公式(中点公式),得(8)(2)10(5),63f f f -'≈= 二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求(5)f , 由(4)5,(8)21,f f ==得一次插值函数1()411,L x x =-从而 1(5)(5)9f L ≈=,于是,2(2)2(5)(8)4(5).39f f f f -+''≈= 8. 导出数值数分公式)]23()2(3)2(3)23([1)(3)3(h x f h x f h x f h x f h x f ---++-+≈并给出余项级数展开的主部.解 由二阶微商的三点公式(中点公式),得213()[()2()()]2222h h h f x f x f x f x h h ''-≈+--+-,213()[()2()()]2222h h h hf x f x f x f x h ''+≈+-++-从而 (3)()()22()h h f x f x f x h''''+--≈3133=[()3()3()()]2222h h f x h f x f x f x h h +-++--- 将33()()()()2222h h f x h f x f x f x h ++--，，，分别在x 处展开,得2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()222!23!21313()()()()+()(1)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()222!23!211()()()()()(2)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()()222!23!211()()()()()(3)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()()222!23!21313()()()()()(4)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+(1)－(2)×3 +(3)×3－(4), 得(5)222131()[()2()()]()()22228h h h f x f x f x f x h f x h O h h ''--+--+-=-+,即余项主部为(5)21()8f x h -习 题 5 (P. 299)3. 设n n R A ⨯∈为对称矩阵，且011≠a ，经高斯消去法一步后，A约化为11120T a a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试证明2A 亦是对称矩阵. 证明设1111()=T ij aa A a A α⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中 21311=n a a a α⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121311=n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，22232123=n n n nn a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭， 则经高斯消去法一步后，A 约化为111111110TT a a A a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 因而211111T A A a a α=-，若n n R A ⨯∈为对称矩阵，则1A 为对称矩阵，且1=a α，易知211111T A A a a α=-为对称矩阵. 13. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A(1) 计算2||||,||||A A ∞； (2) 计算∞)(A Cond ，及2)(A Cond . 解 (1) 计算||||=199A ∞,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A，其特征值为1,299λ=，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A 为对称矩阵，则2=T A A A 的特征值为221,2(99λ=±，因此2||||99A ===+；(2)1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，1||||=199A -∞， 所以1()=||||||||=9801Cond A A A -∞∞∞⋅，1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦为对称矩阵，其特征值为1,299λ=-± 则1112()=()T A A A ---的特征值为221,2(99λ=，因此12||||99A -===+所以1222()=||||||||Cond A A A -⋅2(99=+15. 设,n n n A R x R ⨯∈∈，求证 （1）1xx n x ∞∞≤≤； (2)∞∞≤≤An A A n11.证明 (2) 由（1）1x x n x∞∞≤≤，得1AxAx n Ax∞∞≤≤，则 11Ax Ax n Ax n x xx∞∞∞∞≤≤，从而11max max max nnnx Rx Rx RAxAx n Ax n xxx∞∞∀∈∀∈∀∈∞∞≤≤，由算子范数的定义max nx RAx Ax∞∞∀∈∞=，111max nx RAx A x∀∈=，得∞∞≤≤An A A n11.17. 设n n R W ⨯∈为非奇异阵，又设x为n R 上一向量范数，定义WxWx=，求证：Wx是nR 上向量的一种范数（称为向量的W 一范数）.证明 ①正定性，因Wx为一向量，0WxWx =≥，下证=0=0Wxx ⇔，⇒“”若=0Wx 即=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx ，n n R W ⨯∈为非奇异阵，所以=0x ；⇐“”若=0x ，则=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx 即=0Wx.②齐次性，任意实数α有=Wx W x Wxααα=，由向量范数的齐次性，得=WWxW x Wx Wx xααααα===；③ 三角不等式，任意实数,n n x R y R ∈∈，有+(+)=+Wx yW x y Wx Wy=，再由向量范数的三角不等式，得+(+)=+WWWx yW x y Wx Wy Wx Wy xy=≤+=+.习 题 6 (P.347)1. 设有方程组(b )1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，考查用Jacobi迭代法,G-S 迭代法解此方程组的收敛性.解 系数矩阵分裂如下,122111221A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =--10022110112200-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Jacobi迭代矩阵为1()J D L U -=+=02211220-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭， J 的特征方程为2211022λλλ-=，展开得 30λ=，即01λ=<，所以用Jacobi 迭代法解此方程组是收敛的.G-S 迭代矩阵为1()G D L U -=-11022=11012210--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100022=110010210-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭122=023002-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， G 的特征方程为12221002λλλ---=-， 展开得 (1)(2)(2)0λλλ---=，即1λ=或2λ=，由迭代基本定理得用G-S 迭代法解此方程组是不收敛的.4. 设有方程组Ax b =，其中A 为对称正定阵，且有迭代公式(1)()()()k k k x x b Ax ω+=+- (0,1,k =)，试证明当20ωβ<<时，上述迭代法收敛(其中A 的特征值满足0()A αλβ<≤≤).证明 A 为对称正定阵， A 的特征值满足0()A αλβ<≤≤，且20ωβ<<，则0()2A ωλ<<又迭代公式可变形为(1)()()k k x I A x bωω+=-+ (0,1,k =)，从而迭代矩阵 B I A ω=-，迭代矩阵的特征值为1()A ωλ-，且满足11()1A ωλ-<-<，即 |()|1B λ<，由迭代基本定理得该迭代法是收敛的.5. 设111a a A aa a a⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为实数，试确定a 满足什么条件时，解Ax b =的Jacobi 迭代法收敛.解 系数矩阵分裂如下,111a a A aa a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =--1001100a a aa aa--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭Jacobi迭代矩阵为1()J D L U -=+=000a a aa a a--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，J 的特征方程为0a aa a aaλλλ=，展开得 323320a a λλ--=，即a λ=-或2a λ=-，()max{||,|2|}J a a ρ=--()1J ρ<当且仅当1122a -<<，所以当1122a -<<时，解Ax b=的Jacobi 迭代法收敛.。

习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。

求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。

注意，不应先求相对误差再求绝对误差。

有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。

有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。

根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。

相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。

而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。

相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。

而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。

（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。

数值分析第五版课后答案2篇数值分析第五版课后答案（一）第一章1.1 机器精度的数值为2^-52 ≈2.22 × 10^-16。

1.2 Example 1.2设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分母为0，无法进行数值计算。

1.3 Example 1.3设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分子为0，因此有f(0) = 0。

1.4 Example 1.4(a) 将x的值从1.8改为1.799，则f(x)的值由-0.000000000000159为0.000000000000313，差值为0.000000000000472。

(b) 我们有f'(x) = sinx/(1 - cosx) - 1/sin^2x。

将x的值从1.8改为1.799，利用f(x)和f'(x)的值可以得到下面的近似式：f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx = -0.000000000000159 + 0.449787416887455×0.001 = -0.000000000000137。

与(a)中的结果相近。

1.5 Example 1.5(a) 当x很接近于0时，函数值的符号取决于cosx的符号，其中cosx接近于1。

因此，函数值为正。

(b) 当x很接近于π时，函数值的大小趋于无穷大，因为分母趋向于0，而分子不为0。

1.6 Example 1.6(a) 因为函数在x = 0处是奇函数，所以它的导数为偶函数。

(b) 首先，我们有f''(0) = -2，因此x = 0是最大值。

其次，我们有f''(x) = -2 - 8sin^2x。

由于-f''(x)在x = 0处是正的，我们有当x越接近0时，f''(x)越小，也就意味着函数在x = 0处是严格的最大值。

1.7 Example 1.7(a) 我们有f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6，f'(x) =3x^2 - 4x - 5和f''(x) = 6x - 4。

第一章 绪论1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

第一章习题解答1. 在下列各对数中，X 是精确值ａ的近似值（1） ａ=π，x=3.1 （2） ａ=1/7，x=0.143 （3） ａ=π/1000，x=0.0031 （4） ａ=100/7，x=14.3 试估计x 的绝对误差和相对误差。

解：（1） e=∣3.1-π∣≈0.0416， δr = e/∣x ∣≈0.0143 （2） e=∣0.143-1/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.1 （3） e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279 δr = e/∣x ∣≈0.9 (4) e=∣14.3-100/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.0012. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。

试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。

解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣∂f/∂x i ∣δx ie r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049e r （μ2）≦1/∣μ2∣［-x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3/ x 1δx 4］ =0.497073. 设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。

解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。

牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。

对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。

选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。

迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。

b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。

解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。

矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。

c) 使用插值方法求解函数的近似值。

解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。

其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。

对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。

课后习题二：a) 解决数值积分问题。

解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。

矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。

b) 使用迭代方法求解线性方程组。

解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。

1第一章 习题解答1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。

解：设 x 的准确值为x *，则有( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ所以e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ另解：e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) |= | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。

求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。

解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。

3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。

由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。

故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。

4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。

解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。

5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。

若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。

习题11 -以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数(1)% = 451.023(2)x；=-0.045 113(3)x3 = 23.421 3,* 1(4)x4=3(5)x5 = 23.496,* /-(6)x6= 96x 10 ,(7)x；= 0.000 96,(8)x8 =-8 700, 解：(1) x；=451.023x1= 451.01;x2=—0.045 18;x3= 23.460 4;x4= 0.333 3;x5= 23.494;x6= 96.1 x 105;x；= 0.96X 10 'x8= —8 7003 x^ 451.01* 1 _1 一#x1—= 0.013兰一汇10 —, x1具有4 位有效数字。

％t451.02(2) x；二-0.045 113 x2二-0.045 18=0.045 1 8- 0.045113 =0.000 067 - 10 _32X2具有2位有效数字，x^ -0.045⑶x3 =23.4213 x3= 23.4604*X3— X3 = 23.4213 - 23.4604 = 23.4604 — 23 .4213 = 0.0391 X3具有3位有效数字，X3 > 23 .4 （不能写为23.5）* 1⑷ x4二,x4二0.3333 J 10_1 23二 23 .496 - 23.494 二 0.002X 6具有2位有效数字,75x 6 =0.9610= 96 102•以下各数均为有效数字:(1) 0.1062 + 0.947;(2)23.46— 12.753;(4) 1.473 / 0.064。

问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么? 解：(1) X i =0.1062， X 2 =0.947， X i +X 2 =1.05321e( )+ e(x 2 )兰 e( )+ e(x 2)兰一汉 10*X 4=0.000033：：： -10 一4 2,X 4具有4位有效数字，X 4 二0.3333(5) x 5 = 23.496, x 5 = 23.494X5具有4位有效数字,x 5 > 23.50 不能写为 23.49)(6)*57X 6 = 96100.96 10 57X 6=96.1 10 =0.96110*X6=0.001 10 _7< -10 ° 10 一7 2X 7 = 0.00096X 7 -0.9610° *X7-0.96 10’*X7=0X 7精确(8)二 -8700 x8二 -8 7 0.3*X8-X 81 = 0.3102X 8具有4位有效数字，X 8二-8700 精确e(xd| 兰丄。

习题一（P.14）1. 下列各近似值均有4个有效数字,300.2,521.13,001428.0***===z y x ,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解 *20.001428=0.142810x -=⨯有4个有效数，即4n =，2m =- 由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为611101022m n --⨯=⨯， 由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *213.521=0.1352110y =⨯有4个有效数，即4n =，2m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为211101022m n --⨯=⨯， 由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *12.300=0.230010z =⨯有4个有效数，即4n =，1m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为311101022m n --⨯=⨯， 由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101024n a ---⨯=⨯.2．下列各近似值的绝对误差限都是31021-⨯,试指出它们各有几位有效数字.***2.00021,0.032,0.00052x y z ===解 *12.000210.20002110x ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，2n =；*10.0320.3210y ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，4n =；*30.000520.5210z -==⨯，即3m =-由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯，即 3m n -=-，所以，0n =.4.设有近似数35.2,84.1,41.2***===z y x 且都有3位有效数字，试计算***z y x S +=，问S 有几位有效数字.解 方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，|(**)||*(*)*(*)|*|(*)|*|(*)|e y z z e y y e z z e y y e z ≈+≤+222112.3510 1.8410 2.0951022---≤⨯⨯+⨯⨯=⨯，221|(***)||(*)(**)|10 2.095102e x y z e x e y z --+≈+≤⨯+⨯1110.259510102--=⨯≤⨯， 又 1***=2.41 1.84 2.350.673410x y z ++⨯=⨯，此时1m =，1m n -=-，从而得2n =.方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.41r e x e x x -⨯≤， 211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 1.84r e y e y y -⨯≤，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.35r e z e z z -⨯≤|(**)||(*)(*)|r r r e y z e y e z ≈+，***|(***)||(*)(**)|******r r rx y z e x y z e x e y z x y z x y z +≈+++2.41 1.84 2.35|(*)||(*)+(*)|2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35r rr e x e y e z ⨯≤++⨯+⨯22211110 1.8410 2.35102222.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35---⨯⨯⨯⨯⨯≤+++⨯+⨯+⨯20.385410-<⨯21102-<⨯，由有效数字与绝对误差的关系得2n =.5.序列{}n y 有递推公式),2,1(,1101 =-=-n y y n n若41.120≈=y （三位有效数字），问计算10y 的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解 用0ε表示0y 的误差，由41.120≈=y ，得0=0.0042ε，由递推公式 ),2,1(,1101 =-=-n y y n n ，知计算10y 的误差为810=0.4210ε⨯，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明 0()1nk k l x ==∑，对所有的x其中()k l x 为Lagrange 插值奇函数. 证明 令()1f x =，则()1i f x =， 从而 0()()()()nnn k k k k k L x l x f x l x ====∑∑，又 (1)1()()()0(1)!n n n f R x x n ξω++==+， 可得 ()()1n l x f x ==，从而 0()1nk k l x ==∑.4. 求出在=012x ，，和3处函数2()1f x x =+的插值多项式.解 方法一 因为给出的节点个数为4，而2()1f x x =+从而余项(4)34()()()04!f R x x ξω==，于是 233()()()()=+1L x f x R x f x x =-=（n 次插值多项式对次数小于或等于的多项式精确成立）.方法二 因为(0)1(1)2(2)5(3)10f f f f ====，，，， 而 0(1)(2)(3)1()=-(1)(2)(3)(01)(02)(03)6x x x l x x x x ---=------，1(2)(3)1()=(2)(3)(10)(12)(13)2x x x l x x x x --=-----，2(1)(3)1()=-(1)(3)(20)(21)(23)2x x x l x x x x --=-----，3(1)(2)1()=(1)(2)(30)(31)(32)6x x x l x x x x --=-----，从而 30123()()(0)()(1)()(2)()(3)L x l x f l x f l x f l x f =+++2=+1x .5. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-.证明 因()()0f a f b ==，则1()0L x =， 从而1()()()()()2!f f x R x x a x b ξ''==--，由极值知识得 21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-6. 证明 (()())()()()(+)f x g x f x g x f x g x h ∆=⋅∆+∆⋅. 证明 由差分的定义(()())(+)()()()f xg x f xh g x h f x g x ∆=+-[(+)()()(+)][()()()()]f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x =+-++-()()()(+)f xg x f x g xh =⋅∆+∆⋅或着 (()())(+)()()()f x g x f x h g x h f x g x ∆=+-[(+)()()()][()()()()]f x hg xh f x h g x f x h g x f x g x =+-+++- ()()()()f x h g x f x g x =+⋅∆+∆⋅7. 证明 n 阶差商有下列性质(a ) 如果()()F x cf x =，则0101[,,,][,,,]n n F x x x cf x x x =. (b ) 如果()()()F x f x g x =+，则010101[,,,][,,,][,,,]n n n F x x x f x x x g x x x =+.证明 由差商的定义 (a ) 如果()()F x cf x =，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n cf x x x cf x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n f x x x f x x x c x x -=⋅-01[,,,]n cf x x x =.(b ) 如果()()()F x f x g x =+，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-12120110110[[,,,][,,,]]-[[,,,][,,,]]n n n n n f x x x g x x x f x x x g x x x x x --++=-12011120110,,,]-[,,,][,,,][,,,]+n n n n n n f x x x f x x x g x x x g x x x x x x x ---=--[ 0101[,,,][,,,]n n f x x x g x x x =+8. 设74()3431f x x x x =+++，求0172,2,,2]f [，0182,2,,2]f [.解 由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商0172,2,,2]=3f [ (()f x 的最高次方项的系数)，8阶差商0182,2,,2]=0f [ (8阶以上的差商均等与0).9. 求一个次数不超过4次的多项式()P x ，使它满足：(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =.解 方法一 先求满足插值条件(0)0P =，(1)=1P ，(2)1P =的二次插值多项式2()P x 213=22x -+(L-插值基函数或待定系数法)， 设()P x 22=()(1)(2)(1)(2)P x Ax x x Bx x x +--+--213=22x x -+2+(1)(2)(1)(2)Ax x x Bx x x --+-- 从而()P x '323=4B +(39)(641)(2)2x A B x A B x A -+-+-++，再由插值条件(0)0P '=，(1)1P '=，得3=,4A -1=,4B 所以 ()P x 213=22x x -+231(1)(2)(1)(2)44x x x x x x ---+--，即 ()P x 41=4x 332x -29+4x . 方法二 设()P x 23401234=a a x a x a x a x ++++，则 ()P x '231234=234a a x a x a x +++由插值条件(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =，得010********0123400++++1+2+3+41+2+4+8+161a a a a a a a a a a a a a a a a =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩ 解得 234931=,=-,=424a a a ， 从而 ()P x 41=4x 332x -29+4x .方法三 利用埃尔米特插值基函数方法构造. 10. 下述函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数吗？3232321,12()=92217,23x x x x S x x x x x ⎧-++≤≤⎨-+-+≤≤⎩解 因为 22362,12()=31822,23x x x S x x x x ⎧-+≤≤'⎨-+-≤≤⎩，66,12()=618,23x x S x x x -≤≤⎧''⎨-+≤≤⎩而 12(2)=1=(2)S S ，12(2)=2=(2)S S ''，12(2)=6=(2)S S ''''， 又()S x 是三次函数，所以函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数.补 设f (x )=x 4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解 因为 (4)34()()()(+1)(1)(2)4!f R x x x x x x ξω==--，从而 3233()()()22L x f x R x x x x =-=+-习题3 ( P.159)1．设n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组且)(x k ϕ为首项系数为1的k 次的多项式，则n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.解 方法一 因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，采用反证法：若{}n ϕϕϕ,,,10 于],[b a 线性相关，于是，存在不全为零,,,,10n c c c 使0011()()()0,[,]n n c x c x c x x a b ϕϕϕ+++=∈上式两边与i ϕ作内积得到0011(,)(,)(,)0(0,1,,)i i n i n c c c i n ϕϕϕϕϕϕ+++==，由于{}i c 不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解),,,,(10n c c c 故系数矩阵的行列式为零，即{}0,,,10=n G ϕϕϕ 与假设矛盾.方法二 因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，由( P.95)定理2得n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.2．选择α，使下述积分取得最小值1221()[],a x x dx α--⎰120()()x b e x dx α-⎰解 1221()[]a x x dx αα-∂-∂⎰1221=[]x x dx αα-∂-∂⎰1221=2[]()x x x dx α--⋅-⎰5112=5x α-4=5α，令 1221[]=0x x dx αα-∂-∂⎰，得=0α. 120()()x b e x dx αα∂-∂⎰120=()xe x dx αα∂-∂⎰1=2()()x e x x dx α-⋅-⎰2=23α- 令120()=0x e x dx αα∂-∂⎰，得=3α.3．设],3,1[,1)(∈=x xx f 试用},1{1x H 求)(x f 一次最佳平方逼近多项式.解 取权函数为()x x ω=(为了计算简便)，则32311(1,1)42x xdx ===⎰,33321126(1,)(,1)33x x x x dx ====⎰, 343311(,)204xx x x dx ===⎰,33111((),1)2f x xdx x x=⋅==⎰，3232111((),)42x f x x x dx x =⋅==⎰， 得法方程 0126423264203a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，解得011211311a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以)(x f 的一次最佳平方逼近多项式1123()1111P x x =-. 8．什么常数C 能使得以下表达式最小？∑=-ni x i iCe x f 12))((解 21(())i n x i i f x Ce C =∂-∂∑1=2(())()i i nx x i i f x Ce e =-⋅-∑，令 21(())=0i nx i i f x Ce C =∂-∂∑，得121()(),iinx x i i nx x x i f x e f x e C e e e=-=⋅==∑∑（）（，）. 14．用最小二乘法求解矛盾方程组2+314921x y x y x y =⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩. 解 方法一 方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，原问题转化成在已知三组离散数据3142211()922tf t ----下求一次最小二乘逼近函数1()P x x yt =+(x 与y 为一次函数的系数，t 为自变量)，取1H 基{}1,t ,求解法方程331133321113()()i i i i i i i i i i i x t f x t t t f x y =====⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑, 即 3-3-93737-32x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得到矛盾方程组的解为37=-3156=31x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩.方法二 方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，令(,)I x y 2223111=+-+4+9++2222x y x y x y --（）（）（）(,)I x y x ∂∂3111=2+-+24+9+2+2222x y x y x y ⨯⨯-⨯-（）（）（）=6618x y -+，(,)I x y y ∂∂331111=+44+9+222222x y x y x y ⨯--⨯--⨯-（）（）（） 37=3372x y -+- 令 (,)0(,)0I x y xI x y y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩， 得 3373372x y x y -=-⎧⎪⎨-+-⎪⎩， 解之得矛盾方程组的解为37315631x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 习题47. 对列表函数 124810()0152127x f x求(5)(5).f f '''，解 一阶微商用两点公式(中点公式),得(8)(2)10(5),63f f f -'≈=二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求(5)f ,由(4)5,(8)21,f f ==得一次插值函数1()411,L x x =- 从而 1(5)(5)9f L ≈=, 于是, 2(2)2(5)(8)4(5).39f f f f -+''≈=8. 导出数值数分公式)]23()2(3)2(3)23([1)(3)3(h x f h x f h x f h x f h x f ---++-+≈并给出余项级数展开的主部.解 由二阶微商的三点公式(中点公式),得213()[()2()()]2222h h h f x f x f x f x h h ''-≈+--+-,213()[()2()()]2222h h h hf x f x f x f x h ''+≈+-++-从而 (3)()()22()h h f x f x f x h''''+--≈3133=[()3()3()()]2222h h f x h f x f x f x h h +-++--- 将33()()()()2222h h f x h f x f x f x h ++--，，，分别在x 处展开,得2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()222!23!21313()()()()+()(1)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()222!23!211()()()()()(2)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()()222!23!211()()()()()(3)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()()222!23!21313()()()()()(4)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+(1)－(2)×3 +(3)×3－(4), 得(5)222131()[()2()()]()()22228h h h f x f x f x f x h f x h O h h ''--+--+-=-+,即余项主部为(5)21()8f x h -习 题 5 (P. 299)3. 设n n R A ⨯∈为对称矩阵，且011≠a ，经高斯消去法一步后，A约化为11120T a a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试证明2A 亦是对称矩阵. 证明 设1111()=T ija a A a A α⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中 21311=n a a a α⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121311=n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，22232123=n n n nn a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭， 则经高斯消去法一步后，A 约化为111111110TT a a A a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 因而211111T A A a a α=-，若n n R A ⨯∈为对称矩阵，则1A 为对称矩阵，且1=a α，易知211111T A A a a α=-为对称矩阵. 13. 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A (1) 计算2||||,||||A A ∞； (2) 计算∞)(A Cond ，及2)(A Cond .解 (1) 计算||||=199A ∞,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A，其特征值为1,299λ=， 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A 为对称矩阵，则2=T A A A 的特征值为221,2(99λ=±，因此2||||99A ===+；(2) 1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，1||||=199A -∞， 所以1()=||||||||=9801Cond A A A -∞∞∞⋅，1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦为对称矩阵，其特征值为1,299λ=-± 则1112()=()T A A A ---的特征值为221,2(99λ=，因此12||||99A -===+所以 1222()=||||||||Cond A A A -⋅2(99=+15. 设,n n n A R x R ⨯∈∈，求证 （1）1x x n x∞∞≤≤；(2) ∞∞≤≤An A An11.证明 (2) 由（1）1x x n x∞∞≤≤，得1AxAx n Ax∞∞≤≤，则11Ax Ax n Ax n xxx∞∞∞∞≤≤，从而 11maxmax max nnnx Rx Rx RAxAx n Ax n xxx∞∞∀∈∀∈∀∈∞∞≤≤，由算子范数的定义max nx RAx Ax∞∞∀∈∞=，111max nx RAx A x∀∈=，得 ∞∞≤≤An A An11.17. 设n n R W ⨯∈为非奇异阵，又设x为n R 上一向量范数，定义WxWx=，求证：Wx是nR 上向量的一种范数（称为向量的W 一范数）.证明 ①正定性，因Wx 为一向量，0WxWx =≥，下证=0=0Wxx ⇔，⇒“”若=0Wx 即=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx ，n n R W ⨯∈为非奇异阵，所以=0x ；⇐“”若=0x ，则=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx 即=0Wx.②齐次性，任意实数α有=Wx W x Wxααα=，由向量范数的齐次性，得=WWxW x Wx Wx xααααα===；③ 三角不等式，任意实数,n n x R y R ∈∈，有+(+)=+Wx yW x y Wx Wy=，再由向量范数的三角不等式，得+(+)=+WWWx yW x y Wx Wy Wx Wy xy=≤+=+.习 题 6 (P.347)1. 设有方程组(b ) 1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，考查用Jacobi迭代法,G-S 迭代法解此方程组的收敛性.。

第一章 绪论（12）之吉白夕凡创作1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差.[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==.2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差.[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而nx 的误差为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε.3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超出最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x .[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字.4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数.（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x . [解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=⨯≈⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑x x x x x x x f x x e n k k kεεε. 5、计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 允许的相对误差是多少？[解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知,)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=, 从而***31%1)(R R ⨯=ε,故300131%1)()(*****=⨯==R R R r εε.6、设280=Y ,按递推公式),2,1(78310011 =-=-n Y Y n n 计算到100Y ,若取982.27783≈（五位有效数字,）试问计算100Y 将有多大误差？[解]令n Y 暗示n Y 的近似值,n n n Y Y Y e -=)(*,则0)(0*=Y e ,并且由982.2710011⨯-=-n n Y Y ,78310011⨯-=-n n Y Y 可知, )783982.27(100111-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ,即=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ,从而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e , 而31021982.27783-⨯≤-,所以3100*1021)(-⨯=Y ε.7、求方程01562=+-x x 的两个根,使它至少具有四位有效数字（982.27783≈）[解]由78328±=x 与982.27783≈（五位有效数字）可知,982.55982.2728783281=+=+=x （五位有效数字）.而018.0982.2728783282=-=-=x ,只有两位有效数字,不合适题意. 但是22107863.1982.55178328178328-⨯==+=-=x .8、当N 充分大时,怎样求⎰++1211N N dx x？ [解]因为N N dx x N Narctan )1arctan(1112-+=+⎰+,当N 充分大时为两个相近数相减,设)1arctan(+=N α,N arctan =β,则αtan 1=+N ,βtan =N ,从而 11)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=-N N N N N N βαβαβα,因此11arctan 11212++=-=+⎰+N N dx x N Nβα. 9、正方形的边长大约为100cm,应怎样丈量才干使其面积误差不超出12cm ?[解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知,若要求1))((2**=l ε,则2001100212))(()(*2****=⨯==l l l εε,即边长应满足2001100±=l .10、设221gt S =,假定g 是准确的,而对t 的丈量有1.0±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减少. [证明]因为******1.0)()()()(gt t gt t dtdS S ===εεε, ***2******51)(2)(21)()()(t t t t g t gt SS S r====εεεε,所以得证.11、序列{}n y 满足递推关系),2,1(1101 =-=-n y y n n ,若41.120≈=y （三位有效数字）,计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？[解]设n y 为n y 的近似值,n n n y y y -=)(*ε,则由⎪⎩⎪⎨⎧-==-110210n n y y y 与 ⎩⎨⎧-==-11041.110n n y y y 可知,20*1021)(-⨯=y ε,)(1011---=-n n n n y y y y ,即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-,从而82100*1010*1021102110)(10)(⨯=⨯⨯==-y y εε,因此计算过程不稳定. 12、计算6)12(-=f ,取4.12≈,利用下列公式计算,哪一个得到的结果最好？6)12(1+,3)223(-,3)223(1+,27099-.[解]因为1*1021)(-⨯=f ε,所以对于61)12(1+=f ,2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯+='=e f f e ,有一位有效数字；对于32)223(-=f ,1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯-='=e f f e ,没有有效数字； 对于33)223(1+=f ,2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯+='=e f f e ,有一位有效数字；对于270994-=f ,111*44*10211035102170)4.1()(⨯<⨯=⨯⨯='=--e f f e ,没有有效数字.13、)1ln()(2--=x x x f ,求)30(f 的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算,求对数时误差有多大？[解]因为9833.298991302==-（六位有效数字）,4*1021)(-⨯=x ε,所以2442**11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(---⨯=⨯⨯-=⨯⨯---='=x e f f e ,6442**22*108336.010219833.29301102111)()()(---⨯=⨯⨯+=⨯⨯-+-='=x x x e f f e .14、试用消元法解方程组⎩⎨⎧=+=+2101021102101x x x x ,假定只有三位数计算,问结果是否可靠？ [解]精确解为110210,110101*********--=-=x x .当使用三位数运算时,得到1,121==x x ,结果可靠.15、已知三角形面积c ab s sin 21=,其中c 为弧度,20π<<c ,且丈量a,b,c 的误差辨别为c b a ∆∆∆,,,证明面积的误差s∆满足ccb b a a s s ∆+∆+∆≤∆. [解]因为c c ab b c a a c b x x f s nk k k ∆+∆+∆=∆∂∂=∆∑=cos 21sin 21sin 21)()(1, 所以cc b b c c c c b b c c c ab cc ab b c a a c b ss ∆+∆+∆≤∆+∆+∆=∆+∆+∆=∆tan sin 21cos 21sin 21sin 21.第二章 插值法（40-42）1、按照（2.2）定义的范德蒙行列式,令⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----nn n n n nn n x x xx xx x x x x x x x V21211020110111),,,,(,证明)(x V n 是n 次多项式,它的根是121,,,-n x x x ,且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V .[证明]由∏∏∏∏-=---=-=-=--⋅=-⋅-=1110111010110)(),,,()()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得求证.2、当2,1,1-=x 时,4,3,0)(-=x f ,求)(x f 的二次插值多项式.[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L .3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值.[解]若取5.00=x ,6.01=x ,则693147.0)5.0()(00-===f x f y ,510826.0)6.0()(11-===f x f y ,则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ,从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L . 若取4.00=x ,5.01=x ,6.02=x ,则916291.0)4.0()(00-===f x f y , 693147.0)5.0()(11-===f x f y ,510826.0)6.0()(22-===f x f y ,则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ,从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L .4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表,步长 )60/1(1='=h ,若函数具有5位有效数字,研究用线性插值求x cos 近似值时的总误差界.[解]设插值节点为h x x x x +=<<010,对应的x cos 值为10,y y ,函数表值为10,y y ,则由题意可知,5001021-⨯≤-y y ,5111021-⨯≤-y y ,近似线性插值多项式为01011011)(x x x x y x x x x y x L --+--=,所以总误差为()100101110100100101110100101111,,)()())((2cos )()())((!2)()()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---=---+---+--''=-+-=-=ξξξ,从而55555201051015100101110100101047.310211094.621102114400121102142110211021))((21))((cos 21)(-------⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+≤--⨯⨯+--⨯⨯+---≤---+---+--≤h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ.5、设3,2,1,0=+=k kh x x k ,求)(max22x l xx x ≤≤. [解])3)()((max 21)()2()3)()((max))()(())()((max)(max 000300032120231023033030h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l xx x xx x x x x x x x -----=------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤.令)34()383()43()3)()(()(0220302020203000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=,则)383()43(23)(202002h h x x x h x x x f ++++-=',从而极值点可能为 hx h h x h h x x h x h x x 37437)43(6)383(12)43(4)43(2002020200±+=±+=++-+±+=,又因为30)20714(271375371374)374(h h h h h x f -=--⨯-⨯-=-+, 30)71420(271357371374)374(h h h h h x f +-=-⨯+⨯+=++,显然)374()374(00h x f h x f ++≤-+,所以277710)71420(27121)374(21)(max 3303230+=+=++=≤≤h h h x f h x l x x x . 6、设),,1,0(n j x j =为互异节点,求证： 1）),,1,0()(0n k x x l x k nj j k j =≡∑=；2）),,2,1()()(0n k x x l x x k n j j k j =≡-∑=；[解]1）因为左侧是k x 的n 阶拉格朗日多项式,所以求证成立. 2）设k x y y f )()(-=,则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶拉格朗日多项式,令x y =,即得求证.7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ,求证)(max )(81)(max 2x f a b x f bx a b x a ''-≤≤≤≤≤. [解]见弥补题3,其中取0)()(==b f a f 即得.8、在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超出610-,问使用函数表的步长h 应取多少？[解]由题意可知,设x 使用节点h x x -=10,1x ,h x x +=12进行二次插值,则插值余项为()201112102,)],()[)](([6))()((!3)()(x x h x x x x h x x ex x x x x x f x R ∈+----=---'''=ξξξ,令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=,则)3(63)(22112h x x x x x f -+-=',从而)(x f 的极值点为h x x 331±=,故3932)331()331(33)(max 20h h h h x f x x x =-⋅+⋅=≤≤,而343422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ,要使其不超出610-,则有63410273-≤h e ,即22226210472.010389.74863.310243---⨯=⨯≈⨯≤ee h . 9、若n n y 2=,求n y 4∆及n y 4δ.[解]nn n n n n nn n n n n n n n n j jn j j n j jn n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(123441322314040440444=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆++++++++=-+=-∑∑. 22221221122413211204024024021)4(2142121422282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j jn j j n j j j njj jn n y y y y y y j y E j y E Ej y E E y δ. 10、如果)(x f 是m 次多项式,记)()()(x f h x f x f -+=∆,证明)(x f 的k 阶差分)0()(m k x f k ≤≤∆是k m -次多项式,并且0)(=∆+x f l m （l 为正整数）.[证明]对k 使用数学归纳法可证. 11、证明k k k k k k g f g f g f ∆+∆=∆+1)(. [证明]kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ∆+∆=-+-=-+-=-=∆++++++++++1111111111)()()(.12、证明∑∑-=+-=∆--=∆11001n k k k n n n k k k f g g f g f g f .[证明]因为01111111111011)()]()([)(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g fn n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k-=-=-+-=∆+∆=∆+∆∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=,故得证.13、证明：0102y y y n n j j ∆-∆=∆∑-=.[证明]011102)(y y y y y n n j j j n j j ∆-∆=∆-∆=∆∑∑-=+-=.14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个不合实根n x x x ,,,21 ,证明⎩⎨⎧-=-≤≤='-=∑1,20,0)(11n k a n k x f x n nj j k j. [证明]由题意可设∏=-=---=ni i n n n x x a x x x x x x a x f 121)()())(()( ,故∏≠=-='nji i i j n j x x a x f 1)()(,再由差商的性质1和3可知：)!1()(1],,[1)()()1(1111-==-='-=≠==∑∏∑n x a x x x a x x a x xf x n k n n k n nj nj i i i j n k jnj jk j,从而得证.15、证明n 阶均差有下列性质：1）若)()(x cf x F =,则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =；2）若)()()(x g x f x F +=,则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=.[证明]1）],,,[)()()()()()(],,,[1000000010n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj n x x x cf x xx f c x xx cf x xx F x x x F =-=-=-=∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠=.2）],,,[],,,[)()()()()()()()()(],,,[10100000000010n n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj j nj nji i i jj n x x x g x x x f x xx g x xx f x xx g x f x xx F x x x F +=-+-=-+=-=∑∏∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠==≠=.16、13)(47+++=x x x x f ,求]2,,2,2[710 f ,0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f .[解]1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ,]2,,2,2[810 f .17、证明两点三次埃尔米特插值余项是()1212)4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ,并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. [解]见P30与P33,误差限为k nk f h h '+≤≤0max 278)(ω. 18、XXXXXXXXXX ．19、求一个次数不高于4次的多项式)(x P ,使它满足0)0()0(='=P P ,1)1()1(='=P P ,1)2(=P .[解]设01223344)(a x a x a x a x a x P ++++=,则122334234)(a x a x a x a x P +++=',再由0)0()0(='=P P ,1)1()1(='=P P ,1)2(=P 可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++==+++='=++++==='===012341234012*********)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-===432141234900aa a a a .从而4)3()96(4492341)(2222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P .20、设],[)(b a C x f ∈,把[]b a ,分为n 等分,试机关一个台阶形的零次分段插值函数)(x n ϕ,并证明当∞→n 时,)(x n ϕ在[]b a ,上一致收敛到)(x f .[解]令n i x f x f x ii ii x x x x x x i ,,3,2,1,2)(inf)(sup )(11 =+=≤≤≤≤--ϕ.21、设)1/(1)(2x x f +=,在55≤≤-x 上取10=n ,按等距节点求分段线性插值函数)(x I h ,计算各节点中点处的)(x I h 与)(x f 的值,并估量误差. [解]由题意可知,1=h ,从而当[]1,+∈k k x x x 时,)(])1(1[1)()1(1)1(1111)(2121211211k k kk k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++--+=+=++++++.22、求2)(x x f =在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ,并估量误差. [解]设将[]b a ,划分为长度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10,则当[]1,+∈k k x x x ,1,,2,1,0-=n k 时,从而误差为))(())((!2)()(112++--=--''=k k k k x x x x x x x x f x R ξ, 故4))(()(212h x x x x x R k k ≤--=+.23、求4)(x x f =在[]b a ,上的分段埃尔米特插值,并估量误差. [解]设将[]b a ,划分为长度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10,则当[]1,+∈k k x x x ,1,,2,1,0-=n k 时,)(4)(42121)()(121312113112141121141111++++++++++++++++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='+'++=k k k kk k k k k k k k k k k kk k k kk kk kk k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα, 从而误差为212212)4(2)()()()(!4)()(++--=--=k k k k x x x x x x x x f x R ξ, 故16)()()(42122h x x x x x R k k ≤--=+.24、给定数据表如下：试求三次样条函数)(x S ,并满足条件： 1）6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ； 2）0)53.0()25.0(=''=''S S . [解]由05.025.030.00=-=h ,09.030.039.01=-=h ,06.039.045.02=-=h ,08.045.053.03=-=h ,及（8.10）式)1,,1(,,111-=+=+=---n j h h h h h h jj j j jj j j μλ可知,14909.005.009.01011=+=+=h h h λ,5206.009.006.02122=+=+=h h h λ,7408.006.008.03233=+=+=h h h λ,14509.005.005.01001=+=+=h h h μ,5306.009.009.02112=+=+=h h h μ,7308.006.006.03223=+=+=h h h μ,由（8.11）式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j j μλ可知,7541.2700019279)900768145500477149(3)30.039.05477.06245.014525.030.05000.05477.0149(3])()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.413.2100046332564)6004635390076852(3)39.045.06245.06708.05330.039.05477.06245.052(3])()(53)()(52[3]),[],[(3232312123222122=⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.0814.27001457140011894634)8004727360046374(3)45.053.06708.07280.07339.045.06245.06708.074(3])()(73)()(74[3]),[],[(3343423234333233==⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.从而1）矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.11497541.227405325201452321m m m ,解得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6570.08278.09078.0321m m m ,从而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.2）此为自然鸿沟条件,故862.2500477325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=⨯=--⨯=--⨯==x x x f x f x x f g ；145.2800572345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=⨯=--⨯=--⨯==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ,矩阵形式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡145.20814.2413.27541.2862.227400732740005325200014521490001243210m m m m m ,可以解得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210m m m m m ,从而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.25、若],[)(2b a C x f ∈,)(x S 是三次样条函数,证明1）⎰⎰⎰⎰''-''''+''-''=''-''baba ba ba dx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222； 2）若),,1,0()()(n i x S x f i i ==,式中i x 为插值节点,且b x x x a n =<<<= 10则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S ba '-'''-'-'''=''-''''⎰.[解]1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''bab abababa b ababadxx S dx x f dxx S x f dx x S x f x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([.2）由题意可知,[]b a x A x S ,,)(∈=''',所以)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dxx S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b ab abab a ba'-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''⎰⎰⎰.弥补题：1、令00=x ,11=x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ,并估量插值余项.[解]由1)(000===-e x y y ,111)(-==e x y y 可知,xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---,余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R , 故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ. 2、设4)(x x f =,试利用拉格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节点的三次插值多项式. [解]由插值余项定理,有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!4!4))()()((!4)()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ,从而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=. 3、设)(x f 在[]b a ,内有二阶连续导数,求证：)(max )(81)]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a bx a ''-≤---+-≤≤≤≤.[证]因为)()()()(a x ab a f b f a f ---+是以a,b 为插值节点的)(x f 的线性插值多项式,利用插值多项式的余项定理,得到：))()((21)]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ,从而)(max )(81)(41)(max 21))((max )(max 21)]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a ba b x a ''-=-⋅''=--⋅''≤---+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ.4、设15)(37++=x x x f ,求差商]2,2[10f ,]2,2,2[210f ,]2,,2,2[710 f 和]2,,2,2[810 f .[解]因为7)1()2(0==f f ,1691252)2()2(371=+⨯+==f f ,167051454)4()2(372=+⨯+==f f ,所以162716912)1()2(]2,2[10=-=--=f f f ,826821691670524)2()4(]2,2[21=-=--=f f f ,27023162826822]2,2[]2,2[]2,2,2[02102121=-=--=f f f ,1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ,0!80!8)(]2,,2,2[)8(810===ξf f .5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ,求4次牛顿插值多项式,并写出插值余项. [解]由差商表可得4次牛顿插值多项式为：)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ,插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R .6、如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ,试计算出此列表函数的差分表,并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式. [解]机关差分表：由差分表可得插值多项式为：32)1(3322)1(332)1()(2020004++=-++=⨯-++=+∆-+∆+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N .第三章 函数迫近与计算（80-82）1、（a ）利用区间变换推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式；（b ）对x x f sin )(=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较.[解]（a ）令t a b a x )(-+=,则[]1,0∈t ,从而伯恩斯坦多项式为∑=-=nk k n x P n k a b f x f B 0)())((),(,其中kn k k x a b x k n x P ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(. （b ）令t x 2π=,则[]1,0∈t ,从而伯恩斯坦多项式为∑==nk k n x P n kf x f B 0)()2(),(π,其中k n k k x x k n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()(π. xx x x x x x f x x f x P kf x f B k k =+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(010101πππππππ；3223323223223223312213033)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3()2(13)6()2(03)0()()6(),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P kf x f B k k ----=+-++-=+-+-=⨯+-⨯+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=πππππππππππππππππππππ.2、求证：（a ）当M x f m ≤≤)(时,M x f B m n ≤≤),(； （b ）当x x f =)(时,x x f B n =),(.[证明]（a ）由∑==nk k n x P nkf x f B 0)()(),(及M x f m ≤≤)(可知,∑∑∑∑====≤≤≤≤nk k n k k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0)()(),()()(,而1)]1([)1()(00=-+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑=-=n nk k n k nk k x x x x k n x P ,从而得证. （b ）当x x f =)(时,xx x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k nk kn k f nk kn k nk k n =-+=----=------=--⨯==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--=--=----=-==-=∑∑∑∑∑110)1(1)1()1(110)0(00)]1([)1()!1(!)!1()1()]!1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(.3、在次数不超出6的多项式中,求x x f 4sin )(=在[]π2,0的最佳一致迫近多项式.[解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知,14sin 1≤≤-x ,从而最小偏差为1,交错点为ππππππππ815,813,811,89,87,85,83,8,此即为6)(H x P ∈的切比雪夫交错点组,从而)(x P 是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式,可得0)(=x P .4、假设)(x f 在[]b a ,上连续,求)(x f 的零次最佳一致迫近多项式.[解]令)(infx f m bx a ≤≤=,)(sup x f M bx a ≤≤=,则2)(m M x f +=在[]b a ,上具有最小偏差2mM -,从而为零次最佳迫近一次多项式. 5、选择常数a,使得ax x x -≤≤310max 达到极小,又问这个解是否唯一？ [解]因为ax x -3是奇函数,所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤311310max max ,再由定理7可知,当)34(4141333x x T ax x -==-时,即43=a 时,偏差最小.6、求x x f sin )(=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最佳一次迫近多项式,并估量误差.[解]由πππ22sin 2sincos )()()(221=--=='=--=x x f ab a f b f a 可得π2arccos2=x ,从而最佳一次迫近多项式为ππππππππππππ2arccos1242)2arccos 21(224)22arccos0(2)]2sin(arccos 0[sin 21)2()]()([2122212--+=-+-=+-++=+-++=x x x x a x a x f a f y 7、求x e x f =)(在[]1,0上的最佳一次迫近多项式.[解]由101)()()(01212-=--=='=--=e e e e xf a b a f b f a x 可得)1ln(2-=e x ,从而最佳一次迫近多项式为)1ln(212)1()]1ln(21)[1(2)2)1ln(0)(1(][21)2()]()([21)1ln(0212---+-=---+=-+--++=+-++=-e e e x e e x e e e x e e e x a x a x f a f y e .8、如何选取r,使r x x p +=2)(在[]1,1-上与零偏差最小？r 是否唯一？[解]由r r x x p x x +=+=≤≤-≤≤-1)(max )(max 21111,r r x x p x x =+=≤≤-≤≤-)(min )(min 21111可知当与零偏差最小时,r r =+1,从而21-=r .另解：由定理7可知,在[]1,1-上与零偏差最小的二次多项式为21)12(21)(21222-=-=x x x T ,从而21-=r .9、设13)(34-+=x x x f ,在[]1,0上求三次最佳迫近多项式. [解]设所求三次多项式为)(3x P ,则由定理7可知81)188(81)(21)()(2424433+-=+-==-x x x x x T x P x f ,从而 893)81()13()81()()(232434243-+=+---+=+--=x x x x x x x x x f x P .10、令[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n ,求)(*0x T 、)(*1x T 、)(*2x T 、)(3x T . [解]由[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n 可知,令[]1,1,211-∈+=t t x ,则[]1,1),()121(-∈=+t t T t T n n ,从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=1,21),121(21,1),()(00*x x T x x T x T n . 11、试证{})(*x T n 是在[]1,0上带权21xx -=ρ的正交多项式.？12、在[]1,1-上利用插值极小化求x x f arctan )(=的三次近似最佳迫近多项式.[解]由题意可知,插值节点为)3,2,1(,812cos=-k k π, 即ππππ87cos ,85cos ,83cos ,81cos 4321====x x x x ,则可求得)(3x L .13、设x e x f =)(在[]1,1-上的插值极小化近似最佳迫近多项式为)(x L n ,若∞-n L f 有界,证明对任何1≥n ,存在常数n n βα,,使得)11()()()()(11≤≤-≤-≤++x x T x L x f x T n n n n n βα.[证明]由题意可知,[]1,1),()!1(2)()()(1)1(-∈+=-++ξξx T n f x L x f n n n n ,从而取)!1(2)(min )1(11+=+≤≤-n x f nn x n α,)!1(2)(max )1(11+=+≤≤-n x f nn x n β,则可得求证.14、设在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ,试将)(x ϕ降低到3次多项式并估量误差. [解]因为x x T x 16545161355-+=,8181244-+=x T x ,所以 323232307254510241234096199310241029)16545(3840165)81(3841524381211)(~x x x x x x x x x x ---=-------=ϕ,误差为0056.040962381384016516138415)(~)(≈=+≤-x x ϕϕ.15、在[]1,1-利用幂级数项数节约求x x f sin )(=的3次迫近多项式,使误差不超出0.005.[解]因为 ++-+++-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n ,取前三项,得到!5!3)(535x x x x L +-=,误差为0002.0!71)(sin 5≈≤-x L x ,又因为 x x T x 16545161355-+=,所以3次迫近多项式为3333227384383)16545(!51!3sin x x x x x x x +-=-+-=,此时误差为005.010986.71611201!714<⨯≈⨯+-. 16、)(x f 是[]a a ,-上的连续奇（偶）函数,证明不管n 是奇数或偶数,)(x f 的最佳迫近多项式n n H x F ∈)(*也是奇（偶）函数.[解])(x f 的最佳迫近多项式是由切比雪夫多项式得到的,再由切比雪夫多项式的性质4即得.17、求a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小,并与1题及6题的一次迫近多项式误差作比较. [解]由2120ππ=⎰dx ,8220ππ=⎰dx x ,243202ππ=⎰dx x ,1sin 200==⎰πxdx d ,1cos |)cos (sin 2020201=---==⎰⎰πππxdx x x xdx x d ,可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1124882322a b ππππ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=1148.0)3(86644.0)4(2423ππππb a . 18、],[)(),(1b a C x g x f ∈,定义（a ）()⎰''=aa dx x g x f g f )()(,；（b ）())()()()(,a g a f dx x g x f g f aa +''=⎰. 问它们是否组成内积？[解]（a ）因为()0)(0)]([,0)(2='⇔='=⇒=⎰x f dx x f f f x f ba ,但反之不成立,所以不组成内积.（b ）组成内积.19、用许瓦兹不等式（4.5）估量⎰+161dx xx 的上界,并用积分中值定理估量同一积分的上下界,并比较其结果.[解]1961.026113121)131()11()()11(110131012612106≈==+-=+≤+⎰⎰⎰x x dxx dx xdx x x .因为[]1,0,12666∈≤+≤x x xx x ,所以7112141106106106=≤+≤=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x . 20、选择a,使下列积分取最小值：⎰-1022)(dx ax x ,⎰--112dx ax x .[解]481)45(51512131)2()(2214232122+-=+-=+-=-⎰⎰a a a dx x a ax x dx ax x ,从而45=a .当0=a 时,121211111112=+=+-==-⎰⎰⎰⎰---xdx xdx dx x dx ax x ,当0≠a 时,由02=-ax x ,可得交点为ax 1=, 若1>a ,则1323121316161)2131()2131()3121()2131()()()(222012310321123012102112112>+=++++-=-+-+-=-+-+-=----⎰⎰⎰⎰a a a aa a x ax ax x x ax dxx ax dx ax x dx x ax dx ax x a aa a,若01>≥a ,则1)2131()3121()()(012102112=----=-+-=-⎰⎰⎰--a a dx x ax dx ax x dx ax x .同理可知,当01<≤-a 时,1112=-⎰-dx ax x ,当1-<a 时,1112>-⎰-dx ax x ,从而当1≤a 时,积分取得最小.21、设{}x span ,11=ϕ,{}1011002,x x span =ϕ,辨别在21,ϕϕ上求一元素,使其为]1,0[2C x ∈的最佳平方迫近,并比较其结果.[解]由1110=⎰dx ,2110=⎰xdx ,31102=⎰dx x ,41103=⎰dx x 可知,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=161b a ,即在1ϕ上为⎪⎭⎫⎝⎛-1,61.由201110100100=⋅⎰dx x x ,202110101100=⋅⎰dx x x ,203110101101=⋅⎰dx x x ,1031102100=⋅⎰dx x x ,1041102101=⋅⎰dx x x 可知, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡104110312031202120212011b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≈⨯⨯⨯-=≈⨯⨯⨯=148.37510310420320298243.37510410320220199b a ,即在2ϕ上为()148.375,243.375-.22、x x f =)(在[]1,1-上,求在{}421,,1x x span =ϕ上的最佳平方迫近. [解]由1100111=+-=⎰⎰⎰--xdx xdx dx x ,21103013112=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x ,31105015114=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x 可知,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3121192725272523252322c b a ,解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===12810512821012815c b a . 从而最佳平方迫近多项式为421281056410512815)(x x x -+=ϕ. 23、21]arccos )1sin[()(xx n x u n -+=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系)()(2)(11x u x xu x u n n n -+-=.[证明]令θcos =x ,则。

数值分析第三版课本习题与答案第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利⽤公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差?7. 求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设2⽽相对误差却减⼩.11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++2.2)定义的德蒙⾏列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii)x l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8maxmax a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ?及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21.设2()1/(1)f x x=+,在55x-≤≤上取10n=,按等距节点求分段线性插值函数()hI x,计算各节点间中点处的()hI x与()f x的值,并估计误差.22.求2()f x x=在[],a b上的分段线性插值函数()hI x,并估计误差.()f x x=在[],a b上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.24.给定数据表如下:试求三次样条插值并满⾜条件i)(0.25) 1.0000,(0.53)0.6868; S S'='=ii)(0.25)(0.53)0. S S"="=25.若[]2(),f x C a b∈,()S x是三次样条函数,证明i)[][][][] 222()()()()2()()()b b b ba a a af x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-";ii)若f x S x i n==,式中ix为插值节点,且01na x x x b=<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b a S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'.26.编出计算三次样条函数()S x系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x可⽤(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1.(a)利⽤区间变换推出区间为[],a b的伯恩斯坦多项式.(b)对()sinf x x=在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较.2.求证:(a)当()m f x M≤≤时,(,)≤≤. (b)当()f x x=时,(,)nB f x x=.3.在次数不超过6的多项式中,求()sin4f x x=在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4.假设()f x在[],a b上连续,求()f x的零次最佳⼀致逼近多项式.5.选取常数a,使301maxxx ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式. 8. 如何选取r ,使()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dxπ+-?()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成积?19. ⽤许⽡兹不等式(4.5)估计6101x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:1122211(),x ax dx x ax dx----??.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22.()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出⼀记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:。

数值分析第5版课后答案本文是数值分析第5版课后答案。

以下是每章节课后习题的答案。

第一章：导论和误差分析1.什么是数值分析？数值分析是利用数学模型和离散数值计算方法进行科学计算的一门学科。

它通过建立数学描述、离散化、数值求解等步骤求解各种科学计算问题。

2.什么是误差？误差是实际值与理论值之间的差异。

误差分为绝对误差和相对误差。

3.什么是有效数字？有效数字是指一个数值中有效的数字位数，不包括前导0和末尾0。

第二章：计算机算术1.什么是机器数？机器数是计算机内部表示的数字。

它是由位组成的2进制数，可以表示整数和实数。

2.什么是补码？补码是表示负整数的一种方法。

它是将一个数反码后加1得到的数，也就是一个数与其相反数的和，是一种用来解决计算机计算负数的方法。

3.什么是浮点数？浮点数是一种可以表示任意大小的实数的计算机数据类型。

它由两部分组成：指数和尾数。

指数表示数的大小，尾数表示数的精度。

第三章：方程的解法1.什么是二分法？二分法是一种求解连续函数零点的方法。

它需要先确定一个区间，然后在该区间中搜索函数值为0的点。

2.什么是牛顿迭代法？牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法。

它利用函数的一阶导数和二阶导数近似表示函数，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

3.什么是割线法？割线法是一种求解非线性方程的方法。

它是利用函数两点连线的斜率逼近函数的零点，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

第四章：插值和逼近1.什么是插值？插值是利用已知数据点得到一个函数，使这个函数通过这些点。

2.什么是拉格朗日插值？拉格朗日插值是一种插值方法。

它利用数据点和插值点的函数值，通过拉格朗日插值公式得到通过插值点的函数。

3.什么是样条插值？样条插值是一种插值方法。

它是通过多项式连接各个区间，并满足一定条件得到一个光滑的函数。

第五章：数值积分1.什么是数值积分？数值积分是用数值计算方法来近似计算定积分的方法。

2.什么是梯形公式？梯形公式是数值积分的一种方法。