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等差数列的前n 项和公式答案制作 ：吕运涛 审题：郭银生【例1】 （1）2700 (2)法一：∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝16. 法二：∵S 6＝S 5＋a 6＝15， ∴15＝6(a 1＋a 6)2，即3(a 1＋10)＝15.∴a 1＝－5，d ＝a 6－a 15＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝16. （3）n=12(4)法一：∵a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝485，∴a 1＋2d ＝245. ∴S 5＝5a 1＋10d ＝5(a 1＋2d )＝5×245＝24. 法二：∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝485，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝52×485＝24.[跟进训练]1．(1)已知数列{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，若a 2＋a 4＝4，a 5＝8，则S 10＝( ) A ．125 B ．115 C ．105 D ．95(2)已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 9＝27，a 10＝8，则S 14＝( ) A ．154 B ．153 C ．77 D ．78(1)D (2)C [(1)⎩⎨⎧ a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝4，a 5＝a 1＋4d ＝8⇒⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3，S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝95.(2)根据题意，等差数列{a n }中，若S 9＝27，即S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3，又a 10＝8，∴S 14＝14×(a 1＋a 14)2＝14×(a 5＋a 10)2＝77.故选C.]等差数列前n 项和公式的实际应用个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．[跟进训练]2．(1)B (2)B [(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{a n }，其中a 1＝5，a 30＝1，∴S 30＝30×(5＋1)2＝90，即共织布90(尺)．(2)依题意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列{a n }．设首项为2，则a 5＝4，∴中间3尺的重量为a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝a 1＋a 52×3＝2＋42×3＝9(斤)．]等差数列前n 项和S n 的函数特征n n (1)求{a n }的通项公式； (2)则{a n }的前多少项和最大？[思路探究] (1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1，d ，从而求出通项．(2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解． [解] (1)法一：(公式法)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1，满足a n ＝34－2n . 故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .法二：(结构特征法)由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知⎩⎪⎨⎪⎧d 2＝－1，a 1－d2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .(2)法一：(公式法)令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17， 故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大． 法二：(函数性质法)由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332， 距离332最近的整数为16，17.由S n ＝－n 2＋33n 的 图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0， 故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．1．(变条件)将例题中的条件“S n ＝33n －n 2”变为“在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9”，求其前n 项和S n 的最大值．[解] 法一：∵S 9＝S 17，a 1＝25， ∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2d ， 解得d ＝－2.∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法二：同法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0， 得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212，又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法三：∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法四：设S n ＝An 2＋Bn .∵S 9＝S 17， ∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.2．(变结论)本例中条件不变，令b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] 由数列{a n }的通项公式a n ＝34－2n 知，当n ≤17时，a n ≥0； 当n ≥18时，a n <0.所以当n ≤17时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n一、选择题1．C [∵⎩⎨⎧ a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，∴⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝2，a 1＋3d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3，∴S 10＝10a 1＋10×92×d ＝－40＋135＝95.] 2．D [因为a 1＋a 12＝a 7＋6，所以a 6＝6，则 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝11×6＝66，故选D.]3．B [由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.]4．B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．]5．B [由题意可得{a n }为等差数列，a 1＝5，∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390， 解得d ＝1629，∴a 14＋a 15＋a 16＋a 17＝a 1＋13d ＋a 1＋14d ＋a 1＋15d ＋a 1＋16d ＝4a 1＋58d ＝4×5＋58×1629＝52.]二、填空题6．27 [由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27.]7．－10 [设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22·d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32·d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10.]8．304 [因为a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝64＋3d ＝40⇒d ＝－8，所以a n ＝40－8n .所以|a n |＝|40－8n |＝⎩⎨⎧40－8n ，n ≤5，8n －40，n ＞5，所以前12项之和为5×(32＋0)2＋7×(8＋56)2＝80＋224＝304.]三、解答题9．[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 则⎩⎨⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．[解] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝1，S 16＝16a 1＋16×152d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝－n 2＋16n＝－(n －8)2＋64，则当n ＝8时，S n 取得最大值．法二：因为{a n }是等差数列，所以S 16＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＝0，则a 9＝－a 8＝－1，即数列{a n }的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以当n ＝8时，S n 取得最大值．11．ABD [显然S n 对应的二次函数有最大值时d ＜0，且若d ＜0，则S n 有最大值，故A ，B 正确．又若对任意n ∈N *，S n ＞0，则a 1＞0，d ＞0，{S n }必为递增数列，故D 正确． 而对于C 项，令S n ＝n 2－2n ，则数列{S n }递增，但S 1＝－1＜0，故C 不正确．] 12．AD [由等差数列{a n }，可得S 2 019＝2 019(a 1＋a 2 019)2＞0，S 2 020＝2 020(a 1＋a 2 020)2＜0，即：a 1＋a 2 019＞0，a 1＋a 2 020＜0，可得：2a 1 010＞0，a 1 010＋a 1 011＜0， ∴a 1 010＞0，a 1 011＜0，∴A 正确B 错误．又等差数列{a n }为递减数列， 且a 1 010＋a 1 011＜0，∴|a 1 010|＜|a 1 011|，∴C 错误．而对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为1 010.故D 正确．故选AD.] 13．(一题两空)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则d ＝________，a 5＝________.－2 －1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.]14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．2 000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000(米)．]15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？[解] (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *，∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n }中有12项大于零．。
第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，了解等差数列前n 项和的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题．知识点一 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{S n n }也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1.思考 在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？答案 中间两项，中间项．知识点二 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n .当d ≠0时，S n 关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组Error!确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组Error!确定．(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 7＋a 8等于( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，由等差数列的性质得a 5＋a 6＝6，a 7＋a 8＝8.2．已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( )A.98 B.94C ．1 D ．0答案 C解析 由a 4＝a 2＋(4－2)d ，得－2＝0＋2d ，故d ＝－1，a 1＝1，故S n ＝n ＋n (n －1)2·(－1)＝－n 22＋3n2＝－12(n －32)2＋98.所以当n ＝1或2时，S n 的最大值为1.3．(多选)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为( )A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案 BC解析 由a n ≤0即2n －48≤0得n ≤24.∴所有负项的和最小，即n ＝23或24.4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.答案 2 020解析 由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6，∴d ＝1，∴S nn ＝S 11＋(n －1)d ＝n －2 019.故S 2 0202 020＝2 020－2 019＝1，∴S 2 020＝2 020.一、等差数列前n 项和的性质例1 (1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.答案 2解析 由Error!得Error!所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .解 方法一 在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m2m ＝S mm ＋S 3m3m.即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟 利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．答案 －4解析 设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28，∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②由①②得d ＝－4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解 S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110.二、等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解 方法一 因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二 同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由Error!得Error!又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三 因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四 设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n＝13时，S n取得最大值．由题意得Error!解得Error!所以S n＝－n2＋26n，所以S13＝169，即S n的最大值为169.反思感悟 (1)等差数列前n项和S n最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则S n存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则S n存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和S n最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用Error!或Error!来寻找．②运用二次函数求最值．跟踪训练2 在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．解 (1)设等差数列的公差为d，因为在等差数列{a n}中，a10＝18，S5＝－15，所以Error!解得a1＝－9，d＝3，所以a n＝3n－12，n∈N*.(2)因为a1＝－9，d＝3，a n＝3n－12，所以S n＝n(a1＋a n)2＝12(3n2－21n)＝32(n－7 2)2－1478，所以当n＝3或4时，前n项的和S n取得最小值S3＝S4＝－18.三、求数列{|a n|}的前n项和例3 数列{a n}的前n项和S n＝100n－n2(n∈N*)．(1)判断{a n}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和．解 (1)当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2.②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝Error!n ∈N *.反思感悟 已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由Error!得Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2(－32×172＋1032×17)－(－32n 2＋1032n)＝32n 2－1032n ＋884.∴S n ＝Error!等差数列前n 项和公式的实际应用典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升] (1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．1．已知数列{a n}满足a n＝26－2n，则使其前n项和S n取最大值的n的值为( ) A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案 D解析 ∵a n＝26－2n，∴a n－a n－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{a n}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴S n＝24n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－252)2＋6254.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n最大．2．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A．0.5,0.5 B．0.5,1C．0.5,2 D．1,0.5答案 A解析 由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，∴d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋10×92×0.5，得a1＝0.5.3．(多选)设{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是( ) A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案 ABD解析 ∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．4．已知在等差数列{a n}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n 的值是________．答案 6或7解析 ∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴－a5＝a9，即a5＋a9＝0.由等差数列的性质，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正．∴S n 取得最小值时的n 为6或7.5．已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d ＝________.答案 5解析 由题意得Error!故S 偶＝192，S 奇＝162，所以6d ＝S 偶－S 奇＝30，故d ＝5.1．知识清单：(1)等差数列前n 项和的一般性质．(2)等差数列前n 项和的函数性质．2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想．3．常见误区：求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( )A ．10B ．100C ．110D ．120答案 B解析 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴{S n n }也是等差数列且首项为S 11＝1.又S 88－S 66＝2，∴{S n n }的公差是1，∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数 B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数 D ．无最大值和最小值答案 B解析 易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案 AB 解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确；S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确；数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019 D ．2 020答案 D解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 018，S k＝S2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k2，解得k＝2 020.6．已知在等差数列{a n}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案 99解析 由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.7．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案 5解析 ∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则S n取得最小值时n的值为________．答案 6解析 由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－173.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝d2x2＋(a1－d2)x的图象的对称轴为x＝12－a1d＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n取得最小值时n的值为6.9．已知在等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？解 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴a n＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)方法一 a1＝9，d＝－2，S n＝9n＋n(n－1)2·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，S n取得最大值．方法二 由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{a n}是递减数列．令a n≥0，则11－2n≥0，解得n≤11 2 .∵n∈N*，∴当n≤5时，a n>0；当n≥6时，a n<0.∴当n＝5时，S n取得最大值．10．在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.解 (1)∵a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，∴a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，∴{a n}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，a n＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝8n＋n(n－1)2×(－2)＝9n－n2.∵a n＝10－2n，令a n＝0，得n＝5.当n>5时，a n<0；当n＝5时，a n＝0；当n<5时，a n>0.∴当n≤5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝9n－n2.当n>5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋a n)＝S5－(S n－S5)＝2S5－S n＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，∴T n＝Error!11．若数列{a n}的前n项和是S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( ) A．15 B．35 C．66 D．100答案 C解析 易得a n ＝Error!|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则{S n n }是公差为d2的等差数列．因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案 4178解析 因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________.答案 310解析 设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列．所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.所以S12＝6k，S16＝10k.S8S16＝3 10.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案 11 7解析 设等差数列{a n}的项数为2n＋1(n∈N*)，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)(a1＋a2n＋1)2＝(n＋1)a n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n(a2＋a2n)2＝na n＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝a n＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1<2,6S n＝(a n＋1)(a n＋2)．(1)求证：{a n}是等差数列；(2)令b n＝3a n a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1.证明 (1)因为6S n＝(a n＋1)(a n＋2)，所以当n≥2时，6S n－1＝(a n－1＋1)(a n－1＋2)，两式相减，得到6a n＝(a2n＋3a n＋2)－(a2n－1＋3a n－1＋2)，整理得(a n－a n－1)(a n＋a n－1)＝3(a n＋a n－1)，又因为a n>0，所以a n－a n－1＝3，所以数列{a n}是公差为3的等差数列．(2)当n＝1时，6S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，因为a1<2，所以a1＝1，由(1)可知a n－a n－1＝3，即公差d＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，所以b n＝3a n a n＋1＝3(3n－2)(3n＋1)＝13n－2－13n＋1，所以T n＝1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝1－13n＋1<1.。
等差数列求前n项和公式的应用等差数列求前n项和公式是数学中一个重要的公式，它可以利用来计算等差数列前n项的总和。
等差数列是指一组有序数组，每个元素均等于前一元素加上一个常数，即某项与它的前一项的差值是相同的。
在这种情形下，前n项和公式就可以派上大用场了。
等差数列求前n项和公式是这样的：假设等差数列的第一项为a1，首项为a，公差为d，则前n项和公式为：Sn=n/2*（a1+an）；其中：an=a1+(n-1)*d。
例如，4，6，8，10，12是一个等差数列，a1=4，a2=8，d=2，n=5。
运用等差数列求前n项和公式，显然：Sn=5/2*（4+8）=30。
在日常中，等差数列求前n项和公式广泛应用于各种领域，比如：工业制造可以使用等差数字来确定某种产品在生产和销售上遵循的统一规定；在医学上，也可以使用这个公式来定量观测患者的恢复情况。
而在教育行业，等差数列求前n项和公式可以帮助学生掌握数学概念，解决实际问题，空前经久式地学习数学知识。
总而言之，等差数列求前n项和公式在建筑、投资等领域有着广泛的应用，并能够更有效地解决实际的问题。
其中给人们带来巨大的效用，值得我们进一步探索和发挥这种知识的功效。
等差数列求前n项和公式是数学中一个重要的公式，它可以利用来计算等差数列前n项的总和。
等差数列是指一组有序数组，每个元素均等于前一元素加上一个常数，即某项与它的前一项的差值是相同的。
在这种情形下，前n项和公式就可以派上大用场了。
等差数列求前n项和公式是这样的：假设等差数列的第一项为a1，首项为a，公差为d，则前n项和公式为：Sn=n/2*（a1+an）；其中：an=a1+(n-1)*d。
例如，4，6，8，10，12是一个等差数列，a1=4，a2=8，d=2，n=5。
运用等差数列求前n项和公式，显然：Sn=5/2*（4+8）=30。
在日常中，等差数列求前n项和公式广泛应用于各种领域，比如：工业制造可以使用等差数字来确定某种产品在生产和销售上遵循的统一规定；在医学上，也可以使用这个公式来定量观测患者的恢复情况。
