等差数列前n项和公式ppt课件

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等差数列的前n项和公式(1)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册 (1)

= ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) = × = .
问题2：你能用上述方法计算 + + + ⋯ + 吗？
需要对项数的奇偶进行讨论
（1）当是偶数时，有 + = + − = ⋯ = + + ，
且 ≠ .任取若干组，，，在电子表格中计算
l
，，，，的
值(图表示 = ， = ， = 的情况)，观察数列{ }的特点，研究它
是一个怎样的数列，并证明你的结论.
结论：已知数列{ }的前项和为 = + + (，，为常数

例题精讲
课本例6.已知数列{ }是等差数列.
l = ，求；
(1)若 = ，

(2)若 = ， = ，求；
(3)若 =

，

=

− ，

= −，求.
解(1)：因为 = ， = ，根据公式 =
=
×(+)
所以 = 12.
(−1)
1 +
，得
2
课本例7.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是
1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
追问：还有其他方法吗？
解: =310, =1220,
把它们代入公式 = +
+ =
且 ≠ )，则当 = 时，数列{ }为等差数列；当 ≠ 时，数列{ }
从第二项起为等差数列.
已知数列 { }的前项和为 = + + (，，为常数且 ≠ )，

《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件

合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n

等差数列的前n项和 -PPT课件

(2) an Sn Sn1 ，n≥2； (3)验证 S1 a1 ,是否满足上式的 an
课堂小结
知识上： 1，已知 Sn ，求 an ； 2，求 Sn 的最值问题思想方法上：
运用了函数的思想方法
当堂检测
1，
an
3 2n
n 1
n2
2，当 n 7时，Sn 取得最大值，Sn 77
作业Байду номын сангаас
课本第45页2,3题
∵ 当n=11时，a11 0
∴ 当n=10或者n=11时取的最小值
由公式解得
Sn
na1
nn 1d
2
S10 S11 110
探究展示二
已知数列 an 的前n项和为 Sn ，
Sn n2 2 ,求这个数列的通项公
式。第一组展示
第八组点评
解：由题意可知 Sn n2 2
∴ Sn1 n 12 2 n 2
Sn1 n2 2n 3 n 2
an Sn Sn1 n 2
an n2 2 n2 2n 3 n 2
an 2n 1 n 2
当 n 1 时 S1 a1 3 不符合上式
∴数列 an 的通项公式为
a 3 n 1
n
2n 1 n 2
归纳提升
等差数列前n项和的最值问题有两种方法
谢谢大家！
(2)问题1缺少n≥2,关系式没写出来 (3)问题2的第3问存在问题比较多，
探究展示一
已知等差数列 an ，a1 20, d 2
求当n为何值时 S n 取得最小值,并求
出最小值为多少.
第三组展示
第六组点评
解：由题意可知 a1 20, d 2 得等差数列 an
为递增数列

等差数列前n项和的公式 PPT

(2)当m+n=p+q时， am+an=ap+aq
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
高斯， (1777— 1855）德国著名数学家。
我们先看下面的问题。
怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢？
一二
4+10=14 5+9=14
三四
6+8=14 7+7=14
1( 2
？首项 + ？尾项 )
？项数
Sn
n(a1 an) 2
以下证明 {an}是等差数列，Sn是前n项和，则
Sn
n(a1 an) 2
证：
Sn= 即Sn=
aa1+n+aa2n-+1+a3an+-2+…+a+a1…ana+-n21+a++na-32++aan-21++aan11
把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
n(n-1)
2
×4 =54
整理得： n 2－6n－27=0
解得： n1=9, n2=－3（舍去）
答：等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和是54。
.
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？
多媒体教学课件

等差数列的前n项和公式(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

n(a1 an )
.
2
（1）
把等差数列的通项公式＝1 +
（ − 1）代入公式（1），
可得＝1 +
(−1)
.
2
（2）
思考:
不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公
式（2）吗？
＝1 + 2 + ⋯ +
＝1 + 1 + + ⋯ + 1 + ( − 1)
A
B
C
D
1
1
3
3
2
2
8
5
3
0
15
7
4
24
9
5
35
11
结论：已知数列{ }的前项和为＝2 + + （，，为常数且 ≠ 0），则当＝0
时，数列{ }为等差数列；当 ≠ 0时，数列{ }从第二项起为等差数列.
证明：当 ≥ 2时，＝ − −1
＝ 2 + + − − 1
＝1 + （ − 1）＝.
证明：奇数项共n项，偶数项共(n 1)项，
S奇
n

.
S奇
S偶 n 1
n(a1 a2 n 1 )
(n 1)(a2 a2 n 2 )
n
S奇
nan , S偶
(n 1)an ,

.
2
2
S偶 n 1
若项数为偶数2，则2＝（1 + 2）＝（ + +1 ）（，+1 为中间两项）；
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=

等差数列的前n项和公式-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

例题讲解
例8 某校新建一个报告厅, 要求容纳800个座位，报告厅共有20
排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.
问第1排应安排多少个座位？
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成
一列，构成数列{}，其前 n 项和为.
根据题意，数列{an}是一个公差为 2 的等差数列，且＝
}的通项公式
a
= ＋(－).
下面，我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题
教学目标
教学
目标
难点
重点
一
理解公式的推导方法
二
掌握等差数列前n项和公式
三
能较熟练应用等差数列前n项和公式求和
新知探究
探究一：等差数列的前n项和公式
概念生成
= + + +. . . +
因为 = + ( − )

由 = ( + )

所以 = +
(−)

( − )
= +

新知探究
探究：利用前n项和公式解决相关问题
新知讲解
例6.已知数列{}是等差数列.
（1）若 = , = ,求；

掌握等差数列前n项和公式的三种形式

= ( + )

( − )
= +

=
பைடு நூலகம்

+ ( −

)
所以 =
可得 = × +

把 = ，d=

得− =

等差数列前n项和PPT优秀课件

n 个 2 S （ a a ) （ a a ) （ a a ) n 1 n 1 n 1 n
n （ a a ) 1 n
n （ a 1 a n) S n 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n （ a 1 a n) S n 2 n （ n 1 ) S na d n 1 2
解：由题意 , m 是 7 的倍数 , 且 0 m 100 .
练习1.
课堂小练
1. 根据下列条件，求相应的等差数列
a n 的 S
( 1 ) a 5 , a 95 , n 10 ; 1 n
( 2 ) a 100 , d 2 , n 50 ; 1
n
练习2.
解得： n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2
M m |m 7 n ,n N , 且 m 100 例3. 求集合
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
将它们从小到大排列得： ,7 7 0,7 1, 7 2, 7 , 14 , 21 , , 98 . 14 .即共有 15 个元素 , 构成一个等差数列 ,记为 a , n 15 ( 0 98 ) a 0 , a 98 S 1 15 735 15 2 答 : 集合 M 共有 15 个元素 , 和等于 735 .
= 7260 120 = (1 + 120 ) · 2
120 (a1 a120) · 2
(三)构建数学:猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
(a1 a120 )· 2

等差数列的前n项和PPT优秀课件1

（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元），存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)，因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元），第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)，本息和为3600+179.82=3779.82元；
解得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三：设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C，则A，B，C成等差数列，且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.

【课件】等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

2
解得n 10或n 10(舍去).
∴原等差数列的前10项的和等于 100.
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 .
4a1 6d 6
3
1
解：根据题意,得
,解得a1 ,d .
4
2
8a1 28d 20
3 16 15 1
∴S16 16
72.
4
2
2
课本P23
04
目标检测检验效果
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.
15 14
解：
由题意,得15a1
d 5[a1 d a1 5d a1 (k 1)d ].
2
整理得( k 16)d 0.
101
101
101
101
（2 99）（3 98）（50 51）
（1 100）
50对
100
（100 1） 5050
2
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ①
前100项的和的问题.
03
思考你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求
2
n
an
a1
n
a1
an
(n-1)d
n(n 1)
Sn na1
d
2
04
例题练习巩固理解
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1) 若a1 7,a50 101,求S50 ；
5
(2) 若a1 2,a2 ,求S10 ；

等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册全

下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
++ + +
+++
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1
加法
// // // //
// \\ \\
2S100=101+101+101+…+101+101+101
多1少00个个110011 ?
已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
错解: an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
∵an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，
∴数列{an}是等差数列．
辨析:an＝Sn－Sn－1 是在 n≥2 的条件下得到的，a1 是否满足需另外计算验证．
【解析】由已知得 an1 Sn1 Sn Sn1 Sn ，
两边同时除以 Sn1 Sn ，
得
1 Sn1
1 Sn
1，
1
故数列
Sn
是以-1
为首项，-1
为公差的等差数列，
则
1 Sn
1 (n 1)
n ，
1
所以 Sn n ．
例已知数列{an}满足 a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，求 an.
创设情境
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

等差数列的前n项求和公式ppt课件

由等差数列的性质即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n

n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0

等差数列的前n项和公式的性质ppt课件

可编辑课件
22
『变式探究』
1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，
所以数列{an}是等差数列，d＝ a 4 a 1 = －2，
Sna 1a 2a 5(a 6a 7a n) (a 1a 2a 3a n)2 (a 1a 2a 5)
n 9n40 Sn＝2－25＋9·5＋n－52＋2 2n－10＝n2－9n＋40.
由①，②可得
Sn＝－n2－n2＋9n＋9n，40，
1≤n≤5 n≥6
可编辑课件
，n∈N*.
24
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可编辑课件
25
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且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
65 12
.
可编辑课件
13
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
a b
n n
为整数的正整数n的
个数是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
可编辑课件
14
【题型分类深度剖析】
题型1：等差数列前n项和性质的简单应用
一般地若数列abn那么数列a为等差数列那么是什么数列为等差数列即等差数列a项的平均值组成的数列仍然是等差数列且公差是数列aa0b2011201120112009200720092007知识探究二等差数列前n项和的性质思考1

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求前16项的和? 分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式
解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2 ） × 18=144 答:前16项的和为144。
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
巩固练习
1：在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成AP, 求这10个数的和。
问题1：1+2+3+…+100=？
这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年） 10岁时曾很快求出它的结果。（你知00=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x10110,0x=5050.
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，n，… 的前100项的和。
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54，
根据等差数列前 n项和公式，得
10nn(n1)454n26n27 0
2
n19，n23 (舍去) 等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。
例3 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
上面的公式又可以写成
Sn n1 an(n21)d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式 5 个共 a 1 量 ,涉 d ,n ,a n ： ,S 及 n .已到知 3 个其可 2 个
知三求二
例1 如图，一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d
已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/ （n-m）
(2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
解1：法 SSn(ab)12(a 2b)(ab)5(ab) 解2法： x1x10ab, S10(x1 2x10 )5(ab)
2/(1).求1000以内能被11整除的所有自然数之和。
2/2 ()求 . 集 M合 m m7n,n N ,且 m10 的 0 元素
并求这些元素的和。
3.求一切被7除余1的三位数之和。
即 Sn=n(a1+an)/2
即前n项的和与首项末项及项数有关若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
因为 an= a1+（n-1）d
所以 Sn=na1+n (n-1)d/2
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅
笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记
为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得
120(112)0
S12 0
2
7260
答：V形架上共放着 7 260支铅笔。
例2 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
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