2018-2019学年度苏教版高中数学苏教版必修五学案：3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域

3.1 不等关系1．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．会用不等式(组)表示不等关系．(重点) 3．会比较数(或式)的大小．(难点)[基础·初探]教材整理 不等关系阅读教材P 73～P 74，完成下列问题．在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．1．人类能听到的声音频率x 不低于80 Hz 且不高于2 000 Hz ，用不等式表示为________．【解析】 “不低于80 Hz ”即“≥80 Hz ”；“不高于2 000 Hz ”即“≤2 000 Hz ”．【答案】 80 Hz ≤x ≤2 000 Hz2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不高于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，用不等式组表示上述关系为________．【答案】 ⎩⎨⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【精彩点拨】 总收入＝单价×销售量，总收入－成本＝利润．【自主解答】 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.用不等式表示不等关系的注意事项1．利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．2．在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．[再练一题]1．一个两位数，个位数字为a ，十位数字为b ，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．【解析】 该两位数为10b ＋a ，由题意可知10b ＋a >50. 【答案】 10b ＋a >506 t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【精彩点拨】【自主解答】 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎨⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎨⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步．(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意． (3)要将所有不等关系都表示为不等式．[再练一题]2．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍，写出L 与W 的关系．图3-1-1【解】 由题意，得⎩⎨⎧(L ＋10)(W ＋10)＝350，L >4W ，L >0，W >0.[探究共研型]探究1 如果<b ，那么a －b 分别与0的关系？反之呢？【提示】 若a >b ，则a －b >0，反之也成立； 若a ＝b ，则a －b ＝0，反之也成立； 若a <b ，则a －b <0，反之也成立． 探究2 若a >b ，则ab >1吗？反之呢？【提示】 若a >b ，当b <0时，a b <1，即a >bD ⇒\ab >1； 若a b >1，则ab －1>0，即a －b b >0， ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0， 即ab >1D ⇒\a >b ，反之也不成立．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．【精彩点拨】 ―x <1【自主解答】 x 3－1－(2x 2－2x ) ＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x <1，∴x －1<0， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， ∴x 3－1<2x 2－2x .1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤： ①作商变形； ②与1比较大小； ③得出结论．(2)作商法比较大小的适用范围： ①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．[再练一题]3．若m >2，比较m m 与2m 的大小． 【解】 ∵m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m，又m >2，∴m2>1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >⎝ ⎛⎭⎪⎫m 20＝1， ∴m m >2m .[构建·体系]1．用不等式表示a 与b 的平方和是非负数，应为________．【解析】 a 与b 的平方和应表示为a 2＋b 2，非负数即≥0，故a 2＋b 2≥0. 【答案】 a 2＋b 2≥02．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为________．【解析】 由题意可知v ≤120，d ≥10，即⎩⎨⎧v ≤120，d ≥10.【答案】 ⎩⎨⎧v ≤120，d ≥103．b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)，若再添上m g 糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为________.【导学号：91730050】【解析】 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了． 【答案】 a ＋m b ＋m >ab4．已知m ＝x 2＋2x ，n ＝3x －2，则m 与n 的大小关系是________． 【解析】 ∵m －n ＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74，又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴m －n >0，∴m >n . 【答案】 m >n5．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？【解】设软件数为x ，磁盘数为y ，由题意得⎩⎨⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ，y ≥2且y ∈N .我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A 容器不小于B 容器的容积．若前一个量用a 表示，后一个量用b 表示，则上述事实可表示为________；________；________.【答案】 a <b a >b a ≥b2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为________.【导学号：91730051】【解析】 “限重”即不超过的意思，即T ≤40. 【答案】 T ≤403．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示就是________．【解析】 “不低于”即≥，“高于”即>， “超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.【答案】⎩⎨⎧x ≥95，y >380，z >454．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________．【答案】⎩⎨⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *5．《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”设身高为h (米)，请用不等式表示下表中的不等关系身高超过1.5米可表示为h >1.5， 身高不足1.2米可表示为h <1.2. 【答案】 1.2≤h ≤1.5 h >1.5 h <1.26．若a∈R，则a1＋a2与12的大小关系是________．【解析】∵a1＋a2－12＝2a－1－a22(1＋a2)＝－(a－1)22(1＋a2)≤0，∴a1＋a2≤12.【答案】a1＋a2≤127．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过 2 200 km，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．【解析】如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为8xx－12，因此，不等关系“它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式8xx－12>9来表示．【答案】8(x＋19)>2 2008xx－12>98．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．【解析】∵A＝n－n－1＝1n＋n－1，B＝n＋1－n＝1n＋1＋n，∵0<n＋n－1<n＋1＋n，∴A>B.【答案】A>B二、解答题9．某帐篷厂为支援某地震灾区，由于帐篷规格的需要，要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的数量的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，根据题意需用不等式组来表示，则有⎩⎨⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ∈N *，y ∈N *，即⎩⎨⎧5x ＋6y ≤40，3x ≥y ，x ∈N *，y ∈N *.10．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 【解】 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．[能力提升]1．已知a ≠0，b ≠0，且a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________． 【解析】a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2 ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，a 2b 2>0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 【答案】 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b2．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为________.【导学号：91730052】【解析】 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1,百度百度 此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .【答案】 M >N3．如图3-1-2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示出来________．(1) (2)图3-1-2【解析】 (1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S 1＝12a 2＋12b 2＝12(a 2＋b 2)，(2)的面积S 2＝ab ，所以有12(a 2＋b 2)>ab .【答案】 12(a 2＋b 2)>ab4．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且每一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组．【解】 依题意得，第二次钉子没有全部钉入木板，第三次全部钉入木板，则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <1，47＋47k ＋47k 2≥1，(k ∈N *)．。

3.2一元二次不等式第1课时一元二次不等式的解法1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．掌握分式不等式的解法．(重点)3．能借助“三个二次”的关系解决与一元二次不等式有关的解集问题．)(难点[基础·初探]教材整理一元二次不等式阅读教材P75～P77练习以上的有关内容，完成下列问题．1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系1．下列不等式中是一元二次不等式的是________．(填序号)①(m＋1)x2－3x＋1<0；②2x2－x>2；③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)<0【解析】③④符合一元二次不等式的定义；对于①，当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；②是指数不等式．【答案】③④2．不等式x2＋x－2<0的解集为________．【解析】令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，画出函数图象可知，当－2<x<1时，f(x)<0，从而不等式x2＋x－2<0的解集为{x|－2<x<1}．【答案】{x|－2<x<1}[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]解下列不等式．(1)2x 2＋5x －3<0；(2)－3x 2＋6x ≤2； (3)－x 2＋6x －10>0.【精彩点拨】 →【自主解答】 (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12，作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．用阴影描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0，Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤3－33或x ≥3＋33.(3)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， 又∵二次项系数大于0，∴x 2－6x ＋10>0恒成立． ∴原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的步骤：(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．[再练一题]1．求下列一元二次不等式的解集．(1)x 2－5x >6；(2)4x 2－4x ＋1≤0；(3)(5－x )(x ＋1)≥0. 【解】 (1)由x 2－5x >6，得x 2－5x －6>0， ∴(x －6)(x ＋1)>0， ∴x >6或x <－1.∴不等式的解集为{x |x >6或x <－1}． (2)∵4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2≥0，∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝12.(3)由(5－x )(x ＋1)≥0， 得(x －5)(x ＋1)≤0， ∴－1≤x ≤5，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}.若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎭⎪⎬⎪x ⎪⎪⎪12<x <2，求不等式ax 2－5x＋a 2－1>0的解集.【导学号：91730053】【精彩点拨】 利用不等式解集的端点值为对应方程的根，求出a 的值，再解不等式即可．【自主解答】 由已知条件可知a <0，且12，2是相应方程ax 2＋5x －2＝0的两个根，由根与系数关系得，⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝52，－2a ＝1，解得a ＝－2.∴ax 2－5x ＋a 2－1>0化为2x 2＋5x －3<0， 化为(2x －1)(x ＋3)<0，解得－3<x <12.所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.“三个二次”之间的内在联系[再练一题]2．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解】 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2知a <0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a <0，则c >0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53， ∴b a ＝－53. 又c a ＝－23， ∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12. [探究共研型]探究1 “2x －13x ＋1≥0”与“(2x －1)(3x ＋1)≥0”是同解不等式吗？为什么？ 【提示】 不是．因为前者3x ＋1≠0，而后者3x ＋1可以为0. 探究2 不等式“x ＋1x －5>1”与不等式“x ＋1>x －5”是同解不等式吗？为什么？【提示】 不是．因为“x －5”的符号不定，故x ＋1x －5>1不等价于x ＋1>x －5.解下列不等式． (1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1；(3)2x ＋11－x<0.【精彩点拨】【自主解答】 (1)∵x －3x ＋2<0， ∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3， ∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}． (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，或x ≥4. (3)由2x ＋11－x <0，得x ＋12x －1>0，此不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >1.分式不等式的解题策略解分式不等式要先通过移项、通分转化为以下类型再进行求解： (1)f (x )g (x )>0型，f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； (2)f (x )g (x )<0型，f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； (3)f (x )g (x )≥0型，f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0； (4)f (x )g (x )≤0型，f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≤0，g (x )≠0.[再练一题] 3．解下列不等式． (1)x ＋21－x <0；(2)2x －1x ＋3≥1.【解】 (1)由x ＋21－x <0，得x ＋2x －1>0，此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．(2)移项得2x －1x ＋3－1≥0， 整理得x －4x ＋3≥0， 它的同解不等式为⎩⎨⎧(x －4)(x ＋3)≥0，x ＋3≠0，∴x ≥4或x <－3.∴原不等式的解集为{x |x <－3或x ≥4}．[构建·体系]1．不等式2x 2－x －1>0的解集是__________． 【解析】 ∵(2x ＋1)(x －1)>0，∴x <－12或x >1. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集为__________．【解析】 －6x 2－x ＋2≤0⇔6x 2＋x －2≥0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≥0⇔x ≤－23或x ≥12.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞3．不等式x ＋1x －1≥0的解集是__________． 【解析】 ∵⎩⎨⎧(x ＋1)(x －1)≥0，x －1≠0，∴x >1或x ≤－1.【答案】 (－∞，－1]∪(1，＋∞)4．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________.【导学号：91730054】【解析】 由题意可知，－7，－1是方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根， ∴(－7)×(－1)＝21a ，∴a ＝3. 【答案】 35．求函数f (x )＝2x 2＋x －3＋lg(3＋2x －x 2)的定义域． 【解】 要使函数f (x )有意义，则x 满足不等式组⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0， ①3＋2x －x 2>0， ②由①得x ≥1或x ≤－32， 由②得－1<x <3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，或x ≤－32，－1<x <3，∴1≤x <3，∴函数f (x )的定义域为[1,3)．我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为________．【解析】 由方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点为2，－1，又∵a <0，∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线， ∴不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－1≤x ≤2}． 【答案】 {x |－1≤x ≤2}2．不等式组⎩⎨⎧x 2－1<0，x 2－3x <0的解集为________．【解析】 ∵x 2－1<0的解集为{x |－1<x <1}， x 2－3x <0的解集为{x |0<x <3}，∴⎩⎨⎧x 2－1<0，x 2－3x <0的解集为{x |0<x <1}． 【答案】 {x |0<x <1}3．不等式3x －1x －2≤0的解集为________．【解析】 不等式3x －1x －2≤0等价于⎩⎨⎧(3x －1)(x －2)≤0，x －2≠0，解得13≤x <2. 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <2 4．下列不等式中解集为实数集R 的是__________．(填序号) ①x 2＋4x ＋4>0；②x 2>0；③x 2－x ＋1≥0；④1x －1<1x .【解析】 ①不等式可化为(x ＋2)2>0，∴解集为{x |x ≠－2}；②不等式解集为{x |x ≠0}；③由Δ＝1－4<0，∴不等式解集为R ；④由定义域要求x ≠0，∴解集为{x |x ≠0}．【答案】 ③5．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．【解析】 由题意知，－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5， ∴x 2－bx －a <0⇔x 2－5x ＋6<0⇔2<x <3.【答案】 (2,3)6．不等式ax x －1<1的解集为{x |x <1或x >2}，那么a 的值为________. 【导学号：91730055】【解析】ax x －1<1化为ax x －1－1<0， 即(a －1)x ＋1x －1<0， 等价于[(a －1)x ＋1](x －1)<0，∴(a －1)x 2－(a －2)x －1<0，∴1,2是方程(a －1)x 2－(a －2)x －1＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝a －2a －1，1×2＝－1a －1，解得a ＝12.【答案】 127．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于__________．【解析】 由题意知x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，则(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2，又x 2－x 1＝15，可得36a 2＝152，又a >0，则a ＝52. 【答案】 528．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是__________．【解析】 f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f (x )>3.①当x ≥0时，不等式即为⎩⎨⎧x 2－4x ＋6>3，x ≥0， 解得⎩⎨⎧ x >3或x <1，x ≥0， 即x >3或0≤x <1；②当x <0时， 不等式即为⎩⎨⎧x ＋6>3，x <0， 解得－3<x <0.综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．【答案】 (－3,1)∪(3，＋∞)二、解答题9．解不等式x 2－3|x |＋2≤0.【解】 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0⇔(|x |－1)·(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1，或1≤x ≤2}．10．已知函数f (x ) ＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，求实数c 的值．【解】 由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，可知对于x 2＋ax ＋b ＝0，有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，所以f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22，由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c －a 2<x <c －a 2. 又不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9. [能力提升]1．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－1，或x >12，则f (10x )>0的解集为________．【解析】 由题知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，即－1<10x <12⇒x <－lg 2.【答案】 {x |x <－lg 2}2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________.【导学号：91730056】【解析】 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－4(－x )]＝－x 2－4x ，又f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0，当x ≥0时，由x 2－4x >x ，解得x >5；当x <0时，由－x 2－4x >x ，解得－5<x <0，故f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞).【答案】 (－5,0)∪(5，＋∞)3．若不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则ax ＋b x ≥0的解集为__________．【解析】 由题知－13，12是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根．∴－13×12＝1a ，－13＋12＝－b a ，∴a ＝－6，b ＝1.把a ＝－6，b ＝1代入ax ＋b x ≥0得－6x ＋1x ≥0，∴解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16 4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．【解】 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝0，m ＋2≥3， ∴⎩⎨⎧ m ＝2，m ≥1，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，∴m >5或m <－3.故m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．。

二元一次不等式表示的平面区域
1教材分析
二元一次不等式组与简单的线性规划问题，是必修五第3章的内容，作为不等式中一个相对独立的章节，有着它本身的意义。

不等关系，作为时间万物的数学刻画，是普遍存在的，第三小节中开始研究的线性规划问题，看似独立，实则是对二元一次不等式的一种思考。

在初中就学过二元一次方程，它对应的图形是直线，那么不等式是什么？这节课，就是来解决这个问题。

2.教学重难点
①二元一次不等式对应的平面区域的判断
②点与平面位置关系的判断
③数形结合思想的渗透。

3.教学过程
1本课从如何确定一个点？两个点的位置入手，着手研究确定点，确定直线的一般性方法，然后抛出问题：如何确定直线以外的点？
2“探索性教学法”，课前打印人手一份带着坐标系的纸张，请大家自行画出一条直线，明确表达式，然后自行确定三个点，加以探究？
思考问题：点在直线上，满足abc=0,点在直线外，就满足abc≠0，那么是不是点在直线上方，就满足abc>0点在直线下方，就满足abcb ;
点在直线下方，满足0，abc<0的对应关系。

逐步推到出研究点线位置的两种常用方法：斜截式法和特殊点法。

4.教学反思
本节内容不难，围绕着点和二元一次不等式的关系展开，为下一节简单的线性规划做好铺垫，因此本人用探究式学习法展开教学，以问题链的形式
安排教学，希望结论的得到能水到渠成，达成到位。

［学习目标］1•理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2掌握图象法解一元二次不等式3培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力自主学习一兀二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一兀二次不等式表达式ax2+ bx+ c> 0, ax2+ bx+ c v 0, ax2+ bx+ c> 0, ax2+ bx+ c< 0,其中a丰 0,a, b, c均为常数解集2ax + bx+ c>0(a z 0)解集是使f(x) = ax2+ bx+ c的函数值为正数的自变量x的取值集合2ax + bx+ c v0(a z 0)解集是使f(x) = ax2+ bx+ c的函数值为负数的自变量x的取值集合2ax + bx+ c> 0(a z 0)解集是使f(x) = ax + bx+ c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合2ax + bx+ c< 0(a z 0)解集是使f(x) = ax + bx+ c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合思考下列不等式是一元二次不等式的有______________ .①x2>0;②一3x2-X W 5;③ x3+ 5x—6> 0;④ax2—5y v 0(a 为常数弱⑤ ax2+ bx+ c>0. 答案①② 解析①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a= 0时，它是一元一次不等式，当a z0时，它含有两个变量x, y;⑤不是，当a= 0时，不符合一元二次不等式的定义•知识点二一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式•解一元二次不等式的一般步骤:(1) 将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2) 计算相应的判别式；⑶当A> 0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集知识点三“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系思考一元二次不等式ax2+ 2x—1v 0的解集为R，贝U a的取值范围是___________答案(— R, —1)l a v 0, a v 0,解析？？ a v —1.Av 0 4+ 4a v 0〒题型探究重点突破题型一一元二次不等式的解法例1 解下列不等式：2(1) 2x + 7x+ 3 > 0;2 81⑵—4x + 18x—4》0；2(3) —2x + 3x—2v 0 ；⑷-]2+ 3x—5> 0.解⑴因为A= 72—4X 2 X 3= 25> 0,所以方程2x2+ 7x+ 3 = 0有两个不等实根X j=—3, X21 2 、1=-2.又二次函数y= 2x + 7x+ 3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x> —1或X V —3}.(2)原不等式可化为?x—9 ,2< 0，所以原不等式的解集为ixX = ~4".(3)原不等式可化为2x2—3x+ 2>0,因为A= 9 —4X 2X 2=—7V0，所以方程2x2—3x+ 2 = 0无实根，又二次函数y= 2x2—3x+ 2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.⑷原不等式可化为x2—6x+ 10V 0, A= (—6)2—40=—4V 0，所以方程x2—6x+ 10= 0无实根，又二次函数y= x2—6x+ 10的图象开口向上，所以原不等式的解集为？.反思与感悟解一元二次不等式的一般步骤(1) 通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2) 计算对应方程的判别式；⑶求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；⑷根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.跟踪训练1解下列不等式：(1) x2—5x—6> 0; (2)(2 —x)(x+ 3) V 0;2(3) 4(2x —2x+ 1) > x(4 —x).解⑴方程x2—5x—6= 0的两根为X1=—1, X2 = 6.结合二次函数y= x2—5x—6的图象知，原不等式的解集为{x|x V—1或x> 6}.(2) 原不等式可化为(x—2)(x+ 3) >0.方程(x—2)(x+ 3) = 0 的两根为X1= 2, X2=—3.结合二次函数y= (x—2)(x+ 3)的图象知，原不等式的解集为{xX V —3或x>2}.2 2⑶由原不等式得8x —8x+ 4>4x—x .•••原不等式等价于9x2—12x+ 4 > 0.2 2解方程9x —12x + 4 = 0，得X1= X2= 3.2 结合二次函数y= 9X2—12x+ 4的图象知，原不等式的解集为{X|X M 3}.题型二解含参数的一元二次不等式例2 解关于x 的不等式：ax 2— (a — 1)x — 1v 0(a € R ). 解 原不等式可化为：(ax + 1)(x — 1) v 0,当 a = 0 时，x v 1 ；—-v x v 1 a当 a =— 1 时，X M 1 ；当一1 v a v 0 时,x +a (x —1) > 0,• •• x >— —或 x v 1 ； a1当 a v- 1 时，—1v 1,综上，当a = 0时，原不等式的解集是｛x|x v 1｝；1 1当a >0时，原不等式的解集是c x| —x v 1「；当a =— 1时，原不等式的解集是｛X |X M 1｝; 当一1v a v 0时，原不等式的解集是ix|x v 1或x >— - F ； L 弘当a v — 1时，原不等式的解集是 ix|x v —1或x > 1匸L a , 反思与感悟 含参数不等式的解题步骤(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此 步);(3)根据根的情况写出相应的解集 (若方程有两个相异实根， 为了写出解集还要比较两个根的大小).另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为 0,这决定不等式是否为二次不等式•跟踪训练2解关于x 的不等式x 2—(a + a 2)x + a 3> 0. 解原不等式可化为： 2(x — a)(x — a )>0,当a >0时,x+ a (x — 1) v 0,• x > 1 或x v- a.讨论a与a2的大小:(1) 当 a 2>a 即 a > 1 或 a v 0 时， x >a 2或 x v a.(2) 当 a 2= a 即 a = 0 或 a = 1 时，X M a.(3) 当 a 2v a 即 0 v a v 1 时， x >a 或 x v a 2.综上，当a v 0或a > 1时，解集为{x|x >a 2或x v a}, 当a = 0或1时，解集为{X |X M a}, 当O v a v 1时，解集为{x|x > a 或x v a 2}. 题型三“三个二次”关系的应用例3 已知一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0的解集为(a, 且0v av 3,求不等式 cx 2 + bx + a v 0的解集. 解 方法一由题意可得a v 0,且a, 3为方程ax 2 + bx + c = 0的两根，a =_(计3戶0,①由根与系数的关系得f = a > 0,② ■ a■/ a v 0,0 v av 3 •••由②得 c v 0, b a则 cx 2 + bx + a v 0 可化为 x 2 + b x + a > 0.c c• a 1为方程x 2+ b x + a = 0的两根. 厂 1 1又■/ 0v av 3, • 0 v ：V 一，3 ab a 11•不等式x 2 + b x + ->0的解集为、|x v 1 或x >一 ：2 ^11 即不等式cx 2+ bx + a v 0的解集为》|x v?或Y >_①电，得 —a + 3a3由②得a =；•> °.x >a方法二由题意知a v 0:2 c 2 b•••由cx + bx + a v 0，得—X +—X+ 1 > 0.a a将方法一中的①②代入，得a3 x ( a+ ®X + 1 > 0 ,即(ax 1)( 3 x 1) > 0.1 1又T 0V aV 3, •- 0.3 a1 1•所求不等式的解集为x|x<3或x>a.反思与感悟求一般的一元二次不等式ax2+ bx+ c>0(a>0)或ax2+ bx+ c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2+ bx+ c= 0(a丰0)的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集•当两个“有关联”的不等式同时出现时，应注意根与系数的关系的应用跟踪训练3 已知关于x的不等式x2+ ax+ b v 0的解集为｛x|1v x v 2｝，求关于x的不等式bx2+ ax+ 1 > 0 的解集.解I x2+ ax+ b v 0 的解集为｛x|1v x v 2｝,•-1,2是方程x2+ ax+ b = 0的两根.[一 a = 1 + 2, [a =—3,由根与系数的关系得$ 得彳lb= 1 X 2, b = 2,代入所求不等式，得2x2—3x+ 1 > 0.1解得x v 2或x> 1.2、1• bx + ax+ 1 > 0 的解集为｛x|x v 或x> 1｝.不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误例4 若一元二次不等式ax2+ bx+ c v 0的解集为｛x|x v—3或x> 5｝，贝U ax2—bx+ c v 0的解集为_______________ .错解由根与系数的关系得：b=- 2a, ?c=—15a.代入得ax2+ 2ax—15a v 0,①••• x2+ 2x —15v 0,②--(x —3)(x+ 5) v 0,--—5v x v 3.答案{x|— 5 v x v 3}错因①式化为②式，忽略了二次项系数a的符号，并非同解变形正解由根与系数的关系得：l b=—2a,|c=—15a.2--ax + 2ax—15a v 0,又由解集的形式知a v 0,•••上式化为x2+ 2x—15>0, --(x —3)(x+ 5) > 0,• x> 3 或x v — 5.防范措施1.注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a v 0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论.2.注意“三个二次”的关系二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点〒当堂检测自查自纠2 2 21•下面所给关于x的几个不等式：①3x+ 4v 0;②x + mx —1>0:③ax + 4x—7>0;④x v0•其中一定为一元二次不等式的有 __________ 个•答案2解析②④- -定是- -元二次不等式•f1 1，贝U a, c的值为_______2•若不等式ax2+ 5x+ c> 0的解集为伙3< x v-3 2答案—6,—15 1 1,—2 =尹3，f a=—6,解析易知a v 0，且？C=!x1|c一1.a 3 2，3•已知x= 1是不等式k2x2—6kx+ 8> 0的解，贝V k的取值范围是________________ •答案{k|k w 2 或k>4}解析x= 1是不等式k2x2—6kx+ 8> 0的解，把x= 1代入不等式得k2—6k+ 8>0，解得k>4或k< 2.4•不等式x2+ 3x— 4 V 0的解集为________ •答案(—4,1)解析易得方程x2+ 3x—4= 0的两根为一4,1，所以不等式x2+ 3x—4V 0的解集为(一4,1)・5.已知关于x的不等式mx2—(2m+ 1)x+ m— 1 >0的解集为空集，求实数m的取值范围•解(1)当m = 0时，原不等式化为一x—1>0,--xw — 1 ,解集非空•[mv 0,(2)当m z 0 时，2[△= [ —(2m+ 1 ] —4m(m —1 v 0,1--m v —,8，1•••综上，m v —二8「课堂那结------------------------------------ 11. 解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0) 或ax2＋bx＋c<0(a>0) ；②求方程ax2+ bx+ c= 0(a>0)的根，并画出对应二次函数y= ax2+ bx+ c图象的简图；③由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解.当m<n 时，若(x—m)(x—n)>0，则可得x>n 或x<m;若(x—m)(x—n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间2. 含参数的一元二次不等式在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏讨论需从如下三个方面进行考虑：(1) 关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0, a<0, a = 0.(2) 关于不等式对应的方程的根的讨论：二根(40)，—根(A= 0)，无根(A<0).(3) 关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：X1>X2, x i = X2, x i<x2.。

［学习目标］1•会解可化为一元二次不等式 (组)的简单分式不等式 2能够从实际生活和生产 中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3•掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法•产知识梳理______ 自主学习知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式举)> 0( V 0) g (x )方法一：错误!或错误！ 方法二： f(x) g(x) > 0( < 0) > 0( < 0) g(x )()方法一： 错误!或错误！方法二： 错误！f < a 、 购> a > ag(x )丿 y a 丿先移项转化为上述两种形式知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x) >0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是： (1) 将f(x)最高次项的系数化为正数；(2) 将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3) 将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线 (注意重根情况，偶重根驻而不穿，奇重根既穿又过);(4) 根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集 .思考 (x — 1)(x -2)(x — 3)2(x -4) >0 的解集为 _________________ .第3隹不等戌§3.2 一元二次不等式(二)答案 {x|1v X V 2 或 x >4}解析利用数轴穿根法知识点三一元二次不等式恒成立问题 对一元二次不等式恒成立问题，可有以下2种思路:⑵分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k >f(x)恒成立？ k > f(X )max ； k W f(X )恒成立？ k W f(X )min .車点突破题型一分式不等式的解法例1 解下列不等式：x + 4 x + 4解⑴由 v 0,得 >0,3 — x x — 3 此不等式等价于(x + 4)(x — 3)> 0, •••原不等式的解集为{x|x v — 4或x > 3}.x + 1(2)方法一 移项得一2W 0, x — 2 —x + 5x — 5左边通分并化简有W 0，即 > 0, x —2 x — 2(1)转化为一元二次不等式解集为2. a >0,R 的情况，即 ax 2 + bx + c>0(a ^ 0)恒成立？I A< 0.ax ? + bx + c<O(a 丰 0)恒成立 a v 0,AV 0. (1) x + 4 3 —xV 0; (2) x + 1x -2 W 2.[(x—2 (x—5戶0, 同解不等式为x—2工0,• x v 2 或x>5.•原不等式的解集为{x|x v 2或x> 5}.仪一5》0,此不等式等价于丫 ①x — 2> 0x —5< 0, 或②x —2v 0,解①得x > 5,解②得X V 2,•••原不等式的解集为{x|x v 2或x > 5}. 反思与感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型 f2L> 0(<0)或丄> O (w 0),g (x )')g (x )再化成整式不等式来解•如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.x ? — 2x — 2跟踪训练1不等式<2的解集为x 十x 十1 -------------答案{X|X M — 2}解析 •/ x 2+ x + 1= x + 2 2+ 4> 0, .•.原不等式? x 2 — 2x — 2<2x 2+ 2x + 2? x 2+ 4x + 4>0? (x2+ 2) >0, ••• X M — 2..不等式的解集为{X |X M — 2}. 题型二解一元高次不等式 例2解下列不等式： (1) x 4— 2x 3— 3x 2v 0; (2) 1 + x — x 3 — x 4> 0;(3) (6x 2— 17x + 12)(2x 2— 5x + 2) > 0. 解 ⑴原不等式可化为x 2(x — 3)(x + 1) V 0,2当 x M 0 时，x > 0,由(x — 3)(x + 1) V 0,得一1V x v 3; 当x = 0时，原不等式为 0V 0，无解.方法原不等式可化为 x — 5> 0,x — 2•原不等式的解集为{x|— 1 v x v 3，且x M 0}.2⑵原不等式可化为(x+ 1)(x—1)(x + x+ 1)V0,2而对于任意x € R，恒有x + x+ 1 > 0,•••原不等式等价于(x+ 1)(x—1)v 0,•••原不等式的解集为{X— 1 V X V 1}.⑶原不等式可化为(2x—3)(3x—4)(2x—1)(x—2)>0,进一步化为x—I x— 3 x —1 (x—2)> 0,“ 1 4 | [如图所示，得原不等式的解集为c x|x v -或|V x v 3或x>2 :反思与感悟解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法2x + px + q跟踪训练2若不等式x2+ px+ q v 0的解集是{x|1v x v 2}，则不等式> 0的解集是x —5x—6答案{x|x< — 1 或1<x<2 或x>6}2 2解析由题意知x + px+ q = (x—1)(x—2)，则待解不等式等价于(x—1)(x—2)(x —5x—6) > 0 ? (x—1)(x—2)(x—6)(x+ 1) > 0? x v—1 或1 v x v 2 或x> 6.题型三不等式恒成立问题例I 对任意的x€ R，函数f(x) = x2+ (a—4)x+ (5 —2a)的值恒大于0，贝U a的取值范围为答案(一2,2)解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x) > 0恒成立，只需Av 0即可，即(a—4)2—4(5 —2a)v 0,解得—2v a v 2.反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；⑵若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解跟踪训练3对任意a€ [ —1,1]，函数f(x)= x2+ (a —4)x+ 4-2a的值恒大于零，则x的取值范围是 ________ .答案{x|x v 1 或x> 3}解析f(x) > 0,2••• x + (a—4)x+ 4 —2a> 0,2即(x—2)a+ (x + 4—4x) > 0,设g(a) = (x —2)a+ (x2—4x+ 4)由题意g —1 > 0,x—2+ x2—4x+ 4= x2—3x+ 2> 0,即—x + 2+ x2+ 4—4x= x2—5x+ 6> 0,•x v 1 或x>3.题型四一元二次不等式在生活中的应用例4某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低X(X M 0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x 的函数关系式；⑵要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.解(1)降低后的征税率为(10 —x)%，农产品的收购量为a(1 + 2x%)万吨，收购总金额为200a(1 + 2x%).依题意得，y= 200a(1 + 2x%)(10 —x)%1=50a(100 + 2x)(10 —x)(0 v x v 10).⑵原计划税收为200a 10% = 20a(万元).1依题意得，50a(100 + 2x)(10 —x)> 20a x 83.2% ,化简得x2+ 40x—84 W 0,•—42 W x< 2.又••• 0v x v 10,/• 0 v x w 2.x的取值范围是{x|0v x< 2}.反思与感悟不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键 .跟踪训练4在一个限速40km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲= 20.1x+ 0.01x ,_ 2S 乙=0.05x+ 0.005x .问超速行驶谁应负主要责任.解由题意列出不等式S甲=0.1x + 0.01X2>12 ,2S乙=0.05x+ 0.005x >10.分别求解，得x< —40 或x>30.x<—50 或x>40.由于x>0 ,从而得x 甲>30km/h , x 乙>40 km/ h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.已当堂检理 ______ 自查自纠x —21. 若集合A= {x|—1 w 2X+ 1 w3} , B= {x—w 0}，贝V A Q B = ________ .x答案{x|0v x w 1}解析•/ A= {x|— 1 w x w 1}, B = {x|0v x w 2},• A Q B= {x|0v x w 1}.2. _________________________________________________________ 若集合A= {x|ax2—ax+ 1<0} = ?，则实数a的值的集合是__________________________________ .答案{a|0w a w 4}解析a= 0时符合题意.a>0时，相应二次方程中的△= a2—4a w 0,得{a|0<a w4}，综上，得{ a|0w a w 4}.3. 不等式L仆2)0+3 L 0的解集为 ______________________________ .x + 4答案{x|—4v x v—3 或x>—1}解析原式可转化为(x+ 1)(x+ 2)2(X+ 3)(x + 4) >0,根据数轴穿根法，解集为—4v x v —3或x>— 1.4. 设x2—2x+ a—8W 0对于任意x€ (1,3)恒成立，求a的取值范围.解原不等式x2—2x+ a—8w 0转化为a< —x2+ 2x + 8对任意x€ (1,3)恒成立，设f(x)=—x2+ 2x+ 8,易知f(x)在(1,3)上的最小值为f(3) = 5.••• aw 5.5•某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏•为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x元，则x> 15,并且日销售收入为x[30 —2(x—15)]，由题意知，当x> 15时，有x[30 —2(x—15)] >400,解得：15W x v 20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x€ [15,20).「课堂小结 ------------------------------------ 11•解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.若不等式含有等号时，分母不为零.2•对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法•这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决•当然这必须以参数容易分离作为前提•分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立？ a>f(X)max；(2)a<f(x)恒成立？ a<f(x)min.3•解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解。

学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.体会用数学模型刻画不等关系等实际问题的方法．
知识点一不等关系
思考1限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
思考2试用不等式表示下列关系：
(1)a大于b a________b
(2)a小于b a________b
(3)a不超过b a________b
(4)a不小于b a________b
梳理(1)不等式的定义
用数学符号“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的________________，含有这些不等号的式子叫做不等式．
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．。

3．3.1 二元一次不等式及不等式组表示的平面区域1．一般地，直线y ＝kx ＋b 把平面分成两个区域：y ＞kx ＋b 表示直线上方的平面区域；y ＜kx ＋b 表示直线下方的平面区域．2．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域；我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界，当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线．3．确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”，若直线不过原点，通常选择原点代入检验．4．二元一次不等式组表示的平面区域，是组内各不等式表示平面区域的公共部分． 5．满足不等式x ＞1的区域位于直线l ：x ＝1的右侧；满足不等式x －y －1＞0的区域位于直线l ：x －y －1＝0的下方；这两个区域的公共部分是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －y －1＞0的解所对应的点的集合．►基础巩固 一、选择题1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是(D )A ．(0，0)B ．(1，1)C ．(0，2)D ．(2，0)解析：特殊点代入法验证．2．不等式2x －y －6＞0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的(D )A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．右下方解析：作直线2x －y －6＝0，将原点(0，0)代入检验．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y≥a，0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是(C )A ．(－∞，5)B ．[8，＋∞)C ．[5，8)D ．(－∞，5)∪[8，＋∞)解析：画图分析可知5≤a＜8.4．下图中的平面区域(阴影部分包括边界)可用不等式组表示为(C )A ．0≤x ≤2B .⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤1C .⎩⎨⎧x ＋2y －2≤0，x ≥y D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≤0，x ≥0，y ≥0解析：将给出的不等式组与区域对比，可排除A 、B 、D 三项．5．已知点(－3，1)和(0，－2)在直线x －y －a ＝0的同一侧，则a 的取值范围是(D )A ．(－2，4)B ．(－4，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：分两种情况讨论，分x －y －a ＞0，x －y －a ＜0. 二、填空题6．点(1，3)和点(－4，2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是________． 解析：∵(1，3)和(－4，2)在2x ＋y ＋m ＝0的两侧，∴(2×1＋3＋m)[2×(－4)＋2＋m]＜0，即(m ＋5)(m －6)＜0，即－5＜m ＜6.答案：(－5，6)7．若不等式2x ＋y ＋m ＜3表示的平面区域包括点(0，0)和(1，1)，则m 的取值范围是________．解析：将(0，0)和(1，1)代入不等式得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜3，3＋m ＜3⇒m ＜0.答案：(－∞，0)8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积是________．解析：由图可知，区域为△ABC， ∴S ＝12×4×2＝4.答案：4 三、解答题9．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤5，2x ＋y≤6，x ≥0，y ≥0确定的平面区域的面积S阴影部分和周长C 阴影部分．解析：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，如下图，其四个顶点为O(0，0)，B(3，0)，A(0，5)，P(1，4)．过点P 作y 轴的垂线，垂足为C.则AC ＝|5－4|＝1，PC ＝|1－0|＝1，OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2，PB ＝（4－0）2＋（1－3）2＝25，得S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB)·OC＝8，∴S 阴影部分＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172，C 阴影部分＝OA ＋AP ＋PB ＋OB ＝8＋2＋2 5.10．某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包，生产高档蛋糕1千克分别需要面粉100克、糖200克、鸡蛋300克，生产普通面包1千克分别需要面粉300克、糖200克、鸡蛋100克．现已知库存面粉为15千克、糖12千克、鸡蛋15千克，若在此基础上进行生产，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解析：设高档蛋糕和普通面包应各生产x 千克和y 千克，则x 、y 所满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋300y≤15 000，200x ＋200y≤12 000，300x ＋100y≤15 000，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y≤150，x ＋y≤60，3x ＋y≤150，x ≥0，y ≥0.分别画出不等式组中各不等式所表示的平面区域，然后取交集．下图所示的平面区域(阴影部分)就是不等式组所表示的区域．►能力升级 一、选择题11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y≤1表示的平面区域为(B )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．一个无界区域D ．不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：画出可行域，易得一个等腰三角形．12．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋5）（x ＋y ）≥0，0≤x ≤3表示的平面区域是一个(C )A ．三角形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．矩形解析：不等式组即 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，0≤x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≤0，x ＋y≤0，0≤x ≤3.前一个不等式组围成区域如右上图所示，为一等腰梯形；后一个不等式组的解集为空集．13．设集合A ＝{(x ，y)|x ，y ，2－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )解析：由三角形任何两边之和大于第三边，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋（2－x －y ）＞y ，y ＋（2－x －y ）＞x ，x ＋y ＞2－x －y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，y ＜1，x ＋y ＞1.故知围成的区域如选项A 中的图所示．二、填空题14．已知函数f(x)＝x 2－4x ＋3，集合M ＝{(x ，y)|f(x)＋f (y)≤0}，集合N ＝{(x ，y)|f(x)－f(y)≥0}，则集合M ∩N 的面积是________．解析：f(x)＝x 2－4x ＋3，f(y)＝y 2－4y ＋3，由f(x)＋f(y)≤0⇒x 2＋y 2－4x －4y ＋6≤0⇒(x －2)2＋(y －2)2≤2. 由f(x)－f(y)≥0⇒x 2－4x －y 2＋4y≥0⇒(x －y)(x ＋y －4)≥0. 集合M∩N 所表示的图形为：其面积是两个14圆面积，而圆半径为2，∴面积为12×π×(2)2＝π.答案：π15．△ABC 的三个顶点坐标分别为A(0，4)，B(－2，0)，C(2，0)，则△ABC 内任意一点(x ，y )所满足的条件为________．解析：将点(0，0)代入直线AB ：2x －y ＋4＝0，得4＞0，代入直线AC ：2x ＋y －4＝0，得－4＜0，故可知△ABC 的内部位于x 轴的上方，故⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＞0，2x ＋y －4＜0，y ＞0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＞0，2x ＋y －4＜0，y ＞0三、解答题16．求不等式|x －2 013|＋|y ＋2 014|≤2所表示的平面区域的面积．解析：将|x|＋|y|≤2表示的区域向右平移2 013个单位，再向下平移2 014个单位，即得|x －2 013|＋|y ＋2 014|≤2所表示的区域，因此|x|＋|y|≤2和|x －2 013|＋|y ＋2 014|≤2表示的区域面积相等，而|x|＋|y|≤2表示的区域是一个边长为22的正方形，其面积为(22)2＝8.。

学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的联系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想在不等式中的应用．
知识点一一元二次不等式的概念
思考我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么你能写出不等式x2>1的解集吗？
梳理(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做________________不等式．
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．
(3)不等式所有解的________称为解集．解不等式的任务是求解集．
知识点二“三个二次”的关系
思考分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．。

§3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域 第 课时 班级__________ 姓名_________【学习目标】1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，掌握简单的二元线性规划问题的解法，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力；4.会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域．【重点难点】重点：用二元一次不等式表示平面区域；难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定，即如何确定不等式Ax + By + C > 0 (或0<)表示Ax + By + C = 0的哪一侧区域【学习过程】一、自主学习与交流反馈1．下表给出了,,x y z 三种食物的维生素含量及成本：素A 及40000单位的维生素B ，设X 、Y 这两种食物各取x kg 、y kg ，那么,x y 应满足怎样的关系？要解决以上问题，我们首先要来了解二元一次不等式的几何意义．2．问题：坐标满足不等式20x y +->的点是否在直线l 上呢？这些点在哪儿呢？与直线l 的位置有什么关系呢？3．活动：通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方．4．结论：一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）： y kx b >+表示直线上方的平面区域； y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．二、新知学习与重难点突破：例1 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式32x y >-+表示直线32x y =-+ 的平面区域； （2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域；（3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域；（4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．例2 画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+； （2）20x y -+>．例3 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）：xyO 下半平面y kx b <+ 上半平面 y kx b >+ y kx b =+例4 原点和点(1，1)在直线x + y – a = 0的两侧，则实数a 的取值范围是 ．例 5 （1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ．（2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？三、巩固练习：1．判断下列命题是否正确：（1）点（0，0）在平面区域0≥+y x 内；（2）点（0，0）在平面区域01>+-y x 内；（3）点（0，0）在平面区域01<++y x 内；（4）点（0，0）在平面区域x y 2>内；2．用＂上方＂或＂下方＂填空若Ｂ＞０，不等式Ａx+Ｂy ＋Ｃ＞０表示的区域在直线Ａx+Ｂy ＋Ｃ＝０的 ； 不等式Ａx+Ｂy ＋Ｃ＜０表示的区域在直线Ａx+Ｂy ＋Ｃ＝０的 ．3．（1）不等式094≥-+y x 表示直线094=-+y x 的 ． ①上方的平面区域 ②下方的平面区域③上方的平面区域（包括直线） ④下方的平面区域（包括直线）（2）不等式073<-+y x 表示直线073=-+y x 的 ．①上方的平面区域 ②下方的平面区域③上方的平面区域（包括直线） ④下方的平面区域（包括直线）4．画出下列不等式所表示的平面区域：（1）0<y ； （2）1-≤x y ； （3）221+>x y ．。

二元一次不等式表示的平面区域【课标要求】不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。

刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤【让学生感受到用二元一次不等式表示平面区域的必要性】，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式。

教学目标：1．了解二元一次不等式的几何意义，能准确画出二元一次不等式表示的平面区域；2．经历二元一次不等式表示的平面区域及判定方法（一是转换法；二是选点法）的探究过程，培养探究问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点；3．通过合作交流，自主建构，巩固数形结合、分类讨论的数学思想，增强数学学习的情感体验． 教学重难点重点：确定二元一次不等式所表示区域以及由给出的区域写出对应的二元一次不等式难点：能用转换法和选点法确定二元一次不等式所表示的区域。

教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等．教学过程：一、问题情境藏宝点(,)P x y 在函数 y x =的图象上，且,x y 满足220x y -+≥，点 P 在距离坐标原点距离最远处。

你能根据提示找到宝藏吗？学生尝试画图分析，二元一次不等式220x y -+≥表示的区域在哪里呢？板书课题：二元一次不等式表示的平面区域二． 尝试问题解决1提问（1）集合｛, ︱-1=0｝有何意义？（2）直线-1=0将平面分成几个区域？（3）点集｛, ︱-1＞0｝在平面直角坐标系中是什么图形？教师引导学生首先解决前两个问题，并且利用预先制作好的Fah 动画进行演示，用三种不同的颜色分别表示三个不同的区域，以此加深学生对平面区域的理解。

紧接着教师发问：点集｛, ︱-1＞0｝在平面直角坐标系中是否是直线-1=0将平面分成几个区域中的一部分？如果是，又是哪一部分？如何判断？这将是我们这一节课要研究的主要问题。

2猜想根据前面所作实验鼓励学生大胆猜想﹗对直线L 右上方的点（，），-1＞0成立。

对直线L 左下方的点（，），-1＜0成立。

3证明教师通过引导学生对不等式与等式的关系的认识类比直线与平面区域的关系，最终找到证明的方法。