三角形的角平分线和中线[下学期]--浙教版1-
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三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的高线。
2. AD⊥BC于D。
3.∠ADB=∠ADC=90°。
三角形有三条高,且它们(或它们的延长线)相交于一点,这个交点叫做三角形的垂心。
三角形的中线三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的中线。
2. BD=DC=12BC。
三角形有三条中线,都在三角形的内部,且它们相交于一点,这个交点叫做三角形的重心。
三角形的重心在三角形的内部。
三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。
2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线,都在三角形的内部,且它们相交于一点,这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。
的内心。
三角形的内心在三角形的内部。
【典例精析】例题1 如图,是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ,其中画对的是_______。
甲 乙 丙 丁思路导航:根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线,顶点与垂足之间的线段是该三角形的高,对各图形作出判断。
答案:丁点评:这是学生在画图时的一个易错点,通过本题理解画高时的两个注意点:一是过哪个点;二是垂直于哪条边。
这道题是过B 点,垂直于AC 边。
例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边长是______。
思路导航:根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长,然后根据三边关系进行讨论,即可得出结论。
答案:设等腰三角形的腰长是x cm ,底边是y cm 。
根据题意,得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x , 解得:⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系,知:8,8,17不能组成三角形,应舍去。
中线与角平分线的关系
中线是一边中点和对应顶点的连线。
角平分线是将一角平分并与对边相交的线段。
只有为等腰三角形时或者等边三角形时,两者顶角平分线才与对边中线重合。
三角形中,连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
任何三角形都有三条中线,而且这三条中线都在三角形的内部,并交于一点。
由定义可知,三角形的中线是一条线段。
三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
“中心”与“重心”很容易弄混淆,“中心”只存在于正三角形,也就是等边三角形当中。
在等边三角形中,其内心,外心,重心,垂心都在一个点上,于是称之为中心。
内心:三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。
外心:三角形三条边的中垂线的交点叫作三角形的外心,即外接圆圆心。
重心:三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。
垂心:三角形三条垂线的交点叫作三角形的垂心。
浙教版七年级下1.2 三角形的角平分线和中线班级___________姓名____________1. 如果三角形的一个内角等于另外两个内角的和,这个三角形的最大的角是______°.2. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,若∠BAC =68°,则∠1= 度.3. 如图,AD 是△ABC 的中线,若BD =2,则BC = .4. 如图,AD 是△ABC 的中线,若S ΔABC =8,则S ΔABD = .5..三角形的角平分线是…………………( )A.射线B.线段C.直线D.以上都不对 6.下列说法正确的是……( )A.经过三角形一边的中点的直线是三角形的中线B.连接三角形两边中点的线段是三角形的中线C.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的面积一定相等D.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的周长一定相等7.如图,在△ABC 中,BE ,CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,若∠ABC =66°, ∠ACB =58°,则∠FDB 的度数为………………………( ) A.56° B.62° C.70° D.86°8.已知BD 是△ABC 的中线,AB =4,AC =3,BD =5,则△ABD 的周长为( ) A.12 B.10.5 C.10 D.8.59. 如图,D 、E 是边AC 的三等分点,BD 是三角形_____中_______边的中线,BE 是三角形_______中_________边上的中线.10.已知AE 是△ABC 的角平分线,若∠B =45°,∠C =60°,则∠AEB = .11.(2008沈阳中考)已知ABC △中,60A ∠=,ABC ∠,ACB ∠的平分线交于点O ,则BOC ∠的度数为 .A 12ADE12.画出如图所示的三角形中的BC 边上的中线与BC 所对的角的角平分线.13.如图,CE ,CF 分别是△ABC 的内角平分线与外角平分线,求∠ECF 的度数. 解14.如图,在△ABC 中,AB =AC =6,BC =5,BD 是AC 边上的中线.试确定△ABD 与△BCD 的周长的差..解:15. 如图,在△ABC 中,∠A =52°,∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于点D 1,∠ABD 1与∠ACD 1的角平分线 交于点D 2,依次类推,∠ABD 4与∠ACD 4的角平分线交于点D 5,则∠BD 5C 的度数是( )A.60°B.56°C.94°D.6816. 在ΔABC 中,8AC BC -=,已知M 是AB 的中点, ΔMBC 的周长为20,则ΔAMC 的周长为.CBA17.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC ,且∠B =3∠BAD ,求∠ADC 的度数.C AB D18.如图, 在△ABC 中,∠C =90°,AD 是△ABC 的角平分线, ∠CAB =2∠B .试求∠ADB 的度数.19.如图,AD 是△ABC 的边BC 上的中线,AB=BC ,且AD 把△ABC 的周长分成3和4的两部分,求AC 边的长.D CBA20.如例2图,AD 是△ABC 的边BC 上的中线,若△ABD 的周长比△ACD 的周长大5,求AB 与AC 的差.21..如图所示,在ΔABC 中,∠B 的平分线交∠ACE 的平分线于点D ,点B ,C ,E 在同一条直线上,若∠D =40°,则∠A = 度.22..如图,一张三角形纸片ABC ,BD 是它的一条角平分线.现将纸片沿BD 折叠,点C 落在AB 边上的E 处.已知∠ABC =40°,∠C =80°,请找出图中与∠ADE 相等的角,并说明理由. 解24.. 如图, ΔABC 中,两条内角平分线与两条外角平分线分别相交于点D 和点E ,若∠D 比∠E 的2倍还大30°,求∠A 的度数.解:25.如图①,△ABC 中,DC ,BD 分别是∠ACB 和∠ABC 的平分线,且∠A =α (1)用含α的代数表示∠CDB ;(2)若把图①中∠ACB 的平分线DC 改为∠ACB 的外角的平分线(如图②),怎样用含α的代数式表示∠CDB ?(3)若把图①中“DC ,DB 分别是∠ACB 和∠ABC 的平分线”改成“DC ,BD 分别是∠ACB 和∠ABC 的外角的平分线”,(如图③),怎样用含α的代数式表示∠CDB ? 解:EEF。