2020届山东省济宁市泗水县高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

绝密★启用前山东省泗水县普通高中2020届高三年级上学期期中教学质量监测数学试题2019年11月本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上．2. 第Ⅰ卷的答案须用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3. 答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm 的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定．．的区域内相应位置,否则，该答题无效. 4. 书写力求字体工整、笔迹清楚.第I 卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．tan165=( )A ．2-B ．2-C ．2D ．2 2．已知集合1{|0}x A x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A ( ) A ．1(0,)2 B ．1（,1)2 C ．1（,1]2 D ．1[,1]23．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a >4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5. 已知,,则与的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数sin()(0,0,0)2I A t A πωϕωϕ=+>><<的图象如图所示,则当0.01t =秒时,电流强度是( )A ．5-安 B ．5安 C ．53安 D ．10安 7．围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即5210000,下列数据最接近36152310000的是( ) （lg30.477≈） A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410-8.如图在梯形ABCD 中,BC ＝2AD,DE ＝EC,设,BA a BC b ==,则BE =（ ）A.1124a b + B.1536a b + C.2233a b + D.1324a b + 9. 右图是函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是（ ） A ． B. C. D ． x 1 O y 1。

2023～2024学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2023.11本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．作选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数()()12i 2i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}28xA x =<，{}240B x x x =-<，则A B = （）．A ．{}03x x <<B ．{}04x x <<C ．{}3x x <D ．{}4x x <3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，24621a a a ++=，则8S =（）．A ．32B ．64C ．80D ．1284．若曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线方程是210x y -+=，则a =（）．A ．3B ．2C ．1D ．05．已知实数0a b >>，则下列结论正确的是（）．A ．ac bc>B ．11a b a b +>+C ．a bc a c b>--D ．22222a b a b++<+6．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2023f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）．A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()2023f x +是偶函数D ．()2023f x +是奇函数7．在ABC △中，点D ，E 是线段BC 上的两个动点，且2y AD AE xAB AC +=+ ，则12x y +的最小值为（）．A ．23B ．43C ．2D ．88．已知函数()()22,01ln ,0f x x x x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，则函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数是（）．A ．2B ．3C ．4D ．5二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）．A ．命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B ．当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C ．“()ππ4k k θ=±∈Z ”是“()π4k k θ=∈Z ”的充分不必要条件D ．tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=10．音量的大小用声强级η（单位：dB ）表示，声强级η与声强I （单位：2W m ）之间的关系是：10lg II η=，其中0I 指的是人能听到的最低声强．人能承受的最大声强为21W m ，对应的声强级为120dB ．若学生早读期间读书的声音的声强级范围为[]70,80（单位：dB ），则下列选项中正确的是（）．A ．12010I -=（单位：2W m ）B ．学生早读期间读书的声强范围为5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2W m ）C ．如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍D ．如果声强级增加10dB ，则声强变为原来的10倍11．函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则（）．A ．()3π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭B ．π12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C ．2π2π033f x f x ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．函数()y f x =在[]0,a 内有且仅有三条对称轴，则a 的取值范围为17π23π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()2ln x f x x =，()()12xg x ae a x=-∈R ，则下列说法正确的是（）．A ．函数()f x 的极大值为12eB ．当1a =时，用二分法求函数()g x 在区间()0,1内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为6C ．若函数g ()x 在区间(),0-∞上单调递增，则a 的取值范围为2,8e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．若函数()()f x g x ≤在区间()0,+∞上恒成立，则a 的取值范围为1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分，其中，多空题1空2分，第2空3分．13．已知向量()2,1a =-，()1,b t =- ，若a b ∥ ，则实数t =______．14．已知π1cos 125α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．15．已知函数()()22log 4x f x x a x-=+-关于直线x b =对称，则22a b+=______．16．已知数列{}n a 满足12121333n n n n n a a a a S ---++++=L ，若2nn a =，则n S =______；若1n a ≥-，10a ≠，n a ∈Z ，0n S =，则当3n =时，满足条件的2a 的所有项组成的集合为______．四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）已知函数()()2ππsin 2022f x x x ϕϕϕ+⎛⎫⎫=+++<<⎪⎪⎝⎭⎭，且π2x =-是()f x 的极值点．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）若将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18．（本小题12分）已知对任意平面向量(),AB x y = ，把AB绕其起点逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ．（Ⅰ）已知平面内点()1,2A ，点(12B ++，若把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π4得到点P ，求点P 的坐标；（Ⅱ）已知()1,1AB = ，把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ，其中π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2,6CD =，若AP CD ⊥，求sin 2θ的值．19．（本小题12分）某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图1所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图2所示的平面直角坐标系，函数()f x 的图象由曲线段OA 和直线段AB 构成，已知曲线段OA 可看成函数()2f x kx =的一部分，直线段6OB =（百米），体育馆平面图形为直角梯形BCDE （如图2所示），π2BCD ∠=，BC DE ∥．10≈）（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在线段OB 上是否存在点C ，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点C 到原点O 的距离；若不存在，请说明理由．20．（本小题12分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，且123ABC S S S S +-=△．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若M 为边AB 上一点（不包含端点），且满足2AMC ABC ∠=∠，求AMBM的取值范围．21．（本小题12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且13a =，14n n n S a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}3nn a 的前n 项和nT ．22．（本小题12分）已知函数()()sin 1xf x e a x a =--∈R ．（Ⅰ）当1a =时，讨论函数()()xf xg x e =在π3π,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调性；（Ⅱ）当3a =-时，证明：对()0,x ∀∈+∞，有()212xxf x e x e-<++-．高三期中数学试题参考答案2023.11一、单选题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案AABCDDCD二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，部分答对得2分，共2分）题号9101112答案ACDABDBCACD三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．1214．2325-15．65816．()232n n-；{}1,0,1,2,3-三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．解：（Ⅰ）因为()()2sin 22f x x x ϕϕ⎛⎫=+++-⎪⎝⎭()()sin 2cos 21x x ϕϕ=++++⎡⎤⎣⎦()()sin 22x x ϕϕ=+++π2sin 23x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为π2x =-是()f x 的极值点，所以π2π2sin 223f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即2πππ32k ϕ-=+，k ∈Z ．所以得π6ϕ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得()2cos 2f x x =，()f x 向右平移π6个单位长度后得()π2cos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即π1cos 2,132x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[]π2cos 21,23g x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．故()g x 的值域为[]1,2．18．解：（1）由题意知AB =，()ππππ5,34444AP ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭ ，所以点P 的坐标为()6,5．（Ⅱ）由题意得：()cos sin ,sin cos AP θθθθ=-+．因为AP CD ⊥ ，所以0AP CD ⋅=，所以()()2cos sin 6sin cos 0θθθθ-++=，整理得：8cos 4sin 0θθ+=，①又22sincos 1θθ+=，②因为π,π2θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，cos 0θ<，sin 0θ>，由①②解得：cos π5=-，sin 5θ=．所以4sin 22sin cos 5θθθ==-．19．解：（Ⅰ）因为()2,4A 在曲线()2f x kx =上，即()244f k ==，1k =，所以02x ≤≤，()2f x x =．又因为()2,4A ，()6,0B ，所以线段AB 方程为()404226y x --=--，所以6y x =-+，26x ≤≤．所以函数()f x 的解析式为()2,026,26x x x x f x ⎧≤≤=⎨-+<≤⎩．（Ⅱ）设C 点坐标为(),0t ，则()2,D t t．又26t x =-+，26x t =-，E 点坐标为()226,t t -，所以直角梯形BCDE 的面积()()()221662S t t t t t ⎡⎤=--+-⋅⎣⎦，即()()()4321212062S t t t t t =--+<<，所以()()3223122312S t t t t t t t 2=--+=-+-．令()0S t '=，解得3744t -+=≈．当704t <<时，()0S t '>；当764t <<时，()0S t '<．所以()S t 在70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在7,64⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．所以74t =时，函数()S t 取得最大值．故在线段OB 上存在点C ，使体育馆平面图形面积最大，且C 到O 的距离74（百米）．20．解：（Ⅰ）由三角形面积公式得：()2221234S S S a b c +-=+-，1sin 2ABC S ab C =△．又因为123ABC S S S S +-=△，所以()2221sin 42a b c ab C +-=．①在ABC △中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，②将②代入①得：sin C C =，所以tan C =又()0,πC ∈，故π3C =．（Ⅱ）由2AMC ABC ∠=∠得：BCM AMC ABC ABC ∠=∠-∠=∠，所以BM CM =．设BCM θ∠=，由π3BCM ACB ∠<∠=，得：π30,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．在AMC △，π3ACM θ∠=-，2π3CAM θ∠-=，所以sin sin sin π2π2π333AM CM BM θθθ--==⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝-⎭⎝⎭⎝⎭，所以31sin cos sin 22sin π32π3AM BM θθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝-⎭-又π30,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(tan θ∈()10,1-∈．故AMBM的取值范围为()0,1．21．解：（Ⅰ）由14n n n S a a +=，①得114n n n S a a --=，2n ≥，②②－①得：()114n n n n a a a a +-=-，又0n a >，所以()1142n n a a n +--=≥．因为13a =，所以24a =．所以数列{}n a 奇数项、偶数项分别成等差数列．当n 为奇数时，134212n n a n -=+=+；当n 为偶数时，24422n n a n -=+=．所以21,2,n n n a n n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知21,2,n n n a n n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，当n 为偶数时，()123413343738321323n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，①()2345133343738321323n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，②①－②得224466123333333323nnn n T n +-=++++++++-⋅+L ，()1913222319n n n T n +--=-⋅-，193388n n T n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．当n 为奇数时，()19113321388nnn n n n T T a n n -⎛⎫=+=+-++ ⎪⎝⎭，191388n n T n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．故11933,88913,88n n n n n T n n ++⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+- ⎪⎪⎝⎭⎩为偶数为奇数．22．解：（Ⅰ）当1a =时，()sin 1sin 11x x x e x x g x e e --+==-，()π1cos sin 14x xx x x g e x e ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭'=-=-，当π2π2π2k x k -+<<，k ∈Z 时，()0g x '<，()g x 单调递减；3π2π2π2k x k <<+，k ∈Z 时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以()g x 在π2π,2π2k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 单调递减，在3π2π,2π2k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 单调递增．（Ⅱ）证明：要证()212xxf x e x e -<++-，只要证23sin 22xx x e---<-，即证()23sin 22xex x --<-．令()()23sin 2xF x ex x =--，()()26sin 23cos 5x F x e x x x '=-+-．当0x >时，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h >=，即sin x x >，从而22sin x x -<-．所以()()()226sin 23cos 56sin 2sin 3cos 5xx F x ex x x e x x x '=-+-<-+-，()()224sin 3cos 55sin 50x x e x x e x ϕ=+-=+-≤⎡⎤⎣⎦，所以()F x 在()0,+∞单调递减，即()()02F x F <=-．故()212xxe xf x e-<++-成立．。

2022届山东省济宁市泗水县高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集为,R 集合211,{|680}2xA xB x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=-+≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则RAB =（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}24x x ≤≤C ．{02x x ≤<或}4x >D ．{02x x <≤或}4x ≥答案：C【解析】根据指数不等式求解出121x⎛⎫⎪⎭≤⎝的解集为集合A ，再求解出一元二次不等式的解集为集合B ，结合补集、交集的概念求解出RA B ⋂.解：因为121x⎛⎫⎪⎭≤⎝，所以0x ≥，所以{}0A x x =≥，又因为2680x x -+≤，所以24x ≤≤，所以{}24B x x =≤≤，所以{R 2B x x =<或}4x >， 所以RA B ={02x x ≤<或}4x >，故选：C. 2．“ln ln a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A由对数函数的性质可得“ln ln a b >”的充要条件是“0a b >>”，利用不等式的性质，即可判定，得到答案．解：由对数函数的性质可得“ln ln a b >”的充要条件是“0a b >>”， 当0a b >>时，则11a b <是成立的，例如：0a b <<，此时11a b <也成立， 所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件．故选A ． 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及不等式的性质和充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用对数函数的性质，以及不等式的性质，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知向量()()1,2,2,1AB BD ==-，(),1,BC t t R =∈，若//,AD CD ，则实数t 的值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．43答案：A【解析】由题意，求得()3,1AD =，()2,2CD t =--，根据//AD CD ，列出方程，即可求解. 解：由题意，向量()()1,2,2,1AB BD ==-，(),1,BC t t R =∈， 可得()3,1AD AB BD =+=，()2,2CD BD BC t =+=--， 因为//AD CD ，所以3(2)1(2)t ⨯-=⨯-，解得8t =. 故选：A.4．数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ）A ．35B ．35C ．5D ．5-答案：B令1n =、3n = 可得等差数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出5a .解：令1n =得1211a =+， 令3n =得3231a =+， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为1d =，所以5322232511a a =+=+=++，解得535a ， 故选：B【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项，以及利用通项求等差数列中的项，属于基础题.5．若α是第三象限角，3tan()34πα+=-，则cos()6πα-=（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-答案：B 设3πθα=+，则cos()cos()sin 663πππαθθ-=-+=，由3tan()34πα+=-可求得sin θ值解：设3πθα=+，所以3sin tan 4cos θθθ=-=， 由于22sin cos 1θθ+=，所以29sin 25θ=，因为α是第三象限角，所以3πα+为第三或第四象限角，所以sin 0θ<，故3sin 5θ=-，故3cos()cos()sin 6635πππαθθ-=-+==-.故选：B.6．我国古代数学著作(九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( ) A ．6斤 B ．9斤 C ．10斤 D ．12斤答案：B根据题意设出等差数列的首项和第五项，通过公式计算出公差，根据等差数列的性质即可求出中间三项的和.解：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列， 设首项14a =，则52a =， 则512415142a a d --===--， 由等差数列性质得24156a a a a +=+=， 3123a a d =+=，∴中间三尺的重量为9斤． 故选B ．【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化史，考查等差数列的通项公式以及等差数列的性质，属于基础题.等差数列的通项公式求解有很多种方法，一种是将已知条件都转化为1a 和d 的形式，然后列方程组来求解；另一种是利用n ma a d n m-=-，先求出公差，再来求首项. 7．已知函数(),01,ln ,0xx x f x x x x ⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩若x 关于的方程f x x a +（）＝无实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．101e-∞⋃（，）（，）B ．10-（，）C ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．01（，）答案：B关于x 的方程f x x a +（）＝无实根等价于函数y f x ＝（）的图象与直线y x a +＝无交点，设直线y x a +＝与()()ln 0xf x x x=>切与点00P x y （，），求出切线方程为：1y x ＝﹣，由图知函数()y f x =的图象与直线y x a +＝ 无交点时实数a 的取值范围为实数a 的取值范围为10.a -<<得解 解：因为函数(),01,ln ,0xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩ 所以关于x 的方程f x x a +（）＝无实根等价于函数y f x ＝（）的图象与直线y x a +＝无交点，设直线y x a +＝与()()ln 0xf x x x=>切与点00Px y （，）， 由()21ln ',x f x x -=由已知有：0201ln 1x x -=解得01x ＝，则10P （，）， 则切线方程为：1y x ＝﹣，由图知：函数()y f x =的图象与直线y x a +＝ 无交点时实数a 的取值范围为实数a 的取值范围为10,a -<<故选B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AE =（ ）A ．4255a b +B ．2455a b +C ．4233a b +D ．2433a b +答案：A【解析】设BE m =，过点E 作EH AB ⊥于点H ，根据题中条件，得到45AH AB =，25HE AD =，再由平面向量的线性运算，即可得出结果.解：设BE m =，由题意，可得22AE BF BE m ===，在Rt ABE △中，可得2245AB m m m =+=，过点E 作EH AB ⊥于点H ，则222555BE AE m EH m AB m ⋅===，且//EH AD ， 所以()222545255AH m m m ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以45AH AB =，25HE AD =， 因此42425555AE AH HE AB AD a b =+=+=+. 故选：A.二、多选题9．在△ABC 中，2,1AB AC ==，2AB AC AP +=则（ ） A ．0PB PC ⋅>B ．0PB PC +=C ．1122PB AB AC =- D ．34AP BP ⋅=-答案：BCD由2AB AC AP +=可得点P 为BC 的中点，然后根据平面向量的数量积运算结合图形分别计算，从而分析判断解：解：对于A ，因为2AB AC AP +=所以点P 为BC 的中点， 所以cos1800PB PC PB PC PB PC ⋅=⋅︒=-⋅<，所以A 错误，对于B ，因为点P 为BC 的中点，所以0PB PC CP PC +=+=，所以B 正确， 对于C ，111()222PB PA AB AB AC AB AB AC =+=-++=-，所以C 正确，对于D ，因为2,1AB AC ==，所以1()2AP BP AB AC BP ⋅=+⋅11()()22AB AC AC AB =+⋅- 22113()(14)444AC AB =-=-=-，所以D 正确， 故选：BCD10．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，43a =．下列说法正确的是（ ） A ．19a =B ．{}n a 是递增数列C ．118n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列D ．{}3log n a 是等比数列答案：BC设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据题意求出q 、1a 的值，可判断A 选项；利用数列的单调性可判断B 选项；求出n S 的表达式，利用等比数列的定义可判断C 选项；利用等差数列的定义可判断D 选项.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，231111110S a a q a q a q a =++=+，即29q =，则3q =.对于A 选项，41319a a q ==，A 错；对于B 选项，对任意的N n *∈，0n a >，13n n n a a a +=>，故数列{}n a 是递增数列，B 对；对于C 选项，()()1113131911318n nn n a q S q ---===--，则131818nn S +=， 所以，111318183118318n n n n S S +++=⋅=+，故数列118n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，C 对； 对于D 选项，131333log log log log 31n n n na a a a ++-===，故数列{}3log n a 是等差数列，D 错. 故选：BC.11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin 4sin a A b B =，)222ac a b c --，则下列选项正确的是（ ） A ．2a b = B．cos A C．sin B =D ．ABC 为钝角三角形答案：ACD先利用正弦定理得到,a b 之间的关系；然后根据角A 对应的余弦定理求解出cos A 的值；先求解出sin A 的值，然后结合正弦定理可求sin B 的值；根据cos A 为负值，可判断出三角形的形状.解：因为sin 4sin a A b B =，所以224a b =，所以20a b =>，故A 正确；因为)()2222cos ac a b c bc A --=-，且2a b =，所以2cos bc A =-，所以cos A =，故B 错误； 因为()0,A π∈，所以sin 0A >，所以sin A =， 又因为2a b =，所以sin 2sin A B =，所以sin B =C 正确；由cos 0A =<可知,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ABC 为钝角三角形，故D 正确；故选：ACD.12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，(),f x x =关于函数()()()g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为偶函数B ．()g x 在()1,2上单调递增C ．()g x 不是周期函数D ．()g x 的最大值为2答案：ACD【解析】利用奇偶性的定义可判断A 选项的正误；求出函数()g x 在区间()1,2上的解析式，判断出函数()g x 在()1,2上的单调性，可判断B 选项的正误；作出函数()g x 的图象，可判断CD 选项的正误.解：对于A 选项，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-， 所以，函数()()()g x f x f x =+的定义域为R ，且()()()()()()()()g x f x f x f x f x f x f x g x -=-+-=-+=+=， 所以，函数()g x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，由题意可得()()2f x f x =-，当12x <<时，021x <-<，则()()22f x f x x =-=-， 此时()()()222242g x f x f x x x x x x =+=-+-=-+-=-， 此时，函数()g x 在()1,2上单调递减，B 选项错误；对于C 选项，由已知可得()()()()224f x f x f x f x =-=--=-， 所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数， 作出函数()f x 的图象如下图所示：当0x ≥时，()()()()()g x f x f x f x f x =+=+，()()()()()444g x f x f x f x f x +=+++=+，当[]0,2x ∈时，()0f x ≥，则()()2g x f x =；当[]2,4x ∈时，()0f x ≤，则()()()()()0g x f x f x f x f x =+=-+=.所以，当0x ≥时，()()()2,4420,4244f x k x k g x k N k x k ⎧≤≤+=∈⎨+<<+⎩， 又由于函数()g x 为偶函数，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图象可知，函数()g x 不是周期函数，C 选项正确；对于D 选项，由函数()g x 的图象可知，函数()g x 的最大值为2，D 选项正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性、奇偶性、最值以及周期性的判断，推导出函数()f x 的基本性质，并由此作出函数()g x 的图象是解题的关键. 三、填空题 13．在ABC 中，3B π=，tan BA B BC ⋅=，则ABC 面积为______．答案：321.5由平面向量数量积的定义和三角形面积公式计算可得. 解：3B π=，c tan3os3BA BA BC BC ππ⋅==⋅，得23BC BA ⋅=，1133sin 32322S BC BA π∴⋅==⨯=. 故答案为：3214．已知2log 6a =，5log 15b =，2c π-=，则,,a b c 的大小关系为__________ (用“<”连接). 答案：c b a <<【解析】借助对数函数和指数函数的单调性寻求中间量，借助中间量比较大小关系. 解：解：由2222log 4log 6log 83=<<=得23a <<， 由5551log 5log 15log 252=<<=得12b <<， 由0112()()122ππ-=<=得1c <， 所以c b a <<. 故答案为：c b a <<.【点睛】方法点睛：指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；（2）指数相同，底数不同，如1a x 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．15．2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足21(1)nn n a a +-=--，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有________.答案：255【解析】根据题目所给递推关系式，求得数列{}n a 项的规律，由此进行分组求和，求得数列前30项的和.解：由于()211nn n a a +-=--，当n 为偶数时，20n n a a +-=，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于22a =，共有15项，和为15230⨯=；当n 为奇数时，22n n a a +-=；又11a =，所以前30项中的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，共有15项，和为151415122252⨯⨯+⨯=. 故30天的总人数为30225255+=. 故答案为：255. 四、双空题16．在四面体P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，1PA =，ABC 、PBC 、PAC △、PAB △均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3，则该四面体外接球的表面积为_________；该四面体体积的最大值为___________． 答案： 9π23将四面体放置在长方体模型中，利用长方体的外接球即可求出四面体的外接球表面积，即可求出空1；求出AC 长度，再由基本不等式求得AB BC ⋅的最大值，即可求出四面体体积的最大值，进而求出空2.解：解：利用长方体模型，因为四面体的所有面均为直角三角形，因此取长方体的四个顶点作为四面体的顶点，如图所示，3PC =所以该四面体外接球半径为：2222113222R PA AB BC PC ++= 所以该四面体外接球的表面积为：2234492S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ 由图知，222918AC PC PA =-=-=22282AC AB BC AB BC ∴==+≥⋅，即4AB BC ⋅≤当且仅当2AB BC ==时取等号111124133263P ABC ABC V S PA AB BC PA -∴=⋅=⨯⋅⋅≤⨯⨯= 故答案为：9π，23.五、解答题17．在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sin sin 2B C b a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，6a =， ．求ABC 的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．答案：答案不唯一，具体见解析若选①：利用正弦定理和余弦定理求出3A π=，利用余弦定理求出4bc =，直接代入面积公式求面积．若选②：利用正弦定理得到3tan A =，求出6A π=，利用余弦定理求出24123bc =-面积公式求面积．若选③：由正弦定理及二倍角公式求出3A π=．利用余弦定理求出4bc =，直接代入面积公式求面积.解：若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=．又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6b c +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+． 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=．又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以22bc =24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ==⨯-⨯=-△ 若选③：由正弦定理得sin sin sin sin 2B C B A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sinsin 2B C A +=，又因为B C A +=π-， 所以cos2sin cos 222A A A =，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A ≠， 1sin 22A ∴=，26A π=，所以3A π=．又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π==⨯⨯= 18．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2n n b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T .答案：（Ⅰ）1n a n =+；（Ⅱ）20202061449T =.【解析】（Ⅰ）根据条件求等差数列的首项和公差，再求通项公式；（Ⅱ）首先求两个数列中的相同项，设数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，根据公式2020203010T A B =-，求解.解：（Ⅰ）依题意，()155355202a a S a +⨯===，解得：34a =，又23a =，故1d =，12a =，所以1(1)1n a a n d n =+-⋅=+.（Ⅱ）令数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，由（Ⅰ）可知11a b =，32a b =，73a b =，154a b =，…，102310a b =，204711a b =，所以2020203010T A B =-，2030(22031)203020634952A +⨯==， ()1010212204612B -==-，故20202061449T =.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，本题的第二问的关键是找到有多少项相同，以及相同项是什么，然后根据公式2020203010T A B =-求解.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，E ，F 分别是1CC ，BC 的中点.（Ⅰ）若D 是1AA 的中点，求证：//BD 平面AEF ；（Ⅱ）线段AE （包括端点）上是否存在点M ，使直线1B M 与平面AEF 所成的角为60︒？若有，确定点M 的位置；若没有，说明理由.答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，点M 与点A 重合.【解析】（Ⅰ）要证明线面平行，可证明面面平行，所以连结1DC ，1BC ，证明平面//AEF 平面1BDC ；（Ⅱ）根据条件中的垂直关系，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用向量法求线面角，得到点M 的坐标，确定点M 的位置.解：（Ⅰ）连接1DC ，1BC ，因为D ，E 分别是1AA ，1CC 的中点，故1//AE DC ，AE ⊄平面1BDC ，1DC ⊂平面1BDC ，所以//AE 平面1BDC .因为E ，F 分别是1CC ，BC 的中点，所以1//EF BC ，EF ⊄证平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以//EF 平面1BDC ，又AE EF E ⋂=，AE ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面//AEF 平面1BDC ，又BD ⊂平面1BDC ，所以//BD 平面AEF ，（Ⅱ）题意得AB ，AC ，1AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(0,2,1)E ，(1,1,0)F .因为(0,2,1)AE =，(1,1,0)AF =.设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，由00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得200y z x y +=⎧⎨+=⎩， 令2z =，得1x =，1y =-，所以平面AEF 的一个法向量为(1,1,2)n =-.设(0,2,)(01)AM AE λλλλ==≤≤，又1(2,0,2)AB =，所以11(2,2,2)B M AM AB λλ=-=--.若直线1B M 与平面AEF 所成角为60︒， 则111sin 60cos ,||n B M n B M n B M ⋅==⋅︒====解得：0λ=或45λ=，即当点M 与点A 重合， 或45AM AE =时，直线1B M 与平面AEF 所成的角为60︒. 【点睛】方法点睛：一般求线面角有如下方法： 1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ=/斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解.20．已知函数()4log (41)x f x kx =++是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）若函数()44log (2)3x g x a a =⋅-，函数()()()F x f x g x =-只有一个零点，求实数a 的取值范围.答案：（1）12-；（2）{}3(1,)-⋃+∞. （1）利用函数为偶函数推出k 的值，即可求解；（2）根据函数与方程之间的关系，转化为方程只有一个根，利用换元法进行转化求解即可. 解：（1）由题意，函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-，即4log (41)log(41)x xkx kx -++=+-，所以441241x x log kx -+=-+， 即4441241x x x log x kx +==-+（），则(21)0k x +=对x ∈R 恒成立，解得12k =-. （2）由()()()4414log (41)log (2)23x x F x f x g x x a a =-=+--⋅-只有一个零点， 所以方程4414log (41)log (2)23x x x a a +=+⋅-有且只有一个实根， 即方程2444444log (41)log 4log (2)log 2(2)33xxx x x a a a +=+⋅-=⋅-有且只有一个实根， 即方程24(2)1(2)13x x a a t +=⋅--有且只有一个实根， 令2(0)x t t =>，则方程24(1)103a a t t ---=有且只有一个正根， ①当1a =时，34t =-，不合题意； ②当1a ≠时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由0∆=，解得3a =-或34， 当34a =，则2t =-不合题意，舍去； 当3a =-，则12t =，符合题意， 若方程有两根异号，则101a -<-，所以1a >， 综上，a 的取值范围是{}3(1,)-⋃+∞.21．某市城郊有一块大约500m 500m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米.（1）分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值答案：（1）1500030306S x x=--，定义域是(6，500)；（2）设计50m 60m x y ，==时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.（1）总面积为3000xy =，且26a y +=，可得3000y x =，15003a x =-（其中6500)x <<，从而运动场占地面积为(4)(6)S x a x a =-+-，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积150003030(6)S x x =-+，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x 的值．解：解：（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500). (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-26a y +=，∴1500332y a x =-=-， 150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--，其定义域是(6,500). （2）150003030(6)3030303023002430,S x x =-+≤--⨯= 当且仅当150006x x=，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，50x =，60y =，2430max S =．答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.22．已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+． (1)若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为12，求a 的值． (2)若函数()f x 存在减区间，求a 的取值范围．(3)求证：若1x ，()20,x ∈+∞，12x x >都有()121212ln ln 2x x x x x x -⋅+>-． 答案：(1)1a =(2)2a >(3)证明见解析（1）求导得到导函数，计算()211142a f '=-=，解得答案. （2）题目转化为()()21201a f x x x '=-<+有解，即()212x a x+>，利用均值不等式计算最值得到答案.（3）题目转化为11224ln 201x x x x -+>+，设12x t x =，()421ln t F t t =+-+，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明.(1)()()1ln 1a x f x x x -=-+，()()2121a f x x x '=-+，()211142a f '=-=，1a =. (2)()()21201a f x x x '=-<+有解，即()212x a x +>，设()()212x g x x+=，()0,x ∈+∞， ()()211112222x x g x x x +==++≥=，当122x x =，即1x =是等号成立. 故2a >. (3)()121212ln ln 2x x x x x x -⋅+>-，即121212ln ln 2x x x x x x -->+，即11224ln 201x x x x -+>+， 设12x t x =，()1,t ∈+∞，()421ln t F t t =+-+，()()()()222114011t F t t t t t -'=-=>++， 故函数()421ln t F t t =+-+在()1,+∞上单调递增，故()()10F t F >=， 故()4ln 201F t t t =+->+在()1,+∞恒成立. 【点睛】本题考查了根据切线斜率求参数，根据函数的单调性求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用换元的思想消元简化运算，是解题的关键.。

2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题（答案在最后）2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =ð（）A.∅B.[)1,+∞C.(),0-∞ D.(],1-∞-2.若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A.34B.43C.34-D.43-4.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()2024f x +是奇函数D.()2024f x +是偶函数5.向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A.2-B.5-C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭6.已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A.8B.34-C.109-D.127.已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A.b a c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<8.如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A.2B.4C.D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C.tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D.“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10.已知函数()cos f x x x =+，则（）A.函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D.若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A.223n a n =-B.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C .当10n =时，n S 有最大值D.设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．13.已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =，2AC =，CD =，求AD 的长．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cossin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19.已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】13+【13题答案】【答案】[)2,-+∞【14题答案】【答案】①.(1,2)②.42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【16题答案】【答案】（1）2n n a =（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【17题答案】【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,∞+，()f x 的单减区间为(],1-∞-（2）①23-；②32-，23-和1.【18题答案】【答案】（1）π5545cos12H t=-，[]0,24t∈．（2）π2π45cos123h t⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,24t∈；8mint=或20mint=【19题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析。

高三语文参考答案一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）1．D【解析】A项，一个大国的气质基于其文化传统，但并非所有大国都有“悠久的历史传统”；B项，原文第二段说的是”中国是所有国家中有最长的连续历史的国家”；C项，因果颠倒，应是“中华文明的独特的价值体系影响中国人的行为方式”。

2．D【解析】D项，所列的三个方面属并列关系，不是“逐层深入”的“层进式结构”。

3．C（二）实用类文本阅读（本题共3小题，12分）4．B【解析】B项对应点在材料二的第1节，原材料表述为，“专家预测，‘十三五’期间，我国集成电路产业仅芯片设计人才需求达14万人。

”B选项，漏掉了“仅芯片”这个重要的信息点。

以整体代部分，理解有误。

故选B。

5．C【解析】材料三图表“2010—2019E本土芯片供应与需求量对比”，可以看出，我国芯片产业需求与国内芯片供应均呈稳步增长态势，然而国内芯片产业发展与其庞大的市场需求并不匹配。

A项“提供全覆盖的端到端5G自研芯片”有误，对应点在材料一的第2段，原材料表述为，“华为可提供涵盖终端、网络、数据中心的端到端5G自研芯片”，选项A是“全覆盖”，以偏概全。

B项“而且还是全球集成电路发展的聚集地”有误，对应点在材料二的第3段，原材料表述为，“在市场带动下，中国不仅是手机整机研发的聚集地，还将成为全球集成电路发展的聚集地，选项B，变“未然为已然”，表述错误。

D项“只要拥有一定的技术沉淀和较强的创新能力，并且进行迎合市场的技术创新，就能形成真正有价值的创新”有误，对应点在材料四的第3段，表述为，“电子信息是一个技术驱动型产业，创业团队要拥有一定的技术沉淀和较强的创新能力，并且进行迎合市场的技术创新，才能形成真正有价值的创新。

”选项D是混淆充分、必要条件。

6．喜：①华为发布的全球首款5G基站核心芯片——华为天罡，在集成度、算力、频谱带宽等方面，取得了突破性进展；②5G将是中国自主手机芯片赶超的关键。

2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学 高三（上）期中数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合{}1,1M =-， 11{|24,}2x N x x Z +=<<∈，则M N ⋂= A ．{}1,1- B ．{}1- C ．{}0 D ．{}1,0- 2．已知a+2i i=b +i (a,b ∈R)其中i 为虚数单位，则a +b =A ．-1B ．1C ．2D ．33．已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-r r r r r r若则 A ．4- B ．2- C ．-3 D ．-14．要得到函数()cos 21y x =+的图象，只要将函数cos2y x =的图象 A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 5．已知a =log 372,b =(14)13,c =log 1315，则a,b,c 的大小关系为A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b6．已知F 1，F 2是椭圆上的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是A ．√32 B ．√33 C ．√22 D ．√237．执行程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为A ．3B ．6C ．5D ．48．若y =alnx +bx 2+x 在x =1和x =2处有极值，则a 、b 的值分别为A ．{a =1b =−13B ．{a =16b =23 C ．{a =13b =−1 D ．{a =−23b =−169．一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的全面积是(单位：m 2).A ．4+2√6B ．4+√6C ．4+2√2D ．4+√210．在ABC ∆中， 060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点， 2,CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为 A ．32B ．4C ．2D ．1 11．已知sin(α+π3)+cos(α−π2)=−4√35，−π2<α<0，则cos(α+2π3)等于A ．−45B ．−35C ．45D ．35 12．定义在R 上的函数()y f x =满足()555,0222f x f x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-->⎪ '⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，任意的12x x <都有()()12f x f x >是125x x +<的此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．设变量x,y 满足约束条件{x ≥0,x −y ≥0,2x −y −2≤0, 则z =3x −2y 的最大值为__________ .14．如果双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+1相切，则该双曲线的离心率为_________15．直线y =x +1与圆x 2+y 2+2y −3=0交于A ， B 两点，则|AB |=________． 16．长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在体积为32π3的球O 的球面上，其中AA 1=2，则四棱锥O −ABCD 的体积的最大值为______．三、解答题17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，12成等差数列．(1)证明数列{a n }是等比数列； (2)若b n =log 2a n +3，求数列{1bn b n+1}的前n 项和T n ．18．ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且b 2+c 2−a 2+bc =0. （1）求角A 的大小；（2）若a =√3，求S ΔABC 的最大值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面ABCD ， 2AB BC ==，AD CD ==，PA = 120ABC ∠=o ， G 为线段PC 上的点．（1）证明： BD ⊥平面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值．20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A B ，两点，直线l 的倾斜角为60o， 2AF FB =u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的离心率； （2）如果154AB =，求椭圆C 的方程. 21．已知函数f (x )=lnx −12a(x −1).（1）若a =−2，求曲线y =f (x )在点(1,f(1))处的切线方程； （2）若不等式f (x )<0对任意x ∈(1,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系中，圆C 1：x 2+y 2=1经过伸缩变换{x ′=3x y ′=2y，后得到曲线C 2以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cosθ+2sinθ=10ρ(1)求曲线C 2的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；(2)在C 2上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．23．（题文）已知函数f (x )=m −|x +4|(m >0)，且f (x −2)≥0的解集为[−3,−1] （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c 都是正实数，且1a +12b+13c=m ，求证：a +2b +3c ≥9.2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学 高三（上）期中数学（文科）试题数学 答 案参考答案 1．B【解析】本题考查函数单调性的应用，集合的运算. 函数2xy =是增函数，则不等式11242x +<<即112222x -+<<可化为112,x -<+<即21;x -<<所以{}{|21,}1,0;N x x x Z =-<<∈=-则{}1.M N ⋂=-故选B.2．B 【解析】试题分析：根据题意，由于a+2i i=b +i (a,b ∈R)⇔a +2i =-1+bi ⇔{a =−1b =2故可知a +b =1，故答案为B.考点：复数的计算主要是考查了复数的除法运算，属于基础题。

山东省济南市章丘区2019-2020学年高三上学期数学期中考试试卷一、单选题1.已知集合,则（）A. B. C. D.2.设,则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.命题“ ”的否定为（）A. B.C. D.4.设为非零实数,复数,则的最小值为（）A. B. C. D.5.函数f(x)=x2+ 的图象大致为( )A. B. C. D.6.若,则（）A. B. C. D.7.在平行四边形中, 与交于点,则在方向上的投影为（）A. B. C. D.8.已知函数,则“ ”是“ 在上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. ,则的取值范围为（）A. B. C. D.10.已知定义在上的函数满足,且在上单调递增,则（）A. B.C. D.二、多选题11.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,则下列说法正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图象关于点对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到12.已知函数,若,且,则下列结论正确的是（）A. B. C. D.13.定义在上的函数的导函数为,且对恒成立.下列结论正确的是（）A. B. 若,则C. D. 若,则三、填空题14.若向量与互相垂直,且,则________．15.若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则________．16.已知是定义在上的奇函数,当时, ,则的解析式为________．不等式的解集为________．17. 分别为内角的对边.已知（1）________．（2）若,则________．四、解答题。

18. 分别为内角的对边.已知.（1）若的面积为,求;（2）若,求的周长.19.已知.（1）若,求;（2）若向量中存在互相垂直的两个向量,求的值.20.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量(单位:焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.（1）已知地震等级划分为里氏级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于级的为“小地震”,介于级到级之间的为“有感地震”,大于级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约焦耳，试确定该次地震的类型;（2）2008年汶川地震为里氏级,2011年日本地震为里氏级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取)21.已知函数（1）化简,并求的最小正周期;（2）若,求;（3）求的单调递增区间.22.已知二次函数.（1）若是的两个不同零点,是否存在实数,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.（2）设,函数,存在个零点.(i)求的取值范围;(ii)设分别是这个零点中的最小值与最大值,求的最大值.23.已知函数.（1）讨论的单调性;（2）用表示中的最大值，若函数只有一个零点,求的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】解:因为所以,故答案为：C.【分析】先由二次不等式的解法求再利用集合交集的运算可得，得解.2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：由题意知,即，故在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：D.【分析】先由已知条件求得，再确定在复平面内对应的点位于的象限即可.3.【答案】C【考点】命题的否定【解析】【解答】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，即命题“ ”的否定为“ ”，故答案为：C.【分析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.4.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用，复数代数形式的混合运算，复数求模【解析】【解答】解：因为,所以，当且仅当，即时，等号成立,故的最小值为3.故答案为：B.【分析】由复数的乘法运算得，再结合复数模的运算得，即可求得复数模的最小值.5.【答案】B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】【解答】∵f( x)=( x)2+ =x2+ =f(x),∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D；又时，,排除A,故答案为：B.【分析】利用奇偶性排除C、D；利用时，,排除A,从而可得结论.6.【答案】D【考点】两角和与差的正切公式，二倍角的正切公式【解析】【解答】解：，，即ABC不符合题意，D符合题意，故答案为：D.【分析】先由，再由两角差的正切公式求出，再利用正切的二倍角公式求出即可得解.7.【答案】B【考点】向量的投影【解析】【解答】解：因为,所以.又，，所以，故在方向上的投影为.故答案为：B.【分析】由平面向量的线性运算得，又，，则可得在方向上的投影为，得解.8.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：若在上单调递增，则,即在上恒成立.又在上单调递增,则，所以.故“ ”是“ 在上单调递增”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由在上单调递增，等价于在上恒成立，再求得，再判断“ ”与“ ”的充分必要性即可.9.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】因为,所以，当且仅当即时等号成立.又，则等价于,解得：，则的取值范围为，故答案为：B.【分析】先由重要不等式求得的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得的最大值为，再求解即可.10.【答案】A【考点】函数单调性的性质，图形的对称性【解析】【解答】解：依题意可得, 的图象关于直线对称.因为,则，又在上单调递增,所以.故答案为：A.【分析】由已知可得的图象关于直线对称.因为，又在上单调递增,即可得解.二、多选题11.【答案】B,D【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：因为，所以,对于A，令，解得（），即函数的对称轴方程为（），即A不符合题意；对于B，因为，所以，即，即在上的值域为，即B符合题意；对于C，令，解得，即的图象关于点对称，则的图象关于点对称，C不符合题意.对于D,由的图象向右平移个单位长度,得到的图象,D符合题意.故答案为：BD.【分析】由三角恒等变换可得，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解.12.【答案】B,C,D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】【解答】画出函数的大致图象如下图，得出,则,A不符合题意,B符合题意;由图可知,C符合题意;因为,所以,D符合题意.则结论正确的是BCD，故答案为：BCD.【分析】先作出的图像，再观察图像可得，再结合，求解即可.13.【答案】C,D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：设函数，则因为,所以,故在上单调递减,从而,整理得，,A不符合题意,C符合题意.当时,若,因为在上单调递减,所以即,即.D符合题意,从而B不正确.故答案为：CD.【分析】先构造函数，再利用导数可得在上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解.三、填空题14.【答案】【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：因为向量与互相垂直,可得，又，则，故答案为：.【分析】由向量模的运算，再将已知条件代入运算即可.15.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】解：因为，所以由已知有即，故答案为：.【分析】先求原函数的导函数再利用导数的几何意义可得得解.16.【答案】；【考点】函数单调性的性质，奇函数【解析】【解答】解：设，则，由函数为奇函数，可得，则，又，则，当时，,所以;当时,设，则函数为增函数，又，即的解集为，即的解集为.综上的解集为.故答案为：.【分析】先由函数为奇函数，结合时, ,求函数解析式即可；再分时，时求解不等式即可得解.17.【答案】（1）3（2）【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定理【解析】【解答】（1）解：由,得,而,所以，即,故.（2）因为,所以,则,所以，从而，由正弦定理得,则，【分析】(1)由余弦定理可得，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得，再由正弦定理可得，得解.四、解答题。