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集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
高一数学必修一月考知识点一、集合与常数1. 集合及其表示方法集合是由一定规则定义的具有相同特性的对象所构成的总体。
常用表示方法有描述法、列举法和描点法。
2. 补集补集是指在全集中除去一个集合后所剩下的部分，用A'表示。
3. 包含与相等关系集合A包含集合B，表示为B⊆A，当且仅当集合B中的任意元素都是集合A中的元素。
集合A等于集合B，表示为A=B，当且仅当集合A包含集合B且集合B包含集合A。
4. 常用集合符号常用的集合符号包括并集∪、交集∩、差集-、笛卡尔积×等。
二、函数与方程1. 函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 函数的表示与运算函数可以使用函数式表示、关系式表示和图像表示。
函数的运算包括四则运算、复合运算、反函数等。
3. 方程的解及解的性质方程是两个等式之间的关系，它的解是使等式成立的未知数的值。
方程的解有唯一解、有限个解、无解等性质。
4. 一元一次方程与一元二次方程一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程，一元二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。
三、平面向量1. 向量的概念与性质向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
向量的性质包括相等、相反、共线、共面等。
2. 向量的表示与运算向量可以使用坐标表示、法线表示和零向量表示。
向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积等。
3. 向量的数量积向量的数量积又称内积，表示两个向量的乘积与夹角的余弦值的乘积。
4. 向量的向量积向量的向量积又称外积，表示两个向量的乘积与夹角的正弦值的乘积。
四、解析几何1. 二维坐标系二维坐标系是平面上的一个直角坐标系，由横轴和纵轴组成。
坐标系中的点可以用有序数对(x, y)表示。
2. 点、直线与圆点是平面上的一个位置，直线由无数个点组成的轨迹，圆是平面上距离一个定点距离相等的点的轨迹。
3. 直线的方程直线的方程有一般式、截距式和点斜式等表示方法。
集合及其表示方法
集合是由一组独立的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。
集合的表示方法有以
下几种：
1. 列举法：将集合的元素逐一列举出来，并用花括号{}括起来。
例如，集合{1, 2, 3}
表示由元素1、2和3组成的集合。
2. 描述法：用一个条件来描述集合中的元素。
描述法的一般形式为{ x | P(x) }，其中
x是集合中的元素，P(x)是关于x的性质。
例如，集合{ x | x是正整数，且x小于10}表示小于10的正整数组成的集合。
3. 空集：没有任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。
5. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前一个集合为后一个
集合的子集。
用符号A ⊆ B表示集合A是集合B的子集。
6. 幂集：对于一个集合A，包含A的所有子集的集合称为A的幂集，用符号P(A)表示。
以上是集合的一些常见表示方法，不同的表示方法适用于不同的情况。
集合的概念与表示、集合间的关系知识梳理一、集合及其表示方法（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
（3）表示方法：1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
通常元素个数较少时用列举法。
2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
格式：{x| x 满足性质p}。
如：集合}1|),{(2+=x y y x（4）分类：1）有限集：含有有限个元素的集合。
2）无限集：含有无限个元素的集合。
3）空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。
注意：{0}和φ是不同的。
{0}是含有一个元素0的集合，φ是不含任何元素的集合。
（5）性质：1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
2）互异性：集合中的元素没有重复。
3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。
（6）常用数集及记法：1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{}Λ,3,2,1*=N 3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,5）实数集：全体实数的集合记作R（7）元素对于集合的隶属关系1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉二、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。
常见集合的字母表示方法常见集合的字母表示方法在数学中，集合是由一组具有共同性质的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。
为了方便表示和描述集合，人们使用了一种字母表示方法。
本文将介绍常见集合的字母表示方法，并探讨一些与之相关的概念和应用。
一、整数集合（Z）整数集合是所有整数的集合。
通常用大写字母Z表示整数集合，其中Z的定义如下：Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}其中"..."表示整数集合的无穷延伸。
整数集合是一个无限集合，包括负整数、零和正整数。
二、自然数集合（N）自然数集合是所有正整数的集合。
通常用大写字母N表示自然数集合，其中N的定义如下：N = {1, 2, 3, ...}自然数集合是一个无穷集合，包括所有大于等于1的整数。
三、实数集合（R）实数集合是包括有理数和无理数的集合。
通常用大写字母R表示实数集合，其中R的定义如下：R = {x | x是一个实数}实数集合是一个连续的集合，包括所有实数，无论是有理数还是无理数。
四、有理数集合（Q）有理数集合是可以表示为两个整数之比的数的集合。
通常用大写字母Q表示有理数集合，其中Q的定义如下：Q = {p/q | p和q是整数，且q≠0}有理数集合包括所有整数和所有可以表示为两个整数之比的数，如分数等。
五、正整数集合（Z+）正整数集合是所有大于零的整数的集合。
通常用大写字母Z+表示正整数集合，其中Z+的定义如下：Z+ = {1, 2, 3, ...}正整数集合是一个无穷集合，只包括大于零的整数。
在数学中，集合的字母表示方法不仅能够方便地表示和描述集合，还能够帮助我们更好地理解和应用集合的概念。
通过对常见集合的字母表示方法的介绍，我们可以更清楚地了解整数、自然数、实数、有理数和正整数等集合之间的关系和特点。
总结回顾：- 整数集合Z是包括负整数、零和正整数的集合。
- 自然数集合N是所有大于等于1的整数的集合。
集合及其表示方法
知识精要
1.集合：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做集合的元素。
集合、元素以及关系的表示符号：
集合常用大写英文字母A 、B 、C ……来表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c ……来表示。
如果a 是集合A 的元素，记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，记作A a ∉，读作“a 不属于A ”。
2.集合元素的特性
（1）确定性：元素与集合的从属关系是明确的（即A a ∈与A a ∉ ，二者必居其一）。
元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的（即一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象）。
（3）无序性：不考虑集合中元素之间的顺序。
3.集合的分类
（1）有限集：含有有限个元素的集合；
（2）无限集：含有无限个元素的集合；
另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。
4.空集：空集不含元素。
记作∅
5.集合的表示方法
（1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。
例如：不等式0112<-x 的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。
又如：方程组⎩⎨⎧-=-=+1
5y x y x 的解组成的集合可表示为)}3,2{(。
① a 与{a }不同：a 表示一个元素，{a }表示一个集合，该集合只有一个元素
② 元素与元素之间用逗号隔开，单元素集合不用逗号。
（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具有的特性。
其形式是{x|x 满足性质p}。
例如：方程062=--x x 的解的集合，可表示为}06|{2
=--x x x ； 又如：直线x +y =1上的点组成的集合，可以表示为：{1),(=+y x y x }
注：同一个集合，有时既可以用列举法又可以用描述法，那么何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不适合用描述法表示，只能用列举法。
如集合},5,23,{2
232y x x y x x +-+。
（2）当集合中元素个数较少时，多用列举法。
（3）当集合中元素个数较多时，都写出来太烦了，可写其中一部分元素，由此提供一定规律可用省略号代表余下的元素。
如：从51到100的所有整数组成的集合：
{100,,53,52,51Λ}；所有正奇数组成的集合：{Λ,7,5,3,1}。
（4）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
注：1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，即{锐角三角形}，但不可写成{所有锐角三角形}或{锐角三角形集}，因为集合符号“{ }”已包含“所有”的意思；且“{ }”就是集合的符号，因而大括号内的文字描述，不应再用“全体”“所有”“全部”或“集”等术语。
2）用描述法表示一个集合，必须认真找出集合中元素的公共属性，既要是每一元素所共有，又要不为集合外其它元素具有。
例如将1、3、5、7、9所组成的集合表示为：{小于10的自然数}就不对，因为1、3、5、7、9虽然是小于10的自然数，但尚有其他小于10的自然数2、4、6、8等不是集合中的元素。
6.常用数集的符号表示：
数的集合简称数集。
自然数集，记作N ，不包括零的自然数组成的集合，记作*N
整数集，记作Z ；正整数集，记作Z +；负整数集，记作Z -
；
有理数集，记作Q ；正有理数集，记作Q +；负有理数集，记作Q -；
实数集，记作R ；正实数集，记作R +；负实数集，记作R -.
精解名题
例1.判断下列对象能否组成集合:
(1)不等式250x -<的正整数解；
(2)方程012=-+y x 的解；
(3)数轴上非常靠近原点的点；
(4)使|1|-x 的值很小的x 的值。
注意：元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）
集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
例2. 用∈或∉填空：
(1) 0 {0}； (2) 0 ∅； (3) 0 N ；
(4) -1 Z ； (5) 2 Q ； (6) 0 *N 。
注：}0{、Φ与}{Φ区别：它们都表示集合。
但}0{只有一个元素0；Φ不含任何元素；}{Φ是以空集作为元素的集合。
例3. 用适当的方法表示下列集合：
(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；
(2) 所有奇数构成的集合；
(3) 方程0)2)(1(2
2=---x x x 的解的集合；
(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；
(5) 函数y=|x|-3 的所有函数值组成的集合。
例4.判断元素0，1，（0，1）分别与集合A={x|y=x 2+1},B={y|y=x 2+1},C={(x,y)|y=x 2+1}
之间的关系。
注意：点集与数集的区别。
集合中的元素可以是数、点、图形甚至是集合。
例5.已知集合2{2,}A x x x =-, 求x 的取值范围.
例6.已知集合222{2,1,},{0,7,5,2},5A a a a B a a a A =+-=---∈，求集合B 。
例7.用列举法表示下列集合：
};,612|{)1(N x N x
x A ∈∈-= };,,72|),{()2(**N y N x y x y x B ∈∈=+=
}.,2||,1|{)3(2Z x x x y y C ∈≤-==
备选例题
例1、用适当的方法表示下列集合
（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C
例2、已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈，a R ∈，若集合A 中至多有一个元素，求a
例3、设集合A={(x,y)|x+y=6,N y N x ∈∈,} ，使用列举法表示集合A 。
例4．关于x 的方程)0(02
≠=++a c bx ax ，当a,b,c 分别满足什么条件时解集为空集、含一个集合、含两个集合？
例5、已知集合A={01682=+-x kx }只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A 。
巩固练习
一、选择题
1、下列给出的对象中，能表示集合的是( )
A 、一切很大的数
B 、无限接近零的数
C 、聪明的人
D 、方程22-=x 的实数根
2、给出下列命题：
1) N 中最小的元素是1；
2) 若N a ∈，则N a ∉-；
3)若N a ∈N b ∈则a+b 的最小值是2 其中所有正确命题的个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3、由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 含有3个元素，则实数a 的取值是（ ）
A 、1
B 、-2
C 、6
D 、2
4、下列集合表示法正确的是（ ）
A.{1,2,2}
B.{全体实数}
C.{有理数}
D.不等式052>-x 的解集为{052>-x }
5、设A={a},则下列各式正确的是（ ）
A 、A ∈0
B 、A a ∉
C 、A a ∈
D 、a=A
6、集合{5|<∈+x N x }的另一种表示法是（ ）
A 、{0，1，2，3，4}
B 、{1，2，3，4}
C 、{0，1，2，3，4，5}
D 、{1，2，3，4，5}
7、由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）
A 、{x|-3<x<11,Q x ∈}
B 、{x|-3<x<11}
C 、{x|-3<x<11,x=2k,N k ∈}
D 、{x|-3<x<11,x=2k,Z k ∈}
8、下列说法正确的是 （ ）
Ａ．某个村子里的年青人组成一个集合
Ｂ．所有小正数组成的集合
Ｃ．｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合 Ｄ．13611,0.5,,,,2244
这些数组成的集合有五个元素
9、下面有四个命题：
（１）集合Ｎ中最小的数是0；
（２）０是自然数；
（３）｛１，２，３｝是不大于３的自然数组成的集合；
（４）,a N B N a b ∈∈+则不小于2
其中正确的命题的个数是 （ ）
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个
Ｄ．４个
二、填空题
10、已知集合A={2，4，x x -2}，若A ∈6，则x=________________
11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________
12、方程0652=+-x x 的解集可表示为_____________________
13、方程0)3)(2()1(2=-+-x x x 的解集中含有_________个元素。
14、集合{41|<<-∈x N x }用列举法表示为_________________。
