中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第27课时锐角三角函数的应用

【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数【人教版】初中数学九年级知识点总结28锐角三角函数【编者按】本章内容主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念以及研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。

通过本章的学习应该掌握锐角三角函数以及直角三角函数的相关内容。

一、目标与要求1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．3.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．4.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想．5.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．6.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．二、重点与难点1．重点（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．2．难点（1）锐角三角函数的概念．（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力．三、知识框架四、知识点、概念总结1.Rt△ABC中∠A的对边(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝斜边∠A的邻边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝斜边∠A的对边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的邻边∠A 的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的对边2.特殊值的三角函数：a30°45°60°3.互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.4.同角三角函数间的关系平方关系：sin(α)+cos(α)=1tan(α)+1=sec(α)cot(α)+1=csc(α)积的关系：sinα=tanαcosαcosα=cotαsinαtanα=sinαsecα222222sinacosatanacota1222323222123313313cotα=cosαcscαsecα=tanαcscαcscα=secαcotα倒数关系：tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=15.三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

浙江省2０1８年中考数学总复习第五章基本图形（二)第29讲锐角三角函数与解直角三角形讲解篇编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(浙江省2018年中考数学总复习第五章基本图形(二)第2９讲锐角三角函数与解直角三角形讲解篇)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为浙江省２０1８年中考数学总复习第五章基本图形(二）第29讲锐角三角函数与解直角三角形讲解篇的全部内容。

第29讲锐角三角函数与解直角三角形1．锐角三角函数的概念考试内容考试要求在Rｔ△ＡBＣ中，∠Ｃ=9０°,AＢ＝c，BＣ=a，AＣ＝b.ｃ正弦余弦正切sin A=错误!＝错误!ｃos A＝错误!=错误!tanＡ=错误!=错误!它们统称为∠A的锐角三角函数2。

特殊角三角函数值考试内容考试要求三角函数３0°４5°６０°a sinα＼ｆ(1,2)错误!错误!cosα错误!错误!错误!tａｎα错误!１＼r(3）函数的增减性：(0°<α＜90°）（１)ｓinα,ｔanα的值都随α增大而增大;（2）cosα的值随α增大而减小．3.解直角三角形考试内容考试要求解直角三角形的定义在直角三角形中,除直角外,共有5个元素，即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.c解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中,∠C=9０°,则: (１）三边关系:a２＋b2＝c２;(2)两锐角关系:∠Ａ＋∠B=９0°;（3）边与角关系：sｉnＡ=ｃos B＝错误!,cos A＝sinＢ＝错误!，tan A＝ab；（4)sｉn2A+ｃoｓ2A＝１.解直角三角形的题目类型(1）已知斜边和一个锐角;(2）已知一直角边和一个锐角; (3)已知斜边和一直角边(如已知c和a）;（4)已知两条直角边a、b．拓展三角形面积公式：S△＝错误!ah=错误!ab sin C。

个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：周老师授课时间：年月日(星期) ---姓名年级：教学课题锐角三角函数的简单应用阶段基础（）提高（√）巩固（）计划课时第（）次课共（）次课教学目标知识点：考点：方法：重点难点重点：难点：教学内容与教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________锐角三角函数的简单应用【知识梳理】1. 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切值．2. 仰角：仰视时，视线与水平线的夹角．俯角：俯视时，视线与水平线的夹角．【思想方法】1. 常用解题方法——设k法2. 常用基本图形——双直角【例题精讲】例题1.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于A∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sin A的值越大，梯子越陡B．cos A的值越大，梯子越陡C．tan A的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与A∠的函数值无关例题1图例题2.如图，一束光线照在坡度为13:的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束与坡面的夹角 是度．例题2图 例题3图例题3.如图，张聪同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到该建筑的水平距离BE ＝6米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶部A 离地面的高度（结果保留根号）【当堂检测】 1.一个钢球沿坡角31 的斜坡向上滚动了5米，则钢球距地面的高度是(单位：米)（ ） A ．5cos31 B ．5sin 31C ．5cot 31D ．5tan 31第1题图2.某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o 方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处观测到灯塔M 在北偏东30o 方向处．问B 处与灯塔M 的距离是多少海里？ 第2题图3.如图所示，小明家住在32米高的A 楼里，小丽家住在B 楼里，B 楼坐落在A 楼的正13:i =╭α╭CEBAABM东北6030北 东第3题图 ACA AB BCC30°北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30 ．（1）如果A B ，两楼相距203米，那么A 楼落在B 楼上的影子有多长？ （2）如果A 楼的影子刚好不落．在B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？ （结果保留根号）第3题图【巩固练习】一、选择题1.如图，坡角为30 的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（ ）Ａ．4m Ｂ．3m Ｃ．43m 3Ｄ．43m 2. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备的水管的长为（ ）A ．17.5mB ．35mC ．335mD ．70m3. 客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80°，测得C 处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C 处，在C30ＡＢＣA楼 B楼 CE GF HD30° 第2题图第1题图第3题图处测得A 的方位角为北偏东20°，则C 到A 的距离是（ ） A.156km B.152km B C.15(62)+km D.5(632)+km4.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C 点， 又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（ ） Ａ．82米Ｂ．163米Ｃ．52米Ｄ．70米第4题图 第5题图 第6题图 二、填空题5. 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，cos ∠BAC=0.75，则梯子AB 的长度为 米．6. 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97）三、解答题7.如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，3sin 5BOA =∠ ，求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．A 第7题图8.“村村通路工程”加快了淮安市建设社会主义新农村的步伐． C 村村民 们欲修建一条水泥公路将C 村与县级公路相连．在公路A 处测得C 村在北 偏东60°方向，前进500米，在B 处测得C 村在北偏东30°方向． （1）为节约资源，要求所修公路长度最短．试求符合条件的公路长度．ABCABCD30 45x O B y（结果保留整数）（2）经预算，修建1000米这样的水泥公路约需人民币20万元．按国家的相关政策，政府对修建该条水泥公路拨款人民币5万元，其余部分由村民自发筹集．试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元．课后巩固作业________________________________; 巩固复习_______________________________; 预习布置____________________________签字学科组长签字：学习管理师:老师课后赏识评价老师最欣赏的地方：老师的建议备注60°30°A BC县级公路北第8题图。

初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。

这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。

首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。

在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。

其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。

这些函数有许多重要的性质。

首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。

其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。

此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。

也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。

在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。

首先，它们被广泛应用于三角计算。

例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。

这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。

其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。

例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。

它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。

另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。

它们的图像可以通过函数的周期性来得到。

例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。

此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。

三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。

利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。

总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。

它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。

考点16锐角三角函数及其应用【命题趋势】中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。

其中，锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主。

整体难度不大，但是所占分值有3~12分，还是需要考生对这块易拿分的考点多加重视。

【中考考查重点】一、锐角三角函数的定义及其性质二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形四、解直角三角形的应用考向一：锐角三角函数的定义及其性质一．锐角三角函数的定义：在Rt △AABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b 则：∠A 正弦：caA A =∠=斜边的对边sin ；∠A 余弦：c bA A =∠=斜边的邻边cos ；∠A 正切：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan ；二．锐角三角函数的函数关系当∠A ＋∠B=90°时，有以下两种关系：（1）.同角三角函数的关系：AAA cos sin tan =；1cos sin 22=+A A （2）互余两角的三角函数的关系：B A B A sin cos ;cos sin ==;)90(1tan tan ︒=∠+∠=∙B A B A 【同步练习】1．（2021•句容市模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（）A ．c ＝b sin BB ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan BACBabc2．（2021•饶平县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝m，∠B＝β，那么AB＝（）A．m⋅sinβB．C．m⋅cosβD．3．（2021•张湾区模拟）如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sin C＝（）A．B．C．D．4．（2021•商河县校级模拟）当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°5．（2021•桓台县一模）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．6．（2021•蒙阴县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sin A＝，则cos∠BCD的值为．考向二：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值表αsin αcos αtan α30°21233345°2222160°23213【同步练习】1．（2021•宜兴市模拟）已知cos α＝，且α是锐角，则α＝（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．（2022•龙岗区一模）Rt △ABC 中∠C ＝90°，sin A ＝，则tan A 的值是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021•邵阳模拟）在△ABC 中，若|sin A ﹣|+（cos B ﹣）2＝0，则∠C 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．（2022•无为市校级一模）计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．考向三：解直角三角形解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b 三边关系：222cba=+两锐角关系：︒=∠∠90BA＋边与角关系：caBA==cossin，cbBA==sincos，baanA=t，abanB=t锐角α是a、b的夹角面积：αsin21abS=【方法提炼】与三角函数有关的倍半角问题倍半角模型①知“半角”求“倍角”→知θ，截取使相等（或中垂线），得2θ②知“倍角”求“半角”→知2θ，延长使相等(或做角平分线），得θ（等腰出，半角现）解题主要思想特别记忆：1.“倍半角”模型也可用于“角平分线”类问题2.“倍半角模型”常常转化为“θ”的正切值来计算3.☆【同步练习】1．（2021•樊城区一模）如图，A 、B 、C 是3×1的正方形网格的三个格点，则tan ∠ABC 的值为（）A ．B ．C ．D ．2．（2021•滨江区校级三模）如图，点A 为∠B 边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示tan B 的值，错误的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021•榆阳区模拟）如图，点A ，B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点，分别在直径的两侧，其中点A 是的中点，若tan ∠ACB ＝2，AC＝，则BC 的长为（）A ．B ．2C ．1D ．2时，③当时，②当时，①当7242tan 43tan 432tan 31tan 342tan 21tan ======θθθθθθ相等角倍角半角常构造（或选择）Rt △延长直角边=斜边，得半角作斜边的中垂线，得2倍角可构造K 型相似，得矩形当有特殊tan α值时，可转化为“倍半角”问题主要思想变“求点的坐标”为“求直线与函数图象交点”抓本质——对称全等＋l 1⊥l 2此处k 型相似比已知，矩形对边相等是列方程的等量关系4．（2021•阿城区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（）A．B．C．D．h•cosα考向四：解直角三角形的应用解直角三角形的应用：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作lhi=坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，αtan=i坡度越大，坡角越大，坡面越陡【方法提炼】1.在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③2.常用结论：【同步练习】1．（2022•鹿城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点A，B分别在墙面ED和地面FD上，且斜边BC∥ED，若AC＝1，∠CBA＝α，则AD的长为（）A．cosα×tanαB．C．D．2．（2022•无为市校级一模）如图，给出了一种机器零件的示意图，其中CE＝1米，BF＝米，则AB＝（）A．（1+）米B．（﹣1）米C．（2﹣）米D．（2+）米3．（2020•秦皇岛一模）如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m1．在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为（）A．B．C．D．13．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°4．下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°；②sin245°+cos245°＝1；③；④．A．1B．2C．3D．45．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．6．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB＝60°．若量出AD＝6cm，则圆形螺母的外直径是（）A．cm B．12cm C．cm D．cm7．计算tan30°•sin60°的结果是．8．如图所示，在一次数学活动课上，初三1班的同学们利用长杆来测量某段城墙的倾斜角α，把一根长为6.6米的长杆AC斜靠在城墙旁，量出杆长2米处在地面投影AE的长约为1米，长杆的底端与墙角的距离AB约为2.7米，则倾斜角α的正切值约为．（结果精确到0.01，参考数据≈1.73）9.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是cm．10．计算：tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°．11．计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．12．如图，在△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．13．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为0.5米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．（1）则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为；（2）求底座BC的长（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈026，cos15°≈097，tan15°≈027，≈1.732，≈1.414）．1.（2021·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是．2.（2021·浙江金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米3.（2021·浙江丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD ＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα4.（2021·浙江温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+15.（2021·浙江绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．26.（2021·浙江杭州）计算：sin30°＝．7.（2021·浙江金华）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．8.（2021·浙江嘉兴）计算：2﹣1+﹣sin30°；9.（2021·浙江绍兴）计算：4sin60°﹣+（2﹣）0．10.（2021·浙江衢州）计算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．11.（2021·浙江金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．12.（2021·浙江台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）13.（2021·浙江嘉兴）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）14.（2021·浙江宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC ＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）15.（2021·浙江绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．16.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）1．（2021•余杭区二模）若sinα＝，则锐角α＝（）A．30°B．45°C．50°D．60°2．（2021•吴兴区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tan A的值为（）A．B．C．D．3．（2021•杭州二模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则AB的长为（）A．8B．12C．6D．124．（2021•婺城区模拟）若∠A，∠B都是锐角，且tan A＝1，sin B＝，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．锐角三角形D．直角三角形5．（2021•余杭区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．6．（2021•宁波模拟）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（）A．3B．2C．2D．37．（2021•北仑区一模）如图，点A在半径为6的⊙O内，OA＝2，P为⊙O上一动点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）A．3B．2C．D．28．（2021•吴兴区二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．2B．C．D．9．（2021•金华模拟）如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值为（）A．B．C．D．10．（2021•越秀区校级三模）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．D．11．（2021•拱墅区二模）如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（）A．B．C．D．12．（2022•温州模拟）一个长方体木箱放置在斜面上，其端点A落在水平地面上，相关数据如图所示，则木箱端点C距地面m的高度是（）A．a•cosα+b•sinαB．a•sinα+b•cosαC．a•sinα+b•sinαD．a•cosα+b•cosα13．（2021•下城区校级四模）在直角三角形ABC中，若cos C＝，则＝．14．（2022•温州模拟）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E 绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为cm，CD′的长为cm．15．（2021•杭州校级模拟）计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°．16．（2021•鹿城区校级三模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．17．（2021•宁波模拟）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．求：（1）∠B'EE'的度数；（2）∠DAC的正切值．18．（2022•宁波模拟）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了多少cm？（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）19．（2021•宁波模拟）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求DE的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．。

中考数学基础强化6：锐角三角函数在几何图形中的应用
锐角三角函数是初中“图形与几何”的重点内容之一，也是中考数学的重要考查内容。

下面让我们以中考真题为例，探究锐角三角函数在几何图形中的实际应用。

点评本题考查三角形的内角和与三角函数的应用，对于常见的30、45、60这类特殊角的三角函数我们要熟记于心。

解题的关键是明确题意，找出关键直角三角形，通过锐角三角函数的定义解决问题。

点评本题考查菱形的性质（对角线互相垂直），三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形。

本题属于中考常考题型。

总之，对于锐角三角函数在几何图形中的应用，除了运用数形结合法快速进行解题，也需要我们练就扎实的基本功，比如熟知常见的30、45、60度角的三角函数值。

好的，如果喜欢本篇文章的朋友，请点击关注阿理初中数学，您的关注是我们持续创作的动力，让我们一起学好数学。

初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。

接下来小编为大家精心准备了锐角三角函数的简单应用知识点，希望大家喜欢!
学习重点难点：
重点：进一步用解直角三角形的.知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
难点：灵活运用三角函数解决实际问题.
【温故知新】
1.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B 点、C点的仰角分别为60°和45°，则广告牌的高度BC为_____________米(结果保留根号).
2.如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度?
变式如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.。

锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容，其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。

下面是对锐角三角函数知识点的详细总结：1.三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与斜边的长度的比值。

- 余弦函数（cos）：对于单位圆上的一个角，其邻边的长度与斜边的长度的比值。

- 正切函数（tan）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与邻边的长度的比值。

2.锐角的定义：锐角是角度在0°到90°之间的角。

3.单位圆：单位圆指半径长度为1的圆，锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。

4.三角函数的图像：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。

5. 正弦函数（sin）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点：关于y轴对称6. 余弦函数（cos）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点：关于x轴对称7. 正切函数（tan）的特点：-定义域：(0°,90°)或(0,π/2)-值域：R（实数集）-周期：180°或π- 特殊值：tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在（无限大）-图像特点：周期性递增8.三角函数之间的关系：- 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用：-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。