命题与证明的技巧及练习题

逻辑推理练习题进行逻辑推理与证明逻辑推理练习题：进行逻辑推理与证明1. 现有三个箱子，分别标记为“A”，“B”和“C”。

已知以下三个命题：P1：如果箱子“A”是空的，则箱子“B”不是空的。

P2：如果箱子“B”是空的，则箱子“C”也是空的。

P3：箱子“C”不是空的。

问题：哪些箱子是空的？请用推理与证明进行回答。

解答：首先，根据命题P3，我们得知箱子“C”不是空的。

根据P2，如果箱子“B”是空的，那么箱子“C”也是空的。

但是我们已经知道箱子“C”不是空的，所以箱子“B”也不可能是空的。

根据P1，如果箱子“A”是空的，那么箱子“B”不是空的。

但是我们已经得出结论，箱子“B”不是空的。

所以我们可以推断箱子“A”也不是空的。

综上，根据推理与证明，我们可以得出结论：箱子“C”是非空的，箱子“B”是非空的，箱子“A”是非空的。

2. 在一个小酒吧里，有三个顾客，分别是“A”，“B”和“C”。

已知以下三个命题：P1：如果“A”在酒吧，那么“B”也在酒吧。

P2：如果“B”在酒吧，那么“C”也在酒吧。

P3：如果“C”不在酒吧，那么“A”也不在酒吧。

问题：哪些顾客在酒吧？请用推理与证明进行回答。

解答：首先，根据命题P3，如果“C”不在酒吧，那么“A”也不在酒吧。

但是我们无法确定“C”是否在酒吧。

根据P2，如果“B”在酒吧，那么“C”也在酒吧。

但是我们无法确定“B”是否在酒吧。

根据P1，如果“A”在酒吧，那么“B”也在酒吧。

但是我们无法确定“A”是否在酒吧。

综上所述，由于我们无法获知任何一个顾客是否在酒吧，无法通过推理与证明得出结论。

3. 已知以下三个命题：P1：如果明天下雨，那么我会带雨伞。

P2：明天我没有带雨伞。

P3：我今天没有湿身。

问题：明天会下雨吗？请用推理与证明进行回答。

解答：首先，根据P2，明天我没有带雨伞。

根据P1，如果明天下雨，那么我会带雨伞。

但是我们已经得出结论，明天我没有带雨伞，所以我们可以推断明天不会下雨。

初中数学命题与证明专题训练50题含参考答案一、单选题1．下列命题是假命题．．．的是（ ）． A ．同一平面内，两直线不相交就平行B ．对顶角相等C ．互为邻补角的两角和为180°D ．相等的两个角一定是对顶角2．下列命题正确的是（ ）A ．所有的实数都可用数轴上的点表示B ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离C D ．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根3．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD 是ABC 的外角，求证：ACD A B ∠=∠+∠．证法1：如图．∠180A B ACB ∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理）又∠180ACD ACB ∠+∠=︒（平角定义）∠ACD ACB A B ACB ∠+∠=∠+∠+∠（等量代换）∠ACD A B ∠=∠+∠（等式性质）证法2：如图，∠76A ∠=︒，59B ∠=︒，且135ACD ∠=︒（量角器测量所得）又∠1357659︒=︒+︒（计算所得）∠ACD A B ∠=∠+∠（等量代换）下列说法正确的是（ ）A ．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B ．证法1用严谨的推理证明了该定理C 2D ．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理4．下列命题中，假命题是（ ）A ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．两点的所有连线中，线段最短5．下列命题为真命题的是（ ）A ．内错角相等，两直线平行B C ．1的平方根是1D ．一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定6．下列命题是真命题的是（ ）A ．若a b >，则11a b ->-B ．若22ac bc >，则a b >C ．若225x kx ++是一个完全平方公式，则k 的值等于10D ．将点()2,3A -向上平移3个单位长度后得到的点的坐标为()1,37．能说明命题“若x 2≥9，则x ≥3”为假命题的一个反例可以是（ ）A ．x ＝4B ．x ＝2C ．x ＝﹣4D ．x ＝﹣2 8．下列命题是真命题的是（ ）A ．内错角互补，两直线平行B ．三角形的外角大于任意一个不相邻的内角C ．三角形的两边之和小于第三边D ．三角形的三条高一定在三角形内部 9．下面四个命题：∠若=1x -，则31x =-；∠面积相等的两个三角形全等；∠相等的角是对顶角；∠若24x =，则2x =.是真命题的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．下列语句：∠过一点有且只有一条直线与已知直线平行；∠数轴上的点和实数是一一对应的；∠同位角相等；∠同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中（ ）是真命题．A ∠∠B ∠∠C ∠∠D ∠∠11．下列命题正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线互相垂直平分B ．矩形的对角线互相垂直平分C ．菱形的对角线互相平分且相等D ．平行四边形是中心对称图形12．下列命题，假命题是（ ）A ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等B ．等腰三角形两腰上的高相等C ．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角D ．已知ABC ，求作A B C '''，使A B C ABC ''≌的依据是三角形全等的性质定理 13．下面命题中是真命题的有（ ）∠相等的角是对顶角∠直角三角形两锐角互余∠三角形内角和等于180°∠两直线平行内错角相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．下列命题是真命题的是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．相似三角形的面积比等于相似比C ．菱形的对角线相等D ．相等的两个角是对顶角15．下列命题正确的是（ ）A ．相等的角是对顶角；B ．a 、b 、c 是直线，若a //b ，b //c ，则a //c ；C ．同位角相等；D ．a 、b 、c 是直线，若a ∠b ，b ∠c ，则a ∠c ．16．下列命题是假命题的是（ ）A ．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形B ．等边三角形有3条对称轴C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等17．已知下列命题：∠对角线互相垂直的四边形是菱形；∠若x a =，则()20x a b x ab -++=；∠两个位似图形一定是相似图形；∠若22x x =，则2x =；其中原命题是真命题逆命题是假命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．下列说法：∠同位角相等；∠对顶角相等；∠等角的补角相等；∠两直线平行，同旁内角相等，正确的个数有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个19．可以用来证明命题“若20.01a >，则0.1a >”是假命题的反例（ ）A ．可以是a ＝－0.2，不可以是 a ＝2B ．可以是a ＝2，不可以是 a ＝－0.2C ．可以是a ＝－0.2，也可以是 a ＝2D ．既不可以是a ＝－0.2，也不可以是 a＝220．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．圆内接四边形对角互余C ．若22a b =，则a b =D a b =二、填空题21．命题“对顶角相等”的题设是________，结论是________，它是________命题．（填“真”或“假”）22．命题“互余的角不相等”的逆命题是_____.23．命题“若a b =，那么a b =”是一个____________命题（填真、假），写出它的逆命题：____________．24．举反例说明命题“对于任意实数x ，221x x +-的值总是正数”是假命题，你举的反例是x =__________（写出一个x 的值即可）．25．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）内错角相等，两直线平行．_________．（2）同角的补角相等．_____．26．下列说法中，真命题有______．（填入序号即可）∠和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角； ∠过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∠同位角相等；∠经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ∠两点之间，直线最短。

初中数学命题与证明的基础测试题附答案一、选择题1．用反证法证明命题：“在三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是（）A．在三角形中，至少有一个内角是直角B．在三角形中，至少有两个内角是直角C．在三角形中，没有一个内角是直角D．在三角形中，至多有两个内角是直角【答案】B【解析】【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的否命题正确，∴应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.故选：B.【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.2．下列语句正确的个数是（）①两个五次单项式的和是五次多项式②两点之间，线段最短③两点之间的距离是连接两点的线段④延长射线AB，交直线CD于点P⑤若小明家在小丽家的南偏东35︒方向，则小丽家在小明家的北偏西35︒方向A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质对各项进行分析即可．【详解】①两个五次单项式的和可能为零、五次单项式或五次多项式，错误；②两点之间，线段最短，正确；③两点之间的距离是连接两点的线段的长度，错误；④延长射线AB，交直线CD于点P，正确；⑤若小明家在小丽家的南偏东35︒方向，则小丽家在小明家的北偏西35︒方向，正确；故语句正确的个数有3个故答案为：C．【点睛】本题考查语句是否正确的问题，掌握单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质是解题的关键．3．下列命题中是假命题的是（ ）．A ．同旁内角互补，两直线平行B ．直线a b ⊥r r，则a 与b 相交所成的角为直角C ．如果两个角互补，那么这两个角是一个锐角，一个钝角D ．若a b ∥，a c ⊥，那么b c ⊥【答案】C【解析】根据平行线的判定，可知“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；根据垂直的定义，可知“直线a b ⊥，则a 与b 相交所成的角为直角”，是真命题； 根据互补的性质，可知“两个角互补，这两个角可以是两个直角”，是假命题；根据垂直的性质和平行线的性质，可知“若a b P ，a c ⊥，那么b c ⊥”，是真命题． 故选C.4．下列命题中是假命题的是（ ）A ．一个锐角的补角大于这个角B ．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．相反数等于它本身的数是0【答案】C【解析】试题分析：利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．A 、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；B 、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；C 、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意；D 、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意考点：命题与定理．5．下列说法中，正确．．的是( ) A ．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.B ．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.C ．“相等的角是对顶角”是一个真命题D ．“直角都相等”是一个假命题【答案】B【解析】图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C 是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B6．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．若a>b ，则-a<-bB ．若a>b ，则a+3>b+3C ．若a>b ，则44a b > D ．若a>b ，则a 2>b 2【答案】D【解析】【分析】 利用不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、若a ＞b ，则-a ＜-b ，正确，是真命题；B 、若a ＞b ，则a+3＞b+3，正确，是真命题；C 、若a ＞b ，则44a b >，正确，是真命题； D 、若a ＞b ，则a 2＞b 2，错误，是假命题；故选：D ．【点睛】 此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．7．下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④直角三角形的两个锐角互余；⑤同角或等角的补角相等．其中真命题的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：命题①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误，为假命题；命题②两点之间，线段最短，正确，为真命题；命题③相等的角是对顶角，错误，为假命题；命题④直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；命题⑤同角或等角的补角相等，正确，为真命题，故答案选B．考点：命题与定理．8．下列命题中，是真命题的是（）A．将函数y＝12x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝12xB．若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0和1C．对函数y＝2x，其函数值y随自变量x的增大而增大D．直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2一定互相平行【答案】A【解析】【分析】利用一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、将函数y＝12x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝12x，正确，符合题意；B、若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0，故错误，是假命题，不符合题意；C、对函数y＝2x，其函数值在每个象限内y随自变量x的增大而增大，故错误，是假命题，不符合题意；D、直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2因比例系数不相等，故一定不互相平行，故错误，是假命题，故选：A．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识是解题的关键．9．下列命题中①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等②如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形③如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形④等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形⑤一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定逐个判断即可．【详解】根据等腰三角形的三线合一可知，底边中点在顶角角平分线上，再根据角平分线的性质可知，其到两腰的距离相等，则命题①正确全等的三角形不一定是成轴对称，则命题②错误成轴对称的两个三角形一定全等，则命题③正确等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形，则命题④错误成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，则命题⑤错误综上，正确命题的个数是2个故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称图形的定义、全等三角形的判定等知识点，掌握理解各定义与性质是解题关键．10．用三个不等式a＞b，ab＞0，1a＞1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：①若a＞b，ab＞0，则1a＞1b；假命题：理由：∵a＞b，ab＞0，∴a＞b＞0，∴1a＜1b；②若ab＞0，1a＞1b，则a＞b，假命题；理由：∵ab＞0，∴a、b同号，∵1a＞1b，∴a＜b；③若a＞b，1a＞1b，则ab＞0，假命题；理由：∵a＞b，1a＞1b，∴a、b异号，∴ab＜0．∴组成真命题的个数为0个；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．11．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．对顶角互补C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等D．如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x=-的图像上．【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质定理对A、C进行判断；利用对顶角的性质对B进行判断；根据直角坐标系下点坐标特点对D进行判断．【详解】A．两直线平行，同位角相等，故A是假命题；B．对顶角相等，故B是假命题；C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故C是假命题；D．如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x=-的图像上，故D是真命题故选：D【点睛】本题考查了真命题与假命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点．12．39．下列命题中，是假命题的是（）A．同旁内角互补B．对顶角相等C．直角的补角仍然是直角D．两点之间，线段最短【答案】A【解析】同旁内角不一定互补，同旁内角互补的条件是两直线平行，故选A.13．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．若两直线被第三条直线所截，同旁内角互补C．同旁内角相等，两直线平行D．平行于同一直线的两直线互相平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定、平行线的性质判断即可．【详解】A、两直线平行，同位角相等，是假命题；B、若两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；C、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；D、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；故选：D．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．14．下列命题中是假命题的是( )A．一个三角形中至少有两个锐角B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的补角相等aD．如果a为实数，那么0【答案】D【解析】A. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；C. 同角的补角相等，是真命题；D. 如果a为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D是假命题；故选：D.15．下列命题是假命题的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】C【解析】根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】A．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；B．正确．等边三角形有3条对称轴；C．错误，SSA无法判断两个三角形全等；D．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．16．下列命题的逆命题不正确．．．的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角互补C．矩形的对角线相等D．平行四边形的对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A、逆命题是：对顶角相等．正确；B、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确；C、逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误；D、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．17．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．18．下列四个命题中，其正确命题的个数是（）①若ac＞bc，则a＞b；②平分弦的直径垂直于弦；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；④反比例函数y＝kx．当k＜0时，y随x的增大而增大A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：①若ac＞bc，如果c＞0，则a＞b，故原题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原题说法错误；③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边，故原题说法正确；④反比例函数y＝kx．当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，故原题说法错误；正确命题有1个，故选：A．【点睛】本题考查了判断命题的真假，解题的关键是掌握不等式性质、垂径定理、平行四边形的判定、反比例函数的性质进行判断.19．下列命题是假命题的是（）A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16 C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限D．若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£【答案】B【解析】【分析】利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；D. 若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£，正确，是真命题；故答案为：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．20．下列命题是真命题的是（）A．方程23240x x--=的二次项系数为3，一次项系数为-2B．四个角都是直角的两个四边形一定相似C．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖D．对角线相等的四边形是矩形【答案】A【解析】【分析】根据所学的公理以及定理，一元二次方程的定义，概率等知识，对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．【详解】A、正确．B、错误，对应边不一定成比例．C、错误，不一定中奖．D、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形.故选：A．【点睛】此题考查命题与定理，熟练掌握基础知识是解题关键．。

最新初中数学命题与证明的知识点训练含答案(1)一、选择题1．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【详解】解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．下列命题是假命题的是()A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【答案】C【解析】试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选C．考点：命题与定理．3．下列结论中，不正确的是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，直线最短C．等角的余角相等D．等角的补角相等【答案】B【解析】【分析】根据直线线段的性质和余角、补角的定义逐项分析可得出正确选项．【详解】A．两点确定一条直线，正确；B．两点之间，线段最短，所以B选项错误；C．等角的余角相等，正确；D．等角的补角相等，正确．故选B考点：定理4．现给出下列四个命题：①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；③菱形的面积等于两条对角线的积；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°．其中不正确的命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①根据等边三角形的性质知，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；②由相似三角形的性质知相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，错误；③根据菱形的面积公式，错误；④根据三角形内角和定理可知，三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°，正确．综合以上分析，不正确的命题包括①②③．故选C．5．下列命题中是假命题的是（）A．一个锐角的补角大于这个角B．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．相反数等于它本身的数是0【解析】试题分析：利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．A、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；B、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意；D、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意考点：命题与定理．6．下列命题中，正确的命题是（）A．度数相等的弧是等弧B．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．垂直于弦的直径平分弦D．三角形的外心到三边的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等弧或垂径定理，正多边形的性质一一判断即可；【详解】A、完全重合的两条弧是等弧，错误；B、正五边形不是中心对称图形，错误；C、垂直于弦的直径平分弦，正确；D、三角形的外心到三个顶点的距离相等，错误；故选：C．【点睛】此题考查命题与定义，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．下列命题中，其中真命题的个数是（）①平面直角坐标系内的点与实数对一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④对顶角相等A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据真命题的定义依次进行判断.①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是假命题；②两直线平行，内错角相等，是假命题；③平行于同一条直线的两条直线不一定相互平行，是真命题；④对顶角相等，是真命题；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握坐标与图形，平行线的性质，平行公理，对顶角性质是解题的关键.8．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直，其中逆命题是真命题的是（）A．①②③④B．①③④C．①③D．①【答案】C【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题；②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；故选C．【点睛】本题考查了写一个命题的逆命题的方法，真假命题的判断，弄清命题的题设与结论，掌握相关的定理是解题的关键.9．下列命题中正确的是（）．A．所有等腰三角形都相似B．两边成比例的两个等腰三角形相似C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形进行判断即可．【详解】解：A、所有等腰三角形不一定都相似，原命题是假命题；B、两边成比例的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；C、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．10．下列命题中，是假命题的是( )A ．任意多边形的外角和为360oB ．在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C VC ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析．【详解】解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.故选D ．【点睛】本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．11．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是（ ）A ．两直线平行，内错角相等;B ．相等的角是对顶角;C ．所有的直角都是相等的；D ．若a =b ,则a －1=b －1.【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．详解：交换命题A 的题设和结论，得到的新命题是内错角相等，两直线平行，是真命题； 交换命题B 的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等，是真命题；交换命题C 的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角，是假命题；交换命题D 的题设和结论，得到的新命题是若a ﹣1=b ﹣1，则a =b ，是真命题． 故选C ．点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．下列选项中，能说明命题“若22a b >，则a b >”是假命题的反例是( )A ．1a =-，2b =B ．2a =，1b =-C ．1a =，2b =-D ．2a =-，1b =【答案】D【解析】【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，作答本题直接利用选项中数据代入求出答案．【详解】A. 当1a =-，2b =时，2a ＜2b ，a ＜b ，则此选项不是假命题的反例；B. 当2a =，1b =-时，2a ＞2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；C. 当1a =，2b =-时，2a ＜2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；D. 当2a =-，1b =时，2a ＞2b ，a ＜b ，则此选项是假命题的反例，故选：D ．【点睛】本题考查真命题与假命题．要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．13．能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为（ ） A ．1m =-B ．0m =C ．4m =D ．5m =【答案】D【解析】【分析】利用m=5使方程x 2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．【详解】当m=5时，方程变形为x 2-4x+m=5=0，因为△=（-4）2-4×5＜0，所以方程没有实数解，所以m=5可作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例． 故选D ．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．14．下列命题是真命题的是()A．一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判断．【详解】解：如下图，若四边形ABCD，AD∥BC，∠A=∠C，∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；B、对角线相等的四边形也可能为等腰梯形，故B错误；C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形，故C错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理，是基础知识要熟练掌握．15．下列命题的逆命题不正确．．．的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角互补C．矩形的对角线相等D．平行四边形的对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A、逆命题是：对顶角相等．正确；B、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确；C、逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误；D、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．16．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．17．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是()A．两直线平行，同位角相等B．相等的角是对顶角C．所有的直角都是相等的D．若a=b，则a﹣3=b﹣3【答案】C【解析】【分析】写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是同位角相等，两直线平行是真命题；交换命题B的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等是真命题；交换命题C的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题；交换命题D的题设和结论，得到的新命题是若a-3=b-3，则a=b是真命题，故选C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．18．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①符合对顶角的性质，故本小题正确；②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；③符合平行线的判定定理，故本小题正确；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．故选B．19．下列命题是假命题的是（）A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限D．若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£【答案】B【解析】【分析】利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真D. 若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£，正确，是真命题；故答案为：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．20．下列命题中是假命题的是( )A．一个三角形中至少有两个锐角B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的补角相等D．如果a为实数，那么0a>【答案】D【解析】A. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；C. 同角的补角相等，是真命题；D. 如果a为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D是假命题；故选：D.。

命题与证明一、填空1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果……,那么……”的形式是________________________________________________________________________.2.命题“如果22a b = ,那么a b =”的逆命题是________________________________. 3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等” 是一个______命题(填“真”或“假”). 4.如图,已知梯形ABCD 中, AD ∥BC, AD ＝3, AB ＝CD ＝4, BC ＝7,则∠B ＝_______.5.用反证法证明“b 1∥b 2”时,应先假设_________.6.如图,在ΔABC 中,边AB 的垂直平分线交AC 于E, ΔABC 与ΔBEC 的周长分别为24和14,则AB ＝________.7.若平行四边形的两邻边的长分别为16和20, 两长边间的距离为8,则两短边的距离为__________.8.如图,在ΔABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝72°, BD 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,它们的交点为F,则图中等腰三角形有______个. 二、选择题1.下列语句中,不是命题的是（ ）A.直角都等于90°B.面积相等的两个三角形全等C.互补的两个角不相等D.作线段AB 2.下列命题是真命题的是（ ）A.两个等腰三角形全等B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等C.同位角相等D.两边和一角对应相等的两个三角形全等 3.下列条件中能得到平行线的是（ ）①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同位角的平分线； ④平行线同旁内角的角平分线.A. ①②B. ②④C. ②③D. ④ 4.下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A.两直线平行同位角相等 B.对顶角相等C.若a b =,则22a b =D.若(1)1a x a +>+,则1x >5.三角形中,到三边距离相等的点是（ ）A.三条高的交点B.三边的中垂线的交点C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点 6.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.面积相等7.△ABC 的三边长,,a b c 满足关系式()()()0a b b c c a ---=，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定8.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB 的长为1， EC 的长为2，那么正方形ABCD 的面积是（ ） 35三、解答题（每题8分,共32分）1.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明. （1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. （2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.2.如图, BD ∥AC,且BD ＝12AC, E 为AC 中点,求证:BC ＝DE.ACEDB3.如图.三角形纸片ABC 中,∠A ＝65°,∠B ＝75°,将纸片的一角折叠,使点C 落在ΔABC 内,若∠1＝20°,求∠2的度数.4.如图,梯形ABCD 中, AD ∥BC, ∠ABC ＝60°, BD 平分∠ABC, BC ＝2AB. 求证:AB=CD.5、已知,如图所示,正方形ABCD 的边长为1, G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合）,以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF,连接DE 交BG 的延长线于点H. （1）求证:①ΔBCG ≌ΔDCE ②HB ⊥DE（2）试问当G 点运动到什么位置时, BH 垂直平分DE?请说明理由.6、已知：如图，AB∥CD，AB ＝CD ，BE∥DF；求证：BE ＝DF ；7.已知：如图，C 为BE 上一点，点A ，D 分别在BE 两侧．AB ∥ED ，AB ＝CE ，BC ＝ED ．求证：AC ＝CD ．8.如图，AE 是∠BAC 的平分线，AB=AC ，D 是AE 反向延长线的一点，则△ABD 与△ACD 全等吗？为什么？FO DECBA第2章:命题与证明 一、填空题1、略。

命题与证明一．选择题1．下列语句不是命题的是（）A．两点之间，线段最短B．不平行的两条直线有一个交点C．x与y的和等于0吗？D．对顶角不相等2．下列命题中的真命题是（）A．邻补角是两个互补的角B．同位角相等C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行D．两条直线相交，有两个角相等，则两条直线互相垂直3．下列命题是假命题的是（）A．若|x+2|+（y-5）2=0则x=-2，y=5B．x＜y，则x+2008＜y+2008C．平移不改变图形的形状和大小D．单项式的系数是4. 在下列真命题中，逆命题也是真命题的是（）A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．对顶角相等C．相反数的绝对值相等D．等腰三角形的底角相等5．下列命题为假命题的是（）A．三角形三个内角的和等于180°B．三角形两边之和大于第三边C．三角形两边的平方和等于第三边的平方D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半6．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150° B．210° C．105° D．75°二.填空题7．命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式可写成 .8．命题“腰与底相等的等腰三角形是等边三角形”是（真、假）命题.9．①每个命题都有逆命题②每个定理都有逆定理③真命题的逆命题都是真命题，以上说法中正确的有 .10．下列命题中，其逆命题成立的是________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④两条边相等的三角形是等腰三角形．11．“邻补角互补”的逆命题是___________________________．这是一个___（填“真”或“假”）命题．12．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若AB=5，AC=4，则△AMN的周长是．三．解答题：13．已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．14．潜望镜中的两个镜子MN和PQ是互相平行的，如图所示，光线AB经镜面反射后，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明，进入的光线AB与射出的光线CD平行吗？为什么？15．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1+∠2＝(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A∴∠1+∠2＝(180 °−∠A)＝90°−∠A∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：_______________________________________________ ．答案与解析【答案与解析】一．选择题1．【答案】C；【解析】C选项不是判断性语句，其他三项无论正确与否都是对一件事情做出了判断，是命题.2．【答案】A；3．【答案】D；【解析】单项式的系数是，所以是假命题，4．【答案】D；5．【答案】C；【解析】A、三角形三个内角的和等于180°，所以A选项为真命题；B、三角形两边之和大于第三边，所以B选项为真命题；C、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，所以C选项为假命题；D、三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半，所以D选项为真命题．6．【答案】A ；【解析】翻折必有相等的角即∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．二．填空题7．【答案】如果两个角是同角的余角，那么他们相等8．【答案】真【解析】腰与底相等的等腰三角形也就是三条边都相等了，所以是等边三角形.9．【答案】①；【解析】可以说所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等．10．【答案】①④；【解析】①两直线平行，同旁内角互补，正确；②如果两个角相等，那么它们是直角，错误；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；④等腰三角形的两条边相等，正确．故答案为①④．11．【答案】互补的两个角是邻补角，假；【解析】原题设为：两个角是邻补角，结论为：这两个角互补；所以“邻补角互补”的逆命题是：互补的两个角是邻补角．有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角才叫邻补角，所以得到的逆命题是假命题．12．【答案】9；【解析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，易证得△MBE与△NCE 是等腰三角形，即ME=MB，NE=NC，继而可得△AMN的周长等于AB+AC=9．三．解答题13. 【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF= ∠BEF，∠PFE= ∠DFE，∴∠PEF+∠PFE= （∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．14．【解析】答：进入的光线AB与射出的光线CD平行．理由如下：∵MN∥PQ，∴∠2=∠3；又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4，即∠5=∠6，∴AB∥CD．15．【解析】（1）探究2结论：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°-∠A．。

初中数学命题与证明专题训练50题含参考答案一、单选题1．下列命题是真命题的是（ ）A ．同旁内角相等，两直线平行B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．相等的两个角是对顶角D ．菱形的对角线相等且互相垂直2．用反证法证明“在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”时，应假设（ ）A ．a b <B ．a b ≤C ．a b =D ．a b ≥ 3．下列四个命题中，属于真命题的是（ ）A ．同角（或等角）的补角相等B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．同旁内角相等，两直线平行D ．如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角4．下列语句不是命题的是( )A ．画两条相交直线B ．互补的两个角之和是180°C ．两点之间线段最短D ．相等的两个角是对顶角 5．下列定理中，不存在逆定理的是( )A ．等边三角形的三个内角都等于60°B ．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C ．同位角相等，两直线平行D ．全等三角形的对应角相等6．下列命题：∠相等的两个角是对顶角；∠邻补角互补；∠同位角相等，两直线平行；∠过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中，真命题的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7．下列命题中，真命题有（ ）（1）如果一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1；（2）一个数的立方根等于它本身，则这个数是﹣1，0，1；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．8．下列命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补；B．等边三角形的三个内角都相等；C．等腰三角形的底角可以是直角；D．直角三角形的两锐角互余．9．下列各命题的逆命题成立的是（）．A．正方形是轴对称图形B．如果两个角是直角，那么它们相等C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D．同旁内角互补，两直线平行10．已知下列命题：∠抛物线y=3x2+5x-1与两坐标轴交点的个数为2个；∠相等的圆心角所对的弦相等；∠任何正多边形都有且只有一个外接圆；∠三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；∠圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（）A．这个命题是真命题B．条件是“一个三角形有两个角相等”C．结论是“这两个角所对的边也相等”D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题12．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等C．两直线平行，内错角相等D．在同一个三角形中，等边对等角13．下列说法正确的是（）A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个14．下列句子中，是命题的是（）A．延长线段AB到点CB．正数都大于负数C．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？D．作线段AB∠CD15．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”时，首先假设这个三角形中（）A．三个内角都小于60°B．只有一个内角大于或等于60°C．至少有一个内角小于60°D．每一个内角都小于或等于60°16．下列命题中，假命题是()A ．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B ．矩形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形17．平面内，下列命题为真命题是（ ）A ．经过半径外端点的直线是圆的切线B ．经过半径的直线是圆的切线C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线18．下面给出四个命题：①各边相等的六边形是正六边形；②顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；③顺次连结一个四边形各边中点所成的四边形是矩形，则原四边形是菱形；④正五边形既是中心对称图形又是轴对称图形其中真命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 19．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ） A ．∠1=50°，∠2=40°B ．∠1=45°，∠2=45°C ．∠1=60°，∠2=30°D ．∠1=50°，∠2=50°20．已知下列命题：∠对角线互相垂直的四边形是菱形；∠若x a =，则()20x a b x ab -++=；∠两个位似图形一定是相似图形；∠若22x x =，则2x =；其中原命题是真命题逆命题是假命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题21．命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 ；逆命题是 命题（填“真”或“假”）．22．“互余的两个角相等”的逆命题是______________________________．23．“相等的角是对顶角”是命题．__（判断对错）24．“同位角相等”改写成“如果那么”的形式25．写出命题“对顶角相等”的逆命题：______．（写成“如果…那么…”的形式） 26．用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需________ 分钟．27．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是______．28．如果12∠=∠，23∠∠=，那么13∠=∠；该命题的结论是_______．29．“如果1a ＞1b，那么a＜b．”是假命题，举一个反例，其中a＝_____，b＝_____．30．命题“如果两个角的和为180 ，那么这两个角互补”的逆命题是_______. 31．A、B、C、D、E五名学生猜测自己的数学成绩．A说：“如果我得优，那么B也得优”B说：“如果我得优，那么C也得优”C说：“如果我得优，那么D也得优”D说：“如果我得优，那么E也得优”大家都没有说错．如果C得优，那么A、B、D、E中还有________也一定得优（填字母）．32．将命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”改写“如果……那么……”的形式__________________.33．一个命题由“条件”和“结论”两部分组成，则命题“同角的余角相等”的条件是________________．34．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设______．35．命题“等腰三角形底边上的高线和中线互相重合”是__________．（填“真命题”或“假命题”）36．写出“两直线平行内错角相等”的逆命题：_______________，此逆命题是__________（填“真”或“假”）命题．37．有下列五个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③垂线段最短；④带根号的数都是无理数；⑤一个非负实数的绝对值是它本身，其中是真命题的是______.(只填序号)38．把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式是_____，它是_____命题．（填“真”或“假”）39．下列说法中，正确的个数有_____个．（1）三点确定一个圆（2）相等的圆心角所对的弧相等（3）四边形都有一个外接圆（4）三角形有且只有一个外接圆（5）正五边形是轴对称图形．40．命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是________，该逆命题是______（填真、假）命题．三、解答题41．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：∠AB∠CD；∠AM∠EN；∠∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．(1)请按照：“∠ ，；∠ ”的形式，写出所有正确的命题；例如命题1：∠AB∥CD，AM∥EN；∠∠BAM＝∠CEN．(2)在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．42．如图，已知直线AB CD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF∥．分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：ME NF解：∠AB CD，（已知）∠∠AMN＝∠DNM（）∠ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）∠∠EMN＝∠AMN，∠FNM＝∠DNM（角平分线的定义）∠∠EMN＝∠FNM（等量代换）∥（）∠ME NF（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对角的平分线互相．（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．43．说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．44．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）末位数字是0的数，一定能被5整除；（3）直角都相等；（4）同角的余角相等．45．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三边对应相等的两个三角形全等．46．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)绝对值相等的两个数一定相等；(3)每一个有理数都对应数轴上的一个点．47．“如果a＞b，那么ac＞bc”是真命题还是假命题？如果是假命题，举一个反例并添加适当的条件使它成为真命题．48．说出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(2)直角三角形只有两个锐角．(3)有一条边和这条边上的中线对应相等的两个三角形全等．49．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差22+-等于这两个连续整数的n n(1)和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由.50．如图所示，在∠DE∠BC；∠∠1＝∠2；∠∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．参考答案：1．B【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由菱形的性质得出D是假命题；综上，即可得出答案．【详解】解：A．同旁内角互补，两直线平行，原说法错误，是假命题，不符合题意．B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，是真命题，符合题意．C．相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题，不符合题意．D．菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，原说法错误，是假命题，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、菱形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解决本题的关键．2．B【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【详解】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a ＞b”，第一步应假设a≤b，故选：B．【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．A【详解】解：A、同角（或等角）的补角相等，正确，为真命题；B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题错误，为假命题；C、同旁内角互补，两直线平行，原命题错误，为假命题；D、如果∠1=∠2，那么∠1和∠2不一定是对顶角，原命题错误，为假命题，故选A.4．A【分析】根据命题的定义对四个语句分别进行判断即可．【详解】A．画两条相交直线不是对一件事情的判断，不是命题；B．互补的两个角之和是180°是命题；C．两点之间线段最短是命题；D．相等的两个角是对顶角是命题．故选A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．5．D【分析】根据逆命题的定义先写出各选项中原命题的逆命题,再对得到的逆命题判断真假.【详解】A的逆命题：三个内角都是60°，那么这个三角形是等边三角形，正确；B的逆命题：在同一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边也相等，正确；C的逆命题：两直线平行，同位角相等，正确；D的逆命题：对应角相等，两个三角形全等，错，是相似；故答案为D【点睛】本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题.6．C【分析】根据对顶角、邻补角的定义，平行线的判定定理，垂线的性质逐个分析判断即可求解．【详解】解：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，则相等的角不一定是对顶角，故∠是假命题；两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角或两个角有一个公共顶点并且一个角的两条边是另一个叫两条边的反向延长线叫做邻补角，则邻补角互补，故∠是真命题；同位角相等，两直线平行，∠是真命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∠是假命题，故∠∠是真命题，共2个．故选：C．【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．7．C【分析】利用0的算术平方根为0可对（1）进行判断；利用立方根的定义可对（2）进行判断；根据垂直公理可对（3）进行判断；根据平行线的判定方法可对（4）进行判断．【详解】解：（1）如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是0或1，所以（1）为假命题；（2）一个数的立方根等于它本身，则这个数是-1，0，1，所以（2）为真命题；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以（3）为真命题；（4）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以（4）为真命题．综上，（2）（3）（4）三个正确，故选：C．【点睛】本题考查了命题，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．C【分析】根据平行线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质分别判断即可.【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，正确；B. 等边三角形的三个内角都相等，正确；C. 由于等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和是180°，故等腰三角形的底角不可以是直角，错误；D. 直角三角形的两锐角互余，正确，故选：C.【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握各性质是解题关键.9．D【分析】分别写出各个命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A、命题正方形是轴对称图形的逆命题为：轴对称图形是正方形，该逆命题是假命题，不符合题意；B、命题如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角，该逆命题为假命题，不符合题意；C、命题如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为，如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，该逆命题是假命题，不符合题意；D、命题同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，该逆命题是真命题，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，判断命题真假，轴对称图形的定义，实数的性质，平行线的性质与判定，直角的定义等等，正确写出每个命题的逆命题是解题的关键．10．B【分析】分别利用二次函数的性质、圆的性质、多边形的性质及圆内接四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：∠抛物线y=3x2+5x-1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；∠相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；∠任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；∠三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；∠圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；故选B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解二次函数的性质、圆的性质、多边形的性质及圆内接四边形的性质，难度不大．11．D【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”，则选项A、B、C正确，不符合题意，不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键．12．A【分析】分别写出逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题；B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，是真命题；C．逆命题为：内错角相等，两直线平行，正确，是真命题；D．逆命题为：在同一个三角形中，等角对等边，正确，是真命题，故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键，难度不大．13．D【详解】试题分析：依次分析各项，判断是否为真命题即可.A、经验、观察或实验完全不一定能判断一个数学结论的正确与否，B、我们每个人都有学习推理的必要，C、对于自然数n，n2+n+37不一定是质数，故错误；D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，本选项正确.考点：命题与定理点评：此类问题对常识性知识要求较高，贴近生活，在中考中较常见，常以选择题形式出现，属于基础题，难度一般.14．B【分析】根据命题的特点可知，命题是判断一件事情的句子，这个判断可能是正确的也可能是错误的，而不做判断的句子肯定不是命题．【详解】A．延长线段AB到点C不是判断句，没有做出判断，不是命题；B．正数都大于负数，是命题；C．直于同一条直线的两条直线平行吗？不是判断句，没有做出判断，不是命题；D．作线段AB∠CD不是判断句，没有做出判断，不是命题．故选B．【点睛】本题考查了命题的定义：在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，比较简单．15．A【分析】反证法的第一步是假设结论不成立，据此解答即可．【详解】∠要证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”，∠用反证法证明时，首先假设这个三角形中三个内角都小于60°，故选：A．【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．16．C【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案.【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．17．D【分析】利用切线的判定方法逐一判断即可得到答案，也可举出反例进行说明.【详解】解：根据切线的判定定理：“经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线”得到D正确，故选D.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，牢记这些命题与定理是解决本类问题的关键. 18．B【分析】根据正六边形六条边相等且六个角也相等可对∠进行判断，利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定定理可对∠进行判断；利用三角形中位线的性质，根据四边形的对角线不一定互相平分对∠进行判断；根据轴对称图形和中心对称图形的定义对∠进行判断，综上即可得答案.【详解】∠正六边形六条边相等且六个角也相等，∠各边相等的六边形不一定是正六边形，故∠不是真命题，∠等腰三角形的顶角对应相等，∠两个等腰三角形的两个底角对应相等，∠底边对应相等，∠两个等腰三角形全等(ASA)，故∠是真命题，∠如图，由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∠FG∠BD，EF∠AC∠HG；∠四边形EFGH是矩形，即EF∠FG，∠AC∠BD．∠四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，不一定是菱形，故∠不是真命题，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故∠不是真命题，综上所述：是真命题的有∠，共1个，故选B.【点睛】本题考查了命题的判断，涉及的知识点有正多边形的定义、全等三角形的判定、菱形的判定及轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关性质与定理是解题关键. 19．B【详解】A ． 当∠1=50°，∠2=40°时，∠1+∠2=90°，∠1≠∠2；B ． 当∠1=45°，∠2=45°时，∠1+∠2=90°，∠1=∠2，与∠1≠∠2矛盾；C ． 当∠1=60°，∠2=30° 时，∠1+∠2=90°，∠1≠∠2；D ． ∠1=50°，∠2=50°时，∠1+∠2≠90°．故选B ．20．B【分析】根据菱形的判定及性质、一元二次方程的解法、位似图形的性质逐一判断即可．【详解】解：∠的原命题：对角线互相垂直的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，如果只有垂直，不能判定为菱形，故∠的原命题为假命题，∠的逆命题：菱形是对角线互相垂直的四边形，这是菱形的性质，故∠的逆命题是真命题，故∠不符合题意； ∠的原命题：若x a =，则20x a b x ab -++=（）；若x a =，则220x a b x ab a a b a ab -++=-++=（）（），故∠的原命题是真命题：∠的逆命题：若 20x a b x ab -++=（）．则x a =．解方程20x a b x ab -++=（），得：()()0x a x b --=，解得：1x a =，2x b =，故∠的逆命题为假命题；故符合题意；∠的原命题：两个位似图形一定是相似图形，根据位似图形的性质知：（1）两个图形必须是相似形；（2）对应点的连线都经过同一点：（3）对应边平行．故两个位似图形一定是相似图形，故∠的原命题是真命题：∠的逆命题：两个相似图形一定是位似图形．很显然，根据位似图形的性质知其不符合位似图形的性质（2）和（3），故∠的逆命题是假命题，符合题意；∠的原命题：若22x x =，则2x =；解方程22x x =，10x =，22x =．故∠的原命题是假命题；∠的逆命题：若2x =，则22x x =，等式左边224==，等式右边224=⨯=：故当2x =时，22x x =，故∠的逆命题是真命题，故∠不符合题意，满足题意的命题是∠∠，共2个．故答案为：B ．【点睛】本题考查了命题的判断，涉及原命题与逆命题、菱形的判定及性质、一元二次方程的解法、位似图形的性质，解题的关键是掌握上述知识点并灵活运用．21．如果两个角相等，那么它们是直角；假．【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到其逆命题，然后根据直角的定义判断逆命题的真假．【详解】解：命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，此逆命题是假命题．故答案为：如果两个角相等，那么它们是直角；假．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．22．相等的两个角互余【分析】根据逆命题的定义即可得．【详解】由逆命题的定义得：相等的两个角互余，故答案为：相等的两个角互余．【点睛】本题考查了逆命题，掌握理解定义是解题关键．23．对【分析】根据命题的概念判断即可．【详解】解：判断一件事情的语句，叫做命题，所以相等的角是对顶角是命题，对 故答案为：对．【点睛】本题考查了命题与定理，命题是指可以判断真假的陈述语句，加深对相关概念的理解是解此类问题的关键．24．如果两个角是同位角，那么这两个角相等．【分析】命题有题设与结论组成，把命题的题设写在如果的后面，结论写在那么的后面即可．【详解】解：命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．25．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【分析】由题意将原命题写成条件与结论的形式，进而将结论和条件进行互换即可.【详解】解：命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，为假命题．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【点睛】本题考查命题与定理的知识，解决本题的关键是将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，并将结论和条件进行互换．26．3【分析】若先把两只饼煎熟，则在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎．【详解】应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只并同时熟，共需3分钟．故答案为3．【点睛】本题考查了推理与论证，在解答此类题目时要根据实际情况进行推论，既要节省时间又不能造成浪费．27．同旁内角互补【分析】根据命题的概念解答即可．【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，故答案为：同旁内角互补．【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果⋯，那么⋯”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，即条件，“那么”后面解的部分是结论．28．13∠=∠。

专题2.4命题与证明（拓展提高） 一、单选题1．下列命题中的假命题是（ ）A ．当x y =时，有22x y =B ．相等的角是对顶角C ．两直线平行，同位角相等D ．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】B 【分析】根据等式的性质，对顶角的定义，平行线的性质和平行公理的推论对四个选项依次判断即可．【详解】解：A 选项，根据等式的性质，可以判断该命题为真命题，故A 选项不符合题意； B 选项，根据对顶角的定义，可以判断该命题为假命题，故B 选项符合题意；C 选项，根据平行线的性质，可以判断该命题为真命题，故C 选项不符合题意；D 选项，根据平行公理的推论，可以判断该命题为真命题，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了等式的性质，对顶角的定义，平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握以上知识点是解题关键．2．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与己知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．其中真命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【分析】依据对顶角、同位角、平行公理以及点到直线的距离的概念进行判断，即可得出结论．【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误；②同位角不一定相等，故说法错误；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确； 故选：A ．【点睛】本题主要考查了对顶角、同位角、平行公理以及点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．3．下列四个命题：（1）对顶角相等；（2）同位角相等；（3）两点之间，线段最短；（4）若OA OB =，则O 是AB 的中点，其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据对顶角的性质对(1)进行判断；根据平行线的性质对(2)进行判断；根据线段公理对(3)进行判断；根据线段的中点定义对(4)进行判断．【详解】对顶角相等，所以(1)正确；两直线平行，同位角相等，所以(2)错误；两点之间的线段最短，所以(3)正确；当点O 在线段AB 上，若OA=OB ，则点O 是AB 的中点，所以(4)错误．故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 4．利用反证法证明命题“在ABC ∆中，若AB AC =，则90B ∠<︒”时，应假设( )A ．若AB AC =，则90B ∠>︒B ．若AB AC ≠，则90B ∠<︒ C ．若AB AC =，则90B ∠︒D ．若AB AC ≠，则90B ∠︒【答案】C 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答．【详解】解：用反证法证明命题“在ABC ∆中，若AB AC =，则90B ∠<︒”时，应假设若AB AC =，则90B ∠︒， 故选：C ．【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5．某班选举班干部，全班有40名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，40．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令1,,0,i i j a j i j 第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选⎧=⎨⎩ 其中i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，40．则a 1，1a 1，2+a 2，1a 2，2+a 3，1a 3，2+…+a 40，1a 40，2表示的实际意义是（ ） A ．同意第1号或者第2号同学当选的人数B ．同时同意第1号和第2号同学当选的人数C ．不同意第1号或者第2号同学当选的人数D ．不同意第1号和第2号同学当选的人数【分析】先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数是他们对应相乘再相加．【详解】第1，2，3，……，40名同学是否同意第1号同学当选依次由a1，1，a2，1，a3，1，…，a40，1来确定，是否同意第2号同学当选依次由a1，2，a2，2，a3，2，…，a40，2来确定，a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a40，1a40，2表示的实际意义是同时同意第1号和第2号同学当选的人数，∴a1，1故选B．【点睛】本题考查了推理应用题，题目比较新颖，是基础题．6．如图，给出下列推理：①∵∠B＝∠BEF，∴AB∥EF；②∵∠B＝∠CDE，∴AB∥CD；③∵∠B＋∠BEC ＝180°，∴AB∥EF；④∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，其中正确的推理是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解析】①∵∠B=∠BEF，∴AB//EF，则①是正确的；②∵∠B=∠CDE，∴AB//CD，则②是正确的；③中由∠B+∠BEC=180°，可推出AB//CE,不能推出AB//EF，故③不正确；④∵AB∥CD，CD//EF，∴AB//EF，则④是正确的.综上可知，①②④正确.故答案选B.点睛：1、平行线的判定定理: ①同位角相等，两直线平行,②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④若a//b，b//c，那么a//c；以此为依据进行判断选择；2、结合图形，确定已知角之间的关系，即是否是同位角、同旁内角、内错角关系；3、注意检查已知角是否是由要判断的两线截得的同位角、同旁内角或内错角，否则易错选，如③.二、填空题7．用一组a，b的值说明命题“若a b>，则22a b>”是错误的，这组值可以是a=____，b=____【答案】1（答案不唯一）-2（答案不唯一）【分析】举出一个反例：a=1，b=-2，说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的即可．【详解】解：当a=1，b=-2时，满足a＞b，但是a2=1，b2=4，a2＜b2，∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．故答案为：1、-2．（答案不唯一）【点睛】此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“若…，则…”__．【答案】若两直线平行，则同位角相等【分析】命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”可以改写成“若两直线平行，则同位角相等”，故答案为：“若两直线平行，则同位角相等”．【点睛】本题考查了命题的概念，掌握命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论是解题的关键．9．已知“若a>b，则ac>bc”是假命题，请写出一个满足条件的c 的值是_______________．【答案】0(答案不唯一)【分析】举出一个能使得ac=bc或ac＜bc的一个c的值即可．【详解】若a＞b，当c=0时ac=bc=0，故答案为：0(答案不唯一)．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．10．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③等角的补角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题为____________．【答案】③【分析】根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；根据补角的定义对③进行判断；根据平行线的判定方法对④进行判断．【详解】解：相等的角不一定是对顶角，所以①错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以②错误；等角的补角相等，所以③正确；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以④错误．故答案为：③．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．11．用一个m 的值说明命题“代数式223m -的值一定大于代数式21m +的值．”是错误的，这个m 的值可以是__． 【答案】0m =（答案不唯一）【分析】根据题意找到一个使得命题不成立的m 的值即可．【详解】当0m =时，2233m -=-，211m +=， 此时22231m m -<+， 故答案为0m =（答案不唯一） 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够根据题意举出反例，难度不大．12．如图，一个弯形管道ABCD 的拐角∠ABC ＝120°，∠BCD ＝60°，这时说管道AB ∥CD ，是根据___________________________．【答案】同旁内角互补，两直线平行【详解】试题分析：由已知∠ABC=120°，∠BCD=60°，即∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，可得关于AB ∥CD 的判定条件：同旁内角互补，两直线平行．考点：平行线的判定.13．如图，直线a ∥b ，Rt △ABC 的顶点B 在直线a 上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为______．【答案】35°【分析】先过点C 作CE ∥a ，可得CE ∥a ∥b ，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．【详解】解：过点C 作CE ∥a ，∵a ∥b ，∴CE ∥a ∥b ，∴∠BCE=∠α，∠ACE=∠β=55°，∵∠C=90°，∴∠α=∠BCE=∠ABC-∠ACE=35°．故答案为：35°．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC 的平分线与外角∠BAD 的平分线的反向延长线交于点F ，则∠F ＝____．【答案】45°【详解】如图，AE 平分∠DAB ，BF 平分∠ABC ，∴∠DAB=2∠1，∠ABC=2∠1.∵∠DAB=∠C+∠ABC=90°+∠ABC ，∠1=∠F+∠2，∴2∠1=90°+2∠2， ∴2(2)F ∠+∠=90°+2∠2，∴∠F=45°.三、解答题15．用举反例的方法说明命题“如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等”是假命题． 【答案】详见解析【分析】利用平行线的性质构造图形即可举出反例.【详解】解：如图，1∠的两边与2∠的两边互相平行，但1∠与2∠不相等．【点睛】本题考查了命题与定理，熟知平行线的性质、构造符合题意的图形是解题的关键.16．如图，有如下四个论断：①//AC DE ，②//DC EF ，③CD 平分BCA ∠，④EF 平分BED ∠． （1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如果①②③，那么④，正确；如果①②④，那么③，正确；如果①③④，那么②，正确；如果②③④，那么①，正确；（2）已知：AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA ，求证：EF 平分∠BED ．证明：∵AC ∥DE ，∴∠BCA =∠BED ，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC ∥EF ，∴∠2=∠5，∵CD 平分∠BCA ，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF 平分∠BED ．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．17．判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例，真命题不需要举例．（1）钝角的补角是锐角；（2）一个角的余角小于这个角；（3）如果a b =，那么a b =． 【答案】（1）真命题；（2）假命题，举例见解析；（3）假命题，举例见解析【分析】（1）钝角的补角是锐角，该命题是真命题；（2）一个角的余角不一定小于这个角，该命题是假命题，举出反例即可；（3）如果a b =，那么a 与b 相等或互为相反数，所以该命题是假命题，举出反例即可．【详解】（1）钝角的补角是锐角，该命题是真命题．（2）一个角的余角小于这个角，该命题是假命题．反例：45°的余角是45°，与本身相等．（3）如果a b =，那么a b =，该命题是假命题．反例：22-=，但是22-≠．【点睛】本题主要考查命题的真假判断、补角、余角以及绝对值的概念，熟记相关概念是解题关键． 18．如图，已知BC 、DE 相交于点O ，给出以下三个判断：①//AB DE ；②//BC EF ；③B E ∠=∠．请你以其中两个判断作为条件，另外一个判断作为结论，写出所有的命题，指出这些命题是真命题还是假命题．【答案】见解析【分析】三个判断任意两个为条件，另一个为结论可写三个命题，然后根据平行线的判定与性质即可判断这些命题的真假．【详解】解：（1）若AB ∥DE ，BC ∥EF ，则∠B ＝∠E ，此命题为真命题；（2）若AB ∥DE ，∠B ＝∠E ，则BC ∥EF ，此命题为真命题；（3）若∠B ＝∠E ，BC ∥EF ，则AB ∥DE ，此命题真命题； 第一个命题证明如下：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DOC ．∵BC ∥EF ，∴∠DOC ＝∠E ．∴∠B ＝∠E ． 第二个命题证明如下：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DOC ．∵∠B ＝∠E ，∴∠DOC ＝∠E ．∴BC ∥EF ． 第三个命题证明如下：∵BC ∥EF ，∴∠DOC ＝∠E ．∵∠B ＝∠E ，∴∠DOC ＝∠B ．∴AB ∥DE ．【点睛】本题考查了真假命题和平行线的判定与性质，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．19．如图所示，AB CD ，相交于点E ，连接AD BC ，，①A C ∠=∠，②AD CB =，③AE CE =．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；（2）请选择其中一个真命题加以证明．【答案】（1）2；（2）选择①②⇒③，见解析.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS ，ASA 即可判断；（2）选择①②⇒③，根据全等三角形的判定定理AAS ，得到(AAS)ADE CBE ∆∆≌，然后即可得到AE CE =.【详解】解：（1）①②⇒③，满足全等三角形判定定理AAS ，是真命题； ①③⇒②，满足全等三角形判定定理ASA ，是真命题； ②③⇒①，是SSA ，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；故答案为：2；（2）选择①②⇒③．证明：在ADE ∆和CBE ∆中，()()()AED CEB A C AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩对顶角相等，已知，已知， ∴(AAS)ADE CBE ∆∆≌． ∴AE CE =（全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.20．请阅读，完成证明和填空.九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM AN =，连结BN 、CM ，发现BN CM =，且60NOC ∠=︒. 请证明：60NOC ∠=︒.（2）如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM BN =，连结AN 、DM ，那么AN =______，且DON ∠=______度.（3）如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM BN =，连结AN 、EM ，那么AN =______，且EON ∠=______度.（4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________.【答案】（1）见解析;（2）DM ，90°;（3）EM ，108°;（4）见解析. 【分析】①以正n 边形的性质（即各边相等，各内角相等）为切入点，构造与ABN 全等的三角形；②通过对正三角形的探究与分析，得到正n 边形的一般性结论，即所探究的角恰好等于正n 边形的内角.【详解】解 （1）证明：∵ABC ∆是正三角形，∴60A ABC ∠=∠=︒，AB BC =.在ABN ∆和BCM ∆中，AB BC A ABC AN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABN BCM ∆≅∆.∴ABN BCM ∠=∠.又∵60ABN OBC ∠+∠=︒，∴60BCM OBC ∠+∠=︒.又∵NOC BCM OBC ∠=∠+∠，∴60NOC ∠=︒.（2）在正方形中，AN DM =，90DON ∠=︒.（3）在正五边形中，AN EM =，108EON ∠=︒.（4）所连结的两条线段相等，所求的角恰好等于正n 边形的内角()2180n n-⋅︒. 【点睛】本题以正多边形为背景，以正三角形ABC 为切入点，通过对问题的类比、改造、延伸和拓展来检测分析问题、解决问题的能力.启示我们学习数学要在“做数学”，而不是“背数学”.。