2022年最新中考数学知识点梳理 考点18 尺规作图与定义、命题、定理(教师版)

第十七节尺规作图【知识点梳理】一）尺规作图1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．二）五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三）基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．【课堂练习】一．选择题（共8小题）1．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：连接EG，∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，∴AG⊥DE，OD=DE=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AD=DG．∵AG⊥DE，∴OA=AG．在Rt△AOD中，OA===4，∴AG=2AO=8．故选B．2．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF 【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：由题意可得，GH垂直平分线段EF．故选C．3．如图，已知线段AB，分别以A、B 为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．4．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【考点】N2：作图—基本作图．【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】N2：作图—基本作图；KO：含30度角的直角三角形．【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B．6．如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画弧C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧【考点】N2：作图—基本作图．【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．7．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是（）A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC=BC•AH D．AB=AD【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．【解答】解：A、正确．如图连接CD、BD，∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．B、错误．CA不一定平分∠BDA．C、错误．应该是S△ABC =•BC•AH．D、错误．根据条件AB不一定等于AD．故选A．8．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A ．B ．C ．D ．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．二．填空题（共5小题）9．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为．【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，∴∠DAQ=∠BAQ．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，∴∠DAQ=∠DQA，∴△AQD是等腰三角形，∴DQ=AD=3．∵DQ=2QC，∴QC=DQ=，∴CD=DQ+CQ=3+=，∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．故答案为：15．10．如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．．则∠AOC的大小为【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠AOB=20°．故答案为：20°．11．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=°．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF=∠DAC=34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°．故答案为：56．12．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是．【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．【解答】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，又∵点P（a，b）第二象限内，∴b=﹣a，即a+b=0，故答案为：a+b=0．13．图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．【考点】N3：作图—复杂作图；MA：三角形的外接圆与外心．【分析】由于90°的圆周角所对的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．三．解答题（共8小题）14．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．【考点】N2：作图—基本作图；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可；（2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．【解答】解：（1）如图所示，射线CM即为所求；（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AD=4．15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．【考点】N2：作图—基本作图；KO：含30度角的直角三角形．【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE=，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；（2）由题可得，AE=AC=，∠A=30°，∴Rt△ADE中，DE=AD，设DE=x，则AD=2x，∴Rt△ADE中，x2+（）2=（2x）2，解得x=1，∴△ADE的周长a=1+2+=3+，∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，∴当a=3+时，T=3（3+）+1=10+3．16．如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．【考点】N3：作图—复杂作图；KX：三角形中位线定理．【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF 即为所求．【解答】解：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．17．如图，已知△ABC，∠B=40°．（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．【考点】N3：作图—复杂作图；MI：三角形的内切圆与内心．【分析】（1）直接利用基本作图即可得出结论；（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，⊙O即为所求．（2）如图2，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB=∠OEB=90°，∵∠B=40°，∴∠DOE=140°，∴∠EFD=70°．18．在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）以上材料作图的依据是：（3）已知，直线l和l外一点P，求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【考点】N3：作图—复杂作图；MD：切线的判定．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．【解答】解：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）如图．19．“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．【考点】N3：作图—复杂作图；KS：勾股定理的逆定理；M5：圆周角定理．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．【解答】解：（1）如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°（2）如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．20．如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．【考点】N3：作图—复杂作图；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．【分析】（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．【解答】解：（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，∠延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．21．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【考点】N4：作图—应用与设计作图；KI：等腰三角形的判定；KK：等边三角形的性质；L6：平行四边形的判定．【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；（2）根据平行四边形的判定作图可得．【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．。

专题13尺规作图知识回顾1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

即为角的平分线。

③连接OP，OP4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。

5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。

专题练习1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝21ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2．9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF 是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF ＝DF ，AE ＝DE ，进而得出DF ∥AB ，同理DE ∥AF ，于是可判断四边形AEDF 是平行四边形，加上FA ＝FD ，则可判断四边形AEDF 为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN 是AD 的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB 长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。

2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图第一部分：知识点精准记忆一、直线、射线、线段1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、相交线1．三线八角1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．四、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行． 3．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．五、五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段。

中考专题30 尺规作图问题1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作已知线段的垂直平分线；(4)作已知角的角平分线；(5)过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法写出已知，求作，作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。

4.中考专题要求(1)能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.(2)能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.(3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.(4)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明).【经典例题1】(2020年•台州)如图，已知线段AB ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是( )A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD【标准答案】D【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出标准答案．【答案剖析】由作图知AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB＝CD【知识点练习】(2019•丽水模拟题)如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形【标准答案】B【答案剖析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形。

2025年中考数学考点分类专题归纳尺规作图1、定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．2、基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．3、复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4、应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．1．（2024•鄂尔多斯）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE D．sin∠CBE2．（2024•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）A．（1，2）B．（，2）C．（3，2）D．（2，2）3．（2024•郴州）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．4．（2024•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．5．（2024•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm6．（2024•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A．∠CBD＝30°B．S△BDC AB2C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cos2D＝17．（2024•台州）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．8．（2024•巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（）A．CF＝FG B．AF＝AG C．AF＝CF D．AG＝FG9．（2024•昆明）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F （0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（）A．2 B．C．D．10．（2024•安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．11．（2024•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A．r B．（1）r C．（1）r D．r12．（2024•益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC＝_______．13．（2024•抚顺）如图，▱ABCD中，AB＝7，BC＝3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是____．14．（2024•葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON＝60°，EF＝1，则OA＝_______．15．（2024•山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB＝2，∠ABP＝60°，则线段AF的长为_______．16．（2024•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是____．17．（2024•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是__．18．（2024•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC＝10cm，则DE＝___cm．19．（2024•赤峰）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C＝∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．20．（2024•攀枝花）已知△ABC中，∠A＝90°．（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC＝2AD．21．（2024•牡丹江）在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE＝90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．22．（2024•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．23．（2024•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝____，CB＝____，∴PQ∥l（__________）（填推理的依据）．24．（2024•孝感）如图，△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是__________；（2）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．25．（2024•陇南）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．26．（2024•青岛）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．27．（2024•广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个一边长为2，面积为6的等腰三角形．28．（2024•河南）如图，反比例函数y（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．29．（2024•湖北）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．30．（2024•宁波）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．31．（2024•济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10m，请你求出这个环形花坛的面积．32．（2024•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．。

2022年中考数学三轮复习：尺规作图一．选择题（共10小题）1．（2021•通山县模拟）如图，在直径为AB的半圆O中，C为半圆上一点，连接AC，BC，利用尺规在AB，AC上分别截取AD，AE，使AE＝AD；分别以D，E为圆心、以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F；作射线AF交BC于点G．若AC＝，AG ＝3，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．2B．C．4D．无法确定2．（2021•兰州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D．再分别以点E，D为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部交于点F，延长AF交BC于点G，若BG＝5，tan B＝，则AC＝（）A．B．C．8D．6 3．（2021•方城县三模）如图，点C在x轴上，OA＝OC，分别以点A，C为圆心、大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE，交AC于点B，在射线OE上任取一点D，连接DC．若BO＝AC＝8，CD＝5，则点D的坐标为（）A．（，4）B．（，4）C．（，4）D．（）4．（2021•思明区校级二模）如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠CODB．点M与点D关于直线OA对称C．若∠AOB＝20°，则D．MN∥CD5．（2021•天宁区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC 于点F，若＝，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．6．（2021•岳麓区校级三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN，分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE，DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．8 7．（2021•荆州模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝．BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB．AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M．N作直线MN．交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA的长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5 8．（2021•河南模拟）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F，连接BF，再分别以B，F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．120°9．（2021•定海区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，若以点G为圆心，GC长为半径作两段弧，一段弧过点C，而另一段弧恰好经过点D，则此时∠C度数为（）A．20°B．30°C．36°D．40°10．（2021•三门峡一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，A（﹣2，0），B（0，2），按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC于点E．则点E的坐标为（）A．（1，1）B．（1，4）C．（2，4）D．（2，2）二．填空题（共5小题）11．（2021•靖西市模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为．12．（2021•荆州模拟）如图，已知直线AB及其外一点P，求作经过点P且与直线AB平行的直线．作法：（1）连接BP并延长至C，使PC＝PB，连接AC；（2）作线段AC的中垂线EF，与AC交于点D，则直线PD为所求．该作法用到的主要数学依据有．13．（2021•兴庆区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③连接AP，交BC于点D．若CD＝3，BD＝5，则AC的长为．14．（2021•梁园区二模）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD 于点F，连接BF，再分别以B、F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为．15．（2021•昆明模拟）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是．三．解答题（共5小题）16．（2021•南关区四模）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）（1）边AC的长度为；（2）作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．17．（2021•思明区校级二模）如图，已知△ABC．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AB＝BC＝3，CD＝．求证：AB⊥BD．18．（2021•思明区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点O为边AB中点，且AB ＝10，AC＜BC．（1）请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，连接OD，若OD＝，求Rt△ABC的面积．19．（2021•福建模拟）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的作图条件下，直线AB交直线CM与点Q，求证：P，D，Q三点共线．20．（2021•武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画（画图过程用虚线，画图结果用实线）：（1）△ABC的周长为；（2）如图1，点D，P分别是AB与竖格和横格线的交点、画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（3）在图1中画△ABC的角平分线BE；（4）将边AB绕点B逆时针旋转∠ABC的度数得到线段BF，在图2中画出点F．2022年中考数学三轮复习：尺规作图参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•通山县模拟）如图，在直径为AB的半圆O中，C为半圆上一点，连接AC，BC，利用尺规在AB，AC上分别截取AD，AE，使AE＝AD；分别以D，E为圆心、以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F；作射线AF交BC于点G．若AC＝，AG ＝3，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．2B．C．4D．无法确定【考点】作图—复杂作图；勾股定理．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据圆周角定理得到∠C＝90°，则利用勾股定理可计算出CG＝2，接着利用角平分线的性质得到GH＝GC＝2，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠C＝90°，在Rt△ACG中，CG＝＝＝2，∵AG平分∠BAC，GC⊥AC，GH⊥AB，∴GH＝GC＝2，∵P为AB上一动点，∴GP的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、圆周角定理和垂线段最短．2．（2021•兰州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D．再分别以点E，D为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部交于点F，延长AF交BC于点G，若BG＝5，tan B＝，则AC＝（）A．B．C．8D．6【考点】角平分线的性质；作图—基本作图；解直角三角形．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】过G点作GH⊥AB于H，如图，由作法得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到GH＝GC，利用正切的定义得到tan B＝＝，则可设GH＝3t，BH＝4t，所以BG＝5t＝5，解得t＝1，从而得到CG＝GH＝3，然后在Rt△ABC中利用正切的定义可求出AC的长．【解答】解：过G点作GH⊥AB于H，如图，由作法得AG平分∠BAC，而GH⊥AB，GC⊥AC，∴GH＝GC，在Rt△BGH中，∵tan B＝＝，∴设GH＝3t，BH＝4t，∴BG＝5t，即5t＝5，解得t＝1，∴CG＝GH＝3，∴BC＝BG+CG＝5+3＝8，在Rt△ABC中，∵tan B＝＝，∴AC＝BC＝×8＝6．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了角平分线的性质和解直角三角形．3．（2021•方城县三模）如图，点C在x轴上，OA＝OC，分别以点A，C为圆心、大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE，交AC于点B，在射线OE上任取一点D，连接DC．若BO＝AC＝8，CD＝5，则点D的坐标为（）A．（，4）B．（，4）C．（，4）D．（）【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】利用基本作图可判断OD平分∠AOC，则根据等腰三角形的性质得到OD⊥AC，AB＝CB＝4，再利用勾股定理计算出BD＝3，OC＝4，作DH⊥x轴于H，如图，证明△OBC∽△OHD，然后利用相似比计算出OH、DH，从而得到D点坐标．【解答】解：由作法得OD平分∠AOC，∵OA＝OC，∴OD⊥AC，AB＝CB＝AC＝×8＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝＝3，在Rt△OBC中，OC＝＝＝4，作DH⊥x轴于H，如图，∵∠COB＝∠DOH，∠OBC＝∠OHD，∴△OBC∽△OHD，∴＝＝，即＝＝，∴OH＝，DH＝，∴D点坐标为（，）．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．4．（2021•思明区校级二模）如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠CODB．点M与点D关于直线OA对称C．若∠AOB＝20°，则D．MN∥CD【考点】平行线的判定；作图—复杂作图；轴对称的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】根据等弧所对圆周角相等可以判断A；根据平行线的判定可以判断D；根据CM ＝CD，OM＝OD，可得OA垂直平分MD，可以判断B；根据∠AOB＝∠AOM＝∠BON ＝20°，得∠MON＝60°，由OM＝ON，可得△OMN为等边三角形，进而可以判断C．【解答】解：由作法得CM＝CD，∴＝，∴∠COM＝∠COD，所以A选项的结论正确；连接MD，∵＝，∴∠DMN＝∠MDC，∴CD∥MN，所以D选项的结论正确；∵CM＝CD，OM＝OD，∴OA垂直平分MD，∴点M与点D关于OA对称，所以B选项的结论正确；∵∠AOB＝∠AOM＝∠BON＝20°，∴∠MON＝60°，∵OM＝ON，∴△OMN为等边三角形，∴OM＝MN，所以C选项的结论错误．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理．5．（2021•天宁区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC 于点F，若＝，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图；解直角三角形．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】连接AF，设AF＝CF＝5k，BF＝3k，利用勾股定理求出AB，可得结论．【解答】解：连接AF．由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴F A＝FC，∵BF：FC＝3：5，∴可以假设BF＝3k，CF＝AF＝5k，∵∠B＝90°，∴AB＝＝＝4k，∴BC＝BF+CF＝8k，∴tan∠ACB＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．6．（2021•岳麓区校级三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN，分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE，DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．8【考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；推理能力；应用意识．【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE＝DE，AF＝DF，求出DE ∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE＝DE＝DF＝AF，根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF∴∠EAD＝∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EDA＝∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF，∵AF＝4，∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，∵DE∥AC，∴＝，∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，∴＝，∴BE＝8，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．7．（2021•荆州模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝．BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB．AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M．N作直线MN．交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA的长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．【专题】作图题；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，设OA交BC于T．半径为r，∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝BC＝4，∴AT＝＝＝2，设圆的半径为r，在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2021•河南模拟）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F，连接BF，再分别以B，F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．120°【考点】平行四边形的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．【解答】解：由作图可知，AF＝AB，AM平分∠BAD，∴AM⊥BF，∴∠AMB＝90°，故选：B．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（2021•定海区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，若以点G为圆心，GC长为半径作两段弧，一段弧过点C，而另一段弧恰好经过点D，则此时∠C度数为（）A．20°B．30°C．36°D．40°【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】连接AD，根据作图过程可得，AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG，设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x，根据∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°，求出x的值即可．【解答】解：如图，连接AD，根据作图过程可知：AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG，设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x，∴∠ADG＝∠AGD＝2x，∵∠B＝2∠C，∴∠B＝2x，∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠B＝2x，∴∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝36°，故选：C．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是理解作图过程，利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．10．（2021•三门峡一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，A（﹣2，0），B（0，2），按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC于点E．则点E的坐标为（）A．（1，1）B．（1，4）C．（2，4）D．（2，2）【考点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；作图—复杂作图．【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EH⊥AC于点H，由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则EH＝EB，AB＝AH，证明△CEH是等腰直角三角形，进而求解．【解答】解：过点E作EH⊥AC于点H，由题目作图知，AE是∠CAB的平分线，则EH＝EB，∴AB＝AH，∵△ABC为等腰直角三角形，故∠ACB＝45°，则△EHC为等腰直角三角形，故EH＝HC，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝OC＝2，∴AB＝2，∴AH＝2，∴OH＝OC﹣CH＝2﹣CH，∴AH＝OA+OH＝4﹣CH，∴4﹣CH＝2，∴CH＝4﹣2，∴OH＝2﹣CH＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2．∴点E的坐标为（2，4）．故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．解决本题的关键是掌握角平分线的作法．二．填空题（共5小题）11．（2021•靖西市模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】连接BE，如图，利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则EA＝EB，所以∠EBA＝∠A＝45°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝2，AD∥BC，所以AE＝BE＝，然后利用平行线的性质得到∠EBC＝∠AEB＝90°，最后利用勾股定理可计算出CE的长．【解答】解：连接BE，如图，由作法得MN垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝45°，∴∠AEB＝90°，∵菱形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，AD∥BC，∴AE＝BE＝AB＝，∵AE∥BC，∴∠EBC＝∠AEB＝90°，∴CE＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．12．（2021•荆州模拟）如图，已知直线AB及其外一点P，求作经过点P且与直线AB平行的直线．作法：（1）连接BP并延长至C，使PC＝PB，连接AC；（2）作线段AC的中垂线EF，与AC交于点D，则直线PD为所求．该作法用到的主要数学依据有三角形中位线平行于第三边．【考点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．【解答】解：由作图可知：BP＝PC，AD＝CD，∴PD∥AB（三角形的中位线平行于第三边），故答案为：三角形的中位线平行于第三边．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．（2021•兴庆区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③连接AP，交BC于点D．若CD＝3，BD＝5，则AC的长为6．【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】作DE⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，依据∠C＝∠AED＝90°知CD＝DE＝3，结合BD＝5知BE＝4，再证Rt△ACD≌Rt△AED得AC＝AE，设AC＝AE＝x，由AC2+BC2＝AB2得x2+82＝（x+4）2，解之可得答案．【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，由作图知AP平分∠BAC，∵∠C＝∠AED＝90°，∴CD＝DE＝3，∵BD＝5，∴BE＝4，∵AD＝AD，CD＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，由AC2+BC2＝AB2得x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等知识点．14．（2021•梁园区二模）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD 于点F，连接BF，再分别以B、F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为90°．【考点】平行四边形的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；推理填空题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．【分析】连接FE，首先证明四边形ABEF是菱形，根据菱形的性质即可得结论．【解答】解：如图，结论EF，由作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F AE＝∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，∴∠AMB＝90°．故答案为：90°．【点评】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．（2021•昆明模拟）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是．【考点】解一元二次方程﹣公式法；角平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】根据作图过程可得AE平分∠BAC，根据AB＝BC＝1，∠B＝36°，可得BE＝AE＝AC，证明△BAC∽△AEC，对应边成比例解方程即可求出BE的长．【解答】解：∵AB＝BC＝1，∠B＝36°，∴∠BAC＝∠C＝72°，根据作图过程可知：AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝BAC＝36°，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，∴BE＝AE，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝72°，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BE＝AE＝AC，∴△BAC∽△AEC，∴＝，∴＝，解得BE＝（舍去），故答案为：．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2021•南关区四模）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）（1）边AC的长度为5；（2）作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．【考点】勾股定理；作图—应用与设计作图；轴对称﹣最短路线问题．【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】（1）利用网格根据勾股定理即可求出边AC的长度；（2）根据网格即可作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．【解答】解：（1）根据勾股定理，得AC＝＝5．故答案为：5；（2）如图，AD即为所求；（2）如图，△PBQ即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．17．（2021•思明区校级二模）如图，已知△ABC．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AB＝BC＝3，CD＝．求证：AB⊥BD．【考点】作图—复杂作图；勾股定理的逆定理．【专题】作图题；推理能力；应用意识．【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD即可；（2）证明△DBC∽△BAC，推出，可得，，再利用勾股定理的逆定理证明即可．【解答】（1）解：如图，点D为所作；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，由（1）点D在BC的垂直平分线上，∴∠DBC＝∠C，∴∠DBC＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△DBC∽△BAC，∴，∴BC2＝AC⋅DC，∴，∴，∵，AB＝3，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°，∴AB⊥BD．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（2021•思明区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点O为边AB中点，且AB ＝10，AC＜BC．（1）请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，连接OD，若OD＝，求Rt△ABC的面积．【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】（1）在BC延长线上截取CE＝AC，然后作BE的垂直平分线交BC于点D，即可解决问题；（2）连接AE，OD，证明OD是△AEB的中位线，可得AE＝2OD＝6，根据等腰直角三角形可得AC＝6，利用勾股定理可得BC＝8，进而可以解决问题．【解答】解：（1）如图，点D即为所求；（2）如上图，连接AE，OD，∵OA＝OB，DB＝DE，OD＝，∴OD是△AEB的中位线，∴AE＝2OD＝6，∵∠ACE＝90°，AC＝CE，∴AC＝AE＝6，∵AB＝10，∴BC＝＝8，∴S△ABC＝6×8＝24．∴Rt△ABC的面积为24．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．19．（2021•福建模拟）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的作图条件下，直线AB交直线CM与点Q，求证：P，D，Q三点共线．【考点】作图—复杂作图；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】作图题；证明题；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【分析】（1）记AP与CD交于点N，在AD上截取AR＝DN，连接CR交AP于点M，即可在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°；（2）根据菱形的性质证明△CAQ∽△PCA，可得，由AC＝AD＝CD，所以，再由∠QAD＝∠DCP＝60°，证明△QAD∽△DCP，可得∠AQD＝∠CDP，进而可得∠QDP＝180°，即得Q，D，P三点共线．【解答】解：（1）如图，点M即为所求；（可以尺规作出△ABC的外接圆与AP的交点M；还可以记AP与CD交于点N，在AD 上截取AR＝DN，连接CR交AP于点M）．（2）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°∴∠ACB＝60°，AC＝AD＝CD，∵∠AMC＝120°，∴∠3＝60°，∴∠1+∠2＝60°，又∠ACB＝60°，∴∠1+∠CP A＝60°，∴∠2＝∠CP A，∵AC为对角线，∴∠CAQ＝∠PCA＝120°，∴△CAQ∽△PCA，∴，∵AC＝AD＝CD，∴，∵∠QAD＝∠DCP＝60°，∴△QAD∽△DCP，∴∠AQD＝∠CDP，在△QAD中，∠AQD+∠QDA＝120°，∴∠CDP+∠QDA＝120°，∴∠CDP+∠QDA+∠ADC＝180°，∴∠QDP＝180°，∴Q，D，P三点共线．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△QAD∽△DCP．20．（2021•武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画（画图过程用虚线，画图结果用实线）：（1）△ABC的周长为9+；（2）如图1，点D，P分别是AB与竖格和横格线的交点、画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（3）在图1中画△ABC的角平分线BE；（4）将边AB绕点B逆时针旋转∠ABC的度数得到线段BF，在图2中画出点F．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图—应用与设计作图；旋转的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，AC，可得结论．（2）连接CD交网格线于Q，点Q即为所求作．（3）取格点E，作射线BE即可．（4）取格点P，作射线CP，取格点M，N连接MN交CP于C′，作射线BC′，取格点Q，K，作直线QK交射线BC′于点F，点F即为所求作．【解答】解：（1）∵AB＝＝5，AC＝＝，BC＝4，∴△ABC的周长＝9+，故答案为：9+．（2）如图1中，点Q即为所求作．（3）如图2中，射线BE即为所求作．（4）如图2中，点F即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

2024年中考数学一轮复习考点精析与真题精讲—尺规作图→➊考点精析←一、尺规作图1．尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．2．五种基本作图1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．3．根据基本作图作三角形1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；2）作三角形的内切圆．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．6．作图题的一般步骤（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.二、尺规作图的方法1．尺规作图的关键1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

尺规作图可以作出许多基本图形，如线段、角、等腰三角形、矩形、正方形、正五边形、正六边形等。

一、平行线的尺规作法：已知直线a和直线外一点A，过点A作已知直线的平行线b。

1.用直尺以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线a于点C和点D。

2.分别以点C、D为圆心，大于二分之一CD的长为半径画弧，两弧相交于点E。

3.连接AE，并延长AE交直线b于点B。

4.直线AB就是所求作的平行线。

已知直线a和直线外一点A，过点A作已知直线的平行线b。

专题32尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法.尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作已知线段的垂直平分线；(4)作已知角的角平分线；(5)过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。

4.中考要求：(1)能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.(2)能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形^(3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆^(4) 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明) ^专题典型题考法及解析【例题1】(2019?胡南长沙) 如图，RHABC中，/ C= 90°, / B= 30°,分别以点A和点B为圆心,于§AB的长为半径作弧，两弧相交于M N两点，作直线MN交BC于点D,连接AD则/ CAM度数是( ^^1(2)根据/ DBF= / ABID- / ABF 计算即可。

••・四边形ABC 虚菱形,C. 45D. 60°【解析】根据内角和定理求得/ BAC= 60° ,由中垂线性质知 DA= DB 即/DAB= / B= 30 在△ABC43, / B= 30 , / C= 90 ,/ BAC= 180 - / B- / C= 60 ,由作图可知MN 为AB 的中垂线，DA= DB・ ./ DAB= / B= 30° ,・ ./ CAD= / BAG / DAB= 30° 。

,从而得出答案.【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD 是菱形ABCD 勺对角线，/ CBD= 75（1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF,垂足为E,交AD 于F;（不要求写作法, 保留作图痕迹）【解析】（1）分别以A .B 为圆心，大于 L AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。

考点20 尺规作图一、尺规作图1．尺规作图的定义在几何里，把限制用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．2．五种根本作图〔1〕作一条线段等于线段；〔2〕作一个角等于角；〔3〕作一个角的均分线；〔4〕作一条线段的垂直均分线；〔5〕过一点作直线的垂线．3．依照根本作图作三角形〔1〕三角形的三边，求作三角形；〔2〕三角形的两边及其夹角，求作三角形；〔3〕三角形的两角及其夹边，求作三角形；〔4〕三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；〔5〕直角三角形素来角边和斜边，求作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图〔1〕过不在同素来线上的三点作圆〔即三角形的外接圆〕；〔2〕作三角形的内切圆．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常有种类．6．作图题的一般步骤〔1〕；〔2〕求作；〔3〕解析；〔4〕作法；〔5〕证明；〔6〕谈论．其中步骤〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕一般不作要求，但作图中必然要保存作图印迹.二、尺规作图的方法1．尺规作图的要点〔1〕先解析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；〔2〕读懂题意后，再运用几种根本作图方法解决问题．2．依照条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的要点是确定三角形的三个极点，作图依照是三角形全等的判断，常借助根本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．考向一根本作图1．最根本、最常用的尺规作图，平时称为根本作图．2．根本作图有五种：〔1〕作一条线段等于线段；〔2〕作一个角等于角；〔3〕作一个角的均分线；〔4〕作一条线段的垂直均分线；〔5〕过一点作直线的垂线．典例 1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长〔大于12AB〕为半径作弧，两弧订交于点M和N，作直线M N交AB于点D，交BC于点E，连接C D，以下结论错误的选项是A．AD=BD B．BD=CDC．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】 D【解析】∵M N为A B的垂直均分线，∴AD=BD，∠BDE=90°，∵∠ACB=90°，∴C D=BD，∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED，∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．应选D．典例 2 如图，∠MAN，点B在射线A M上．〔1〕尺规作图：①在A N上取一点C，使BC=BA；②作∠MBC的均分线BD，〔保存作图印迹，不写作法〕〔2〕在〔1〕的条件下，求证：BD∥AN．【解析】〔1〕①以B点为圆心，B A长为半径画弧交AN于C点；如图，点C即为所求作；②利用根本作图作B D均分∠MBC；如图，B D即为所求作；〔2〕先利用等腰三角形的性质得∠A=∠BCA，再利用角均分线的定义获取∠MBD=∠CBD，尔后依照三角形外角性质可得∠MBD=∠A，最后利用平行线的判断获取结论．∵AB=AC，∴∠A=∠BCA，∵BD均分∠MBC，∴∠MB=D∠CBD，∵∠MBC=∠A+∠BCA，即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，∴∠MBD=∠A，∴BD∥AN．1．依照以以下图中尺规作图的印迹，可判断A D必然为三角形的A．角均分线B．中线C．高线D．都有可能2．〔1〕请你用尺规作图，作A D均分∠BAC，交B C于点D〔要求：保存作图印迹〕；〔2〕∠ADC的度数．考向二复杂作图利用五种根本作图作较复杂图形．典例2如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．〔1〕利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保存作图印迹，不用写结论．①作射线AC；②连接AB，BC，BD，线段B D与射线AC订交于点O；③在线段AC上作一条线段C F，使C F=AC–BD．〔2〕观察〔1〕题获取的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依照是__________．【答案】见解析．【解析】〔1〕①以以下图，射线A C即为所求；②以以下图，线段AB，BC，BD即为所求；③以以下图，线段CF即为所求；〔2〕依照两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC．故答案为：两点之间，线段最短．3．作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与三角形一模一样的三角形来．比方给定一个△ABC，能够这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，尔后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连接B′C′，这样△A′B′C′就和的△ABC一模一样了．请你依照上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．〔请保存作图印迹〕1．依照条件作吻合条件的三角形，在作图过程中主要依照是A．用尺规作一条线段等于线段B．用尺规作一个角等于角C．用尺规作一条线段等于线段和作一个角等于角D．不能够确定2．以下作图属于尺规作图的是A．画线段MN=3 cmB．用量角器画出∠AOB的均分线C．用三角尺作过点A垂直于直线l 的直线D．∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α3．如图，钝角△ABC，依以下步骤尺规作图，并保存作图印迹．步骤1：以C为圆心，C A为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．以下表达正确的选项是。

考点二十八：尺规作图聚焦考点☆温习理解1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2．根本作图(1)作一条线段等于线段，以及线段的和﹑差；(2)作一个角等于角，以及角的和﹑差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作直线的垂线．3．利用根本作图作三角形(1)三边作三角形；(2)两边及其夹角作三角形；(3)两角及其夹边作三角形；(4)底边及底边上的高作等腰三角形；(5)一直角边和斜边作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆；(3)作圆的内接正方形和正六边形．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型6．作图的一般步骤尺规作图的根本步骤：(1)：写出的线段和角，画出图形；(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；(3)作法：应用“五种根本作图〞，表达时不需重述根本作图的过程，但图中必须保存根本作图的痕迹；(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；(5)讨论：研究是不是在任何的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；(6)结论：对所作图形下结论．名师点睛☆典例分类考点典例一、画三角形【例1】如图，线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B.(在指定作图区域作图，保存作图痕迹，不写作法)【答案】作图见解析【解析】试题分析：先作一个角等于角，即∠MBN=∠O，在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求．试题解析：如下图：考点：作图—复杂作图．【点睛】(1)作三角形包括：①三角形的两边及其夹角，求作三角形；②三角形的两角及其夹边，求作三角形；③三角形的三边，求作三角形；(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．【举一反三】l及外一点A．1.〔2022.山东青岛第15题，6分〕：线段c，直线l求作：Rt△ABC，使直角边为AC〔AC⊥l，垂足为C〕斜边AB＝c．【答案】略.【解析】试题分析：首先作出AB⊥l，然后以A为圆心，c的长度为半径画弧，与直线l的交点的就是点C.试题解析：考点：作图.2.：线段a、c和∠β〔如图〕，利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．〔不写作法，保存作图痕迹〕．【答案】作图见解析.试题分析：先作∠MBN=∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可．试题解析：考点：作图—根本作图．考点典例二、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例2】两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如下图，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．〔不写、求作、作法，只保存作图痕迹〕【答案】作图见解析考点：作图—应用与设计作图．【点睛】此题借助实际场景，考查了几何根本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．【举一反三】1.(2022.陕西省，第17题，5分)〔此题总分值5分〕如图，△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两局部，〔保存作图痕迹，不写作法〕【答案】见以下图.试题解析：考点：作图〔复杂作图〕、三角形的中线的性质.2.〔2022.山东淄博，第19题〕如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm．〔1〕作图：作BC边的垂直平分线分别交与AC，BC于点D，E〔用尺规作图法，保存作图痕迹，不要求写作法〕；〔2〕在〔1〕的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】(1)作图见解析；〔2〕10cm．试题分析：〔1〕运用作垂直平分线的方法作图;〔2〕运用垂直平分线的性质得出BD=DC ，利用△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+AC 即可求解．试题解析：：〔1〕如图1，〔2〕如图2，∵DE 是BC 边的垂直平分线，∴BD=DC ，∵AB=4cm ，AC=6cm ．∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm ．考点：用尺规作线段垂直平分线的方法；线段垂直平分线的性质.考点典例三、通过画图确定圆心【例3】如图，在△ABC 中，先作∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，再以AC 边上的一点O 为圆心，过A ，D两点作⊙O(用尺规作图，不写作法，保存作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)【答案】【解析】试题分析：先作出角平分线AD ，再作AD 的中垂线交AC 于点O ，O 就是⊙O 的圆心，作出⊙O ，试题解析：作出角平分线AD ，作AD 的中垂线交AC 于点O ，作出⊙O ，∴⊙O 为所求作的圆．考点：作图—复杂作图．【点睛】此题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆．【举一反三】1．(2022·湖北孝感〕〔此题总分值8分〕如图，一条公路的转弯处是一段圆弧〔〕． 〔1〕用直尺和圆规作出所在圆的圆心O ；〔要求保存作图痕迹，不写作法〕〔4分〕 〔2〕假设的中点C 到弦AB 的距离为20m ，80=AB m ，求所在圆的半径．〔4分〕 【答案】〔1〕如图；〔2〕50=r .试题分析：〔1〕根据垂经定理画图，连接AC,AB 分别做AC,AB 的垂直平分线，交点就是圆心O ；〔2〕根据垂径定理，连接OC OB ，，OC 交AB 于D ，在Rt OBD 中，由勾股定理建立等式关系，求出答案.试题解析：解：〔1〕作图如下图；考点：作图，弧.2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ．〔1〕以AB 边上一点O 为圆心，过A ，D 两点作⊙O ；〔用圆规、直尺作图，不写作法，但要保存作图痕迹〕〔2〕判断直线BC 与⊙O 的位置关系，直接写出结论，不用说明理由．【答案】〔1〕作图见解析；〔2〕相切【解析】试题分析：〔1〕作AD 的垂直平分线交AB 于点O ，O 为圆心，OA 为半径作圆；〔2〕BC 与⊙O 相切，连接OD ，由OD=OA ，那么∠ODA=∠OAD ，因为∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ，所以∠OAD=∠CAD ，再利用三角形的内角和定理即可证明∠ODC=90°，即BC 是圆的切线．试题解析：〔1〕如图，⊙O 为所求；考点：切线的判定；作图—复杂作图． 课时作业☆能力提升一、选择题1.用直尺和圆规作一个角等于角，如图，能得出∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是( )A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS【答案】B.④过点D ′作射线O ′B ′．所以∠A ′O ′B ′就是与∠AOB 相等的角；作图完毕．在△OCD 与△O ′C ′D ′，∴△OCD ≌△O ′C ′D ′〔SSS 〕，∴∠A ′O ′B ′=∠AOB ，显然运用的判定方法是SSS ．应选：B ．答案：作图—根本作图；全等三角形的判定与性质．2. 〔2022.山东潍坊，第9题，3分〕如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC,按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 的两侧作弧，交于两点M 、N;第二步，连结MN ，分别交AB 、AC 于点E 、F ；第三步，连结DE 、DF..假设BD=6，AF=4，CD=3，那么BE 的长是〔 〕A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】试题分析：根据作图的步骤和条件可得：四边形AEDF 是菱形，所以AE=AF=DE=DF=4，又DE//AC ，所以BE BD AE CD =,所以643BE =，所以BE=8，应选：D. 考点：1.菱形的判定与性质；2.平行线分线段成比例定理.3.〔2022.河南省，第7题，3分〕如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，假设BF=6，AB=5，那么AE 的长为〔 〕.A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C.【解析】试题分析：设AG 与BF 交点为O,∵AB=AF,AG 平分∠BAD ，AO=AO,∴可证△ABO ≌△AFO,∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF ∥BE,∴可证△AOF ≌△EOB,AO=EO,∴AE=2AO=8，应选C.考点：角平分线的作图原理和平行四边形的性质.4.如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别如下：甲：①作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点．②连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．②连接AB，BC，CA.△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A.由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．试题解析：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC，∴OE=DE=12OD，又OB=OD，在Rt△OBE中，OE=12 OB，∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，∴∠BOE=60°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，又∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，同理∠C=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠C，∴△ABC为等边三角形，故甲作法正确；根据乙的思路，作图如下：连接OB，BD，∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB，∴△BOD为等边三角形，∴∠OBD=∠BOD=60°，又BC垂直平分OD，∴OM=DM，∴BM为∠OBD的平分线，∴∠OBM=∠DBM=30°，又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，同理∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC为等边三角形，故乙作法正确，应选A考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．二、填空题1.如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保存作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是．【答案】90°．【解析】试题分析：分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．试题解析：如下图：旋转角度是90°．考点：作图-旋转变换．2.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，假设CD=AC，∠B=25°，那么∠ACB的度数为【答案】105°．【解析】试题分析：首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．考点：作图—根本作图；线段垂直平分线的性质．3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，那么：〔1〕∠ADE= ；〔2〕AE EC；〔填“=〞“＞〞或“＜〞〕〔3〕当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=【答案】〔1〕90°；〔2〕=；〔3〕7.【解析】试题分析：〔1〕由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；〔2〕根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；〔3〕先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．试题解析：〔1〕∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°．〔2〕∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=EC．〔3〕∵在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=2253 =4，∵AE=CE ，∴△ABE 的周长=AB+BC=3+4=7．考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．4.(2022.河北省，第22题，10分) (本小题总分值10分)嘉淇同学要证明命“两相对边分别相等的四边形是平行四边形〞是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的和求证.：如图，在四边形ABCD 中，BC ＝AD ，AB ＝____.求证：四边形ABCD 是____四过形.(1)在方框中填空，以补全和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明：证明：(3)用文宇表达所证命题的逆命题为____________________.【答案】 (1)CD ；平行【解析】试题分析：平行四边形的判定，除要熟记判定定理内容外，还有注重定理的由来.试题解析：〔1〕略；(2)证明：连接BD . 在△ABD 和△CDB 中，∵AB ＝CD ，AD ＝CB ，BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB . ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AB //CD ，AD //CB ， ∴四边形ABCD 是平行四边形.(3)平行四边形的对边相等考点:平行四边形的判定，全等三角形的判定三、解答题1.〔2022.青岛〕如图，在△ABC中，AB=BC，点点D在AB的延长线上．〔1〕利用尺规按以下要求作图，并在图中标明相应的字母〔保存作图痕迹，不写作法〕．①作∠CBD的平分线BM；②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．〔2〕由〔1〕得：BF与边AC的位置关系是【答案】〔1〕作图见解析；〔2〕BF∥AC．【解析】试题分析：〔1〕①利用角平分线的作法得出BM；②首先作出BC的垂直平分线，进而得出BC的中点，进而得出边BC上的中线AE；〔2〕利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得出即可．试题解析：〔1〕①如下图：BM即为所求；②如下图：AF即为所求；〔2〕∵AB=BC，∴∠CAB=∠C，∵∠C+∠CAB=∠CBD，∠CBM=∠MBD，∴∠C=∠CBM，∴BF∥AC．考点：作图—复杂作图；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．2.〔2022.山东济宁，第19题,8分〕(此题总分值8分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角.实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母〔保存作图痕迹，不写作法〕.〔1〕作∠DAC的平分线AM；〔2〕作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF.猜测并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明.【答案】【解析】试题分析：〔1〕根据题意画出图形即可；〔2〕首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC ，进而可得AF ∥BC ；然后再根据线段的垂直平分线的性质可知：OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°，AE=EC ，FA=FC,由OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°，∠CAM=∠ACB 可证明AOF ≌△COE ，即可得到AF=EC.因此可由AF ∥BC ，AF=EC,得证四边形AECF 是平行四边形．最后可由AC ⊥EF 得证结论：菱形.试题解析：〔1〕〔2〕猜测：四边形AECF 是菱形证明：∵AB=AC ，AM 平分∠CAD∴∠B=∠ACB ，∠CAD=2∠CAM∵∠CAD 是△ABC 的外角∴∠CAD=∠B+∠ACB∴∠CAD=2∠ACB∴∠CAM=∠ACB∴AF ∥CE∵EF 垂直平分AC∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=90∴AOF ≌△COE∴AF=CE在四边形AECF 中，AF ∥CE ，AF=CE∴四边形AECF 是平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AECF 是菱形考点：角平分线，线段的垂直平分线的根本作图，等腰三角形的内外角，三角形全等，菱形的判定3.(2022.天津市，第18题，3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ， B ， C ， D 均在格点上，点E ， F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE =DF .〔Ⅰ〕如图①，当BE =52时，计算AE AF +的值等于 ； 〔Ⅱ〕当AE AF +取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段AE ，AF ，并简要说明点E 和点F 的位置是如何找到的〔不要求证明〕 .F AB C DE A B CD【答案】(Ⅰ) 5612+； 〔Ⅱ〕如图〔见试题分析〕，取格点H 、K,连接BH 、CK ，相交于点P.连接AP ，与BC 相交于点E.取格点M 、N ，连接DM 、CN,相交于点G.连接AG ，与BD 相交，得点F.线段AE 、AF 即为所求.【解析】试题分析：(Ⅰ)在Rt △ABE 中，由勾股定理可得AE=22225613()22AB BE +=+=； 〔Ⅱ〕 考点：勾股定理；三角形全等的判定即性质；最短距离问题. 图①图② 第〔18〕题。

2022中考数学知识点总结归纳体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。

下面是小编为大家整理的关于中考数学知识点总结，希望对您有所帮助!有理数相关知识点1.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;不是有理数;(2)有理数的分类:①②2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2)绝对值可表示为：或;绝对值的问题经常分类讨论;5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数<0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数;注意：0没有倒数;若a≠0，那么的倒数是;若ab=1a、b互为倒数;若ab=-1a、b互为负倒数.7.有理数加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加，仍得这个数.8.有理数加法的运算律：(1)加法的交换律：a+b=b+a;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).10.有理数乘法法则：(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11.有理数乘法的运算律：(1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.12.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数，.13.有理数乘方的法则：(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.14.乘方的定义：(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;15.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.中考数学常考28个考点相似三角形(7个考点)考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。