2018年苏教版数学选修1-2学业分层测评 第3章 3.2 第1课时 复数的加减与乘法运算

习题课 课时目标 1.进一步理解复数的概念.2.通过具体实例理解复平面的概念，复数的模的概念.3.将复数的运算和复数的几何意义相联系．1．复数相等的条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应向量OZ →，复数z 的模|z |＝|OZ →|＝__________.3．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模|z |＝__________，在复平面内表示点Z (a ，b )到______________．复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，在复平面内表示____________．4．i 4n ＝______，i 4n ＋1＝______，i 4n ＋2＝______，i 4n ＋3＝______ (n ∈Z )，1i＝______.一、填空题1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝__________. 2．已知i 2＝－1，则i(1－3i)＝____________.3．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i＝1＋i ，则a ＝________，b ＝______. 4．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是________．5．若复数z ＝1－2i (i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝__________.6．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为________．7．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝______.8．若|z －3－4i|＝2，则|z |的最大值是________．二、解答题9．已知复平面上的▱ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，求向量DA →对应的复数．10．已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0 (a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值．能力提升11．复数3＋3i ，－5i ，－2＋i 的对应点分别为平行四边形的三个顶点A ，B ，C ，求第四个顶点对应的复数．12．(1)证明|z |＝1⇔z ＝1z； (2)已知复数z 满足z ·z ＋3z ＝5＋3i ，求复数z .1．复数的运算可以和多项式运算类比，出现i 2换成－1.2．复数可以和点、向量建立对应关系．3．复数问题实数化是解决问题的重要原则．习题课答案知识梳理1．a ＝c ，b ＝d 2．a 2＋b 23．a 2＋b 2 原点的距离 点Z 1(a ，b )，Z 2(c ，d )两点间的距离4．1 i －1 －i －i作业设计1．－3－4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣⎡⎦⎤(3－i )(1－i )22 ＝(1－2i)2＝－3－4i.2．3＋i解析 i(1－3i)＝i ＋ 3.3．32 124．H解析 由题图知复数z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z 1＋i的点为H . 5．6－2i解析 z ·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝6－2i.6．2解析 考查复数的运算、模的性质．z (2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i 与3＋2i 的模相等，z 的模为2.7．34＋i 解析 设z ＝x ＋y i ，则z ＋|z |＝x 2＋y 2＋x ＋y i ＝2＋i ，∴⎩⎨⎧ x 2＋y 2＋x ＝2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝34y ＝1， ∴z ＝34＋i. 8．7解析 |z －3－4i|≥|z |－|3＋4i|，∴|z |≤2＋|3＋4i|＝7.9．解 设▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点P ，由复数加减法的几何意义，得 DA →＝P A →－PD →＝12CA →－12BD →＝12(CA →－BD →) ＝12(－6－8i ＋4－6i)＝－1－7i ， 所以向量DA →对应的复数为－1－7i.10．解 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0 (a ∈R )的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ， 解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，由|z －3－3i|＝2|z |， 得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8.∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值．∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |min ＝ 2.11．解 当四点顺序为ABCD 时，第四个顶点D 对应的复数为1＋9i ；当四点顺序为ADBC 时，第四个顶点D 对应的复数为5－3i ；当四点顺序为ABDC 时，第四个顶点D 对应的复数为－5－7i.12．(1)证明 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则|z |＝1⇔x 2＋y 2＝1，z ＝1z ⇔z ·z ＝1⇔(x ＋y i)(x －y i)＝1⇔x 2＋y 2＝1，∴|z |＝1⇔z ＝1z . (2)解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋3(x ＋y i) ＝(x 2＋y 2＋3x )＋3y i ＝5＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋3x ＝5，3y ＝3∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4y ＝1. ∴z ＝1＋i 或z ＝－4＋i.。

3.3 复数的几何意义一、填空题1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第________象限．【解析】 z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．【答案】 三2．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z|＝________.【解析】 ∵z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋1≠0，∴m ＝2， ∴z ＝3i ，∴|z|＝02＋32＝3.【答案】 33．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.【解析】 依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.【答案】 ±24．设z ＝3－4i ，则复数z －|z|＋(1－i)在复平面内对应点的坐标是________．【解析】 ∵z ＝3－4i ，则|z|＝5，∴z －|z|＋(1－i)＝3－4i －5＋(1－i)＝－1－5i.因此，所求复数对应的点是(－1，－5)．【答案】 (－1，－5)5．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________．【解析】 由复数的几何意义，知3－2i ＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，∴3－2i ＝y －x ＋(2x －y)i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝y －x ，－2＝2x －y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4. ∴x ＋y ＝5.【答案】 56．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i＝53＋4i 25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45. 【答案】 45 7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC→对应的复数为________．【解析】 由OB →＝OA →＋AB →，知OB →对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i ，又∵BC →＝OC →－OB →，∴BC →对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.【答案】 4－4i8．若复数z 满足|z|2－2|z|－3＝0，试确定复数z 对应的点Z(x ，y)的轨迹方程是________．【解】 由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|＋1)(|z|－3)＝0.∵|z|＋1＞0，∴|z|－3＝0，则|z|＝3，故x 2＋y 2＝9.【答案】 x 2＋y 2＝9二、解答题9．已知复数z 满足(z －2)i ＝a ＋i(a ∈R )．(1)求复数z ；(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限．【解】 (1)由(z －2)i ＝a ＋i ，得z －2＝a ＋i i＝1－ai ， ∴z ＝3－ai.(2)由(1)得z 2＝9－a 2－6ai ，∵复数z 2对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧9－a 2＞0，－6a ＞0，解得－3＜a ＜0. 故当a ∈(－3,0)时，z 2对应的点在第一象限．10．(2013·南京高二检测)已知复数z 满足：|z|＝1＋3i －z ，求1＋i 23＋4i 22z 的值．【解】 设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R )，而|z|＝1＋3i －z ，即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋bi ＝0，则⎩⎨⎧ a 2＋b 2＋a －1＝0b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝3， z ＝－4＋3i ，∴1＋i 23＋4i 22z ＝2i －7＋24i 2－4＋3i ＝24＋7i 4－3i＝3＋4i. 11．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量AB →，AC →，BC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形.。

3.2复数的四则运算第1课时复数的加法、减法、乘法运算学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.掌握共轭复数的概念及应用．知识点一复数的加减运算思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？答案满足．梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b ＋d)i，(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数的乘法运算思考复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？答案复数的乘法类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点三共轭复数思考复数3＋4i与3－4i，a＋b i与a－b i(a，b∈R)有什么特点？答案这两组复数的特点：①实部相等，②虚部互为相反数．梳理(1)把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数记作z，即z＝a－b i.(3)当复数z＝a＋b i(a，b∈R)的虚部b＝0时，z＝z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数．(×)2．任意有限个复数的含加、减、乘法的混合运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有括号时先算括号内的．(√)3．两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数．(×)类型一复数的加减运算例1计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.反思与感悟复数加减运算法则的记忆方法(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪训练1(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.解(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.(2)由z＋1－3i＝5－2i，得z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.类型二复数的乘法例2计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.反思与感悟(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.跟踪训练2 若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝________.答案 －1解析 ∵(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(m 3＋1)i 是实数，∴m 3＋1＝0，则m ＝－1. 类型三 共轭复数的概念例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i.∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ，因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.。

3.3复数的几何意义（1）【要点梳理】1：复平面根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=，都可以由一个有序实数对 唯一确定。

由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x 轴叫做 ，y 轴叫做 。

实轴上的点都表示 ，除了原点外，虚轴上的点都表示 。

2：复数与点、向量间的对应3：复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作 。

由模的定义可知：),0(22R r r b a r bi a z ∈≥+==+=【典型例题】例1． 设复数z i z z )43(5+=且满足在复平面上对应点在第二、四象限的角的平分线上，=-m z 2m z R m 和求),,25∈的值。

例2． 已知点集}{C z i z z D ∈=++=,131，试求z 的最小值和最大值。

例3． 在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(2★基础训练★ 1．设复数等于则满足z i zz z +=+-1,11 （ ） A.0 B.1 C.2 D.22．已知复数212121,10,5,3z z z z z z z +=-==那么满足为 （ ） A.10 B.58 C.7 D.83.已知复数z 满足z z 则,12=-取值范围是 （ ）A.[]2,0B.[]3,0C.[]3,1D.[]3,24．已知zz z C z 1,12+=∈则复数且 （ ） A.是实数B.是虚数但不一定是纯虚数C.是纯虚数D.可能是实数也可能是虚数 5 111212,5516,3,z C z z z z i z ∈-++==+已知且又则复平面内对应点的轨迹是________ 6．=•+==12121,43,5z z z i z z 是纯虚数，则设7．已知=--=∈=∈11,1)(,,1,z az a z z z R a z C z 则且 8．复平面内，过点l l A ，设作虚轴的平行线)0,1(上的点对应的复数为zz 1,求对应点的轨迹方程9．2.1,1,33=+-=+==∈y x y x y x C y x 求证：且、若10．设z 为复数，D 为满足条件Z z z 的点011=-+-所构成图形的边界。

第3章数系的扩充与复数的引入（苏教版选修1-2）建议用时实际用时满分实际得分120分钟160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1. 设,且则的值是 .2．已知其中是实数，为虚数单位，则.3.已知则实数.4.已知且则复数.5.设为虚数单位)，则.6. 若复数则 .7.已知复数满足则复数 .8.已知复数则的最大值为 .9.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数 .10..11. 复数的实部是.12. 已知复数与均为纯虚数，则.13. 在复平面内，复数对应的点位于第象限.14. 若复数是纯虚数，则．二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共90分）15. （14分）设复数若16.(14分)实数为何值时，复数分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.17. （14分）已知复数,当时,求的取值范围.18. （16分）求同时满足下列两个条件的所有复数:①是实数,且;②的实部和虚部都是整数.19.(16分) 已知复平面上两点对应的复数分别为1和i，设线段上的点所对应的复数为，求复数对应点的轨迹.20.（16分）复数,且是纯虚数,又复数,在复数所对应的点的集合中,是否存在关于直线对称的两点,如果存在,试求对称两点的坐标,如果不存在,说明理由.第3章数系的扩充与复数的引入（苏教版选修1-2）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10. 11． 12． 13． 14．二、解答题15.16.17.18.19.20.第3章数系的扩充与复数的引入（苏教版选修1-2）答案1.解析：因为所以2.解析：由题设条件得即根据复数相等的定义，有解得所以3.解析:由题意得∴解得4.解析：设则由得∴∴∴5.8 解析：化为标准形式，利用复数相等，求出∵∴∴6. 6-2i 解析:∵∴∴7. 1或解析：设则于是原等式化为即根据复数相等的条件，得解此方程组，得故或8.解析：因为，所以的最大值为.9. 2 解析:首先分母实数化，化简已知条件，再利用纯虚数的定义求出∵为纯虚数，∴∴10.解析:设则.两式相减得，进而得.11.2 解析：12.-2i 解析：依题意，可设则由于也为纯虚数，故，且解得故13.二解析：对应点的坐标为14. 3 解析：由得即.15. 解:得∴∴.16. 解：（1）当即当或时，为实数.（2）当时，是虚数，即当且时，为虚数.（3）当，且时，是纯虚数，即当时，为纯虚数.（4）当，且时，=0，即当时，.17.解：,,,由,得解得.故的取值范围是.18. 解:设则由条件①知,∴再由条件②知同时为整数.故满足条件①②的值只能取2,6.从而复数是19. 解：由题意知两点的坐标分别为故线段所在的直线方程为.又）在线段上，∴，且，设所对应点的坐标为，则又，∴.∴消去，得化简，得∵，，∴∴对应点的轨迹是抛物线在上的部分.20.解：设,由此得.∴设得消去得,即复数对应点集为抛物线（除去顶点）. 设抛物线上存在不同两点关于直线对称，直线的方程为,代入抛物线的方程，得.由,得,又由,得.∵的中点在直线上，即,得,与矛盾.故不存在关于对称的两点.。

第3章 数系的扩充与复数的引入(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是________．2．复数1＋2i 3＝__________. 3．如图，设向量OP →，PQ →，OQ →，OR →所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，那么z 2＋z 4－2z 3＝______________.4．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝__________. 5．设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则z z ＋z ＋z ＝______. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 为________．7．若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为________．8．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值为________．9．若－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p ＝________. 10．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为________．11．在复平面内，复数2i 1－i对应点的坐标为________． 12．下列命题，正确的是________．(填序号)①复数的模总是正实数；②虚轴上的点与纯虚数一一对应；③相等的向量对应着相等的复数；④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数．13．设z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋2i ，复数z 1和z 2在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________．14．若复数z ＝23＋2i 对应的点为Z ，则向量OZ →所在直线的倾斜角θ＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)计算i －231＋23i＋(5＋i 19)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 222.16．(14分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i (x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x 的值．17．(14分)实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．18．(16分)在复平面内，点P、Q对应的复数分别为z1、z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，求点Q的轨迹．19．(16分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是方程的根吗？20．(16分)已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．。

3.3 复数的几何意义学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题．知识点一 复平面思考 实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 知识点二 复数的几何意义 1．复数与点、向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模(或绝对值)，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 知识点三 复数加、减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设OZ 1—→，OZ 2—→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，且OZ 1—→，OZ 2—→不共线，则OZ 1—→＝(a ，b )，OZ 2—→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1—→＋OZ 2—→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1—→＋OZ 2—→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1—→对应复数z 1，OZ 2—→对应复数z 2，则Z 2Z 1—→对应复数z 1－z 2. 梳理 (1)复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义 复数z 1＋z 2是以OZ 1—→，OZ 2—→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数复数减法的几何意义 复数z 1－z 2是从向量OZ 2—→的终点指向向量OZ 1—→的终点的向量Z 2Z 1—→所对应的复数(2)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．原点是实轴和虚轴的交点．( √ )2．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ ) 3．在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数．( × ) 4．复数的模一定是正实数．( × )类型一 复数的几何意义例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在： (1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点的坐标为Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)， 当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上． 引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限．解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0， 即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x <5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上？解 (1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0， ①m 2＋3m －28＝0， ②由②得m ＝－7或m ＝4.因为m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①， 所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．类型二 复数模及其几何意义的应用 例2 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形？ 解 (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. (2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．反思与感悟 (1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离． 跟踪训练2 设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值． 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，且|z |＝|z ＋1|＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b 2＝34，∴|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝(a －1)2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫－12－12＋34＝ 3.类型三 复数加、减法的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0，3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)OB →表示的复数． 解 因为A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i. (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i. (2)因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 反思与感悟 (1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则①四边形OACB 为平行四边形．②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形． ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形．④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练3 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________.(2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________．答案 (1)10 (2)(－∞，1) 解析 (1)∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ， ∴|OB →|＝12＋32＝10.(2)z 2－z 1＝1＋(a －1)i ， 由题意知a －1<0，即a <1.1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为________． 答案 －3i解析 OZ →＝(0，－3)，∴Z (0，－3)，复数z ＝0＋(－3)i ＝－3i.2．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m ＝________. 答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ，解得m ＝9.3．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________________． 答案 |1－5i|>|x －y i|>|y ＋2i| 解析 ∵3－4i ＝x ＋y i ， ∴x ＝3，y ＝－4.则|1－5i|＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝25， ∴|1－5i|>|x －y i|>|y ＋2i|.4．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于第________象限． 答案 四解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)，其位于第四象限．5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________． 答案 5－2i解析 设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－1，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y ＝－2，故点C 对应的复数为5－2i.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2.(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．一、填空题1．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →的坐标是________． 答案 (3,4)解析 复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →的坐标是(3,4)．2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－3,1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于第________象限． 答案 二解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．4．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是3＋i ，点A 关于虚轴的对称点为B ，则向量OB →对应的复数是________．答案 －3＋i解析 向量OA →对应的复数是3＋i ，即A (3,1)，点A 关于虚轴的对称点为B (－3,1)，则向量OB→对应的复数是－3＋i.5．若复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [－3，3]解析 复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2，即1＋a 2≤4，即a 2≤3，可得a ∈[－3，3]．6．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z ＝________.答案 －1＋3i解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.7．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 答案 25解析 z 1＝1－i 对应的点为Z 1(1，－1)，z 2＝3－5i 对应的点为Z 2(3，－5)，由两点间距离公式，得Z 1Z 2＝(3－1)2＋(－5＋1)2＝2 5.8．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－4a ＋5)＋(－b 2＋2b －6)i 所对应的点一定落在第________象限． 答案 四解析 复数对应点的坐标为(a 2－4a ＋5，－b 2＋2b －6)，∵a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1>0，－b 2＋2b －6＝－(b －1)2－5<0，∴复数对应点的坐标在第四象限．9．若复数z ＝(m ＋1)－(m －3)i 在复平面内对应的点在第一或第三象限，则实数m 的取值范围是____________．答案 (－1,3)解析 若z ＝(m ＋1)－(m －3)i 在复平面内对应的点在第一或第三象限，则(m ＋1)[－(m －3)]>0，即(m ＋1)(m －3)<0，解得－1<m <3.∴实数m的取值范围是(－1,3)．10．在复平面内，AO →对应的复数是2＋i ，CO →对应的复数是－1－3i ，则CA →对应的复数为________．答案 －3－4i解析 由复数的几何意义知AO →＝(2,1)，∴OA →＝(－2，－1)，又CO →＝(－1，－3)，∴CA →＝CO →＋OA →＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，∴CA →对应的复数为－3－4i.11．复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎭⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2 ＝2a 2－2a ＋5 ＝ 2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＋92 ＝ 2⎝⎛⎭⎫a －122＋92， 因为－1<a <2.所以|z |∈⎣⎡⎭⎫322，3. 二、解答题12．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，32.13．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，∵BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.三、探究与拓展14．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面所对应的图形的面积为________． 答案 2π解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －i ＝x ＋y i －i ＝x ＋(y －1)i ，∴|z－i|＝x2＋(y－1)2，由|z－i|≤2知x2＋(y－1)2≤2，x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积S＝2π.15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ；BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ；AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。

3.2复数的四则运算第1课时复数的加法、减法、乘法运算学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.掌握共轭复数的概念及应用．知识点一复数的加减运算思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？答案满足．梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b ＋d)i，(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数的乘法运算思考复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？答案复数的乘法类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点三共轭复数思考复数3＋4i与3－4i，a＋b i与a－b i(a，b∈R)有什么特点？答案这两组复数的特点：①实部相等，②虚部互为相反数．梳理(1)把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数记作z，即z＝a－b i.(3)当复数z＝a＋b i(a，b∈R)的虚部b＝0时，z＝z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数．(×)2．任意有限个复数的含加、减、乘法的混合运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有括号时先算括号内的．(√)3．两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数．(×)类型一复数的加减运算例1计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.反思与感悟复数加减运算法则的记忆方法(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪训练1(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.解(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i ＝－11i. (2)由z ＋1－3i ＝5－2i ，得z ＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i ＝4＋i. 类型二 复数的乘法 例2 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.反思与感悟 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.跟踪训练2 若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝________. 答案 －1解析 ∵(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(m 3＋1)i 是实数，∴m 3＋1＝0，则m ＝－1. 类型三 共轭复数的概念例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ， ∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ， 因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.反思与感悟 (1)有关复数z 及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2.②z ∈R ⇔z ＝z .(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．跟踪训练3 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )．由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3， 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.1．已知复数z 1＝12－32i 和复数z 2＝cos 60°＋isin 60°，则z 1＋z 2＝________.答案 1解析 ∵z 2＝12＋32i ，∴z 1＋z 2＝1.2．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 答案 －1＋3i解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i ＝________. 答案 －1解析 ∵z ＝－1＋2i －2＋3i ＝－3＋5i ， ∴z ＋2－5i ＝－3＋5i ＋2－5i ＝－1.4．设复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，若z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 答案 －1＋10i解析 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )， 由复数相等的定义，得x ＝2且y ＝8， ∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值分别为________． 答案 －3，－4解析 ∵z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )i 为实数， ∴4＋b ＝0，即b ＝－4.又z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 为纯虚数， ∴a ＋3＝0且4－b ≠0，∴a ＝－3.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )看作关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就行，不需要记加法、减法法则． 2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(3－2i)＋2i ＝3. 3．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数． 4．理解共轭复数的性质 (1)z ∈R ⇔z ＝z .(2)当a ，b ∈R 时，有a 2＋b 2＝(a ＋b i)(a －b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据.一、填空题1．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z ＝________. 答案 1＋i解析 ∵z －(1－i)＝2i ， ∴z ＝1－i ＋2i ＝1＋i.2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝________. 答案 2解析 (1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(2b ＋1)i ， 令2－b ＝0，且2b ＋1≠0， ∴b ＝2.3．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1解析 ∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.4．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是________． 答案 －1－i解析 ∵z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ， ∴z 的共轭复数是z ＝－1－i.5．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z 的实部是________． 答案 6解析 ∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. ∴z ·z ＋z 的实部是6. 6．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a ＝________. 答案 12解析 ∵z 2＝⎝⎛⎭⎫32－a i 2＝⎝⎛⎭⎫34－a 2－3a i ， ∴⎝⎛⎭⎫34－a 2－3a i ＝12－32i(a ∈R )，则⎩⎨⎧34－a 2＝12，3a ＝32，∴a ＝12.7．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )， (1＋2i)z ]＝(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用答案 5－9i －8－7i解析 ∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y －4y ＋2x )＋(y －4x ＋5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i. 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则z 1·z 2＝________. 答案 －18－63i 解析 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝4 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i.z 1·z 2＝(3＋3i)(－33＋3i)＝－18－63i.10．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 答案 5＋5i解析 ∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)， ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i.11．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 答案 2解析 由题意知x i －1＝－1＋2i ，又x ∈R ，由复数相等，得x ＝2. 二、解答题12．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i ，整理，得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i ，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝－4，2x ＋y ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以复数z ＝1＋2i.13．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i(a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数． 解 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ， 由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.所以b ＋a i ＝4－3i ，则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i. 三、探究与拓展14．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 答案 34解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2 ＝(3t ＋4)＋(4t －3)i. 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.15．已知复数z ＝1＋i ，实数a ，b 满足az ＋2bz ＝(a ＋2z )2成立，求a ，b 的值． 解 az ＋2bz ＝(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ，∴(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a ＋2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎨⎧ a ＝－22，b ＝4－32，或⎩⎨⎧a ＝22，b ＝4＋3 2.∴所求实数a ＝－22，b ＝4－32或a ＝22，b ＝4＋3 2.。

322复数代数形式的乘除法运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算”过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 +即：如果a, b, c, d€ R，那么a+bi=c+di：= a=c, b=d+，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程：学生探究过程：21•虚数单位i：(i)它的平方等于-1，即i =-1;⑵实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立•2. i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程x2=—1的一个根，方程x2=—1的另一个根是—i.4n+1 . ・ 4n+2 , ・ 4n+3 . ・ 4n ,3. i 的周期性：i =i, i =-1, i =-i, i =1 -复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*■4. 复数的定义：形如a bi(a,^ R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部•全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*■3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z二a • bi(a,b • R)，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式.4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a・bi(a,b・R)，当且仅当b=0时，复数a+bi (a、b € R)是实数a;当b丰0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5•复数集与其它数集之间的关系：N-Z”Q：R-C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a, b, c, d€ R，那么a+bi = c+di：= a=c, b=d,一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小•如果两个复数都是实数，就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b € R)可用点Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数・对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0, 0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数•故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数・8. 复数z i 与Z2的和的定义：Z i+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数Z1 与Z2 的差的定义：z「z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+( b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律：Z1 + z2=Z2+Z1.11. 复数的加法运算满足结合律:(Z什Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)・讲解新课：1. 乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行:(a+bi)(c+di)=(ac－设Z i = a+bi, z2=c+di(a、b、c、d € R)是任意两个复数，那么它们的积bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2. 乘法运算律：(1) Z1(Z2Z3)=(Z1Z2)Z3证明：设Z1=a1+b1i, Z2=a2+b2i, Z3=a3+b3i(a1, a2, a3, b1, b2, b3€R).T Z!Z2=(a i+b i i)(a2+b2i)=(a i a2-b i b2)+(b i a2+a i b2)i,Z2Z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a i a2-b i b2=a2a i-b2b i, b i a2+a i b2=b2a i+a2b i.…Z i Z2=Z2Z i ・(2) Z i(Z2+Z3)=Z i Z2+Z i Z3证明：设Z i=a i+b i i, Z2=a2+b2i, Z3=a3+b3i(a i, a2, a3, b i, b2, b3€R)・t (Z i Z2)Z3=[(a i+b i i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a i a2-b i b2)+(b i b2+a i b2)i](a3+b3i)=[(a i a2-b i b2)a3-(b i a2+a i b2)b3]+[(b i a2+a i b2)a3+(a i a2-b i b2)b3]i=(a i a2a3-b i b2a3-b i a2b3-a i b2b3)+(b i a2a3+a i b2b3+a i a2b3-b i b2b3)i,同理可证：Z i(Z2Z3)=(a i a2a3-b i b2a3-b i a2b3-a i b2b3)+(b i a2a3+a i b2a3+a i a2b3-b i b2b3)i,--(Z i Z2)Z3=Z i(Z2Z3).(3) Z i(Z2+Z3)=Z i Z2+Z i Z3・证明：设Z i=a i+b i i, Z2=a2+b2i, Z3=a3+b3i(a i, a2, a3, b i, b2, b3€R)・「Z i(z2+z3)=(a i+b i i) [ (a2+b2i)+(a3+b3i) ] =(a i+b i i) [ (a2+a3)+(b2+b3)i] =[a i(a2+a3)-b i(b2+b3)] + [ b i(a2+a3)+a i(b2+b3)] i=(a i a2+a i a3-b i b2-b i b3)+( b i a2+b i a3+a i b2+a i b3)i.z i z2+z i z3=(a i+b i i)(a2+ b2i)+(a i+b i i)(a3+b3i)=(a i a2-b i b2)+(b i a2+a i b2)i+(a i a3-b i b3)+(b i a3+a i b3)i=(a i a2-b i b2+a i a3-b i b3)+( b i a2+a i b2+b i a3+a i b3)i=(a i a2+a i a3-b i b2-b i b3)+( b i a2+b i a3+a i b2+a i b3)i二Z i(z2+Z3)=Z i z2+Z l Z3.例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)【解析】(1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：(1) (3+4i) (3-4i) ; (2) (1+ i) 2.【解析】(1) (3+4i) (3-4i) =3 2- (4i) 2=9-(-16)=25;2 2(2) (1+ i) =1+2 i+i =1+2 i-1=2 i.3. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数-虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数+通常记复数z的共轭复数为z。

3.1 数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识情感目标:初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观•【教学方法】教学模式：“ 4+1 ”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。

教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线•自主学习一合作探究一成果展示一精讲点拨一巩固提高一小结与作业1、【自主学习】(课前完成)阅读教材《§ 3.1.1数系的扩充与复数的概念》内容，思考：I 2 1 fx + -= 1A + 尹=卜 +计-2 =-1(1)你对数的发展的了解⑵由得你有，何困惑？⑶方根2- =0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质?(5)复数的有关概念？(6)实数集R与复数C的关系？2、【合作探究】探究任务一：数系的扩充过程。