初二【数学(人教版)】《从分数到分式》【教案匹配版】最新国家级中小学精品课程

人教版数学八年级上册15.1.1《从分数到分式》教学设计2一. 教材分析《从分数到分式》是人民教育出版社八年级上册数学教材第15章第1节的内容。

本节课主要介绍了分数与分式的关系，分式的概念以及分式的基本性质。

通过本节课的学习，学生能够理解分数与分式的联系，掌握分式的概念和基本性质，为后续的分式运算打下基础。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了分数的概念和运算，对分数有一定的认识和理解。

但是，对于分数与分式的关系，以及分式的本质还需要进一步引导和启发。

此外，学生对于抽象的数学概念的理解能力还在发展中，需要通过具体实例和操作活动来帮助他们建立概念。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解分数与分式的关系，掌握分式的概念和基本性质。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考等活动，培养逻辑思维能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.重点：分数与分式的关系，分式的概念和基本性质。

2.难点：分式的本质理解，分式与分数的转化。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入分数与分式的概念，让学生感受到数学与实际生活的联系。

2.启发式教学法：通过提问、讨论等方式，引导学生主动思考和探索，培养学生的逻辑思维能力。

3.操作活动法：通过实际操作和实践活动，让学生感知和体验分式的概念和性质。

六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括分数与分式的图片、实例、问题等。

2.教学素材：准备一些分数和分式的实际例子，如物品分配、价格比较等。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际生活中的例子，如物品分配、价格比较等，引导学生思考和讨论这些例子与分数的关系。

通过讨论，引入分数与分式的概念。

2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分数与分式的定义和性质，引导学生观察和思考分数与分式的联系。

人教版八年级数学上册15.1.1《从分数到分式》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册15.1.1《从分数到分式》是分式单元的第一节内容，主要介绍了分数与分式的关系，分式的概念以及分式的基本性质。

本节内容是学生学习更高级数学的基础，对于学生理解数学的抽象概念具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了分数的基本知识，对于分数的加减乘除运算也已经熟练掌握。

但是，学生对于分数背后的数学原理可能理解不够深入，对于数学的抽象概念还处于逐步理解的过程中。

三. 教学目标1.了解分数与分式的关系，理解分式的概念。

2.掌握分式的基本性质，能够进行简单的分式运算。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.分式概念的理解。

2.分式基本性质的掌握。

3.分式运算的熟练运用。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考分数与分式的关系，激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考的能力。

同时，运用案例分析法，通过具体的例子让学生理解分式的概念和性质。

六. 教学准备1.准备相关的分数和分式的案例。

2.准备分式运算的练习题。

3.准备PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾分数的知识，激发学生的学习兴趣。

例如：“你们知道分数是什么吗？分数有什么特点？”2.呈现（10分钟）通过PPT展示分数与分式的关系，引导学生思考并总结出分式的概念。

例如：“分数可以表示一个数与另一个数的比，那么分式可以表示什么呢？”3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的例子，练习分式的基本性质。

例如：“请同学们观察这个例子，分式的分子和分母同时乘以一个数，分式的值会发生什么变化？”4.巩固（10分钟）让学生进行分式运算的练习，巩固所学知识。

例如：“请同学们完成这个分式的运算，并解释你的思路。

”5.拓展（10分钟）引导学生思考分式在实际生活中的应用，拓展学生的知识视野。

例如：“你们能想到分式在实际生活中有哪些应用吗？”6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生明确学习重点。

课题：从分数到分式【学习目标】1．了解分式的概念，会判断一个代数式是否是分式．2．理解分式有意义的条件．【学习重点】理解分式有意义的条件．【学习难点】根据分式有意义的条件来确定分式值为0的条件．情景导入生成问题旧知回顾：1．数与字母的乘积叫单项式，单独的字母或数字也称为单项式．2．几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称为整式．3．15÷23写成分数的形式是1523；若B≠0，则A÷B可以写成AB．自学互研生成能力知识模块一分式的概念(一)自主学习阅读教材P126～P128思考之前的内容，完成下面的问题：1．三角形的面积为20cm2，底边为7cm，则高为40 7cm；三角形的面积为S，底边为a，则高为2S a；2．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师的平均速度是nm千米/时；若乘公共汽车则可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是nm－0.2千米/时．(二)合作探究1．判断下列式子407，2sa，mp，m＋np＋q中，哪些是整式？哪些不是整式？它们有什么不同？答：407是整式；2sa，mp，m＋np＋q不是整式．不同：整式的分母中不含字母．归纳：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．2．下列四个代数式是分式的是( C )A.x －15B.3π＋1C.2x ＋1D.x 2＋1 3．下列式子不是分式的是( C ) A ．－2y 3x B.x ＋3a －8 C.6x ＋9y 17 D.6x ＋5知识模块二 分式有（无）意义的条件 (一)自主学习阅读教材P 128思考至该页结束 (二)合作探究(1)当x ≠－2时，分式156x ＋12有意义；(2)当m 、n 满足关系m ≠－n 时，分式m －nm ＋n 有意义．归纳：判断一个分式AB 是否有意义的条件是：分母B 不能为0，即B ≠0时，该分式才有意义；(1)当x 为何值时，分式x －1（x ＋1）（x －1）（x ＋2）有意义；解：x≠±1，且x≠－2(2)当x 取何值时，分式4x ＋53x －7无意义？解：根据题意，得3x －7＝0，解得x ＝73.所以当x ＝73时，分式4x ＋53x －7无意义．知识模块三 分式的值为零的条件 (一)自主学习当y 为何值时，y 2－25y 2－10y ＋25的值为零？解：⎩⎪⎨⎪⎧y 2－25＝0，y 2－10y ＋25≠0.∴y ＝－5.(二)合作探究练习：1.分式x 2－9x 2－4x ＋3的值为零，求x 的值；解：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－9＝0，x 2－4x ＋3≠0解得x ＝－3.2．当x 取什么值时，分式x －1x ＋2的值(1)不存在；(2)等于0?解：(1)当分母x ＋2＝0，即x ＝－2时，分式x －1x ＋2的值不存在；(2)当分子x－1＝0，即x＝1时，分式x－1x＋2的值等于1－11＋2＝0.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一分式的概念知识模块二分式有(无)意义的条件知识模块三分式的值为零的条件检测反馈达成目标1．当x>4时，分式1－x＋4的值为负；当x为任意实数时，分式－1x2＋4的值为负．2．当x>2或<－3时，分式x－2x＋3的值为正数．3．下列分式中，x 取何值时，分式才有意义？ (1)5|x|－1；(2)2x x 2－9. 解：(1)由|x|－1≠0，解得x≠±1. 所以，当x≠±1时，分式5|x|－1有意义；(2)由x 2－9≠0，解得x≠±3.所以，当x≠±3时，分式2xx 2－9有意义．课后反思 查漏补缺1．本节课学到了什么知识？还有什么困惑？ 2．改进方法。

八年级上册数学教案《从分数到分式》学情分析本节课是《分式》整章的起始课，主要内容是分式的概念、有意义的条件和用分式表示实际问题中的数量关系。

本节课是在学生学习了分数和整式相关知识的基础上学习的，也为后面学习分式性质、运算、解分式方程以及后续学习反比例函数做好铺垫，在教材中起到了承上启下的作用。

七年级学生经历了从有理数到整式的思维提升：本节课学生的思维还要经历从分数到分式的提升，对“式”的认识由整式扩充到有理式，在认知上是一次大的飞跃。

教学目的1、理解分式的概念，能确定分式有意义的条件，能确定使分式值为0的条件。

2、通过解决实际问题，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一种代数式。

3、体会类比与抽象概括能力。

教学重难点理解分式的概念，能确定分式有意义的条件，能确定使分式值为0的条件。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习导入填空，找出其中的整式（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，则宽为（10/7）cm。

长方形的面积为Scm2，长为7cm，则宽为（S/7）cm。

长方形的面积为Scm2，长为acm，则宽为（S/a）cm。

（2）把体积为200cm2的水倒入底面积为33cm2 的园柱形容器中，则水面高度为200/33cm。

把体积为V的水倒入底面积为S的园柱形容器中，则水面高度为V/S。

整式有：10/7，S/7，200/33二、学习新知1、观察剩下的两个式子S/a，V/s与整式相比，有什么异同点？①都是A/B的形式②A与B都是整式③B中含有字母。

归纳：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

其中A叫做分子，B叫做分母。

2、练习：下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？1/x，x/3，m-n / m+n，a-b/3（a-b），3/Π整式：x/3，3/Π分式：1/x，m-n / m+n，a-b/3（a-b）注意：Π不是字母，分母中含Π的不是分式。

3、复习除法的相关概念，类比研究分式a、0不能作除数。

15.1 分式15.1.1 从分数到分式〔蔡林〕一、教学目标〔一〕学习目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2.探究并理解分式有意义的条件和分式的值为零的条件．3.能熟练准确地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．〔二〕学习重点理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．〔三〕学习难点能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．二、教学设计〔一〕课前设计1. 预习任务〔1〕一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，分式AB中，A叫做分子，B叫做分母．〔2〕分式AB有意义的条件是：B≠0；分式AB的值为零的条件是：A=0且B≠0.2. 预习自测〔1〕面积为4平方米的长方形的一边长为a米，那么另一边长为()A.4a米B.4a米 C.4a米 D.8a米【知识点】列分式代数式.【解题过程】由长方形的面积公式可以得到：4a 米.【思路点拨】长方形的面积=底×高. 【答案】B.〔2〕以下式子中，是分式的是()A .3a B .3a C .13a + D .13a+【知识点】分式的定义. 【解题过程】因为3a中，分母中含有字母a ，所以它为分式. 【思路点拨】抓住分式的定义，分母中含有字母. 【答案】B. 〔3〕要使分式12x -有意义，那么x 的取值应满足( ) A ．x≠2 B ．x≠－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－1 【知识点】分式有意义的条件．20x -≠，即2x ≠.【思路点拨】分式有意义的条件为分母不等于零． 【答案】A ． 〔4〕假设分式34x x -+的值为0，那么x 的值是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝0 C ．x ＝－3 D ．x ＝－4 【知识点】分式的值为零的条件．30x -=，3x =.【思路点拨】分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零． 【答案】A ． (二)课堂设计什么是单项式？什么是多项式？什么是整式？探究一 分式的定义●活动① 回忆旧知，回忆整式的概念 问题：判断以下各式中，哪些是整式？①83m n +；②21x +；③223a b +；④241x x ++；⑤2412x x +；⑥221a b+； 学生答复：①②③．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动② 整合旧知，探究分式的概念. 填一填：cm²，长为7cm .宽应为______cm ；长方形的面积为S ,长为a ,宽应为______；cm³的水倒入底面积为33cm²的圆柱形容器中,水面高度为_____cm ；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中,水面高度为______；3.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，假设江水的流速为v 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间为 小时，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间为 小时. 【答案】710，a s ，33200，s v ，v +3090，v-3060问题1：所填式子中，哪些是整式？问题2：比拟不是整式的这一类式子，它们有什么共同点？它们与分数有什么一样点和不同点？【设计意图】让学生从自我知识体系中完善代数式的知识，进一步理解字母表示数的意义.题目的精心设计为学生提供从事数学活动的时机. ●活动③ 集思广益，归纳概念师问：这类不同于整式，而形式和分数一样的式子，我们定义为分式.请同学们根据我们讨论的分式的特点，试着概括分式的概念及一般表达式.学生活动：学生试着概括总结，小组内互相补充，完善对分式概念的认识.分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式． 【设计意图】在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索，在探索、交流中获取新知，掌握方法，提升能力，从而归纳分式的概念. ●活动④ 运用新知，辨析概念例1：指出以下代数式中，哪些是分式？1421.37πx xy a x y --； ；； ；【知识点】分式的概念【解题过程】因为14a x y -；从形式上满足A B ，并且分母中含有字母，所以14a x y-；是分式.【思路点拨】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．注意π是常数，不是字母.【答案】14 a x y-；练习：从“－1、4、5、a、b、c〞中任选几个数字或字母，编一个分式. 【知识点】分式的概念【解题过程】5a；4a b+等〔答案不唯一〕【思路点拨】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．【答案】4a b+等〔答案不唯一〕【设计意图】强化对概念的理解，设置开放性问题，可培养学生的问题意识. 探究二分式有意义的条件和分式的值为零的条件●活动①探究分式有意义的条件和分式的值为零的条件填表：问题1问题2：分式在什么条件下有意义？问题3：分式在什么条件下值为0？归纳：分式AB有意义：B≠0，分式AB的值为0：0,0.BA≠⎧⎨=⎩【设计意图】通过对字母赋予值，求出式子的值，将“代数式〞的有理式复原为学生熟悉的数，通过类比分数何时有意义，将陌生的问题向熟悉的问题转化，得出分式有意义的条件和分式值为0的条件.●活动②分式有意义的条件，分式的值为零的条件例2 以下分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ 〔1〕23x ；(2)1x x -；(3)153b-；(4)x y x y +-.【知识点】分式有意义的条件 【解题过程】(1) 要使分式23x 有意义，那么分母3x ≠0，即x ≠0； (2) 要使分式1xx -有意义，那么分母x －1≠0，即x ≠1；(3) 要使分式153b-有意义，那么分母5－3b ≠0，即b ≠53；(4) 要使分式x yx y+-有意义，那么分母x －y ≠0，即x ≠y . 【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零 【答案】(1)x ≠0；(2)x ≠1；(3)b ≠53；(4)x ≠y . 练习：假设分式219x -有意义，那么x ________. 【知识点】分式有意义的条件 【解题过程】要使分式219x -有意义，那么分母290x -≠，即3x ≠±. 【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零 【答案】3x ≠±例3 假设分式2122x x -+的值为0，那么x 的值是 .【知识点】分式的值为零的条件 【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】要使分式2122x x -+=0，那么210220x x ⎧-=⎨+≠⎩，即x =1【思路点拨】要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】x =1 练习：假设33x x -+的值为0，那么x= . 【知识点】分式的值为零的条件【数学思想】建模思想、分类讨论思想 【解题过程】要使分式33x x -+=0，那么3030x x ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，即x =3 【思路点拨】要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】x =3【设计意图】强化对分式有意义的条件，分式的值为零的条件的理解． 探究三 能熟练准确求出分式有无意义的条件，分式的值为零的条件 例4 无论a 取何值时，以下分式总有意义的是( ) A.21a a + B .211a a -+ C .211a - D .11a + 【知识点】分式有意义的条件 【解题过程】220,10a a ≥+>∴分母不可能等于0，选B【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零 【答案】B 练习：分式212x x m-+不管x 取何实数总有意义，那么m 的取值范围 ． 【知识点】分式有意义的条件【解题过程】∵x 2－2x ＋m ＝x 2－2x ＋1－1＋m ＝(x －1)2＋m －1，(x －1)2≥0，∴当m －1＞0时，(x －1)2＋m －1的值不可能为零． ∴当m ＞1时，不管x 取何实数，212x x m-+总有意义 【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零 【答案】m ＞1例5 当x= 时，分式()()6231xx x -+-的值为零.【知识点】分式的值为零的条件 【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】由题意，得()()620310x x x ⎧-=⎪⎨+-≠⎪⎩解得x ＝3，∴当x ＝3时，分式的值为0【思路点拨】要使得分式A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】x ＝3练习：x ＝－4时，分式x bx a-+无意义，x ＝2时分式的值为零，那么a －b= ． 【知识点】分式有意义的条件，分式的值为零的条件 【解题过程】由x ＝－4时，分式x b x a -+无意义，得－4＋a ＝0，即ax ＝2时，分式x bx a-+的值为零，得2－b ＝0，即ba －b ＝4－2＝2【思路点拨】要使得分式A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】2【设计意图】锻炼学生的思维，提升学习能力，能熟练的求分式有无意义的条件和分式的值.知识梳理〔1〕一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式． 〔2〕分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义． 〔3〕分式的值为零的条件：①分母不能为零；②分子为零． 重难点归纳分式A B 有意义：B ≠0，分式A B 的值为0：0,0.B A ≠⎧⎨=⎩〔三〕课后作业 根底型 自主突破1．以下式子是分式的是( )A .2x B .1x x + C .2x y + D .12x +【知识点】分式的概念【解题过程】因为1x x +分母含有字母，所以1x x +是分式 【思路点拨】一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．【答案】B 2．如果分式23xx +有意义，那么x 的取值范围是〔 〕 A . x ≠-3 B . x =-3 C . x ≠3 D . x =3 【知识点】分式有意义的条件 【解题过程】要使分式23xx +有意义，那么分母30x +≠，即3x ≠-. 【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零 【答案】A21x x -+的值为0，那么x 的值为( ) A ．2或－1 B ．0 C ．2 D ．－1 【知识点】分式的值为零的条件 【数学思想】建模思想【解题过程】要使分式21x x -+=0，那么2010x x -=⎧⎨+≠⎩，即x =2【思路点拨】要使得分式A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】C 4.当x ＝2时，分式22x kx -+的值为0，那么k ＝〔 〕 A ．2 B ．0 C ．4 D ．－1 【知识点】分式的值 【解题过程】当x=2时，22x k x -+=422k-+=0，那么k =4 【思路点拨】x 的值，代入分式即可求出k 的值 【答案】C31x ax +-中，当x ＝－a 时，以下说法正确的选项是( ) A ．分式的值为0 B ．分式无意义C ．当a ≠－13时，分式的值为0D ．当a ≠13时，分式的值为0 【知识点】分式的值 【解题过程】当x=-a 时，31x a x +-=31a a a -+--=0，又因为分母310a --≠，所以13a ≠-【思路点拨】x 的值，代入分式即可求出分式值 【答案】C6.当a ＝－3时，分式2aa -+的值为〔 〕 A ．2 B ．-3 C ．4 D ．－1 【知识点】分式的值 【解题过程】当a=-3时，2a a -+=()332---+=-3 【思路点拨】a 的值，代入分式即可求出分式值 【答案】B能力型 师生共研 7.假设分式()()122x x x +++的值为0，那么x = ．【知识点】分式的值为零的条件 【数学思想】建模思想、分类讨论思想 【解题过程】要使分式()()122x x x +++=0，那么()()12020x x x ++=⎧⎪⎨+≠⎪⎩，即x =-1【思路点拨】要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩【答案】x =-1212x x+-的值为正数，那么x 的取值范围是. 【知识点】分式的值 【数学思想】建模思想【解题过程】要使分式212x x +-的值为正数，那么21020x x ⎧+>⎨->⎩，所以2x <【思路点拨】要使得分式 AB 的值为正，分子分母同号 【答案】2x <探究型 多维突破 x 取何值时，分式()()332x x x --+：(1)有意义？(2)无意义？(3)值为0?【知识点】分式有无意义的条件，分式的值为零的条件 【数学思想】建模思想、分类讨论思想 【解题过程】〔1〕要使分式()()332x x x --+有意义，那么()()320x x -+≠，即3x ≠且2x ≠-〔2〕要使分式()()332x x x --+无意义，那么()()320x x -+=，即3x =或2x =-〔3〕要使分式()()332x x x --+=0，那么()()30320x x x ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，即x =-3【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零，要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩ 【答案】〔1〕3x ≠且2x ≠-〔2〕3x =或2x =-〔3〕x =-310．分式2x mx n-+，当x ＝3时分式无意义；当x 22m n m n +-的值．【知识点】分式无意义的条件，分式的值为零的条件 【解题过程】当x ＝3时分式无意义，所以3+n =0,即n =-3；当x ＝－1时，分式的值为0，所以-2-m =0,即m 22m n m n+-=13 【思路点拨】要使得分式有意义，即分母不等于零，要使得分式 A B 的值为零的条件0,0.B A ≠⎧⎨=⎩ 【答案】13 自助餐24a a -无意义的条件是( ) A ．a ＝2 B ．a ＝－2 C ．a ＝2且a ＝－2 D ．a ＝2或a ＝－2【知识点】分式有意义的条件 【解题过程】要使得分式24a a -无意义，那么240a -=，即2a =± 【思路点拨】要使得分式无意义，即分母等于零【答案】Da ＝1，b ＝2，那么aba －b的值是( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2【知识点】分式的值【解题过程】当a ＝1，b ＝2，那么aba －b =-2 【思路点拨】a ，b 的值，代入分式即可求出分式值【答案】D3.假设分式23x x-的值为负数，那么x 的取值范围是________． 【知识点】分式的值【解题过程】由题意得2300x x -<⎧⎨≠⎩，解得3x <且0x ≠ 【思路点拨】要使得分式的值为负，分子分母异号【答案】3x <且0x ≠4.观察以下一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n 个数是___________.(n 是正整数)【知识点】找规律列分式代数式【解题过程】分子1,3,5,7,9为奇数，所以分子2n -1，分母4,9,16,25,36为平方数，所以分母()21n +，所以第n 个数为()2211n n -+【思路点拨】在解决分数类型的数字规律问题时，一般从分子分母两个方面去寻找规律【答案】()2211n n -+123x x--的值为负数，求x 的取值范围． 【知识点】分式的值为零的条件【数学思想】建模思想、分类讨论思想【解题过程】由题意得10230x x ->⎧⎨-<⎩或10230x x -<⎧⎨->⎩，解得x >1或x<23 【思路点拨】要使得分式的值为负，分子分母异号【答案】x >1或x<236.学完分式的概念后，教师出了一道题：当m 取哪些整数时，分式41m -的值是整数？ 小芳的解答如下：当m －1＝1，2，4，即m ＝2，3，5时，分式41m -的值是整数． 小芳的解答对吗？如果不对，请改正．【知识点】分式的值【数学思想】建模思想、分类讨论思想 【解题过程】∵分式41m -的值为整数 ∴m －1是4的因数，又∵m 为整数，∴m =5，3，2，0，－1，－3．故小芳的解答错误【思路点拨】要使式子是整数，分子一定要被分母整除，因而m -1的值是±1，±2，±4，故可以求出m 的值．【答案】小芳的解答错误， 假设使分式41m -值是一个整数，那么m−1一定是4的约数，4的约数有±1，±2，±4共6个， 当m−1=±1时，m=0或m=2，当m−1=±2时，m=−1或m=3，当m−1=±4时，m=−3或m=5，即m=−3，−1，0，2，3，5时，分式41m -的值是整数.。

《15.1分式——从分数到分式》教学设计一、内容与内容解析1．内容分式的概念，分式有意义的条件．2．内容解析分式是继整式之后的又一类代数式．分式是两个整式相除得到的分母中含有字母的代数式．它与分数有必然的联系，是把分数的分子、分母分别用字母表示数的结果，是基于分数符号化的抽象．因此，通过类比分数学习分式是比较自然合理的思考．和分数一样，分母不能为0，分式中分母含有未知数，因此必须考虑字母的取值范围．综上所述，本课的教学重点是：分式的概念．二、目标与目标解析1．目标（1）了解分式的概念．（2）能用分式表示简单实际问题中的数量关系．（3）掌握分式有意义的条件，体会特殊到一般的研究过程．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能清楚分数、整式与分式的联系与区别，在不同的式子中正确地辨认出分式．达成目标（2）的标志是：学生能根据实际问题抽象出基本的数量关系，并能用分式表示．达成目标（3）的标志是：学生能类比分数，理解分式中分母不为0的条件，并能正确写出字母的取值要求．三、教学问题诊断分析学生虽已系统学习了分数与整数的相关知识，由于数或字母的运算类型丰富多变，有相互联系，很难把分式与分数、整式区别出来，因此理解分式与分数、整式的联系与区别是一难点．通过比较、分类、辨析、概括一系列活动突破难点．综上所述：本课的教学难点：理解分式与分数、整式之间的联系．四、教学过程设计（一）抽象分式的概念问题1 填空：（1）长方形的面积为10 cm 2，长为7 cm ，则宽为_____cm ；长方形的面积为S ，长为a ，则宽为_____．（2）把体积为200 cm 3的水倒入底面积为33 cm 2的圆柱形容器中，则水面高度为____cm ；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，则水面高度为____．师生活动：学生列式，教师引导学生关注基本的数量关系．设计意图：让学生用各种式子表示实际问题中的数量关系，为分式概念的学习埋伏笔． 追问1：上述问题中得到的式子中，哪些是熟悉的整式？哪些不是？90601020030303030733s v v v v v a s+-+-，，，，，，，． 师生活动：学生发现10200906030307333030s v v v v v a s +-+-，，，；，，，是整式，而10200906030307333030s v v v v v a s+-+-，，，；，，，不是整式． 设计意图：从给出的式子中区分出不是整式的式子，明确研究对象．问题2 90603030s v v v a s+-，，，有什么共同特征？与分数有什么相同点和不同点？与整式又有何关系？师生活动：学生回答，相互补充．教师总结，提出分式的概念． 分式：A B，其中A 、B 表示整式，并且B 中含有分母．A 叫做分母，B 叫做分母． 表现形式：由分子与分母两部分组成，分母中含有字母；运算上：两个整式的商的形式，除式中含有字母．设计意图：通过归纳，明确式子的共同特征，把特征一般化并下定义，得到分式的概念． 练习1 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区 别是什么？222221425213353213()x a x m n x x c x b x y m n x x a b --+++-+-+-，，，，，，，． 师生活动：学生回答，相互评价．教师引导学生辨别概念．设计意图：通过辨析巩固概念．（二）明确分式有意义的条件问题3 字母可以表示不同的数，分式11x -可表示什么数？ 追问1： x 的不同取值，分式11x -可表示不同的数．x 能取任何数吗？为什么？师生活动：学生回答，教师总结：字母可以表示不同的数，分式比分数更具一般性．分式中含有字母，和分数一样，分母不能为0．要使分式有意义，必须要考虑分母中字母的取值范围．设计意图：让学生经历字母表示数的过程，更能理解分式比分数更具一般性，并能自然地想到分母不为0的条件．例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？213x （）； (2)1x x -； 1(3)53b-； (4)x y x y +-． 追问1：分式有意义的条件是什么？追问2：分式的分母是什么？你得到的是一个怎样的不等式？追问3：求解不等式，你得到什么结论？师生活动：学生尝试解决，师生共同分析．教师板书．教师强调分式有意义的前提是整个分母不为0的条件，而不是分母中的某个字母不等于0．设计意图：巩固对分式有意义的条件的认识．（1）（2）（3）分母中只含有一个字母，结果是这个字母不等于某个值；（4）分母中含有两个字母，结果是这些字母之间不能有某种关系．题目具有层次性，多样性．练习2 下列分式中字母满足什么条件时分式有意义？ ()()()212123132x m a x m +-+；；； ()()212245(6)31a b x y a b x +---；；． 师生活动：学生独立完成，学生板书，相互评价．教师巡视、指导、总结．设计意图：加深对分式有意义的条件的认识．（三）课堂小结根据以下问题回顾本节课所学的知识．（1）什么是分式？它与分数、整式有何关系？（2）分式有意义的条件是什么？考虑分式有意义条件时要注意哪些问题？设计意图：回顾知识，建立新旧知识的联系，从中体会特殊到一般、从具体到抽象的认知过程，也便于形成新的知识网络．（四）布置作业教科书习题15.1第1，2，3题．五、板书设计。

15．1分式15．1.1从分数到分式1．了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．(重点)2．理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．(难点)一、情境导入多媒体展示，学生欣赏一组图片(长江三峡)．长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地．早在1500多年前的魏晋时期，地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述：“有时朝发白帝城，暮至江陵，期间千二里，虽乘龙御风，不以疾也．”多媒体出示以下问题：(1)如果客船早6时从白帝城启航，顺水而下，傍晚6时到达江陵，航程600千米，客船航行的平均速度约为多少千米/小时？(2)如果客船8小时航行了s千米，该船航行的平均速度是多少？(3)如果客船在静水中的航行速度为v千米/小时，江水流动的平均速度为20千米/小时．那么客船顺水而下，航行600千米需多少时间？如果客船逆水航行s千米，需要多少时间？你能解答情境导入中的问题吗？与同学交流．二、合作探究探究点一：分式的概念【类型一】 判断代数式是否为分式 在式子1a 、2xy π、3a 2b 3c 4、56＋x 、x 7＋y 8、9x ＋10y中，分式的个数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个解析：1a 、56＋x 、9x ＋10y 这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B.方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数．【类型二】 探究分式的规律 观察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9y4，…(其中x ≠0)． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式；(2)根据你发现的规律，试写出第n (n 为正整数)个分式，并简单说明理由．解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－x 13y6；(2)由已知可得：第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1y n ，理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1y n . 方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．【类型三】 根据实际问题列分式每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )A.nx ＋my x ＋y 元 B.mx ＋ny x ＋y 元 C.m ＋n x ＋y 元 D.12(x m ＋y n)元 解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为mx ＋ny x ＋y 元．故选B. 方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式．探究点二：分式有意义或无意义的条件 【类型一】 分式有意义的条件 分式x －1（x －1）（x －2）有意义，则x 应满足的条件是( ) A ．x ≠1 B ．x ≠2C ．x ≠1且x ≠2D ．以上结果都不对解析：∵分式有意义，∴(x －1)(x －2)≠0，∴x －1≠0且x －2≠0，∴x ≠1且x ≠2.故选C. 方法总结：分式有意义的条件是分母不等于零．【类型二】 分式无意义的条件使分式x3x －1无意义的x 的值是( ) A ．x ＝0 B ．x ≠0 C ．x ＝13 D ．x ≠13解析：由分式有意义的条件得3x －1≠0，解得x ≠13.则分式无意义的条件是x ＝13，故选C. 方法总结：分式无意义的条件是分母等于0.探究点三：分式的值为零、为正或为负的条件 若使分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为( ) A ．－1 B ．1或－1C ．1D ．以上都不对解析：由题意得x 2－1＝0且x ＋1≠0，解得x ＝1，故选C.方法总结：分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．三、板书设计从分数到分式1．分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式．2．分式A B 有无意义的条件：当B ≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义．3．分式A B值为0的条件：当A ＝0，B ≠0时，分式的值为0.本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实践应用能力．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成．后序亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。

15.1 分式15.1.1 从分数到分式教学目标1．使学生了解分式的概念，明确分母不得为零是分式概念的组成部分．2．使学生能够求出分式有意义的条件．3.准确理解分式的意义，明确分母不得为零既是本节的重点，又是本节的难点． 教学过程1、 情境引入：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？（1）这一问题中有哪些等量关系？（2）如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；根据题意，可得方程 ；2、解读探究：x 2400，302400+x ，43024002400=+-x x 认真观察上面的式子，方程有什么特点？做一做1.正n 边形的每个内角为 度2一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为mkg ，箱子的质量为nkg ，则每千克苹果售价是多少元？上面问题中出现的代数式x 2400，302400+x ，nn 180)2(⨯-；它们有什么共同特征？ (1)由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论：的分母．(2)由学生举几个分式的例子．(3)学生小结分式的概念中应注意的问题．①分母中含有字母．②如同分数一样，分式的分母不能为零．(4)问：何时分式的值为零？(以(2)中学生举出的分式为例进行讨论)例1（1）当a=1,2时，求分式a a 21+的值； （1） 当a 取何值时，分式aa 21+有意义？ 解：（1）当a=1时，;1121121=⨯+=+a a 当a=2时43221221=⨯+=+a a （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义。

由分母2a=0,得a=0，所以，当a 取零以外的任何实数时，分式aa 21+有意义。