几种常用的正项级数审敛法的比较

正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较摘要数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。

这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。

在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。

关键词数学分析正项级数推广比值审敛法一.预备知识1.正项级数的定义如果级数的各项都是非负实数，即则称此级数为正项级数2..收敛定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。

若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到例级数是正项级数。

它的部分和数列的通项，所以正项级数收敛。

在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。

二.常规审敛法：1.达朗贝尔审敛法…………，若，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。

例 1 考虑级数则；所以级数收敛2.拉贝审敛法…………，若，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。

例 2 判断级数的敛散性解设则，（达朗贝尔审敛法不可用）所以级数三.常规审敛法的比较由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。

但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。

但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数来说，如果时，则比值审敛法就无法对级数的敛散性作出审敛。

例如，我们不难证明，当为n的有历史时，总有，也就是说此时比值判定法必定失效。

正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。

关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。

级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。

而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。

求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。

以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。

1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。

例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。

但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。

2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。

若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。

其中，$a_n$和$b_n$都是正数。

3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。

该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。

此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。

将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。

若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。

正项级数审敛法的应用探析正项级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。

审敛法是研究正项级数收敛性的一种方法，通过审敛法，我们可以判断正项级数的收敛和发散，进而应用于实际问题中。

本文将探索正项级数审敛法的应用，并通过实例分析其在实际问题中的作用。

我们来看一下正项级数的定义。

正项级数指的是级数的每一项都是非负数的级数，即a_n\geq0，级数的通项为a_1,a_2,a_3,...,a_n。

正项级数的收敛性与实际问题中的应用有着密切的联系，对于一个正项级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，如果它收敛，那么我们可以得出\lim_{n \to \infty}a_n=0的结论，这对于实际问题中的分析是非常有用的。

接下来，我们来介绍一下正项级数审敛法的概念。

正项级数审敛法是通过比较或判别正项级数的通项a_n与已知的收敛或发散的级数进行判断的一种方法。

常用的审敛法有比较审敛法、比值审敛法、根式审敛法等。

这些审敛法都是在判断正项级数的收敛性时非常有用的工具。

比较审敛法是判断正项级数的收敛性的一种方法，它的基本思想是通过将待判断的正项级数与一个已知的收敛或发散的级数进行比较，从而得出待判断级数的收敛性。

比较审敛法常用的形式有两个，一个是比较审敛法，另一个是极限比较审敛法。

比较审敛法的核心是找到一个与待判断级数有着相同数量级的级数进行比较，从而得出结论。

比值审敛法也是判断正项级数收敛性的重要方法，它的思想是通过计算级数的相邻项的比值来判断级数的收敛性。

比值审敛法适用于通过计算\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}来判断级数的收敛性，如果极限存在且小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则无法判断。

以上介绍了一些常用的正项级数审敛法，这些方法在判断正项级数的收敛性时非常有用。

接下来，我们将通过实际问题来探讨正项级数审敛法的应用。

在实际问题中，正项级数的应用非常广泛，比如在金融数学中，我们常常会遇到复利计算的问题。

级数收敛的判别技巧级数是数学中一个重要的概念，它是由一系列数相加而成的。

在数学中，我们经常需要判断一个级数是否收敛，即求出它的和。

本文将介绍几种常用的级数收敛的判别技巧。

一、正项级数的判别法正项级数是指级数的每一项都是非负数的情况。

对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。

1. 比较判别法比较判别法是最常用的判别法之一。

它的基本思想是将待判别的级数与一个已知的级数进行比较，通过比较它们的大小关系来判断级数的收敛性。

比较判别法分为两种情况：（1）若存在一个收敛的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≤bn，则待判别的级数∑bn也收敛。

（2）若存在一个发散的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≥bn，则待判别的级数∑bn也发散。

2. 比值判别法比值判别法是判别正项级数收敛性的常用方法之一。

它的基本思想是通过计算级数相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。

具体步骤如下：（1）计算级数相邻两项的比值：rn=an+1/an。

（2）求出极限limn→∞rn。

（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。

3. 根值判别法根值判别法也是判别正项级数收敛性的常用方法之一。

它的基本思想是通过计算级数项的根号的极限来判断级数的收敛性。

具体步骤如下：（1）计算级数项的根号：rn=(an)^(1/n)。

（2）求出极限limn→∞rn。

（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。

二、任意项级数的判别法任意项级数是指级数的每一项都可以是正数、负数或零的情况。

对于任意项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。

正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。

通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。

本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。

正项级数是指所有项都是非负数的级数。

我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。

如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。

同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。

这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。

比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。

下面我们将分别介绍这两种方法。

一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。

具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。

如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。

比较法的关键在于选择合适的已知级数。

常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。

例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。

调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。

根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。

二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。

当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。

具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。

如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。

极限比较法的关键在于计算级数的极限值。

对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。

正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。

判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。

一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。

2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。

二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。

三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。

四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。

五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。

这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。

同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。

关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。

正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。

正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。

关键词：级数；正项级数；收敛；发散。

AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。

正项级数的敛散性的判别方法探讨作者：夏滨来源：《理科爱好者·教育教学版》2012年第02期摘要：本文主要通过比值审敛法、根值审敛法、比较审敛法及其极限形式判别、等价无穷小代换法等方法对正项级数的敛散性的判别进行了探讨。

关键词：正项级数敛散性判别【中图分类号】 O122.7 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0007-02级数是高等数学的一个重要组成部分，它在表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算等方面成为一种重要的工具，在科学技术领域有广泛的应用。

设给定数列u1，u2，…un，…，则式子u1+u2+…+un+…称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数，记作un，un=u1+u2+…+un+…，其中un称为级数的一般项或通项。

如果级数un的各项un≥0，n=1，2…，则称此级数为正项级数。

用级数收敛和发散的定义以及级数的性质可以判断级数是否收敛，但求部分和及其极限并非易事，因此需要找寻一些级数敛散性的判别法。

下面笔者将介绍几种常用的正项级数的审敛法。

一、比值审敛法定理：设un是正项级数，如果=ρ，则：1）当ρ1（或=∞）时，级数发散；3）当ρ=1时，级数可能收敛，也可能发散。

该判别法的特点是利用级数本身前项与后项之比的极限判别其收敛性，不需另找比较级数。

当正项级数的一般项un中含有n！，nn，sinxn或cn（c为常数）等因子时，用比值审敛法比较简单。

这是因为在un+1/un中能使阶乘符号、n次幂消失，且对于nn，sinxn往往能利用两个重要极限求其极限。

此外，一般项为分式形式时，也常用比值审敛法判别之。

例1、判定下列级数的敛散性：1）； 2）；解：1）因为 ==（1+）n ，所以 =（1+）n =e>1，由比值审敛法知，所给级数发散。

2）因为==所以，由比值审敛法知，所给级数收敛。

例2、设ɑ>0，判别级数的敛散性。

解：因为=·==0， 01 ；所以当01时，原级数发散。