“贾宪三角”——中国的帕斯卡三角形

杨辉三角论文概述内容杨辉三角是公元1261年，我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个用数字排列起来的三角形阵。

由于杨辉在书中引用了贾宪著的《开方作法本源》和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”。

在欧洲，这个三角形叫帕斯卡三角形，是帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间。

发展历程北宋人贾宪约1050年首先使用”贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）中，保存了一张宝贵图形——“开方作法本源”图。

根据杨辉自注说，这个图“出《释锁算术》，贾宪用此术”。

宋元时代的数学家求数字高次方程正根的方法叫做“开方“，又叫做“释锁”。

很可能在杨辉之前，已经有一些数学家采用此图来研究开方术，其中以贾宪为最早。

因此，我们应该把这个具有世界意义的重大贡献归功于贾宪和杨辉二人。

贾宪采用得最早，但贾宪的著作可惜早已失传，全靠杨辉在《详解九章算法》里把这份珍贵的遗产保存了下来，并加以发扬光大，广泛应用。

“开法作法本源”图又叫做“乘方求廉图”，我们现在采取华罗庚教授的意见，称它为“杨辉三角”。

“开方作法本源”图贾宪是天文学家楚衍的学生，他的履历我们知道的很少。

他大概在宋仁宗时代（1023~1063年），就发现了二项高次幂（指数为正整数）展开式的各项系数的规律。

在“杨辉三角”中，记录到五乘。

这是世界上最古老的记录。

在杨辉之后，朱世杰在《四元玉鉴》中进一步发展为七乘，载有“古法七乘方图”，比原图多列两层，并且添上了几根斜线。

他说这个三角形是古法，因为他至少比贾宪晚二百五十年。

继朱世杰之后，明代数学家如吴敬、程大位等的著作中都有和“杨辉三角”相同的图形，可见我国历代数学家对这个图形都很重视。

古法七乘方图在欧洲，称它为“巴斯加三角”。

其实，在巴斯加之前，已经有不少人讨论过，其中最早的是德国人阿皮纳斯，他曾经把这张图形刻在1527年出版的一本算术书封面上。

此后，德国人施蒂费尔（Stifel, 1544年），意大利人塔塔伊亚（Tartaglia,1550年）等都曾研究过这种图形。

帕斯卡三角之秘你听过“帕斯卡三角形”吗？一定和我以前一样没听过对不对？如果你想成为逻辑推理高手，或者你想成为游戏中永远的赢家，那今天你一定要听我给你说说“帕斯卡三角形”里所蕴含的秘诀了。

帕斯卡三角形是一个有数字组成的三角形阵型，排列规律是每行两端的数字都是1，其余的个数都是上一行相邻的两数之和。

这个数表是南宋数学家杨辉收录在他的著作里才流传下来的，因此，后人把它称为“杨辉三角形”或“贾宪三角形”。

，在西方，称为“帕斯卡三角形”。

有人会问了，这个三角形有什么用呢？下面我就举个例子让你感受一下它的神奇吧！游戏：抛硬币三枚硬币向上抛，自由落下，看上去有四种组合方式，3个面朝上，2个面朝上，一个面朝上，或0个面朝上。

那你会不会认为3个面同样或3个面不同的概率是一样，都是1/2呢？那你就和我一样输的一塌糊涂了！其实，我们看看“帕斯卡三角形”，首先，找到第三排（有数字3的那一排，最顶上那个1不算）。

第三排的数字：1 3 3 1第三排数字之和：8那么概率为：1/8 3/8 3/8 1/8也就是说硬币落下的组合方式不是4种，而是8种。

认为的3个面同样或3个面不样的概率一样也是错误的，在8种组合方式里有1种是3个面朝上的，概率为1/8，有3种2个面朝上的，概率为3/8，有3个1个正面朝上的，概率为3/8，有1种0个面朝上的，概率为1/8。

那也就是说3个面朝上只有1种，三个面朝下只有1种，合起来也只有两种，而3个面不同的情况却有六种。

你是不是不太相信呢？我也是，于是我拿了三个硬币按照游戏的方式实验并记录了：正反正正反反正反正正反正反正反反正正正反正反反反3个正面 2个正面 1个正面 3个反面概率：1/8 3/8 3/8 1/8 怎么样？你一定和我一样被征服了吧！不仅如此，帕斯卡三角形还能告诉我们仍任何数量硬币所发生的情况，因为这个三角形只有10行，但它可以无限延伸，无止尽的发展下去。

当然，它的作用可不是仅仅让我们玩游戏而已，相信它的对我们的帮助和影响也和它本身一样无止尽！。

E-mail文化传播网杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。

杨辉三角外文名Pascal Triangle（帕斯卡三角形），也称贾宪三角形。

贾宪提出时间约在1050年。

杨辉三角形的每一行是（X+Y) ^N的展开式各项的系数。

如第一行的1就是(X+Y) ^0的系数，第三行的1，2，1是（X+Y) ²的展开式X²＋2XY+Y²各项的系数。

可以看出，对角线和每行的第一列都为1°，其余各项是它的上一行中前一个元素和上一行的相应位置的元素之和。

例如，第四行第二列的值（3），是第三行第一列和第二列两个元素之和。

杨辉三角的性质：1、起点和端点的数为1.每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，到达最大后开始逐渐变小。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行数字和为2n-1。

5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m) （组合数性质之一）6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。

可用此性质写出整个杨辉三角。

7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数。

10、将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0;11=11^1; 121=11^21杨辉三角形1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 118 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 111 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1杨辉数字塔打开大字典，它对“一”的解释是“数之始也”意思是数目或计数的开始。

数学：数学史知识学习（三）1、名词解释数学能力正确答案：是顺利完成数学活动所具备的，而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并且在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。

是系（江南博哥）统化了的，概括化了的哪些个体经验，是一种网络化的经验结构。

2、填空题对韦达所使用的代数符号进行改进的工作是由笛卡尔完成的，他用拉丁字母的前几个表示（），后几个表示（）。

正确答案：已知量；未知量3、填空题数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（）来分期，其一是根据（）来分期；正确答案：数学学科自身的研究对象、内容结构、知识领域的演进；数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁4、问答题简述微积分学产生的背景。

正确答案：1638年伽利略《关于两门新科学的对话》出版，为动力学奠定了基础，促使人们对动力学概念与定理作精确的数学描述。

望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线和求曲线的切线，而炮弹的最大射程和求行星的轨道的近日点、近远点等涉及到求小数的最大值、最小值问题。

而求曲线所围成的面积、曲线长、重心和引力计算也将人们的兴趣激发起来。

在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于为解决这些难题而寻求一种新的数学工具。

正是为解决这些疑难问题，一门新的学科——微积分便应运而生了。

5、填空题九章算术》的内容分九章，全书共（）问，魏晋时期的数学家（）曾为它作注；正确答案：246；刘徽6、填空题拉格朗日在《解析函数论》一书中，主张用（）来定义导数，以此作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“代数运算”。

正确答案：拉格朗日定理7、填空题关于古埃及数学的知识，主要来源于（）。

正确答案：莱茵德纸草书和莫斯科纸草书8、名词解释巴比伦楔形文字泥板正确答案：现在我们研究巴比伦数学知识的积累最可靠的资料，它是用截面呈三角形的利器作笔，在将干而未干的胶泥板上斜刻写而成的，由于字体为楔形笔画，故称之为楔形文字泥板书。

初中数学常见杨辉三角规律（ 1 ）——利用横行规律解题杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。

因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名。

在欧洲，因为法国数学家布莱兹‧帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。

人教版初中数学八年级下册第113页，阅读与思考中对杨辉三角进行了简单的介绍。

今天结合初中命题中会用到的情况进行分析，结合具体的题目利用杨辉三角的横行规律解题。

在初中数学上，杨辉三角的介绍和二项式展开式有关：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……二项式系数是二项式定理中各项的系数。

而二项式系数可排列成杨辉三角，这样可以避免这样的麻烦，直接找到答案。

如何直接写出各项系数？如图，在最上面一行的中央写下数字 1；第二行，写下两个 1，和上一行形成三角形；随后的每一行，开头和最后的数字都是 1，其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和，就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和。

一．利用杨辉三角的构建过程解题例1．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝__________，并说出第7排的第三个数是___．【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15.【解析】根据杨辉三角的构建：把第6行写出来：得到：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5再借助规律写出第7行：1 5 15 20 15 6 1，故第三个数是二、杨辉三角的横行个数及数字和规律①横着每一行都有对应数字个数，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……②横着每一行数字相加得到：a1=1=20，a2=2=21，a3=4=22，…，an=2n-1.例2．我们知道(a+b)n展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第行中的每一项，如图给出了“杨辉三角”的前7行，请你按照这个规律，直接写出展开式共有______项，展开式的系数和是_______．【答案】2021；22020.【解析】由于第一行对应的是(a+b)0，所以(a+b)2020对应的第2021行，所以共有2021项；展开式系数和为22020.三、巧设未知数的值求展开式系数和当二项式的a，b有了具体的式子时，系数和就不仅仅时杨辉三角横行之和，这时巧设未知数的值可解决问题。

贾宪三角中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰。

在这个数学创新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。

其中特别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制的“贾宪三角”了。

由于史书没有贾宪的传记，所以我们今天对这位数学家的生平事迹已经无法搞清楚了。

只知道他曾经当过宋代“左班殿直”的小官，是当时天文数学家楚衍的学生，还写过两部数学著作，可惜这两部著作现在都失传了。

幸亏南宋数学家杨辉在他的书中引述了贾宪的许多数学思想资料，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。

贾宪最著名的数学成就，是他创制了一幅数字图式，即“开方作法本源图”（见图1）。

这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此术”。

所以过去我国数学界把这幅图称为“杨辉三角”，实际上是不妥当的，应该称为“贾宪三角”才最为恰当。

图1开方作法本源图用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。

稍懂代数的读者都知道：如果把以上式子中等号右边的各个系数排列起来，则可得：这正好与“开方作法本源图”上的数字完全相符。

这样一种二项式系数的展开规律，在西方数学史上被称为“帕斯卡三角形”。

帕斯卡是法国数学家，他是在1654年所著的书中给出类似于贾宪“开方作法本源图”的数字三角形表的（见图2）。

其实在欧洲，类似的数字三角形也并非帕斯卡最先发明，只是开始没有广泛流传罢了。

西方最古的此类数字三角形，可以上溯到1527年；但与贾宪的这个图相比，已经晚了四百多年。

因此我们完全有理由把这项中国人最先发明的数学成果称为“贾宪三角”而载人史册。

不仅如此，贾宪的这个图还蕴含了图中数字的产生规律。

细心的读者也许已经发现，这个三角形的两条斜边都是由数字１所组成的，而其他的数都等于它肩上的两个数相加。

按此规律，这个数字三角形可以写到任意多层；也就是说，二项式任意正整次幂的系数展开都可以按照这个图很容易地得到。

图2 帕斯卡三角形根据杨辉的记载，贾宪求“开方作法本源图”中各项系数的方法，就是他在开平方、开立方中所用的新法——“增乘开方法”。

代数趣谈——⽜顿⼆项式定理和贾宪三⾓形继续上节：希腊邮票上的“勾股定理”和中国的“商⾼定理”级数趣谈——从1+2+3＋…+n谈起古时候的中国、埃及、巴⽐伦、印度的劳动⼈民，通过了以下的⼏何图形，认识了这个公式（a＋b）2=a2＋2ab＋b2。

它是公式（a＋b）n的特殊情形。

这公式在科学上很有⽤。

⽽在初中我们学到怎样算（a＋b）n，当n是较⼩的正整数。

如：n＝1，我们有（a＋b）1＝a＋bn＝2，我们有（a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝a（a＋b）＋b（a＋b）＝a2＋2ab＋b2n＝3，我们有（a＋b）3＝（a＋b）（a＋b）2＝a（a2＋2ab＋b2）＋b（a2＋2ab＋b2）＝a3＋ 3a2b+3ab2+b3是否有较快的⽅法，写下（a＋b）n的展开式呢？有的，请看底下的⽅法，这⽅法的原理和上⾯的展开⽅法是⼀样的，但容易看出来：我们⽤符号n！（读n的阶乘）来表⽰乘积n×（n-1）×（n-2）×…×3×2×1。

然后⽤符号（nr）（这是⼤数学家欧拉采⽤的符号）17世纪末的英国科学家⽜顿（I．Newton）发现了⼆项式的⼀般展开式可以写成：这结果⼀般数学书称为⽜顿⼆项式定理，这是代数上的⼀个基本和重要的定理。

今天我们就从这个定理出发，谈谈⼀些数学故事。

⾸先我们提到的是⼀个17世纪时科学界上的风云⼈物。

富有传奇⾊彩的帕斯卡帕斯卡（Blaise Pascal 1623—1662）是法国著名的科学家，我们在中学学到的⽔压机原理就是他发现的。

他的著名的Tori-celli实验，证明了空⽓是有压⼒，轰动法国⼀时。

那时他才23岁。

在物理上他奠⽴了流体静⼒学的基础理论。

在数学上他的贡献也是不少。

帕斯卡很⼩的时候母亲就去世了，由在税务局⼯作的⽗亲教育他的姐姐及妹妹。

⽗亲是⼀个数学爱好者，常和⼀些懂数学的⼈交往，可是他认为数学对⼩孩⼦是有害且会伤脑筋，因此孩⼦应该在15—16岁时才学习数学。

贾宪三角的规律贾宪三角是一种数学规律，也称为帕斯卡三角形。

这个三角形的形状类似于一个金字塔，每一行的数字都是由上一行相邻两个数字的和得到的。

这个规律在组合数学和概率论中有着广泛的应用。

让我们来看一下贾宪三角的形状。

贾宪三角的第一行只有一个数字1，从第二行开始，每一行的数字都是由上一行相邻两个数字的和得到的。

例如，第二行的两个数字是1和1，第三行的三个数字是1、2和1，以此类推。

贾宪三角有很多有趣的特性。

首先，贾宪三角的对称性非常明显。

如果我们将三角形从中间折叠，左右两边的数字会完全相同。

这是因为每一行的数字都是由上一行相邻两个数字的和得到的，所以对称性是可以预期的。

另一个有趣的特性是贾宪三角中的数字具有组合数学的意义。

每一行的数字代表了对应的二项式系数。

例如，第三行的数字1、2和1，可以表示为(1+1)^2，即二项式展开中的系数。

贾宪三角还可以用来计算组合数。

组合数是指从n个元素中选取k 个元素的方式数。

在贾宪三角中，第n行的第k个数字就是组合数C(n,k)。

这是因为组合数可以通过贾宪三角的规律得到，每个数字都是由上一行相邻两个数字的和得到的。

贾宪三角还有一个重要的应用是计算概率。

在一个有限的样本空间中，每一个事件都有一个对应的概率。

贾宪三角可以帮助我们计算复杂事件的概率。

例如，如果我们有一个正常的骰子，想要知道投掷两次之后出现两个六的概率，我们可以使用贾宪三角来计算。

除了上述的应用，贾宪三角还有其他一些有趣的特性。

例如，贾宪三角中的每一行数字的和都是2的幂。

这是因为每一行的数字都是由上一行相邻两个数字的和得到的，所以每一行的数字和都是上一行数字和的两倍。

贾宪三角是一个有趣且有用的数学规律。

它不仅可以用来计算组合数和概率，还有许多其他有趣的特性。

通过研究贾宪三角，我们可以深入了解组合数学和概率论的基本概念，并且在实际问题中应用这些知识。

贾宪三角在数学领域中有着广泛的应用，对于提高我们的数学思维能力和解决实际问题都有很大的帮助。

在中小学数学教学中弘扬中国数学优秀算法——用珠算教学论证增乘法开高次方解高次方程河南少年先锋学校 赵 绘 敏摘要：贾宪创立的系数“三角形”及增乘开方算法不仅有着历史的辉煌，将其用于构建中西融合的“优因数学”内容更是现代数学教育的亮点。

特别是运用珠算，不仅可以使开高次方（解高次方程）的数值计算至简，而且运用珠算程序可以一般地论证增乘开方算法的原理，还可以直接搬上计算机。

我们在小学四年级的优因数学实验班教学用珠算程序论证和计算开高次方（解高次方程），不仅小学生能够理解和熟练地操作算盘解题，而且特有兴趣，有力地培养了民族自豪感和孩子自身的成就感和喜悦。

事实证明融合中西数学优秀基因、范式构建优因数学可使现代数学教育简易、高效、现代化，既减轻负担，又提高质量。

中国数学史研究应当和数学教育工作者合作，不仅是澄清数学历史，更需要把中国古代数学优秀思想方法开发出来用于现代数学教育，切实弘扬中国传统数学优秀文化，为人类子孙后代造福。

关键词：贾宪三角形 增乘开方算法 珠算程序 优因数学 小学生解高次方程 数学史研究与数学教育结合。

正文：宋代是中国古代数学的最繁盛时期，是中国古代数学的颠峰。

在这个数学创新的黄金时期中，涌现出了许多杰出的数学家，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。

其中一些成就也是当时世界数学的高峰。

从开平方、开立方到四次以上的开方，在数学上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。

杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用“增乘开方法”开四次方的例子。

但杨辉在引用了“开方作法本源图”这幅图后特意说明：“贾宪用此术”。

根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法（12世纪），这时欧洲还正在使用“罗马数码”，表数都十分困难，更不用说作这么复杂的开方运算了。

这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响。

而把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益。

贾宪三角斜列的规律
稿子一
嘿，亲爱的朋友！今天咱们来聊聊贾宪三角斜列的规律，这可有趣啦！
你知道吗？贾宪三角里的斜列藏着好多小秘密呢！先看第一斜列，全是 1 ，就像一群坚定的小卫士，整整齐齐站一排。

再瞧瞧第二斜列，那是自然数列，从 1 开始，一个一个往上加，是不是感觉很有秩序呀？
然后是第三斜列，这可是三角数的队列哦！每个数都是前面几个数加起来的结果，就像搭积木一样，一层一层往上堆。

还有后面的斜列，规律也是妙不可言。

越往后面，数字变得越大，组合也越来越复杂，但只要你细心观察，就能发现其中的美妙。

比如说，从斜列中能找到二项式系数的规律，这在数学解题的时候可有用啦。

怎么样，是不是觉得贾宪三角的斜列很神奇？咱们一起多研究研究，说不定还能发现更多好玩的东西呢！
稿子二
嗨呀朋友！今天来跟你唠唠贾宪三角斜列的规律。

你看这贾宪三角，斜着看过去，那可是有大讲究的。

一开始那斜列，清一色的 1 ，简单又直接，就像起跑线上的运动员，准备好出发。

接着第二个斜列，从 1 开始慢慢往上数，顺顺当当的，多整齐呀！感觉就像我们一步一步往上爬楼梯。

到了第三个斜列，那数字的增加可有特点啦，都是前面几个数加起来的和。

就好像一群小伙伴，手拉手一起变强大。

再往后的斜列，规律虽然复杂了点，但也别害怕。

仔细瞅瞅，你会发现数字之间的关系就像好朋友，相互关联着。

而且哦，这贾宪三角斜列的规律在生活中也能找到影子呢。

比如说排队的时候，人数的增加可能就有类似的规律。

总之呀，贾宪三角斜列的规律等着我们去探索，去发现更多的惊喜！怎么样，是不是有点心动啦？。

杨辉三角简介
中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位、中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发明确实是十分精彩的一页、杨辉，字谦光，北宋时期杭州人、在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图、
上图表示的是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如〔x＋y〕＝x2＋2xy＋y2，如此系数确实是1、2、1，这确实是上图中的1行、立方，4次方，n次方的运算只要看看上图中的各项的系数，就特别容易得到结果、上图确实是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角、它与我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律、
杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边基本上由数字1组成的，而其余的数那么是等于它肩上的两个数之和、。

数学家杨辉三角的故事
杨辉三角，也被称为贾宪三角或帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

在中国古代，数学家杨辉在南宋时期（1261年）的著作《详解九章算法》中首次描绘了这一三角形，并称之为“开方作法本源”图。

在欧洲，法国数学家帕斯卡在1654年也发现了这一规律，因此这个表在欧洲也被叫做帕斯卡三角形。

杨辉三角的发现是中国古代数学的杰出研究成果之一。

这个三角形把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的优美结合。

杨辉三角的每个数等于它上方两数之和，这一性质使得其在数学中有着广泛的应用。

例如，在组合数学中，杨辉三角可以用来计算组合数；在代数中，它可以用来展开二项式；在概率论中，它可以用来计算某些事件的概率等。

此外，杨辉三角还与一些数学游戏和问题有关，如“堆垛术”问题、纵横路线图问题等。

这些问题都可以通过杨辉三角来找到解决方案。

总之，杨辉三角是一个在数学中有着广泛应用和深远影响的数学概念，它的发现和应用展示了中国古代数学的卓越成就和独特魅力。

数学文化背景的高考试题背景一：杨辉三角杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。

1.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则（1）第9行的第2个数是66；（2）若第n（n≥2）行的第2个数为291，则n=18．2.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页．而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是（）A．B．C．D．3.[2006湖北L-15]将杨辉三角（如图（1））中的每一个数都换成分数，就得到一个如图（2）所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．从莱布尼茨三角形可以看出：，其中x=r+1．背景二：古希腊多边形数教材背景：必修⑤数列引入1.[2009湖北L-W-10]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.13782.[2012湖北W-17]传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。

他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（Ⅰ）b 2012是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b 2k-1=______。

（用k 表示）3.[2013湖北L-14]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。

记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。

【古今中外】人类诸领域成就别称【古今中外】人类诸领域成就别称数学数学之父——塞乐斯几何之父——欧几里得代数之父——韦达-α数学之神——阿基米德数学王子——卡尔·弗里德里希·高斯微分几何之父——陈省身向量——矢量向量的长度——模平行向量——共线向量勾股定理——毕达哥拉斯定理、商高定理数量积——内积帕斯卡三角形——贾宪三角形、中国三角形物理学安培定则——右手螺旋定则牛顿第——定律—惯性定律胡克定律——郑玄-胡克定律楞次定律——焦耳-楞次定律开普勒定律——行星运动定律开普勒第一定律——轨道定律开普勒第二定律——面积定律开普勒第三定律——周期定律物质波——德布罗意波热力学零度——绝对零度自由落体加速度——重力加速度宇宙第一速度——环绕速度宇宙第二速度——脱离速度宇宙第三速度——逃逸速度电热——焦耳热热力学能——内能势能——位能静电力——库仑力电势差——电压聚变反应——热核反应匀强磁场——均匀磁场弹簧秤——测力计铁氧体——磁性瓷体人造地球卫星——人造卫星汽化器——化油器无线寻呼机——BP机相线——火线中性线——零线音色——音品振动图象——振动曲线近代物理学之父、近代科学之父、实验物理学之父——伽利略·伽利雷现代物理学之父、相对论之父、近代光子学说之父、20世纪最伟大的科学家——阿尔伯特·爱因斯坦能称出地球质量的人——亨利·卡文迪许现代爱因斯坦——史蒂芬·威廉·霍金力学之父——阿基米德经典力学之父——艾萨克·牛顿声学之父——克拉尼核子科学之父——欧内斯特·卢瑟福电学中的牛顿——安德烈·玛丽·安培当今的艾萨克·牛顿、液晶之父——皮埃尔—吉勒·德·热纳实验电磁学之父——迈克尔·法拉第经典电动力学之父、电波之父——詹姆斯·克拉克·麦克斯韦现代磁学之父——范弗菜克激光之父——卡斯特勤量子论之父——马克斯·卡尔·恩斯特·路德维希·普朗克量子力学之父——尼尔斯·亨里克·大卫·玻尔原子弹之父——约翰·罗伯特·奥本海默氢弹之父——爱德华·特勒中国两弹元勋、两弹之父——邓稼先中国原子之父——钱三强中国氢弹之父、中子弹之父——于敏世界物理女王、原子弹之母、原子核物理的女王、中国居里夫人、物理科学的第一夫人、最伟大的实验物理学家——吴健雄波音747之父——乔·萨特巴基斯坦核弹之父——卡迪尔·汗左轮手枪之父——塞缪尔·柯尔特俄罗斯航空之父——茹可夫斯基现代航天之父、导弹之父——韦纳·冯·布劳恩火箭之父、宇航之父——齐奥科夫斯基火箭之王、中国导弹之父、中国航天之父——钱学森中国的居里夫妇——钱三强&何泽慧化学化学反应——化学变化氢氧化钠——烧碱、火碱、苛性钠稀有气体——惰性气体高岭土——瓷土硅酸盐材料——传统无机非金属材料二氧化硅——石英氧化铝——刚玉氧化铝陶瓷——人造刚玉硫酸钡——钡餐、重晶石氢氯酸——盐酸一氧化铅——密陀僧碳酸钠——苏打、纯碱碳酸氢钠——小苏打、焙烧苏打碳酸钙——石灰石氧化钙——生石灰氢氧化钙——熟石灰生命的杀手——活性氧生命的花朵——硒近代化学之父——约翰·道尔顿现代化学之父——安托万-洛朗·拉瓦锡炸药之父——阿尔弗雷德·贝恩哈德·诺贝尔中国近代化学之父——徐寿催化反应——接触反应实验式——最简式白磷——黄磷结晶水——水合水磷酸三钠——正磷酸钠、磷酸钠三聚氰胺——蜜胺生物学色盲——道尔顿症生理学之父——巴甫洛夫·伊凡·彼德罗维奇现代微生物之父——路易斯·巴斯德昆虫界的荷马、科学界诗——卡西米尔·法布尔现代免疫学之父——耶纳遗传学之父——格里戈尔·约翰·孟德尔杂交水稻之父——袁隆平杂交玉米之父——李登海生物防治之父——蒲蛰龙DNA电脑之父、生物电脑之父——雷纳德·阿德勒曼理论生物老化之父——奥布里·德格雷绿色革命之父——鲍劳格中国苹果之父——李善祥中国杨树之父——陈章水中国海带之父——曾呈奎中国降压表之父、国际降压表之父、国际保健表之父——郦志隆刺玫花、徘徊花、穿心玫瑰、金花——玫瑰花中西施——杜鹃花花中之王——牡丹百花魁首——梅花凌波仙——水仙花中月老——桂花花中君子——兰花荷花——莲花、芙蕖、水芝、水芙蓉、莲芙蓉、藕花、水旦、水芸、水华、泽芝、玉环、水花、荷华、扶蕖、芙蓉、菡萏、君子花、水莲花、草芙蓉、六月春、夫蓉、芰荷、水云、静客、静友、菡苕、美蕖、红蕖、溪客水梨子、鸽子树、鸽子花树——珙桐柏——百木之长植物中的熊猫、植物中的活化石——银杉豆中之王——大豆黄莺——黄鹂、黄鸟熊猫——猫熊，花猫，花熊，华熊，竹熊，花头熊，银狗，大浣熊，峨曲，杜洞尕，执夷，貊，猛豹，猛氏兽，食铁兽，大猫熊，熊猫，白熊，黑白猫，国宝中的“美人”鲤鱼——鲤拐子、鲤子哲罗鲑——者罗鱼、折罗鱼、哲绿鱼、大红鱼长江女神——白鳍豚高原精灵——藏羚羊东方宝石——朱鹮游牧民族——中华鲟长寿之神——丹顶鹤丛林之王——东北虎白头鹤——锅鹤、玄鹤田七——金不换地理生命的摇篮、资源的宝库——海洋洋流——海流马六甲海峡——海上生命线、东方十字路口冷气团——冷空气暖气团——暖空气锋面——锋区地质之父——赖尔中国地质之父——李四光山姆大叔、篮球王国、体育王国、棒球王国——美国钟表王国、世界花园、博物馆之国、欧洲乐园、欧洲的阳台——瑞士和平之城——阿斯塔纳千岛之国——印度尼西亚万湖之国、枫叶之国、冰球王国——加拿大玫瑰之国——保加利亚石油之国、浮在石油上的国家——科威特石油王国——沙特阿拉伯椰枣之国——伊拉克橡胶王国——马来西亚红茶之国——斯里兰卡稻米之国——锡金绵羊之国——新西兰水之国、花之国、牧场之国、风车之国、郁金香王国、低洼之国、花卉之国——荷兰咖啡之国、足球王国、人种的大熔炉——巴西世界动植物王国——西双版纳热带雨林自然保护区钢铁之国——卢森堡铜矿之国——智利椰子之国——菲律宾棉花之国——埃及啤酒之国——捷克黄金之国——南非白银之国、玉米的故乡、陆上桥梁、仙人掌之国——墨西哥白银之国——墨西哥、阿根廷绵羊之国、骑在羊背上的国家、坐在矿车上的国家、游泳王国——澳大利亚音乐之国、中欧花园——奥地利高山之国、亚洲山国、寺庙之国、神秘山国——尼泊尔花园之国、东方直布罗陀、狮城、花园城市国家、美丽果园、都市动物园——新加坡千佛之国、自由之国、白象之国、佛教之国、黄袍佛国——泰国华夏、瓷器之国、丝绸之国、乒乓球王国——中国樱花之国、日出之国、拉链王国、地震之国、酒徒天堂、醉人之国、钓鱼王国、亚高尔夫球王国、柔道王国、围棋王国——日本万塔之国、稻米之国——缅甸万象之国、印度支那屋脊——老挝东方石油之国——文莱孔雀之国——印度清真之国——巴基斯坦黄麻之国——孟加拉国山顶之国——锡金森林之国——不丹羊毛之国、寺庙之国——尼泊尔宝石之国、东方十字路口、印度洋的珍珠、印度洋的宝石、红茶之国——斯里兰卡花环之国、无猫之国、宫殿之岛、印度洋上的明珠——马尔代夫山之国——阿富汗油海七珍——阿拉伯联合酋长国沙漠之国——土库曼斯坦香肠之国、酒花之国——德国欧洲锯木场——瑞典渔业之国、半夜太阳国、万岛国——挪威无理发店之国——梵帝冈写信王国、网球王国——英国冰火之国——冰岛千湖之国——芬兰红土之国、钢铁王国、千堡之国、世界第七大金融中心、欧洲的绿色心脏——卢森堡袖珍国家、国中之国圣——马力诺地中海心脏——马耳他山鹰之国——阿尔巴尼亚众湖之国——马其顿世外桃源——列支敦士登软木之国——葡萄牙旅游王国——西班牙黄麻之国、池塘之国——孟加拉国东南亚的科威特——文莱黄铜之国、爱神之岛——塞浦路斯石油之国、金色的国家——科威特宫殿之国——也门畜牧之国、绿色花园之国——新西兰火山群岛、波利尼西亚的心脏和摇篮——西萨摩亚磷酸盐之国、无土之邦——瑙鲁南太平洋的十字路口——斐济欧洲的钥匙、橄榄之国——突尼斯磷酸盐王国——摩洛哥沙漠之国——利比亚金字塔之国、千塔之国——埃及火炉国、风暴国、世界火炉——苏丹高原之国、非洲屋脊、东非水塔——埃塞俄比亚钻石之乡——塞拉利昴花生之国——塞内加尔沙中之国——尼日尔河之国——冈比亚人类的摇篮、东非十字架、东南亚米仓——肯尼亚木材之国、绿色金子国、绿金之国——加蓬中非宝石、世界原料仓库——刚果民主共和国非洲宝石——安哥拉南部非洲粮仓——津巴布韦非洲之角、乳汁之乡、没药之乡——索马里油棕之国——贝宁龙虾之国——喀麦隆中非宝石、原料仓库——扎伊尔水乡之国——马拉维千丘之国、非洲的瑞士、常春之国——卢旺达香岛——科摩罗铜矿之国——赞比亚丁香之国、剑麻之乡——坦桑尼亚腰果之乡——莫桑比克牛的国度——博茨瓦纳印度洋门户的钥匙、印度洋上的明星——毛里求斯拉丁美洲的门道、黄金之国——哥伦比亚美洲花园、南北美洲野生动物的桥梁——哥斯达黎加火山国——萨尔瓦多加勒比的苏黎世——巴哈马珊瑚之国、西印度群岛的疗养院——巴巴多斯森林和泉水之国——牙买加世界甘蔗园——古巴香料之岛、太阳之岛、海上仙境——格林纳达石油之国——委内瑞拉玉米之国——秘鲁南美洲的帕米尔、南美洲屋脊、锡之国、捧着金饭碗的国家——玻利维亚赤道国——厄瓜多尔紫色国家、遍地牛羊的国家——乌拉圭铜矿之国、海角之国——智利林铝之国——苏里南英王皇冠上最亮的明珠——印度香蕉之国——洪都拉斯&巴拿马&巴西&厄瓜多尔和哥斯达黎加火山之国——日本&萨尔瓦多&危地马拉水球王国——匈牙利马球王国——巴基斯坦举重王国——保加利亚长跑王国、标枪王国——芬兰斗牛王国——西班牙滑雪王国——奥地利击剑王国——意大利手球王国——联邦德国曲棍球王国——巴基斯坦羽毛球王国——印度尼西亚金陵——南京海上粮仓、东方糖库、樟脑王国、水果之乡、东方甜岛——台湾奥林匹克之都——洛桑下诺夫哥罗德——高尔基市锡都——个旧市瓷都——景德镇桥都、山城、雾都——重庆石头城、六朝古都——南京中丘——嵩山世界八大奇迹——秦始皇兵马俑天下第一关——山海关七大古都——西安&洛阳&南京&北京&开封&杭州&安阳世外桃源——阳朔中国梅花鹿之乡、中国琵琶之乡、中国农民画之乡、中国二人转艺术之乡——辽源市神州第一集市——义乌拉萨——日光城成都——芙蓉城大庆——石油城广州——花城自贡——盐都宜兴——陶都抚顺——煤都哈尔滨——冰城义乌——小商品城永康——五金城井冈山——革命摇篮瑞金——红色首都益阳——竹城西昌——卫星城江津——柑橘之乡涪陵——榨菜之乡泸州——酒城深圳——鹏城无锡——小上海十堰——汽车城长沙——潭城漳州——果城咸宁——桂花之乡泉州——鲤城浏阳——花炮之乡怀化——油茶之乡福州——榕城自贡——盐城鞍山——钢都上杭——山歌之乡东川——铜都吴桥——杂技之乡鹤岗——煤城洛阳——牡丹城保康——木耳之乡南京——石头城东莞——游泳之乡济南——泉城西宁——石堡城平阳——矾都开封——河城上海——不夜城铜仁——汞都菏泽——牡丹之乡昆明——春城绍兴——蠡城承德——热河平阴——玫瑰之乡苏州——水城湘潭——锰都仙桃——体操之乡台山——排球之乡武汉——江城齐齐哈尔——鹤城金昌——镍都永定——烤烟之乡厦门——鹭城呼和浩特——青城潍坊——风筝城四川省——天府之国惠州——鹅城柳州——龙城聊城、泰州——凤凰城海南岛——椰子之乡许昌——烟城温州——鹿城曲靖——麒麟城梅县——足球之乡蚌埠——珠城瑞丽——小香港石狮——服装城扬州——芜城内江——甜城南昌——英雄城台湾——中国宝岛香港——东方之珠澳门——赌城煦园——四朝胜迹可可西里——世界第三极海滨邹鲁、文献名邦——莆田市纽约时报广场——世界的十字路口六盘水——凉都政治黑人之音——马丁·路德·金二十世纪人道精神划时代伟人、非洲之父——艾伯特·史怀哲平民总统——亚伯拉罕·林肯美国国父——乔治·华盛顿中国国父——孙中山中国并购之父——王巍中国民法之父——佟柔历史中国古代四大美女——貂蝉、西施、王昭君、杨贵妃西方历史之父——希罗多德戊戌变法——百日维新智慧的化身——诸葛亮中国红军之父——朱德龙将军——刘伯承走在时间前面的人——王崇伦县委书记的好榜样——焦裕禄当代焦裕禄——牛玉儒铁人——王进喜感恩天使、湖南的张海迪、中国的海伦·凯勒——李丽卢沟桥事变——卢沟桥事变西安事变——双十二事变《双十协定》——《政府与中共代表会谈纪要》艺术音乐之父——圭多交响曲之父——弗朗兹·约瑟夫·海顿圆舞曲之父——老约翰·施特劳斯摇滚之父——约翰·列侬钢琴诗人——弗雷德里克·肖邦音乐界的奥林匹克、钢琴界的诺贝尔——李云迪中国情歌王子——张信哲中国乐坛四大天王——张学友、郭富城、刘德华、黎明钢琴王子——理查德·克莱德曼中国流行音乐之父——黎锦晖中国交响乐之父——李德伦中国摇滚之父——崔健舞蹈魔术师——埃尔文·尼古莱现代艺术之父——保罗·塞尚纪录电影之父——尤里斯·伊文思现代戏剧之父——亨里克·约翰·易卜生香港电影大王——邵逸夫体育拼命三郎、摄影机杀手——阿泰斯特答案——阿伦·艾弗森小精灵——尼克·范·埃克塞尔甜瓜——卡梅罗·安东尼老橡树——查尔斯·奥克利糖果人——奥洛沃坎迪大梦——哈基姆·奥拉朱旺大鲨鱼——沙克·奥尼尔飞猪——查尔斯·巴克利得分机器——里克·巴里大怪物——比利·保茨白魔鬼、妖精——迈克·毕比大鸟——拉里·伯德小松鼠——伯格斯强盗——蒂尼·博格斯竹竿——肖恩·布拉德利小飞侠——科比·布莱恩特滑翔机——克莱德·德雷克斯勒基础、石佛——蒂姆·邓肯疯子——范埃尔塞尔小鱼——德约克·费舍尔老大、特权——史蒂夫·弗朗西斯铁人——AC·格林冰人——乔治·格文便士——安芬尼·哈德威甲虫——蒂姆·哈德威小偷——约翰·哈夫利切克面具人——理查德·汉密尔顿大本钟——本·华莱士怒吼天尊——拉希德·华莱士水牛——贾希迪·怀特关键先生——罗伯特·霍利发动机——贾森·基德蔗糖——迈克·基尔AK-47——安德列·基里连科阿根廷飞人——马努·吉诺比利天勾——克里姆·阿卜杜拉·贾巴尔阿票、狼王——凯文·加内特西班牙兔子——加索尔禅师——菲尔·杰克逊外星人——萨姆·卡塞尔UFO、加拿大飞人——文斯·卡特雨人——肖恩·坎普特别的K——拉里—肯阳狼王——加内特防守天才——比尔·拉斯尔防守天才、盖帽专家、指环王——比尔·拉塞尔绅士——雷·阿伦阿Q——坤廷·理查德森海军上将、五星上将——大卫·罗宾逊独狼——斯蒂芬·马布里震雷——丹·马杰勒手枪——皮特·马拉维奇骇客——马里恩长臂猿、超级玛莉——肖恩·马里昂邮差——卡尔·马龙孤独的勇士——摩西·马龙扣篮狂人——麦格特大睡魔——特雷·麦克格雷迪山羊——厄尔·麦尼考尔特Skip to my lou——拉夫·阿尔斯通终结者、大嘴、激情杀手——雷吉·米勒老猫——凯蒂诺·莫布利大佐——阿隆佐·莫宁上帝左手——穆林非洲大山——迪肯贝·穆托姆博助推器、风之子——纳什德国战车——德克·诺维斯基J博士——朱利叶斯·欧文酋长——罗伯特·帕里什手套——加里·佩顿真理——保罗·皮尔斯蝙蝠侠、野牛——斯科特·皮蓬王子——泰夏安·普林斯飞人——迈克尔·乔丹爆眼——波拜·琼斯蜘蛛人——约翰·塞利超级弹簧腿——桑普森雪花——斯诺狂人——拉贝尔·斯普雷维尔小霸王——阿马尔·斯塔达迈尔小飞鼠——达蒙·斯塔德迈尔将军——约翰·斯托克顿肆虐者——廷斯利微笑刺客——依赛亚·托马斯国王——克利斯·韦伯土豆——查尔斯·韦伯闪电侠——德怀恩·韦德人类电影精华——多米尼加·威尔金斯白巧克力——贾森·威廉姆斯**狗——杰罗姆·威廉姆斯大勺子——克莱伦斯·韦瑟斯庞教父——杰里·韦斯特红色巨人——比尔·沃顿眼睛蛇——沃西玻璃人——达蒙·希尔好孩子——格兰特·希尔迟到船长、蛇儿——詹姆斯·西拉斯世界屋脊——西佐年科小巨人——姚明大Z——伊尔戈斯卡斯帝国大厦、猩猩——帕特里克·尤因魔术师——埃尔文·约翰逊小将军——埃佛里·约翰逊大妈——拉里·约翰逊微波——威尼·约翰逊小皇帝——勒布朗·詹姆斯篮球皇帝、北斗星、高跷——韦尔特·张伯伦篮球之父——詹姆斯·奈史密斯鸟人——克里斯·安德森世界杯之父——儒勒斯·雷米特现代奥林匹克之父——勒巴龙·皮埃尔·德·顾拜旦体操王子——李宁跳水王子——秦凯美人鱼——刘子歌鞍马王——肖钦羽球皇后——谢杏芳经济技术知识——软件机器设备——硬件商业银行——存款银行最惠国待遇——无歧视待遇顺差——出超逆差——入超汇率——汇价世贸组织——经济联合国世界市场——国际市场政治经济学之父——威廉·配第实验经济学之父——弗农·史密斯发展经济学之父——张培刚金球推销员——塞斯科学管理之父——弗雷德里克·温斯洛·泰勒现代管理学之父——彼得·德鲁克法国政府中的二号人物——尼古拉·萨科奇其他近代心理学之父——比维斯本主义心理学之父——罗杰斯恒星天文学论之父——弗雷德里克·威廉·赫歇恐怖大亨——乌萨玛·本·穆罕默德·本·阿瓦德·本·拉登中国炮兵之父——朱瑞矿物之父——格奥尔格乌斯·阿格里科拉工业之父——詹姆斯·瓦特火车之父——乔治·史蒂芬孙发明大王、打开电气时代的领袖——托马斯·阿尔瓦·爱迪生汽车之父——卡尔·弗里德里希·本茨赛车之父——恩佐·法拉利飞机之父——维尔伯·莱特、奥维尔·莱特现代计算机之父——约翰·冯·诺依曼计算机科学之父、人工智能之父——阿兰·麦席森·图灵石油大王——阿曼德·哈默中国桥梁之父——茅以升中国钻探之父——刘广志中国营销之父——刘永炬中国汽车业之父——饶斌中国铁路之父——詹天佑中国石油之父——孙健初中国人造石油之父——赵宗燠中国光纤之父——赵梓森中国Internet 之父——钱天白中国3G之父——李世鹤闪盘之父——邓国顺中国博客之父——方兴东中国激光照排之父——王选中国D之父——李世鹤邮票之父——罗兰·希尔中国酒店业之父——卢鸿炳中国打工皇帝——唐俊中国儿科之父——诸福棠中国幼教之父——陈鹤琴中国环保之父——曲格平东方持国天王——多罗吒南方增长天王——毗琉璃西方广目天王——留博叉北方多闻天王——毗沙门（佛教）四大天王、四大金刚、护世四天王、风调雨顺——多罗吒&毗琉璃&留博叉&毗沙门祖国的花朵——孩子人类灵魂的工程师、园丁、蜡烛——教师城市美容师——环卫工人大地的美容师——园艺师白衣天使——医生人民卫士——人民警察东方诺贝尔奖——邵逸夫奖数学中的诺贝尔奖——菲尔兹奖天下第一爆——三峡三期上游围堰爆破水立方——理论物理学的杰作当代毕升——王选中华民族的摇篮、中国的母亲河——黄河中国的国饮——茶端午节——端阳节、午日节、五月节、艾节、端五、重午、午日、夏节天理教——八卦教。

第二章 整式的加减 训练题 (9)一、单选题1．杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术(1261》年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律．观察下列各式及其展开式：222332234432234554322345 ()2()33()464()510105a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b a b a a b a b a b ab b +=+++=++++=+++++=+++++⋯；请你猜想10()a b +展开式的第三项的系数是（ ）A ．36B ．45C ．55D ．662．通过观察下面每个图形的规律，得出第四个图形中y 的值是（ ）A ．12B ．12-C ．9-D ．153．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第15秒时，点P 的坐标是（ ）A ．（15，1）B ．（15，﹣1）C ．（30，1）D ．（30，﹣1）4．如图所示的图案是由小三角形按一定规律排列而成，依此规律，第n 个图中小三角形的个数为2011个，则n 为（ ）A ．668B ．669C ．670D ．6715．临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为4000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡(车费自付)，总人数达到x 名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少多少元？则根据题意可列代数式为（ ）A ．400040003x x -+B ．400040003x x -+C ．400040003x x --D ．400040003x x-- 6．下列计算正确的是( )A ．321a a -=B ．22232x y xy xy -=C ．224358a a a =+D ．32ax xa ax -= 7．下列化简错误的是（ ）A ．()22--=B ．()33-+=-C ．()44+-=-D ．55-= 8．下列结论正确的是（ ） A ．abc 的系数是0B ．1﹣3x 2﹣x 中二次项系数是1C ．﹣ab 3c 的次数是5D ．4223x y -的次数是5 9．某淘宝店家为迎接“双十一”抢购活动，在甲批发市场以每件a 元的价格进了40件童装，又在乙批发市场以每件b 元（a ＞b ）的价格进了同样的60件童装．如果店家以每件2a b +元的价格卖出这款童装，卖完后，这家商店（ ） A ．盈利了B ．亏损了C ．不赢不亏D ．盈亏不能确定10．关于单项式243xy ，下列说法正确的是（ ） A ．系数为4，次数为2；B ．系数为4，次数为3；C ．系数为43，次数为2；D ．系数为43，次数为3. 11．观察下列的排列规律，其中（●是实心球，○是空心球）●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2011个球上，共有实心球（ ）A ．602个B ．604个C ．605个D ．606个12．单项式3425ab -的系数是（ ） A ．85- B ．85 C ．25- D ．25二、填空题13．观察下列数据: 2-，52，103-，174，265-，……它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________________。

为什么中国人数学这么牛却几乎没有中国人发现的数学定理？以中国人姓名命名的数学成果1.刘徽原理、刘徽割圆术：魏晋时期数学家刘徽提出了求多面体体积的理论，在数学史上被称为“刘徽定理”；他发现了圆内接正多边形的边数无限增加，其周长无限逼近圆周长，创立了“刘徽割圆术”.2.祖率：南北朝数学家祖冲之将π计算到小数点后第七位，比西方国家早了1000多年.被推崇为“祖率”.3.祖暅原理：祖冲之之子祖暅提出了“两个几何体在等高处的截面积均相等，则两体积相等”的定理，该成果领先于国外2000多年，被数学界命名为“祖暅原理”.4.贾宪三角：北宋数学家贾宪提出“开方作法本源图”是一个指数是正整数的二项式定理的系数表，比欧洲人所称的“巴斯卡三角形”早六百多年，该表称为“贾宪”三角.5.秦九韶公式：南宋数学家秦九韶提出的“已知不等边三角形田地三边长，求其面积公式”，被称为“秦九韶”公式.6.杨辉三角：南宋数学家杨辉提出的“开方作法本源”，后又称“乘方术廉图”，被数学界命名为“杨辉三角.”7.李善兰恒等式：清代数学家李善兰在有关高阶差数方面的著作中，为解决三角自乘垛的求和问题提出的李善兰恒等式，被国际数学界推崇为“李善兰恒等式”.8.华氏定理、华—王方法：1949年，我国著名数学家华罗庚证明了“体的半自同构必是自同构自同体或反同体”.1956年阿丁在专著《几何的代数》中记叙了这个定理，并称为“华氏定理”.此外，他还与数学家王元于1959年开拓了用代数论的方法研究多重积分近似计算的新领域，其研究成果被国际誉为“华—王方法.”9.胡氏定理：我国数学家胡国定于1957年在前苏联进修期间，关于数学信息论他写了三篇论文，其中的主要成就被第四届国际概率论统计会议的文件汇编收录，并被誉为“胡氏定理”.10.柯氏定理：我国数学家柯召于20世纪50年代开始专攻“卡特兰问题”，于1963年发表了《关于不定方程x2－1=y》一文，其中的结论被人们誉为“柯氏定理”,另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被称为“柯—孙猜测”.11.王氏定理：西北大学教授王戍堂在点集拓扑研究方面成绩卓著，其中《关于序数方程》等三篇论文，引起日、美等国科学家的重视，他的有关定理被称为“王氏定理”.12.陈氏定理：我国著名数学家陈景润，于1973年发表论文，把200多年来人们一直未能解决的“哥德巴赫猜想”的证明推进了一大步，现在国际上把陈景润的“1+2”称为“陈氏定理”.13.侯氏定理：我国数学家侯振挺于1974年发表论文，在概率论的研究中提出了有极高应用价值的“Q过程惟一性准则的一个最小非负数解法”，震惊了国际数学界，被称为“侯氏定理”，他因此荣获了国际概率论研究卓越成就奖——“戴维逊奖”.14.杨—张定理：从1965年到1977年，数学家杨乐与张广厚合作发表了有关函数论的重要论文近十篇，发现了“亏值”和“奇异方向”之间的联系，并完全解决了50年的悬案——奇异方向的分布问题，被国际数学界称为“杨—张定理”或“扬—张不等式”.还有'侯氏制碱法'——在本世纪30年代,中国化学家侯德榜首创了联合制碱法。