结点分析法及割集分析法

节点分析法1、结点分析方程【结点电位】在有n个结点的电路中，任选一个结点为参考结点，其余各结点至参考结点的电压称为该结点的结点电位。

【结点分析法】以结点电位为待求变量，将各支路电流用结点电位表示，列写除了参考结点以外其他所有结点的KCL 方程，求得结点电位后再确定其他变量的电路分析方法，称为结点分析法，简称结点分析法。

【结点分析方程的列写步骤】（1）选取参考结点，假定其余n-1个独立结点的结点电位。

（2）列写n-1个独立结点的KCL方程，方程中的各支路电流用结点电位表示。

（3）求解方程，得到结点电位。

（4）通过结点电位确定其他变量。

【例3-1-1】对图3-1-1所示电路列写结点方程。

解：设结点④为参考结点，并令独立结点①、②、③电压分别设为、、。

分别列写结点①、②、③的KCL方程如下。

为得到以结点电位为未知变量的电路方程，用结点电位表示各支路电流，即有将上述各式代入KCL方程，得到结点方程整理得【结点自电导】矩阵中对角线元素是与结点①所有相联支路电导之和，对角线元素，分别是结点②、③的所有相联支路电导之和。

对角线元素称为结点自电导。

【结点互电导】非对角线元素，如第一行、第二列元素，是结点①、②之间公共支路电导之和的负值，其余非对角线元素也满足相似的规律，称为结点互电导。

【结点等效电流源】等式右边是流入各结点的电流源，包括电压源通过戴维宁支路变换为诺顿支路所得的等效电流源，之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。

2、结点方程的视察列写【结点方程的一般形式】对具有n个结点的电路，其结点方程可写为如下矩阵形式：或写成矩阵形式其中：结点自电导＝与结点i相联的所有支路电导之和，恒是为正值。

结点互电导＝结点k、j之间公共支路的电导之和的负值，对于不含受控电源的电路，结点互电导恒是为负值或为零。

结点等效电流源＝结点i相联的电流源、包括由电压源等效转换而来的电流源之电流的代数和，流入结点取正值，反之取负值。

第三章电阻电路的一般分析◆重点：1、支路法2、节点法3、网孔法和回路法◆难点：1、熟练掌握支路法、网孔法和割集分析法的计算思路，会用这几种方法列写电路方程。

2、熟练地运用节点法和回路法分析计算电路。

3-1 电网络中的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。

其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。

1．支路——Branch流过同一个电流的电路部分为一条支路。

2．节点——node三条或者三条以上支路的汇集称为节点。

4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。

6．回路——loop电路中的任意闭合路径，称为回路。

8．网孔——mesh一般是指内网孔。

平面图中自然的“孔”，它所限定的区域不再有支路。

例如：在下图中，支路数6，节点数4，网孔数3，回路数79．树一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。

树中的支路称为“树支”——tree branch，图G中不属于T 的其他支路称为“连支”——link，其集合称为“树余”。

一个连通图的树可能存在多种选择方法。

10．基本回路只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。

树一经选定，基本回路唯一地确定下来。

对于平面电路而言，其全部网孔是一组独立回路。

3-2 2B 法与1B 法3.2.1 支路法（2B 法）介绍1．方法概述以支路电压和支路电流作为变量，对节点列写电流（KCL ）方程，对回路列写电压（KVL ）方程，再对各个支路写出其电压电流关系方程，简称支路方程。

从而得到含2b 个变量的2b 个独立方程。

又称为“2b 法”。

2．思路由上述方法可见，“2b 法”实际上清晰地体现了求解电路的两个不可或缺的方面，即电路的解一是要满足网络的拓扑约束，二是要满足电路中各个元件的伏安关系约束。

3．方程结构b 个支路方程，)1(-n 个电流（KCL ）方程，))1((--n b 个电压（KVL ）方程。

《电路理论》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：电路理论英文名称：Circuit Theory课程类别：学科基础课学时：90学分：4.5适用对象: 电子信息工程本科生考核方式：考试先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《复变函数》、《大学物理》二、课程简介中文简介：本课程将覆盖以下内容：电子电路的基本原理、电路元件、基本电路定律（欧姆定律，基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律）；电子元器件的的串连和并联；运算放大器；网络理论；节点分析法和网孔分析法；一阶电路（RC 电路或RL电路）和二阶电路（RLC电路）的普通信号、阶跃信号及单音信号的响应特性的分析；矢量分析法；并介绍计算机电路仿真的相关知识。

英文简介：This course will cover: fundamental electrical circuit quantities, and circuit elements; circuits laws (Ohm law and Kirchhoff voltage and current laws); series and parallel connections of circuit elements; operational amplifiers; network theorems; nodal and mesh analysis methods; analysis of natural, step response, and response to sinusoidal input of first (RC and RL) and second order (RLC) circuits; phasor analysis; introduction to computer emulation to electrical circuit.三、课程性质与教学目的本课程是电子信息工程等专业的一门重要技术基础课，它是研究电路理论的入门课程，着重讨论集中参数、线性、非时变电路。

电路等效：如果电路N1和电路N2具有完全相同的端口伏安关系，则称N1和N2互为等效电路。

（一）支路电流法：以支路电流为未知量，列出独立的KCL，KVL方程组，解方程以求得各支路的电流，再根据支路特性求得所需要的电压，功率等，这种分析电路的方法称作支路电流法。

解题一般步骤：1.在电路图上标出设定的各支路电流及其参考方向；2.对（n-1)个独立节点，根据KCL列出KCL方程；3.对（b-n+1)个独立回路（一般选网孔），根据KVL列出KVL方程；4.联立列出的KCL和KVL方程，求解出支路电流；（二）网孔电流法：以网孔电流为未知量，根据KVL列出网孔电压方程（∑U=0),再根据已求得的网孔电流与支路电流的关系求解支路电流。

这种分析电路的方法称为网孔电流法。

解题一般步骤：1.首先在电路图中，标出网孔电流及其参考方向。

通常设网孔电流的方向均为顺时针（或逆时针），使网孔方程中互电阻均取“—”号，便于记忆；2.观察电路，直接列出网孔方程；3.求解网孔方程，得到各网孔电流；4.根据支路电流与网孔电流的关系，可求得各支路电流。

支路电流与网孔电流方向相同的取正，方向相反取负；5.由支路的伏安特性，可计算出各支路上的电压；(三）节点电压法：以节点电压为未知量，将各支路电流用节点电压表示，列出（n-1)个KCL 方程，求出各节点电压，进而求得各支路电压，电流和功率，这种分析电路的方法称作节点电压法。

解题一般步骤：1.指定连通电路中任一节点为参考节点，用接地符号表示。

标出各节点电压，其参考方向总是独立节点为“+”，参考节点为“—”；2.标出n个节点，用观察法列出（n-1)个节点方程；3.求解节点方程，得到各节点电压；4.选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电流和支路电压；（四）回路分析法：以回路电流为未知量，根据KVL列出独立的回路电压方程，然后联立求得回路电流，进而求出各支路电流，电压和功率，这种分析电路的方法称作回路分析法。

§3-6 割 集 分 析 法一、割集与基本割集1）、割集 割集是支路的集合，它必须满足以下两个条件： （1） 移去该集合中的所有支路，则图被分为两部分。

（2） 当少移去该集合中的任何一条支路，则图仍是连通的。

需要说明的是，在移去支路时，与其相连的结点并不移去。

图G 是一个连通图，如图3－26(a)所示，支路集合{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}均为图G 割集。

将以上割集的支路用虚线表示，分别如图3－26(b)、(c)、(d)所示，不难看出，去掉虚线支路后，各图均被分成了两部分，但是图3－26 图G 及其割集(a)(b)(c)(d)只要少去掉其中的一条虚线支路，图仍然是连通的，故满足割集所要求的条件。

而支路集合{1，5，4，6}、{1，2，3，4，5}不是图G 的割集。

将集合中的支路用虚线表示后如图3－27(a)和(b)所示。

对于图3－27(a)来说，移去支路1、5、4、6后，图虽说被分为两部分（结点①为其中的一部分），但如不移去支路5，图仍被分为两部分；而对于图3－27(b)来说，将支路1、2、3、4、5移去后，图则被分成了三部分，故以上两种支路集合不是割集。

2）、作高斯面确定割集在图G 上作一个高斯面（闭合面），使其包围G 的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G 将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G 的一个割集。

在图G 上画高斯面（闭合面）C 1、C 2、(a)(b)图3－27 非割集说明①②③①②C 3如图3－28所示，对应割集C 1、C 2、C 3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。

3）、基本割集基本割集又称单树支割集，即割集中只含一条树支，其余均为连支。

如选支路1、5、3为树支，如图3－29所示，则割集C 1，C 2，C 3为基本割集，基本割集的方向与树支的参考方向一致。

当树选定后，对应的基本割集是唯一确定的。

§3-6 割 集 分 析 法一、割集与基本割集1）、割集 割集是支路的集合，它必须满足以下两个条件： （1） 移去该集合中的所有支路，则图被分为两部分。

（2） 当少移去该集合中的任何一条支路，则图仍是连通的。

需要说明的是，在移去支路时，与其相连的结点并不移去。

图G 是一个连通图，如图3－26(a)所示，支路集合{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}均为图G 割集。

将以上割集的支路用虚线表示，分别如图3－26(b)、(c)、(d)所示，不难看出，去掉虚线支路后，各图均被分成了两部分，但是图3－26 图G 及其割集(a)(b)(c)(d)只要少去掉其中的一条虚线支路，图仍然是连通的，故满足割集所要求的条件。

而支路集合{1，5，4，6}、{1，2，3，4，5}不是图G 的割集。

将集合中的支路用虚线表示后如图3－27(a)和(b)所示。

对于图3－27(a)来说，移去支路1、5、4、6后，图虽说被分为两部分（结点①为其中的一部分），但如不移去支路5，图仍被分为两部分；而对于图3－27(b)来说，将支路1、2、3、4、5移去后，图则被分成了三部分，故以上两种支路集合不是割集。

2）、作高斯面确定割集在图G 上作一个高斯面（闭合面），使其包围G 的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G 将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G 的一个割集。

在图G 上画高斯面（闭合面）C 1、C 2、(a)(b)图3－27 非割集说明①②③①②C 3如图3－28所示，对应割集C 1、C 2、C 3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。

3）、基本割集基本割集又称单树支割集，即割集中只含一条树支，其余均为连支。

如选支路1、5、3为树支，如图3－29所示，则割集C 1，C 2，C 3为基本割集，基本割集的方向与树支的参考方向一致。

当树选定后，对应的基本割集是唯一确定的。

图论中的割集算法设计与分析在图论中，割集（Cut Set）是指将图的顶点集合分成两个不相交的子集，使得其中一个子集与剩余部分构成一个切割。

割集算法是一种用于寻找割集的方法，它在诸多领域中都有广泛的应用。

本文将对割集算法的设计与分析进行探讨。

一、割集算法的概述割集算法的目标是寻找图中的最小割集，即将图划分成两个子图，并且割集中的边数最少。

最常用的割集算法是基于图的最大流最小割定理的Ford-Fulkerson算法。

该算法通过不断增加流量来找到切割，直到无法再增加为止。

然而，该算法在实践中的效率并不高，因此人们提出了许多改进的割集算法。

二、割集算法的设计1. Stoer-Wagner算法Stoer-Wagner算法是一种启发式算法，它通过迭代地计算图的最小割来找到割集。

该算法的基本思想是将图中的所有顶点分为两个集合，然后计算两个集合之间的最小割。

重复此过程，每次都将最小割的集合合并，直到只剩下一个顶点为止。

最后得到的割集即为图的最小割集。

2. Kernighan-Lin算法Kernighan-Lin算法是一种以贪心策略为基础的割集算法。

该算法的主要思想是通过不断地交换顶点，使得交换后的两个子图之间的割集权重最小。

算法的具体步骤如下：（1）初始时，将图的顶点随机分为两个子集。

（2）计算两个子集之间的割集权重。

（3）选择两个子集中的一个顶点v，将其从一个子集中移动到另一个子集中，并计算割集权重的变化量。

（4）重复步骤（3），直到无法得到更优的割集权重为止。

三、割集算法的分析1. 时间复杂度割集算法的时间复杂度与算法的设计有关。

对于Ford-Fulkerson算法，其时间复杂度为O(E * F)，其中E是图中的边数，F是最大流的值。

而对于启发式算法如Stoer-Wagner算法和Kernighan-Lin算法，其时间复杂度通常为O(V^3)或O(V^4)，其中V是图中的顶点数。

2. 空间复杂度割集算法的空间复杂度主要取决于图的表示方法。

“电路分析基础”教材各章小结第一章小结：1.电路理论的研究对象是实际电路的理想化模型，它是由理想电路元件组成。

理想电路元件是从实际电路器件中抽象出来的，可以用数学公式精确定义。

2.电流和电压是电路中最基本的物理量，分别定义为电流tqidd=，方向为正电荷运动的方向。

电压qwudd=，方向为电位降低的方向。

3.参考方向是人为假设的电流或电压数值为正的方向，电路理论中涉及的电流或电压都是对应于假设的参考方向的代数量。

当一个元件或一段电路上电流和电压参考方向一致时，称为关联参考方向。

4.功率是电路分析中常用的物理量。

当支路电流和电压为关联参考方向时，ui p=；当电流和电压为非关联参考方向时，uip-=。

计算结果0>p表示支路吸收（消耗）功率；计算结果<p表示支路提供（产生）功率。

5.电路元件可分为有源和无源元件；线性和非线性元件；时变和非时变元件。

电路元件的电压-电流关系表明该元件电压和电流必须遵守的规律，又称为元件的约束关系。

（1）线性非时变电阻元件的电压-电流关系满足欧姆定律。

当电压和电流为关联参考方向时，表示为u=Ri；当电压和电流为非关联参考方向时，表示为u=－Ri。

电阻元件的伏安特性曲线是u-i平面上通过原点的一条直线。

特别地，R→∞称为开路；R＝0称为短路。

（2）独立电源有两种电压源的电压按给定的时间函数u S(t)变化，电流由其外电路确定。

特别地，直流电压源的伏安特性曲线是u-i平面上平行于i轴且u轴坐标为U S的直线。

电流源的电流按给定的时间函数i S(t)变化，电压由其外电路确决定。

特别地，直流电流源的伏安特性曲线是u-i平面上平行于u轴且i轴坐标为I S的直线。

（3）受控电源受控电源不能单独作为电路的激励，又称为非独立电源，受控电源的输出电压或电流受到电路中某部分的电压或电流的控制。

有四种类型：VCVS、VCCS、CCVS和CCCS。

6.基尔霍夫定律表明电路中支路电流、支路电压的拓扑约束关系，它与组成支路的元件性质无关。