2.3 数学归纳法备课人：王宏伟年级组：高二课题内容 2.3 数学归纳法教材分析数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具，本节课是数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题。
学情分析学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中），但学生只是停留在认知阶段，对问题本质没有作更进一步的研究。
另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。
教学目标：1.知识与技能：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；（2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
2.过程与方法：（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。
3.情感态度与价值观：通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握；教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教辅资源导学案课时安排：1课时教学方法：讲授法，引导发现法，合作探究法。
教学手段：准备计算机、投影仪、多媒体课件等，多媒体辅助教学教学过程一．创设情景，引出课题1、复习旧知，铺垫新知：（1）不完全归纳法：今天早上，我曾疑惑，怎么贵中（贵池中学）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。
于是我得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：同学们，我这里有一个火柴盒，里面共有五根火柴，我抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问我怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。
2.3 数学归纳法问题导学一、用数学归纳法证明等式 活动与探究1(1)用数学归纳法证明对任何正整数n 有 13＋115＋135＋163＋…＋14n 2－1＝n 2n ＋1． (2)用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 迁移与应用1．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N )，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．12n ＋1B ．12n ＋2C ．12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋22．用数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24(n ∈N *)． 名师点津应用数学归纳法的两个要点：(1)第一步验证是证明的基础，第二步递推是证明的关键，有一无二是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，递推就失去了基础，结论同样不可靠．即二者缺一不可． (2)在推证当n ＝k ＋1时命题也成立时，必须使用n ＝k 时的结论(即归纳假设)，否则就不是数学归纳法．二、用数学归纳法证明不等式 活动与探究2(1)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n ＞n (其中n ∈N *，n ＞1)． (2)若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论． 迁移与应用1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，且n ＞1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12＜2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n (n ≥2，n ∈N *)．名师点津运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，(1)中在第②步的证明过程中，运用了两种方法，方法1是利用了比较法，而方法2则是利用了放缩法．在实际证明中要结合不等式的具体情况灵活选用．三、用数学归纳法证明整除问题 活动与探究3用数学归纳法证明f (n )＝3×52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N *)能被17整除．迁移与应用1．用数学归纳法证明32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．2．证明：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *．名师点津用数学归纳法证明整除性问题时，证明n ＝k ＋1时成立是关键，将n ＝k ＋1时的被除式凑成一部分能利用归纳假设，另一部分能被除式整除的形式．证明整除性问题的关键是“凑项”，常采用的手段有增项、减项、拆项和因式分解等． 四、归纳、猜想、证明 活动与探究4在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ． (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．迁移与应用1．数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，写出S 2，S 3，S 4，由此猜想S n ＝__________． 2．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式． 名师点津(1)由已知条件首先计算数列{a n }的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列{a n }的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．(2)在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的方法，例如活动与探究4中求a 2，a 3的过程与方法实际就是证明的第②步中采用的方法． 当堂检测1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A ．1 B ．1＋3 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋42．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( )A．1 B．1或2 C．1,2,3 D．1,2,3,43．已知1111133557(21)(21)nSn n=++++⨯⨯⨯-+，则S1＝__________，S2＝__________，S3＝__________，S4＝__________，猜想S n＝__________．4．用数学归纳法证明1111+2321nn+++<-(n∈N，且n＞1)，第二步证明从“k到k＋1”，左端增加的项数是________．5．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数(1)()2n nf n-=．参考答案问题导学活动与探究1思路分析：(1)根据数学归纳法证明步骤进行，注意由n＝k到n＝k＋1时的(2)要注意用数学归纳法证明n 的第一个取值不是1，而是2． 证明：(1)①当n ＝1时，左边＝13，右边＝12＋1＝13，∴等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＝k2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＋14(k ＋1)2－1 ＝k 2k ＋1＋14(k ＋1)2－1＝k 2k ＋1＋1(2k ＋3)(2k ＋1)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋3)(2k ＋1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)(2k ＋1)＝k ＋12(k ＋1)＋1． ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②知等式对任何正整数n 都成立．(2)①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立． 迁移与应用 1．【答案】D【解析】 f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2．2．证明：(1)当n ＝1时，左边＝13＝1，右边＝12×224＝1，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即13＋23＋33＋…＋k 3＝k 2(k ＋1)24， 则当n ＝k ＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝k 2(k ＋1)24＋(k ＋1)3＝(k ＋1)2·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)＋k 24＝ (k ＋1)2·k 2＋4k ＋44＝(k ＋1)2·(k ＋2)24，∴当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知原等式成立．活动与探究2 思路分析：(1)按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论． (2)先从特例入手探求正整数a 的最大值，再用归纳法证明． (1)证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1k ＋1． (方法1)由于⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －k k ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1， 即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． 即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立．(2)解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624，令2624＞a24⇒a ＜26，且a ∈N *，所以取a ＝25．下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524． ①n ＝1时，已证结论正确． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝⎛⎭⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎡⎦⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)． 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8＞6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝6(k ＋1)9(k ＋1)2＝23(k ＋1)，所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＞0，所以1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1＞2524，即n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524．故a 的最大值为25． 迁移与应用 1．【答案】B2．证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12．∵14＜12，∴不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k ． 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＜1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2＜1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1．∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．活动与探究3 思路分析：在应用归纳假设时通过添项，减项方法，凑出含有17的因数． 证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23，所以f (1)能被17整除．(2)假设当n ＝k 时，命题成立， 即f (k )＝3×52k ＋1＋23k＋1能被17整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3×52k ＋3＋23k ＋4 ＝52×3×52k ＋1＋52×23k ＋1－52×23k ＋1＋23k ＋4 ＝25f (k )－17×23k ＋1，由假设知，f (k )能被17整除，且17×23k＋1显然可被17整除，故f (k ＋1)能被17整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除． 迁移与应用1．证明：(1)当n ＝1时，34－8×1－9＝64，能被64整除， ∴当n ＝1时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，32k ＋2－8k －9能被64整除． 则当n ＝k ＋1时， 32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9·32k ＋2－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋72k ＋81－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋64k ＋64＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)． ∵32k ＋2－8k －9与64(k ＋1)都能被64整除， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，原命题都成立．2．证明：(1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立． (2)假设当n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋ (a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1．由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，对任意n ∈N *命题都成立．活动与探究4 思路分析：此题属探索性问题，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明． 解：(1)由S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1．因为a n ＞0， 所以a 1＝1．S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2， 得a 22＋2a 2－1＝0，又因为a n ＞0，所以a 2＝2－1． S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－2． (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)． 数学归纳法证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0．又因为a n ＞0，所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，对n ∈N *，a n ＝n －n －1． 迁移与应用 1．【答案】2n －12n －1【解析】由已知得2S n ＋1＝S n ＋2S 1， 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1，∴S 2＝32；当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1，∴S 3＝74；当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1，∴S 4＝158．猜想S n ＝2n －12n －1．2．解：当n ＝1时，由(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得a 1＝1． 当n ＝2时，将a 2＝6代入(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·(a n －1)，得a 3＝15． 同理可得a 4＝28．将a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28分别代入b n ＝a n ＋n ， 得b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32， 由此猜想b n ＝2n 2．要证b n ＝2n 2，可证a n ＝b n －n ＝2n 2－n ． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，前面已求得a 1＝1， 所以猜想正确．(2)假设当n ＝k 时，a k ＝2k 2－k (k ∈N *)成立， 由已知(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝k ＋1k －1(a k －1)＝k ＋1k －1(2k 2－k －1)＝k ＋1k －1(2k ＋1)(k －1)＝(k ＋1)(2k ＋1)＝2(k ＋1)2－(k ＋1)， 所以当n ＝k ＋1时，a n ＝2n 2－n 成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 2－n 都成立． 所以{b n }的通项公式为b n ＝2n 2． 当堂检测 1．【答案】C 2．【答案】C【解析】逐个代入验证． 3．【答案】13 25 37 49 21nn + 【解析】分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝21nn +． 4．【答案】2k【解析】当n ＝k 时左端为1111+2321k+++-， 当n ＝k ＋1时左端为11111111+232122121k k k k ++++++++-+-，故增加的项数为2k项．5．证明：(1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个． 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k ＞2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对n∈N*(n≥2)命题都成立．。
