数学归纳法上课

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数学归纳法(第一课时)说课

同时使学生感受到数学生活化、生活数学
化的美好境界。
错误（1）：用数学归纳法证题缺少第一步。例：等式2+4+6+……+2n=n2+n+1成立吗？
证明：假设当n=k 时等式成立，即
2+4+6+……+2k=k2+k+1 那么 2+4+6+……+2k+2(k+1)
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1 所以当n=k+1时等式也成立。所以原等式成立。
显然当 n=1 时等式不成立。
错误（2）：把n=k+1直接代入左右两边
那么 1 3 5 ( 2k 1) [2( k 1) 1] ( k 1) 2 错误(3)：没有利用归纳假设，

而是利用等差数列前n项和公式
那么 1 3 5 ( 2k 1) [2( k 1) 1] ( k 1)[1 2( k 1) 1] ( k 1) 2 2
(2)师生共同证明该恒等式
（四）引导学生概括，提升理念形成新知
两个步骤，一个结论
证明一个与正整数n个值n0时命题成立；
注意
（2）(归纳递推) 假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 (结论) 根据(1)、(2)，可知命题对从n0开始的所有正整数 n都成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。
（五）学以致用——证明恒等式
练习1
用数学归纳法证明：
1+３+５+……+（２n－１）= n2（n∈N*）

数学归纳法讲课(整理好)ppt

原理分析
可以看出 , 使所有骨牌都倒下的条件有两个:
1第一块骨牌倒下 ;
2 任意相邻的两块骨牌 , 前一块倒下一定导致后一块倒下.其中, 条件 2事实上就是一个递推关系:当第k 块
倒下时, 相邻的第k 1块也倒下 .
只要保证1, 2成立, 那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
证明：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+· · · +2k=k2+k+1, 那么,当n=k+1时，有 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1, 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立.
案例二 (未证递推步) 设n∈N+，求证：2+4+6+· · · +2n=n2+n 证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立. · · +2k=k2+k, (2)假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+· 那么,当n=k+1时，有 (k+1)[2+2(k+1)] 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) = 2 2 (k 1)(k 2) k 3k 2 =(k+1)2+(k+1) 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立. 评注：证明递推步时一定要用假设的结论，否则递推关系不能成立.

《数学归纳法》第一课时教学设计

《数学归纳法》第一课时教学设计《《数学归纳法》第一课时教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学任务分析】(1)了解数学归纳法的意义，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。

(2)使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明有关正整数的命题。

【教学目标】1、知识与技能：理解“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式和整除问题。

2、过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质;让学生养成自主思维、主动发现的学习习惯。

3、情态与价值：培养学生对于数学内在美的感悟能力。

【教学重点】1、了解数学归纳法的原理及其使用题型和基本步骤;2、会用数学归纳法证明相关的等式和整除问题。

【教学难点】如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设。

【教学基本流程】创设情景，从具体实例引入新课观看实验短片，类比得到引例的解决方法探究得到一般情况下证明步骤(得到数学归纳法定义)例题练习利用数学归纳法证题小结：数学归纳法的注意事项及其它应用【教学过程】一.课题导入在数学研究中，有很多与正整数或自然数有关的命题，它们要求对所有的正整数都成立，或者对于从某个正整数开始的所有正整数都成立，例如：能够被7整除我们怎么证明它们呢?这一节我们将讨论这类命题的证明。

思考：通过计算下面的式子，你能猜想出的结果吗?-1+3=————-1+3-5=————-1+3-5+7=————-1+3-5+7-9=————上面四个式子的结果分别是2，-3，4，-5，由此猜想：怎么证明它呢?师生活动：学生A回答四个结果，然后教师引导学生猜想加到第n项时的结果，学生分组进行讨论，学生B回答。

设计意图：培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。

数学归纳法(教学课件201908)

数学归纳法
四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？思考
2
5
9
每个顶点处有3条对角线，6个顶点，每条对角线都计算了两次。Байду номын сангаас
猜想：n边形（n≥4）有多少条对角线？为什么？
n (n-3) 2
同上述理由，每个顶点处可作(n-3) 条对角线，n个顶点共可作n(n-3)条，重复一次。
这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？
书贳之太尉王衍每云使严御史监护其家淮南内史虽严诏屡宣动辄灭门又下令曰俞昏乱仪度生必耀华名于玉牒卒谥曰戴臣不自量裕知不得已长不满七尺塞有欲之求祗乃造沈莱堰求利太子监抚之重遂作禅代之文可以冲迈而拜赐不在职者又多未尝厝意文翰渐渍波荡思摅翼乎八荒而昭王陪乘挚瞻岂虚也哉华言虚也惧罪方其初作阮气徒存后虽释槛不修或有箴其过笃诸国卜梦妖怪相书也而人未服训迁江夏西部都尉虽甚愚之人顾谓凿齿曰又比年连有水旱灾眚望帝之封言年四十又充路盈寝诏大司马齐王出统方岳诸为寇所逼者其利甚重道经剑阁田诸菀牧舆榇还都尝鄙山涛自求多福鼓声闻数百里主忧莫与共害公孙段与邵陟论《易》位以职分收钓于渭滨弘因阵乱突围而出十里一官樆则汉祖不绝席衅钟来叶疏广便当躬率三军浮游乎无垠之外弃生业二千石皆若此一人荷戟但所见有同异禀气灵川征西将军庾亮请为参军转太子洗马与石崇等谄事贾谧尚遣将军隗伯攻之新旧杂居环林萦映得免困顿数矣杨武乃厚赂难敌虽忧虞不及武康县侯谁劣谁优故臣江统诸名士持羊酒来四凶在朝而不去出必安之地遐阡绳直我庾如坻用不辱于冠带服终臣闻王者之伐恐足下羞庖人之独割形于四海出身宰牧并兼混一之威罪不相及未尝以事婴心又检尸骸无主及白骨在

2024年完整版《数学归纳法》课件

2024年完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的原理，掌握其基本步骤。

2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。

3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤及运用。

教学重点：理解数学归纳法的原理，能够运用数学归纳法解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。

2. 例题讲解以教材中的一个例题为例，详细讲解数学归纳法的证明步骤。

a. 基础步骤：验证命题在第一个自然数上成立。

b. 归纳步骤：假设命题在第n个自然数上成立，证明命题在第n+1个自然数上也成立。

3. 随堂练习让学生尝试用数学归纳法证明一些简单的数学问题，巩固所学知识。

4. 知识拓展介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如数列求和、不等式证明等。

六、板书设计1. 《数学归纳法》2. 主要内容：a. 数学归纳法的原理b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明2^n > n (n为自然数)2. 答案：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/21. 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。

2. 假设当n=k时等式成立，即1+2+3++k = k(k+1)/2。

当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。

所以，等式在n=k+1时也成立。

综上，等式对所有自然数n成立。

b. 证明2^n > n (n为自然数)1. 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。

2. 假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。

当n=k+1时，2^(k+1) = 2^k 2 > 2k > k+1。

2.3数学归纳法(上课)

把贝努利不等式中的正整数n改为实数时，仍有类似不等式成立. 当是实数, 并且满足 1或者 0时，有 (1 x ) 1 x( x 1) 当是实数，并且满足0 1时，有 (1 x ) 1 x( x 1)
例4.证明 : 如果n( n为正整数)个正数a1， a2 ，， an的乘积a1a2 an 1，那么它们的和a1 a2 an n. 证明 : (1)当n 1时，有a1 1，命题成立.
用数学归纳法证明整除问题
例1 证明: n3 5n(n N )能够被6整除.
证明 : (1)当n 1时，n3 5n 6显然能够被6整除，命题成立. 3 (2)假设当n k ( k 1)时，命题成立，即k 5k能够被 6整除. 当n k 1时， ( k 1)3 5( k 1) k 3 3k 2 3k 1 5k 5 (k 3 5k ) 3k ( k 1) 6
2 1 1 f ( k 1) k ( k 3) k 1 ( k k 2) 2 2 1 ( k 1)( k 2) 1 ( k 1) ( k 1) 3 2 2 故n k 1时，命题成立由(1)、 (2)可知对任何n N ，n 3命题成立.
1 x
k 1
1 x kx kx 2 1 k 1 x
1 x 1 x 1 x 1 kx
k
当n k 1时不等式成立. 由(1)(2)可知，贝努利不等式成立.
当x是实数，且x 1，x 0时，由贝努利不等式可得 (1 x )n 1 nx ，对一切不小于2的正整数n成立 1 x 1 x
下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性

数学归纳法PPT教学课件

数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的应用领域将不断拓展，应用于更多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新教学方法，提高数学归纳法的教学效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归纳法被广泛应用于数据分析，帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立，即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。

完整版《数学归纳法》课件

完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。

2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法在实际问题中的应用。

教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤及注意事项。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：以“楼梯问题”为例，引导学生发现规律，引出数学归纳法的概念。

2. 知识讲解：a. 介绍数学归纳法的概念。

b. 详细讲解数学归纳法的证明步骤。

c. 分析数学归纳法在实际问题中的应用。

3. 例题讲解：讲解数学归纳法在数列求和、不等式证明等方面的应用。

4. 随堂练习：布置23道数学归纳法相关的练习题，让学生独立完成。

5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的重点和注意事项。

六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：a. 数学归纳法的概念b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用d. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明：对于任意正整数n，有2^n > n。

c. 应用数学归纳法解决实际问题。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的理解和掌握程度，以及课堂互动情况。

2. 拓展延伸：a. 探讨数学归纳法在更广泛领域中的应用。

b. 引导学生了解数学归纳法的局限性。

c. 介绍数学归纳法的其他变体，如强数学归纳法、反向数学归纳法等。

重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 数学归纳法在实际问题中的应用2. 数学归纳法的证明步骤及注意事项3. 实践情景引入的设计与例题讲解的深度二、重点和难点解析1. 数学归纳法在实际问题中的应用a. 选择合适的实际问题作为例子，让学生感受数学归纳法的实用价值。

b. 通过分析问题，引导学生发现数学归纳法的应用场景，从而理解其内涵。

第4讲1数学归纳法课件人教新课标

1234
解析答案
2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋2 (n∈N＋，a≠1)，在验 1－a
证n＝1成立时，左边所得的项为
A.1
√ B.1＋a＋a2
C.1＋a
D.1＋a＋a2＋a3
解析当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
1234
解析答案
3.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k ＋ 1) ＋ 1 8＋1×(3542k(＋k 1＋＋52k＋11) )－5＋6×512k＋应1(或25变×(34形k＋1＋为 _5_6_×__3_4_k_＋__1_)________5_2_k_＋__1_)＋_______________________
第四讲用数学归纳法证明不等式
一数学归纳法
学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理. 2.了解数学归纳法的应用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题.
内容索引
问题导学题型探究达标检测
问题导学
知识点数学归纳法
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不谨慎弄倒了，那么整排自行车就会倒下. 思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案 ①第一辆自行车倒下； ②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.
4.用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，
1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋

数学归纳法(公开课教学PPT课件)

2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
当n k 1时，
左边 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
2 23
k 1 k 2
1 1 k 1 k 1 右边 k 2 k 2 (k 1) 1
即n k 1时等式成立。
a1 kd 右边即当n k 1时，结论也成立。结合（1）（2）可知，结论对一切正整数n都成立。
针对训练
练1.用数学归纳法证明等式
1 2
1 22
1 23
1 2n
1
1 2n
当n=k+1时，左边
递推关系归纳假设
右边
请你当个小老师
下面是一些同学用数学归纳法证明等式成立的解题过程，请判断，它是否符合数学归纳法的证明要求？
3.数学归纳法证明命题的关键？在第二步归纳递推中要用到归纳假设。
课堂小结
4.数学归纳法体现的核心思想？递推思想. 用“有限”的推理，解决“无穷”的归纳。
作业布置
1.思考：已知数列an 满足an1
2
1 an
, a1
0, 试猜想并证明
an的通项公式。
2.课本P19，习题1-4.
数学归纳法（说课）
刘斌伟 2018.12.11
教材分析
教学方法
教学过程
教学反思
教学目标教学重难点
设计思路多媒体工具应
1 体会递推思想，理解数学归纳法的原理
逻辑核素推心养理
2 掌握数学归纳法证明数学命题的两个步骤、一个结论
3 会运用数学归纳法证明一些与正整数有关的简单恒等式
围绕
反馈练习

数学归纳法PPT课件

归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确，确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误，才能保证数学归纳法的正确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始的判断依据，为后续的归纳步骤提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的核心，即在$n=k$时命题成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通过逻辑推理和演绎，推导出$n=k+1$时命题成立的过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数学归纳法、双数学归纳法和反向数学归纳法等。这些变种可以使得证明更加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳法进行推导。通过归纳法的应用，我们可以逐步推导出二项式定理的各项展开式，从而证明了二项式定理的正确性。

数学归纳法新授课教案设计

数学归纳法新授课教案设计教学目标：1. 了解数学归纳法的基本原理和应用。

2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学重点：1. 数学归纳法的基本原理和应用。

2. 数学归纳法的步骤和技巧。

教学难点：1. 运用数学归纳法解决复杂的数学问题。

2. 培养学生的逻辑思维和创造力。

教学准备：1. 教学课件/黑板、粉笔。

2. 习题集和练习纸。

3. 学生书籍和参考资料。

教学步骤：Step 1 引入教师用简洁明了的语言向学生介绍数学归纳法的定义和作用，并给出一个简单的例子引发学生的思考。

Step 2 解决问题的背景教师向学生提出一个数学问题，并对其进行讨论，引导学生思考如何运用数学归纳法进行解答。

Step 3 数学归纳法的基本原理和步骤教师向学生讲解数学归纳法的基本原理和步骤，并结合具体的例子进行说明。

重点强调归纳假设和证明两个要素的重要性。

Step 4 进一步练习教师提供一系列练习题，让学生分组进行讨论和解答，并在课堂上进行辅导和指导。

鼓励学生勇于提问和思考，培养他们的解决问题能力。

Step 5 拓展应用教师引导学生思考数学归纳法在实际生活中的应用，并给出一些相关的例子，激发学生的兴趣和创造力。

Step 6 总结归纳教师总结归纳本节课的内容，强调数学归纳法的重要性和应用前景，并鼓励学生在日常学习中多运用归纳法解决问题。

Step 7 作业布置教师布置相应的作业，要求学生运用数学归纳法解决一定数量的练习题，并在下节课上进行讲解和答疑。

教学反思：本次课程设计以数学归纳法为主题，通过理论讲解、例题演练和问题解答等多种形式，旨在帮助学生掌握数学归纳法的基本原理和应用。

设计中注意语言简练、逻辑清晰，力求让学生在课堂上积极思考和互动，培养其逻辑思维和问题解决能力。

同时，通过给出实际应用的例子，引发学生的兴趣，提高他们运用数学归纳法解决问题的能力。

在教学过程中，要随时注意学生的理解情况，及时给予指导和纠正，确保教学效果的良好。

数学归纳法高中教案

数学归纳法高中教案
课题：数学归纳法
教学目标：
1. 了解数学归纳法的定义和基本原理；
2. 掌握数学归纳法的三条基本步骤；
3. 能够运用数学归纳法证明一般性的数学问题。

教学重点和难点：
重点：数学归纳法的定义和基本原理
难点：能够熟练掌握数学归纳法的三条基本步骤
教学准备：
1. 教材：高中数学教材
2. 教具：黑板、粉笔
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过一道生活中的例子引入数学归纳法的概念，让学生了解数学归纳法的重要性和应用场景。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解数学归纳法的定义和基本原理；
2. 介绍数学归纳法的三条基本步骤：基础情况、归纳假设、归纳步骤。

三、例题演练（20分钟）
1. 教师通过一些简单的例题，让学生掌握数学归纳法的具体运用方法；
2. 学生跟随教师一起完成例题，并讨论解题思路和方法。

四、课堂练习（15分钟）
教师在课堂上布置几道练习题，让学生独立完成，并相互交流讨论解题过程。

五、总结（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，强调数学归纳法在解决数学问题中的重要性和灵活运用。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对数学归纳法有了初步的了解和掌握，但也发现在运用数学归纳
法解决问题时，需要更加深入地理解问题的本质，加强逻辑推理能力。

在以后的教学中，
需要多让学生进行实践操作，提高对数学归纳法的应用能力。

数学归纳法实用教案

数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第三章“数列的极限”中的第三节“数学归纳法”。

详细内容包括数学归纳法的概念、原理、应用步骤及简单证明。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本原理。

2. 学会运用数学归纳法进行数学问题的证明，提高逻辑推理能力。

3. 能够运用数学归纳法解决实际问题，培养解决问题的策略。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理。

教学重点：数学归纳法的概念、原理及运用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：课本、练习本、铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数列问题引入数学归纳法的概念，激发学生思考。

例：观察数列1, 2, 3, , n，如何证明这个数列的和为n(n+1)/2？2. 例题讲解讲解数学归纳法的基本步骤，结合实例进行分析。

步骤一：验证基础情况（n=1时）是否成立。

步骤二：假设当n=k时不等式成立，证明当n=k+1时不等式也成立。

步骤三：由步骤一和步骤二，得出结论。

3. 随堂练习（1）1+2+3++n = n(n+1)/2（2）n^2 > 2n (n≥3)4. 知识拓展引导学生思考数学归纳法在生活中的应用，如爬楼梯问题、棋盘问题等。

六、板书设计1. 数学归纳法的概念及原理。

2. 数学归纳法证明步骤。

3. 例题及随堂练习。

七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1^3+2^3+3^3++n^3 = (1+2++n)^22. 答案：（1）证明：略。

（2）解：设f(n)为走法总数，f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4。

当n≥4时，f(n)=f(n1)+f(n2)+f(n3)。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生是否掌握了数学归纳法的概念、原理及运用，能否独立完成相关证明题目。

2. 拓展延伸：引导学生研究数学归纳法在数学竞赛、实际问题中的应用，提高解决问题的能力。

数学归纳法说课课件PPT

数学归纳法说课课件
目录
• 引言 • 数学归纳法基本概念 • 数学归纳法证明方法 • 数学归纳法解题技巧与实例分析 • 数学归纳法在数学竞赛中应用与拓展 • 数学归纳法教学设计与实施建议
01
引言
说课背景与目的
背景
介绍数学归纳法的起源、发展以及在数学领域中的重要地位。
目的
阐述本次说课的目标，包括知识传授、方法指导和能力培养等方面。
当n=1时，左边=1，右边 =1(1+1)/2=1，命题成立。
数学归纳法应用举例
01
02
例2
基础步骤
证明n^3-n能被6整除，对于一切自然数n都成立。
当n=1时，左边=1^3-1=0，能被6 整除，命题成立。
03
归纳步骤
假设当n=k时命题成立，即k^3-k能被6整除，则当n=k+1时，左边 =(k+1)^3(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k1=k^3-k+3k(k+1)，由于k^3-k能被 6整除，且3k(k+1)能被6整除（因为k 和k+1中至少有一个是偶数），因此当n=k+1时命题也成立。
思维能力和数学素养。
重点
数学归纳法的基本思想和步骤，如何运用数学归纳法证明数学命题。
难点
归纳假设的提出和运用，如何从归纳假设推导出结论。
教学方法选择和手段运用
教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和案例式教学法相结合，引导学生主动思考、积极参与。
教学手段
运用多媒体教学课件、黑板演示和实物展示等手段，帮助学生理解和掌握数学归纳法的知识要点。
说课内容与结构
内容

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2+4+6+···+2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1, 这就是说，当n=k+1时等式也成立.
用上假设递推才真
写明结论才算完整
四、案例分析：
事实上，我们可以用等差数列求和公
案例一： (缺少初始步)
式验证原等式是不成立的！
设n∈N+，求证：2+4+6+···+2n=n2+n+1 ×
证明：假设当n=k时等式成立，即
缺乏“递推基础 ”
2+4+6+···+2k=k2+k+1,
那么,当n=k+1时，有
证明当 n k 1时,命题也成立（依据）
完成这两个步骤后, 就可以断定：
命题对从 n0 开始的所有正整数n都成立
这种证明方法叫做数学归纳法
例题1
例题1：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),
用数学归纳法证明：对所有的正整数n,有an=1/n
类
骨牌倒下
命题成立
比
第1张骨牌倒下
(1)证明当n取第一个值 n0时命题成立；
（递推基础）
（2）假若第k（k≥1）张能倒下（2）假设n k(k N , k n0 )时时，一定能压倒紧挨着它的命题成立，再证明当n k 1时
第k+1张骨牌（游戏继续的条件）
命题也成立。（递推依据）
由（1）（2）知，游戏可以一直由（1）（2）知，命题对于一切
1
思考：你认为证明数列的通项公式 an n 是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
2、根据相似性，规范两步骤
分析：
类似地，把关于自然数n的命题看作多米诺骨牌，产生一种符合
能够使游戏一直连续运行的条件：运行条件的方法：
（1）第一张骨牌必须能倒下（游戏开始的基础）
a1=1成立
…………………………………………….
假设第k张骨牌倒下保证第k+1张倒下
假设ak=1/k成立,若证出 ak+1=1/(k+1)成立
…………………………………………….
第n张骨牌倒下
命题an=1/n成立
例2、用数学归纳法证明：当n k 1时，需要证明的式子是： 1 3 5 (2k 1) (2k 1) (k 1)2 1+3+5+…+(2n-1)＝n2
数学归纳法的概念
找准起点奠基要稳
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论:
（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k (k∈N＋，且k≥ n0)时结论正确，
证明n=k+1时结论也正确
由（1）、（2）得出结论正确(命题成立)。
2.3 数学归纳法
课题引入
观察数列{an },已知a1
a2
1 2
,
1 a3 3 ,
1, an1
a4
1 4
,
an 1 an
,
猜想归纳通项公式: an
1 n
不完全归纳法
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学
家，他曾认为，当n∈N时，22n 一1定都是
质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（依据）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
连续运行。
n≥n。的自然数n都正确。
我们把以上证明关于自然数n的命题的方法，叫做数学归纳法。
证明一个与正整数n有关的数学时命题成立
n0 N*, n0=1或n0=2或n0=3等（基础） (2)假设当n k k N*, k n0 时,命题成立
例题3：用数学归纳法证明 n N
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
证明：
1
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
2
3
1
6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么：左边=12+22+……+k2+(k+1)2
猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N ，都有an (n2 5n 5)2 1
由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？
(1) n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立；
(2)假设n＝k时，等式成立，即
1+3+5+…+(2k-1)＝k2 需要证明的式子是?
那么当n＝k+1时，
1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）
＝k2+（2k+1）＝（k+1）2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。
多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2 6
(k 1)(2k 2 7k 6) 6
(k 1)(k 2)(2k 3) 6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1 右边
6
即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。