高中数学第一章立体几何初步121平面的基本性质学案苏教版

1.2.1 平面的基本性质1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 平面的概念及表示阅读教材P21～P22公理2以上部分内容，完成下列问题．1．概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．图1－2－12．表示(1)图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)．(2)字母表示平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．3．点、线、面位置关系的符号表示如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号)①l ⊂α；②l ⊄α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ⊂α，b ⊂α，∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ⊂α.故填①. 【答案】 ①教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α.(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l .(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． (3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．1．如图1－2－2所示，用符号可表达为________．图1－2－2【解析】 由题图可知平面α与平面β相交于直线m ，且直线n 在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A.【答案】α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A2．下列说法正确的是________．(填序号)①三点可以确定一个平面；②一条直线和一个点可以确定一个平面；③四边形是平面图形；④两条相交直线可以确定一个平面．【解析】①错误，不共线的三点可以确定一个平面．②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．③错误，四边形不一定是平面图形．④正确，两条相交直线可以确定一个平面．【答案】④[小组合作型]三种语言的转换(1)如图1－2－3，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．①②图1－2－3(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．【精彩点拨】根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．【自主解答】(1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[再练一题]1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1) (2)图1－2－4图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．【答案】(1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l点线共面问题已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．【精彩点拨】【自主解答】如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．[再练一题]2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【导学号：41292016】【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．[探究共研型]共线，共点问题探究1 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？【提示】由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线．探究2 如图1－2－5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？图1－2－5【提示】交于一点．证明：连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ， ∴E ，F ，D 1，C 四点共面， 且EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD .∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 相交于一点．如图1－2－6所示，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点．图1－2－6【精彩点拨】 先证明GH 和EF 共面且交于一点O ，然后说明O 是平面ABD 和平面BCD 的公共点，而平面ABD 和平面BCD 相交于直线BD ，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O 在交线上，即点O 在直线BD 上．从而证明了直线EF ，GH ，BD 都过点O .【自主解答】 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ∥AC ，GE ＝12AC .又DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3， ∴FH ∥AC ，FH ＝25AC .∴FH ∥GE ，FH ≠GE .∴四边形EFHG 是一个梯形，GH 和EF 交于一点O . ∵O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内， ∴O 在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上． ∴EF ，GH ，BD 交于一点．证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．[再练一题]3．如图1－2－7，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别在棱AB ，BB 1，CC 1上，且DP ，RQ 相交于点O .求证：O ，B ，C 三点共线．图1－2－7【证明】 如图，可知平面AC ∩平面BC 1＝BC .⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫QR ⊂平面BC 1，O ∈RQ⇒O ∈平面BC 1⎭⎪⎬⎪⎫DP ⊂平面AC ，O ∈DP⇒O ∈平面AC⇒ O 为平面BC 1与平面AC 的公共点又∵平面AC ∩平面BC 1＝BC ， ∴O ∈BC ，即O ，B ，C 三点共线．1．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述不正确的有________． ①A ∈a ，a ⊄α⇒A ∉α；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α； ③A ∉a ，a ⊂α⇒A ∉α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α.【解析】 ①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A ∉a ，a ⊂α，但A ∈α；④不正确，“A ⊂α”表述错误．【答案】 ①②③④2．如图1－2－8所示，点A ∈α，B ∉α，C ∉α，则平面ABC 与平面α的交点的个数是________个．图1－2－8【解析】 因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC 与平面α的交点有无数个．【答案】 无数3．空间三条直线a ，b ，c ，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个． 【答案】 34．下列图形(如图1－2－9)均表示两个相交平面，其中画法正确的是________.① ② ③ ④图1－2－9【答案】④5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．【解】设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．。

平面的根本性质及推论教学设计一、教材分析本课是“平面〞的第二课时，是在最根本“平面〞知识以及了解点、线、面图形语言及符号语言的根底上进一步研究平面的根本性质．平面的根本性质是研究立体几何的根本理论根底，是学生能否学好立体几何的关键之一．二、教学目标1理解平面根本性质1、2、3,和平面根本性质的三个推论2初步了解空间直线与平面、平面与平面的位置关系；3初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；4、能从实际生活中抽象出数学模型并利用一些几何的理论去解释生活中的现象。

三、教学重难点：重点：理解平面的三条根本性质及推论；难点：运用集合语言描述点、直线、平面之间的关系；运用平面根本性质及其推论解释生活中遇到的一些问题；四、任务分析这节课是立体几何学习的根底，但由于学生空间立体感还不强．为此，教学时要充分联系生活中的实例，如在墙上固定木条至少需要两根钉子、自行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中的笔去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面、门与门框之间的关系等．通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的根本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力．当用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的根底上开展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样，就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象．五、教学设计〔一〕复习1平面的概念及特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。

2平面的表示3 用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系〔二〕问题情景1问题1：如果想将一张长形纸条固定在黑板面上至少需要确定几个点？为什么？2思考1：如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？3问题2：观察以下图片，你能得到什么结论？4问题3：如果想将一张长形纸片固定在黑板面上至少需要确定几个点？这些点需要满足什么位置关系？5思考2：用手指头将一张硬纸板平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指头？手指的位置需要满足什么条件？6思考3：把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在的平面与桌面是否交只相交于一点P？为什么？对此你有什么结论？〔利用多媒体屏幕呈现问题情景，即在屏幕上出现桌子与笔、三角板与平面相交、矩形硬纸与讲台面及相应的问题．与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出，能够活泼课堂气氛，激发学生学习兴趣，从而引导学生积极主动的去探究问题〕〔三〕建立模型1 探究公理〔1〕问题1、2，思考1的探究教师提出问题，引发学生思考：回忆初中学到过的两点确定一条直线，并将学生思维中的点、线关系拓宽到点、线、面三者之间的关系。

第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质A组基础巩固1．下列有关平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．安静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面解析：我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面．答案：D2.如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈a，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n解析：α与β交于m，n在α内，m与n交于A.答案：A3．下列说法正确的是()A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析：对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不只确定一个平面．答案：D4．一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A．1个或3个B．1个或4个C．1个，3个或4个D．1个，2个或4个解析：若三点在同始终线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面．答案：C5.如图所示，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过点________．解析：依据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．答案：C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析：若四点共线，可确定很多个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面．答案：1个或4个或很多7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中两两相交的三条直线确定一个平面；②一条直线和一个点能确定一个平面；③梯形肯定是平面图形．解析：依据三个公理及推论知①②均不正确．答案：③8．下列各图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中PS∥RQ，③中SR∥PQ，由推论3知四点共面．答案：①③9．点A在直线l上但不在平面α内，则l与α的公共点有__________个．答案：0或110．依据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解：由题意画出图形如图所示．B级力量提升11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E，则B，E，D1三点的关系是________________________．解析：连接AC、A1C1、AC1，(图略)则E为A1C与AC1的交点，故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形，所以B，E，D1三点共线．答案：共线12．下列叙述中，正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上，点P在直线m上，点P在直线n上，则l，m，n共面；②若点P在直线l上，点P在直线m上，则l，m共面；③若点P不在直线l上，点P不在直线m上，点P不在直线n上，则l，m，n不共面；④若点P不在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面；⑤若点P在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面．解析：由于P∈l，P∈m，所以l∩m＝P.由推论2知，l，m共面．答案：②13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．证明：由于MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF.又由于M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以M，N⊂平面ABCD.所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又由于平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．14．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，求证：D1E，CF，DA三线共点．证明：如图所示，连接EF，A1B，D1C，由于E，F为AA1，AB的中点，所以EF綊12A1B.又由于A1B綊D1C，所以EF綊12D1C.故直线D1E，CF在同一个平面内，且D1E，CF不平行，则D1E，CF必相交于一点，设该点为M.又由于M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1，所以M∈AD，即D1E、CF、DA三线共点．15.如图所示，在四周体ABCD中，E，G，H，F分别为BC，AB，AD，CD 上的点，EG∥HF，且HF<EG.求证：EF，GH，BD交于一点．证明：由于EG∥HF，所以E，F，H，G四点共面，又HF<EG，所以四边形EFHG是一个梯形．如图所示，延长GH和EF交于一点O，所以a，b，c，l四线共面．由于GH在平面ABD内，EF在平面BCD内，所以点O既在平面ABD内，又在平面BCD内．所以点O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条．所以点O在直线BD上．所以GH和EF的交点在BD上，即EF，GH，BD交于一点．16.已知：如图所示，a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l四线共面．证明：由于a∥b，所以a，b确定一个平面α.由于A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.所以AB⊂α，即l⊂α.同理，由b∥c，得b，c确定一个平面β，可证l⊂β.所以l，b⊂α，l，b⊂β.由于l∩b＝B，所以l，b只能确定一个平面．所以α与β重合．故c在平面α内．。

平面的基本性质（2）（1课时）一、教材分析立体几何是研究三维空间中物体的形状，大小和位置的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。

平面是立体几何的重要组成部分，所以研究平面的基本性质，是学习立体几何的理论基础，是今后推动论证的出发点和依据。

上节课我们已经对公理1，公理2进行了学习，初步了解了平面的基本性质，本节课则将一步研究共面的相关问题，为后面的面与面的位置关系作好铺垫。

二、教学目标1知识目标：（1）了解平面基本性质的公理3和3个推论, 了解它们各自的作用；（2）能运用平面的基本性质解决一些简单的问题2能力目标：通过本节课的学习，进一步认识和理解点线面之间的关系，培养学生观察，直观感知，思辨论证的能力，也进一步培养学生的空间想象力。

3情感目标：在学习和论证的过程中，培养学生积极主动，勇于探索的学习方式，完善学生的学习思维，激发学生对立体几何的学习的兴趣。

三、教学重点本节课的教学重点是理解公理三和三个推论，会运用这三个推论解决一些立体几何共面的相关问题。

四、教学难点本节课的教学难点是理解点和线的共面问题，会利用公理和推论证明共面问题。

五、教学方法：直观观察法，动手操作法六、教具准备：三角板，课件七、教学过程（一）复习巩固问题1：上节课我们学习了哪几个公理？它们的图形以及符号表示？生1：公理1：如果一条直线上的两个点在平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内生2：公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有的这些点的集合是一条过这个点的直线师：回答的很好，请大家一起来回顾一下（PPT 投影） （二）问题情境导入问题2：用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？ 师：请同学拿出书本感受一下，并分小组讨论作答。

生：三个手指头师：请问这三个手指头有什么位置要求吗？ 生：不共线师：很好，如果我们把三个小手指头看成是三个点，那么我们又会得出什么结论呢？ 生：不共线的三点确定一个平面。

又 ∵A1C? 平面 A1BCD1， ∴ Q∈ 平面 A1BCD1.
∴ Q在平面 A1BCD1 与 ABC1D1 的交线上，即 Q∈ BD1， ∴ B，Q， D1 三点共线． 跟踪训练 3 证明 方法一 ∵AB∩ α＝P， ∴ P∈ AB， P∈平面 α. 又 AB? 平面 ABC，∴ P∈平面 ABC.
A?l ? A和 l 确 (1) 确定一个平面的 定一个平面 α 依据 .
(2) 证明平面重合； a∩ b＝A? a， b (3) 证明点、线共面 确定一个平面 α
a∥ b? a， b 确 定一个平面 α
类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
例 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系
______.
5. 如图， a∩ b＝ A， a∩c＝ B， a∩ d＝ F， b∩ c＝ C， c∩ d＝ D， b∩ d＝ E，求证： a， b， c， d
共面 .
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1. 解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集 合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文 字语言描述出来，再转换为符号语言 . 文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言 所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚 . 2. 在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再 整体的思想 .
. 和点、直线一样，平面也是从现实世界中
抽象出来的几何概念 .
(2) 平面的画法
一般用水平放置的 ____________ 作为平面的
直观图
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立 体感，被遮挡部分用 ____ 画出来 .
(3) 平面的表示方法 平面通常用希腊字母 α ， β， γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表 示，如图中的平面 α、平面 AC等 .

1.2.1 平面的基本性质
公路、平静的海面、教室的黑板都给我们以 平面的形象．
你还能从生活中举出类似平面的物体吗？
几何里所说的“平面” 就是从这样的一些物体中 抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角
上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶
点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名
称．
D
C
A
B
记作：平面
平面 ABCD 平面 AC 或平面 BD
如果直线 l 与平面 有两个公共点， 直线 l 是否在平面 内？
温度计中的玻璃管被两个卡 子固定在刻度盘上，可以看到， 玻璃管就落在了刻度盘上．
公理1 如果一条直线上有两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
P
作用：
① 判断两个平面相交的根据；
② 判断点在直线上．
视察长方体，你能发现长方体的两个相交平面 有没有公共直线吗？
这条公共直线 BC 叫做这两个
D
C 平面ABCD 和平面 BBCC 的交线．
A
B
另一方面，相邻两个平面有一个
公共点，如平面 ABCD 和平面
D
BBCC 有一个公共点 B ，经过点
C
1. 由点A，O，C可以确定一个平面；
错误
2.由A，C1，B1确定的平面是 ADC1B1 ；
正确
3.由 A，C1，B1确定的平面与由A，D，C1
面是同一个平面．
确定的平
正确
C
B
D
O
A
C1 D1
B1 A1
公理1 如果一条直线上有两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个 平面． 推论1 经过一条直线和直线外的一点，

苏科版高中数学章节教案
章节：苏科版第一册第一章立体几何
教学目标：
1. 理解三维空间中的点、直线、平面等基本概念。

2. 掌握立体图形的表示方法和性质。

3. 掌握直线与平面的位置关系和交点的性质。

教学内容：
1. 立体几何基本概念：三维空间、点、直线、平面等。

2. 立体图形的表示方法：欧氏空间、剖面、投影等。

3. 直线与平面的位置关系：平行、垂直、交点等。

教学步骤：
1. 导入：通过展示三维立体图形，引入立体几何的概念，让学生感受到立体空间的存在和重要性。

2. 概念讲解：介绍点、直线、平面等基本概念，并与平面几何进行对比，帮助学生建立起立体几何的概念框架。

3. 实例演练：通过例题演练，让学生掌握立体图形的表示方法和性质，培养学生解决实际问题的能力。

4. 练习巩固：设计一些练习题，让学生熟练运用直线与平面的位置关系和交点的性质，检验他们的掌握程度。

5. 小结：总结本节课的重点内容，强调立体几何在日常生活和工作中的重要性，激发学生对数学的兴趣和学习动力。

教学过程中，教师要注重启发学生的思维，引导他们从具体问题中找到抽象规律，培养他们的逻辑推理能力和问题解决能力。

同时，教师要及时给予学生反馈和指导，帮助他们建立正确的数学思维方式和解题方法。

通过本节课的学习，学生将能够掌握立体几何基本概念和性质，为今后的数学学习打下坚实的基础。

同时，他们也将意识到数学在工程、建筑等领域中的应用和重要性，为未来的学习和职业规划提供参考和启示。

1.2.3 第1课时直线与平面平行1．通过直观感知、操作确认直线与平面的位置关系及线面平行的判定定理．(重点) 2．理解并会证明直线与平面平行的性质定理．(难点)3．会用图形语言和符号语言描述直线和平面平行的判定定理和性质定理．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 直线和平面的位置关系阅读教材P32的内容，完成下列问题．直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.(×)(2)若直线a在平面α外，则a∥α.(×)(3)若直线a∩b＝∅，b⊂α，则a∥α.(×)(4)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．(√)教材整理2 直线与平面平行的判定阅读教材P33例1以上部分内容，完成下列问题．直线与平面平行的判定定理(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(2)图形语言：如图1－2－34所示．图1－2－34(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb ⊂αa ∥b ⇒a ∥α.1．如果直线a ∥b ，且a ∥平面α，那么b 与平面α的位置关系是________． 【解析】 若a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系如图所示．【答案】 b ∥α或b ⊂α2．能保证直线a 与平面α平行的条件是__________(填序号).【导学号：41292026】(1)b ⊂α，a ∥b ；(2)b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c ；(3)b ⊂α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD ； (4)a ⊄α，b ⊂α，a ∥b .【解析】 由线面平行的判定定理可知(4)正确． 【答案】 (4)教材整理3 直线与平面平行的性质阅读教材P 33例1以下部分内容，完成下列问题． 直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．图1－2－35(2)图形语言：如图1－2－35所示． (3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl ⊂βα∩β＝m ⇒l ∥m .1．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是________． 【答案】 相交或平行2．如图1－2－36所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是__________．图1－2－36【解析】 ∵ABC －A 1B 1C 1是三棱柱， ∴A 1B 1∥AB .又∵A 1B 1⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC .∵A 1B 1⊂平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ， ∴A 1B 1∥DE ，∴DE ∥AB . 【答案】 平行[小组合作型]直线与平面的位置关系(1)下列说法中，正确的有__________．(填序号)①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．①若a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，则a∥b；②若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，则l∥α；③若点A∉a，则过点A可以作无数个平面与a平行；④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.其中正确的命题有______．(把你认为正确的序号都填上)【精彩点拨】利用线面平行的定义，借助图形分析判断．【自主解答】(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；对于③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．(2)①错误．如图(a)，满足a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，但a与b不平行．②错误．如图(b)，满足a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，但l 与α相交．③正确．如图(c)，点A∉a，过点A可以作无数个平面与a平行．④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．【答案】(1)②(2)③空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．[再练一题]1．下列命题中正确的个数是________个．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．【解析】①中，l可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l与α平行的定义知④正确．【答案】 1直线与平面平行的判定定理的应用如图1－2－37, M，N分别是底面为矩形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.图1－2－37【精彩点拨】取PD中点E，证明EN綊AM.【自主解答】如图所示，取PD的中点E，连结AE，NE，∵N 是PC 的中点， ∴EN 綊12DC .又∵AM 綊12CD ，∴NE 綊AM .∴四边形AMNE 是平行四边形． ∴MN ∥AE .又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[再练一题]2．如图1－2－38，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB.图1－2－38求证：MN ∥平面SBC .【证明】 连结AN 并延长交BC 于P ，连结SP ，∵AD ∥BC ，∴DN NB ＝ANNP，又∵AM SM ＝DN NB， ∴AM SM ＝AN NP，∴MN ∥SP ，又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ， ∴MN ∥平面SBC .[探究共研型]线面平行的性质定理的应用探究1 若a ∥α，b ⊂α，那么a 与b 的位置关系是怎样的？a 与b 有没有可能平行？在什么条件下平行？【提示】 a 与b 平行或异面，当a ，b 同在一平面内时，a ∥b .探究2 如图1－2－39，若a ∥b ，a ⊂α，b ⊂α，α∩β＝c ，且c ∥a .那么a 与β，b 与β是什么关系？图1－2－39【提示】 a ∥β，b ∥β.探究3 一个长方体木块如图1－2－40所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？图1－2－40【提示】 在平面A 1C 1内，过点P 作EF ∥B 1C 1，分别交A 1B 1，C 1D 1于E ，F .连结BE ，CF ，则BE ，CF 和EF 就是所要画的线，如图．四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：PA ∥GH .图1－2－41【精彩点拨】 要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．【自主解答】 如图，连结AC 交BD 于点O ，连结MO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点． 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD . ∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥GH .证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用，并常利用下面的关系：线线平行――→判定定理线面平行――→性质定理线线平行．运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．[再练一题]3．如图1－2－42，将上例条件改为“已知四边形ABCD是平行四边形，四边形BDPF也是平行四边形，M是线段PF的中点．求证：BM∥平面APC.图1－2－42【证明】记AC与BD的交点为O，连结OP.∵O，M分别为BD，PF的中点，四边形BDPF是平行四边形，∴OB∥MP且OB＝MP，∴四边形OBMP是平行四边形，∴BM∥OP，∵OP⊂平面APC，BM⊄平面APC，∴BM∥平面APC.1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.【答案】02．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个.【导学号：41292027】【解析】如图，∵EF∥A1B1，∴EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C.【答案】 33．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)与直线AB平行的平面是________；(2)与直线AA1平行的平面是________；(3)与直线AB1平行的平面是________．【解析】如图，可知：AB∥平面A1B1C1D1，AB∥平面CDD1C1；AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面CDD1C1；AB1∥平面CDD1C1.【答案】(1)平面A1B1C1D1，平面CDD1C1(2)平面BCC1B1，平面CDD1C1(3)平面CDD1C14．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为__________．【解析】过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．【答案】 15．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP ＝DQ.图1－2－43求证：PQ ∥平面BCE .【证明】 如图所示， 在平面ABEF 内过P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，在平面ABCD 内过点Q 作QN ∥AB 交BC 于点N ，连结MN .∵PM ∥AB ，∴PM AB ＝PE AE .又∵QN ∥AB ∥CD ，∴QN DC ＝BQ BD ，即QN AB ＝BQ BD .∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ，∴AE ＝DB .∵AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴PM ＝QN .又∵PM ∥AB ，QN ∥AB ，∴PM ∥QN .∴四边形PQNM 为平行四边形．∴PQ ∥MN .又∵MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE .∴PQ ∥平面BCE .。

课题：平面的基本性质(2)学习目标：1．了解推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象．2．初步学习立体几何中的证明．学习重点：三个推论的理解和应用．学习难点：推论的正确理解和正确应用．一、预习提纲：1．完成下表：2．问题：根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么， ○1一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？ ○2两条相交直线呢？ ○3两条平行直线呢？为什么？3．公理3的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．已知： ，求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面。

证明：类似地，得出以下两个推论：推论2： 。

已知： ，求证：经过两条相交直线,a b 的平面有且只有一个。

证明：证明：(存在性)：设ab C =，在a 上取不同于点C 的点A ，则A b ∉，由推论1得，过直线b 和点A 有一个平面α，,A C αα∈∈，a α∴⊂，因此，经过,a b 有一个平面α。

(唯一性)：经过,a b 的平面一定经过A 和b ，由推论1，这样的平面只有一个， 所以经过两条相交直线,a b 的平面有且只有一个。

推论3： 。

二、课堂展示：例1：已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线,,AD BD CD 共面。

分析：∵直线l 与点D 可以确定平面α，∴只需证明,,AD BD CD 都在平面α内。

证明：例2：如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。

分析：确定两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公共点，过这两点的直线就是这两个平面的交线(即找公共点或公共棱)。

例3．若l αβ=，,A B α∈，C β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。

A B C D lαA 11A1B1C1DABCD三、反馈检测：1、若空间三个平面两两相交，则它们的交线有 条；2、四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有 个；3、给出下列四个命题：○1若空间四点不共面，则其中无三点共线；○2若直线l 上有一点在平面α外，则l 在α外；○3若直线,,a b c 中，a 与b 共面且b 与c 共面，则a 与c 共面；○4两两相交的三条直线共面．其中正确命题的序号是 ．4、在正方体1111ABCD A B C D -中，1） 1AA 与1CC 能够确定一个平面？2）点1,,B C D 能否确定一个平面？3）画出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线；4）P 为棱BC 的中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与正方体表面的交线。

1.2.1 平面的基本性质1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 平面的概念及表示阅读教材P21～P22公理2以上部分内容，完成下列问题．1．概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．图1－2－12．表示(1)图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)．(2)字母表示平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．3．点、线、面位置关系的符号表示如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号)①l ⊂α；②l ⊄α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ⊂α，b ⊂α，∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ⊂α.故填①. 【答案】 ①教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α.(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l . (3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． (3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．1．如图1－2－2所示，用符号可表达为________．图1－2－2【解析】 由题图可知平面α与平面β相交于直线m ，且直线n 在平面α内，且与直线m 相交于点A ，故用符号可表示为：α∩β＝m ，n ⊂α且m ∩n ＝A .【答案】 α∩β＝m ，n ⊂α且m ∩n ＝A2．下列说法正确的是________．(填序号)①三点可以确定一个平面；②一条直线和一个点可以确定一个平面；③四边形是平面图形；④两条相交直线可以确定一个平面．【解析】①错误，不共线的三点可以确定一个平面．②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．③错误，四边形不一定是平面图形．④正确，两条相交直线可以确定一个平面．【答案】④[小组合作型]三种语言的转换(1)如图1－2－3，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．①②图1－2－3(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．【精彩点拨】根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．【自主解答】(1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[再练一题]1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．(1) (2)图1－2－4图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．【答案】(1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB，a∥b(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l点线共面问题已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．【精彩点拨】【自主解答】如图．法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB⊂α，即l⊂α.又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC⊂β，即l⊂β.∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，∴α与β重合，故a，b，c，l共面．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．[再练一题]2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.【导学号：41292016】【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．[探究共研型]共线，共点问题探究1 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？【提示】由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线．探究2 如图1－2－5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？图1－2－5【提示】交于一点．证明：连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥D 1C ， ∴E ，F ，D 1，C 四点共面， 且EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD .∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 相交于一点．如图1－2－6所示，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点．图1－2－6【精彩点拨】 先证明GH 和EF 共面且交于一点O ，然后说明O 是平面ABD 和平面BCD 的公共点，而平面ABD 和平面BCD 相交于直线BD ，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O 在交线上，即点O 在直线BD 上．从而证明了直线EF ，GH ，BD 都过点O .【自主解答】 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ∥AC ，GE ＝12AC .又DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，∴FH ∥AC ，FH ＝25AC .∴FH ∥GE ，FH ≠GE .∴四边形EFHG 是一个梯形，GH 和EF 交于一点O . ∵O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内， ∴O 在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上． ∴EF ，GH ，BD 交于一点．证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．[再练一题]3．如图1－2－7，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别在棱AB ，BB 1，CC 1上，且DP ，RQ 相交于点O .求证：O ，B ，C 三点共线．图1－2－7【证明】 如图，可知平面AC ∩平面BC 1＝BC.⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫QR ⊂平面BC 1，O ∈RQ⇒O ∈平面BC 1⎭⎪⎬⎪⎫DP ⊂平面AC ，O ∈DP⇒O ∈平面AC⇒O为平面BC1与平面AC的公共点又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，即O，B，C三点共线．1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的有________．①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.【解析】①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．【答案】①②③④2．如图1－2－8所示，点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点的个数是________个．图1－2－8【解析】因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．【答案】无数3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个．【答案】 34．下列图形(如图1－2－9)均表示两个相交平面，其中画法正确的是________.①②③④图1－2－9【答案】④5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．【解】设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．。