高中数学数列总复习(所有知识点总结)精编材料pdf版

一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项 a n与项数 n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列 a n的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即a n f (n) .3. 递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a n 1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 a n f (a n 1 ) 或 a n f (a n 1 , a n 2 ) ，那么这个式子叫做数列a n的递推公式 . 如数列a n中， a1 1, a n2a n 1 ，其中a n2a n 1 是数列 a n的递推公式 .4.数列的前 n项和与通项的公式① S n a1 a2a n；② a nS1 (n1)S n .S n 1 ( n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 .①递增数列 : 对于任何n N , 均有 a n 1②递减数列 : 对于任何n N , 均有 a n 1③摆动数列 : 例如 :1,1,1,1,1, .④常数数列 : 例如 :6,6,6,6, ,,.⑤有界数列 : 存在正数M 使 a n M , n a n .a n . N.⑥无界数列 : 对于任何正数M , 总有项 a n使得 a n M .1、已知 a n n (n N *) ，则在数列 { a n } 的最大项为 __（答： 1 ）；n2156an 252、数列 { a n } 的通项为a n，其中 a,b 均为正数，则 a n与 a n 1的大小关系为 ___（答：bn 1a n a n 1）；3、已知数列 { a n }中，a n n2n ，且 { a n } 是递增数列，求实数的取值范围（答：3 ）；4、一给定函数y f (x) 的图象在下列图中，并且对任意a1(0,1) ，由关系式 a n 1 f (a n )得到的数列{ a n }满足 a n 1 a n(n N *)，则该函数的图象是（）（答： A ）二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列an 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项），且任何一项a n与它的前一项a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、已知n*a2(nN)nn156，则在数列{}a的最大项为__（答：n125）；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，则a n与a n1的大小关系为___（答：bn1aa n1）；n23、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，则该函数的图象是（）（答：A）neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1nna a d （d 为常数），11na a n d等差中项：x A y ，，成等差数列2A xy前n 项和11122n na a n n n S na d性质：n a 是等差数列（1）若m n p q ，则m np q a a a a ；（2）数列12212,,nn na a a 仍为等差数列，232n nn nn S S S S S ，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m mma Sb T （5）n a 为等差数列2n S anbn （a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2nS anbn 的最值；或者求出n a 中的正、负分界项，即：当100a d，，解不等式组100n na a 可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d ，，由100n na a 可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列na ，有),)(()()(11122212为中间两项n n n nn n n a a a a n a a n a a n S nd S S 奇偶，1nn a a S S 偶奇.（7）项数为奇数12n 的等差数列na ，有)()12(12为中间项n n na a n S ，n a S S 偶奇，1n n S S 偶奇.2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a （q 为常数，0q ），11n na a q.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ，或Gxy .前n 项和：11(1)1(1)1nnna q S a q q q（要注意！）性质：n a 是等比数列（1）若m n p q ，则m n p qa a a a ··（2）232n nn nn S S S S S ，，……仍为等比数列,公比为nq .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n 时，11a S ；2n时，1nnna S S .3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列n a ，12211125222nna a a n……，求na 解1n 时，112152a ，∴114a ①2n时，12121111215222nn a a a n ……②①—②得：122nna ，∴12n na ，∴114(1)2(2)nn n a n ［练习］数列n a 满足111543nnn S S a a ，，求na 注意到11nnn a S S ，代入得14n nS S ；又14S ，∴n S 是等比数列，4nnS2n 时，1134n n n na S S ……·（2）叠乘法如：数列n a 中，1131n na n a a n ，，求na 解3212112123nn a a a n a a a n ·……·……，∴11n a a n又13a ，∴3na n .（3）等差型递推公式由110()nna a f n a a ，，求n a ，用迭加法2n时，21321(2)(3)()nna a f a a f a a f n …………两边相加得1(2)(3)()na a f f f n ……∴0(2)(3)()na a f f f n ……［练习］数列n a 中，111132n nna a a n，，求n a （1312nna ）（4）等比型递推公式1nna ca d （c d 、为常数，010c cd ，，）可转化为等比数列，设111nnn na xc a xa ca c x令(1)c xd ，∴1d xc ，∴1nda c 是首项为11da c c ，为公比的等比数列∴1111n nd d a a cc c ·，∴1111n nd d a a cc c （5）倒数法如：11212nnn a a a a ，，求na 由已知得：1211122nnnna a a a ，∴11112n n a a ∴1na 为等差数列，111a ，公差为12，∴11111122nn n a ·，∴21na n ( 附：公式法、利用1(2)1(1)n n S S n S n na 、累加法、累乘法.构造等差或等比1nn a pa q 或1()nna pa f n 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k ka a 解：由11111110kk k kkkda a a a dd a a ·∴11111223111111111111nnk k k kkknna a d a a da a a a a a ……11111n d a a ［练习］求和：111112123123n…………121nna S n …………，（2）错位相减法若n a 为等差数列，n b 为等比数列，求数列n n a b （差比数列）前n 项和，可由nn S qS ，求n S ，其中q 为n b 的公比.如：2311234n n S x xxnx……①23412341n nnx S x xxxn x nx·……②①—②2111n nnx S x x xnx……1x 时，2111n nnxnxS xx，1x 时，11232nn n S n……（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121121n nn nnnS a a a a S a a a a …………相加12112nnnn S a a a a a a ……［练习］已知22()1xf x x，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f由2222222111()111111xxx f x fxx xxx∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f (附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

高一数学期末复习专题解三角形3. 正、余玄定理的解题类型: (1) 两类正弦定理解三角形的问题： ① 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 ② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2) 两类余弦定理解三角形的问题： ①已知三边求三角.②已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式.5. 解题中利用 ABC 中：ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如:sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,.A B C AB .CAB C sincos —,cos sin ,ta ncot .2 2 2 2 2 26、 三角公式： (1) 倍角公式： (2) 两角和、差公式：1正弦定理：a b c2Rsin AsinB sin Ca:b:c sin A:sin B:sin C .cos A2a b 2c 2bc cos A2.余弦定理： b22a c 2 2ac cos B 或 cos B2cb 2a 2ba cos Ccos Cb 22c 2a2bc2 22ac b2ac222ba c2ab数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质(1)定义：a n 1 and （ d 为常数），通项公式： a n ai n 1 d(2)等差中项： x , A y 成等差数列 2A x y (3) 前n 项和： S na 1 a n nnnn n 1d 122(4)性质： a n 是等差数列① 任意两项间的关系式； a n = a m + （n — m ）d （m 、n € N ） ② 若 m n p q ，贝U a m a . a p a q ;③ S n , S 2n S n , S 3n S 2n ……仍为等差数列，公差为n 'd ; ④ 若三个成等差数列，可设为a d , a, a d⑤ 若a n , b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n , T n ，则空 乩b m T 2m 1⑥a n 为等差数列 S n an 2 bn （ a,b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）S n 的最值可求二次函数S n an 2 bn 的最值；或者求出a .中的正、负分界项,a o即：当a ,, d 0，解不等式组时o 可得§达到最大值时的n值.a o当a ,0, d 0,由“ 可得S n 达到最小值时的n 值.a n 1 0⑦项数为偶数2n 的等差数列a n 有n(a n a n 1)6, a . 1为中间两项)⑧ 项数为奇数2n 1的等差数列a n 有:S偶S奇nd ,a n 1S2n 1 (2n 1)a n(a n为中间项),a n ,32.等比数列的定义与性质(1) 定义：也a nq （ q 为常数，q 0),(2) (3) (4) 通项公式: 等比中项: 前n 项和: 性质： a n a nX 、S nG 、y 成等比数列na(q 1) a 11 q n 1 q(q 1)是等比数列 ①任意两项间的关系: —m - na m = a n . q②若 m n p q ，贝U a . a p- a qG 2 xy ,或 G 、、xy（要注意！）(m 、n € N ).③S n , S 2nS n , S sn S ?n ……仍为等比数列，公比为ql注意：由S n 求a n 时应注意什么?n 1 时，a 1 S i ； n 2 时，a nS n S n 13.求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法 如：数列a n , 1 12a 1 尹2 夬n 2n 5, 求 an解：n 1时, n 2时，為 2 1 / 1尹214 2n①-②得：寺a n2，…a n 14(n 1) 2n1( n 2)5& 1a n 1, 3注意到a n 1 Sn 1 S n ，代入得S n［练习］数列a n 满足S n a 1 n 2 时，a nS n S n 14，求 a n又S 4 , • S n 是等比数列，S n 4(2)叠乘法如：数列a n 中, 3,3a nn求a n n 1解: a2a1 a3a2 a n 1又a1 3, —a n(3)等差型递推公式由a n a n 1 f(n).a o，求a n，用迭加法a2 a i a3 a2 f(2)f⑶两边相加得an a i f (2) f (3) f (n)--a n a0f(2)f(3)……［练习］数列a n中，a11 (4)等比型递推公式a n ca n 1d( c、d为常数，可转化为等比数列 ,设a n x令(c 1)x d , x d5・■ i c 1d d n 1…a n a1cc 1 c 1(5)倒数法如：a11,an 12a n求a n 2由已知得：1a n 21a n 12a n2••• 1为等差数列，11 ,a n a1 a n a n…a n a n a n 1 f (n)f(n)a n 3n1a n 2，求a n a n(3n1),a n丄a n公差为1,a n是首项为a ia n—,c为公比的等比数列c 11a n(附：公式法、利用a n S(nS n S n1)1 (n2)、累加法、累乘法•构造等差或等比3换元法)4.求数列前n 项和的常用方法(1) 公式法 (2)裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项da 1a n 1(3)错位相减法由 S n qS n ，求 S n , 其中q 为b n 的公比.(4)分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列， 也不是等比数列的数列，若将这类 数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

北师⼤版⾼中数学必修五《数列知识点总结》.pdf S=a+a+……+a+an12n?1n相加2S=a+a+a+a+…+a+a…()()()n1n2n?11nS=a+a+……+a+annn?121?2x［练习］已知fx()=，则21+x111f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=2342122??11xxx由f(x)+f=+=+=12222x1+x1+x1+x11+x11111∴原式=f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=+1+1+1=323422(附：a.⽤倒序相加法求数列的前n项和如果⼀个数列{an}，与⾸末项等距的两项之和等于⾸末两项之和，可采⽤把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到⼀个常数列的和，这⼀求和⽅法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同⼀类知识的⼯具，例如：等差数列前n项和公式的推导，⽤的就是“倒序相加法”。

b.⽤公式法求数列的前n项和对等差数列、等⽐数列，求前n项和Sn可直接⽤等差、等⽐数列的前n项和公式进⾏求解。

运⽤公式求解的注意事项：⾸先要注意公式的应⽤范围，确定公式适⽤于这个数列之后，再计算。

c.⽤裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的⼀项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从⽽求出数列的前n项和。

d.⽤错位相减法求数列的前n项和错位相减法是⼀种常⽤的数列求和⽅法，应⽤于等⽐数列与等差数列相乘的形式。

即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等⽐数列，在和式的两边同乘以公⽐，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

e.⽤迭加法求数列的前n项和迭加法主要应⽤于数列{an}满⾜an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等⽐数列的条件下，可把这个式⼦变成a-a=f(n)，代⼊各项，得到⼀系列式⼦，把所有的式⼦加到⼀起，经过整理，可求出a，n+1nn从⽽求出S。

数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。

高中数学知识点总结最全版pdf一、代数1. 集合与函数概念- 集合的基本概念、表示方法及其运算- 函数的定义、性质和常见类型（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）2. 代数式的运算- 整式的加减乘除、因式分解- 分式的运算法则- 二次根式的化简与运算3. 一元一次与一元二次方程- 解一元一次方程的一般步骤- 一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、因式分解法）4. 不等式- 不等式的基本性质- 解一元一次不等式和一元二次不等式- 线性规划问题的解法5. 函数的极限与连续性- 极限的概念及其计算- 函数的连续性与间断点6. 序列与数列- 等差数列与等比数列的性质和求和公式- 数列的极限7. 排列组合与概率- 排列组合的基本概念及计算公式- 概率的基本原理和计算方法- 条件概率与独立事件二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 三角形、四边形的性质与计算- 圆的性质与圆的方程2. 空间几何- 空间直线与平面的方程- 空间几何体（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球）的性质与计算3. 解析几何- 曲线的方程与性质- 坐标系变换与曲线的对称性- 圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程三、三角学1. 三角函数- 三角函数的定义与基本关系- 三角函数的图像与性质- 三角恒等变换2. 三角方程- 三角方程的解法- 应用三角方法解决实际问题四、微积分1. 导数与微分- 导数的定义与几何意义- 常见函数的导数- 微分的概念与应用2. 函数的极值与最值问题- 极值存在的条件- 最值问题的求解方法3. 积分学- 不定积分的概念与基本积分表- 定积分的概念与计算- 积分的应用（如计算面积、体积等）4. 微分方程- 常微分方程的基本概念- 一阶微分方程与二阶微分方程的解法五、概率论与数理统计1. 随机事件与概率- 随机事件的概率定义与性质- 概率分布（如二项分布、正态分布等）2. 统计量与抽样分布- 常见的统计量（如均值、方差、标准差等） - 抽样分布的概念3. 参数估计- 点估计与区间估计- 估计量的评价标准4. 假设检验- 假设检验的基本步骤- 显著性水平与P值以上总结了高中数学的主要知识点，这些知识点构成了高中数学的基础框架，对于理解和掌握高中数学课程至关重要。

高中数学数列知识点总结(精华版)等比数列公式性质知识点1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈n_，q为非零常数).(2)等比中项：如果a、g、b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项.即：g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈n_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列sm，s2m-sm，s3m-s2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-4.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并无法立即断言{an}为等比数列，还要检验a1≠0.5.等比数列的前n项和sn(1)等比数列的前n项和sn就是用错位二者加法求出的，特别注意这种思想方法在数列议和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.1.等比中项如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项。

存有关系：注：两个非零同号的实数的'等比中项有两个，它们互为相反数，所以g2=ab是a,g,b 三数成等比数列的必要不充分条件。

2.等比数列通项公式an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)an=sn-s(n-1)(n≥2)前n项和当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)当q=1时，等比数列的前n项和的公式为sn=na13.等比数列前n项和与通项的关系an=a1=s1(n=1)an=sn-s(n-1)(n≥2)4.等比数列性质(1)若m、n、p、q∈n_，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

数列专题◆ 考点一：求数列的通项公式1. 由a n 与S n 的关系求通项公式由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有：①利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n－S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n .2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解．◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1a n＝f(n)，常用累乘法求通项；◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列；2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n(q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n转化为类型(4)，或同除以p n ＋1转为用迭加法求解．3） ◆ 倒数变形3.数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．（3)数列{a n }的最大(小)项的求法可以利用不等式组⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.[例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立．**数k 的取值*围．考点二：等差数列和等比数列(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n ＝a m qn －m(3)若等比数列前n 项和为S n 则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)． S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d (1)q ≠1，S n ＝a 11－qn1－q ＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 11.在等差(比)数列中，a 1，d(q)，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算． 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．3.用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d)，当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，对应的点(n ，a n )是位于直线上的若干个离散的点；当d ＞0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列，S n 有最小值； 当d ＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列，S n =na 1；当d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列，S n 有最大值．若等差数列的前n 项和为S n ，则S n ＝pn 2＋qn(p ，q ∈R )．当p ＝0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列a n ＝a 1qn －1，可用指数函数的性质来理解．当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0,0＜q ＜1时，等比数列{a n }是单调递增数列； 当a 1＞0,0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是单调递减数列；当q ＝1时，是一个常数列；当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列． 4.常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n },{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n}，{1a n}等也是等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝a 2－a 1qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为q k.等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d. 5） 5.易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac. 6.等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 7.等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q(q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q(q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k(k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.考点三：数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：1.公式法——直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q ，q ≠1.2.倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，则求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． 3.错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．求a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q ，然后将两式相减，相减后以“q n”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)． 4.裂项相消法(注重积累！！！)利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1. 利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项．常见的拆项公式(1)1n n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛12n －1－12n ＋1； (3)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(4)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n; (5)1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k－n). 5.分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 6.并项求和法一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 7.放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法,放缩法的注意问题以及解题策略(1)明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于*项，则放大，是大于*个项，则缩小。

. .一、数列1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2. 通项公式：如果数列a n 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 a f (n)n .3. 递推公式：如果已知数列a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f (a n 1 ) 或a n f (a n 1,a n 2) ，n 1那么这个式子叫做数列a的递推公式. 如数列a n 中，a1 1, a n 2a n 1 ，其中na n 2a n 1是数列a n 的递推公式.4. 数列的前n 项和与通项的公式①S n a1 a2 a ；②nS (n 1)1a n .S S (n 2)n n 15. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .②递减数列: 对于任何n N , 均有a n 1 a n .③摆动数列: 例如: 1,1 ,1, 1, 1, .④常数数列: 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.⑤有界数列: 存在正数M 使a n M ,n N .⑥无界数列: 对于任何正数M , 总有项a 使得a n M .n1、已知n*a 2 (n N )nn 156，则在数列{ }a 的最大项为__（答：n125）；2、数列{ }a 的通项为nana n ，其中a,b 均为正数，则a n 与a n 1 的大小关系为___（答：bn 1a a n 1）；n23、已知数列{ a } 中， a 是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；a n n ，且{ } nn n4、一给定函数y f (x)的图象在下列图中，并且对任意a( 0,1) ，由关系式a n 1 f (a n )1* 得到的数列{ }a 满足a n 1 a n (n N ) ，则该函数的图象是（）（答：A）neord 完美格式. .二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列知识梳理⏹数列的概念
数列的函数特性：数列是一种特殊的函数数列的相关概念
数列的分类
按项数分类：有穷数列、无穷数列
按项与项间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列
按其他标准分类：有界数列、摆动数列
⏹等差数列
等差数列的有关概念
等差数列与一次函数的关系
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列的常用性质
等差数列{an }的前n和Sn的性质
等比数列
等比数列的有关概念
等比数列中的函数关系
等比数列的前n项和
等比数列的性质
等比数列的常用性质
等比数列{an }的前n和Sn的性质
数列求和
公式法
分组(并项)法求和
错位相减法求和
裂项相消法求和
倒序相加法求和
数列的综合应用
数列与函数的综合
数列是一种特殊的函数，它的图象是一些孤立的点，此类问题大部分要归于对函数性质的研究，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想求解
数列与不等式
1.判断数列中的不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者借助数
列对应的函数的单调性比较大小
2.数列中的恒成立问题，可转化为函数求最值问题解决.
3.数列中的不等式证明问题，可构造函数进行证明，或者采用放缩法进行
证明
数列在实际应用中的常见模型：等差模型、等比模型、递推数列模型。

数列一、数列的概念与简单表示法1．数列的相关概念定义：按照一定顺序排列的一列数叫数列．（例如：1,3,5,7,9…）．项与项数：数列中每一个数叫做数列的项，排在第一位的叫做第一项（通常叫首项），以此类推，排在第n 位的叫做数列的第n 项． 表示：数列一般形式可以写成：123,,,,,,n a a a a 简记为{}n a ．2．数列的分类按照数列中项数有限和无限分为：有穷数列，无穷数列． 按照数列的项的变化趋势分类：递增数列（1n n a a +>）；递减数列（1n n a a +<）；常数列（1n n a a +=）；摆动数列（1n a +与n a 随着n 的变化大小关系不确定）．例如：1,3,5,7,9…（无穷递增数列），10,7,4,1,-2,…,-14（有穷递减数列），2,2,2,2,…（常数列），1,-1,1,-1,1…（摆动数列）． 3．数列与函数的关系数列可以看成以正整数*N （或它的有限子集{1,2,,}n ）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值． 4．数列的表示方法通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．例如：1,3,5,7,9…可表示为21n a n =-，n ∈*N ．注意：①不是所有的数列都能写出它的通项公式；②对于一个确定的数列，通项公式不一定唯一．直接列出：123,,,,,.n a a a a图像表示：在平面直角坐标系中，数列可以用一群孤立的点(,)n n a 表示．递推公式：给出数列的第一项（或前几项），再给出后面的项用前面的项来表示的式子，这种表示数列的方法叫递推公式法． 例如：数列{}n a 中，有11a =，111n n a a -=+，根据此递推公式，我们就可以依次写出数列中的每一项．5．n a 与n S 的关系数列前n 项和记为n S ，则1231n n n S a a a a a -=+++++，11231n n S a a a a --=++++，两式相减，得1n n n a S S -=-，由于n 只能取正整数，当1n =时1n S -不存在，不能使用上式，但当1n =时很明显有11a S =，故我们得到通项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ．二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列． 注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项． 此时2a b A +=3．等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．4．等差数列的性质（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=．（3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,组成公差为md 的等差数列．例如：135721,,,,,,n a a a a a -组成公差为2d 的等差数列； 51015205,,,,,,n a a a a a 组成公差为5d 的等差数列．（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ．（5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．5．判断一个数列是等差数列的方法 （1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T（21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --是等差数列，公差为2k d ．★（4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．四、等比数列1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示（0q ≠）．递推式表示为1n na q a +=或1(2)nn a q n a -=≥． 例如：数列{}n a 满足12n n a a +=，则数列{}n a 是公比为2的等比数列．特别注意：等比数列中任何一项都不为0，公比0q ≠，若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，除了0,0,0,这样的常数列之外，其余的也都是等比数列．注：10a >，1q >时，{}n a 是递增的等比数列；10a >，01q <<时，{}n a 是递减的等比数列； 10a <，01q <<时，{}n a 是递增的等比数列； 10a <，1q >时，{}n a 是递减的等比数列； 1q =时，{}n a 是非零常数列； 0q <时，{}n a 是摆动数列．2．等比中项若三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫作a 与b 的等比中项． 此时2G ab =例如：2和8的等比中项为4±． 注：①一个等比数列，从第2项起，每一项都是它的前后两项的等比中项，即212n n n a a a ++=，每一项都是前后距离相同两项的等比中项，即2n n m n m a a a -+=．②当三个数成等比数列时，当四个数成等比数列时，常设这3．等比数列的通项公式等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则11n n a a q -=．4．等比数列的性质（1）等比数列{}n a 的第m 项为m a ，则n mn m a a q -=．★ 例如：7652812310a a q a q a q a q -=====．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，若2m n p +=，则2m n p a a a =．★例如：2192837465a a a a a a a a a ====，12132n n n a a a a a a --===．（3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,组成公比为mq 的等比数列．例如：135721,,,,,,n a a a a a -组成公比为2q 的等比数列； 51015205,,,,,,n a a a a a 组成公比为5q 的等比数列．（4）{}n a 是公比为q 的等比数列，则{}n ka 也是等比数列，公比为q ． （5）{}n a ,{}n b 都是等比数列，则{}n ka ，{||}n a ，2{}n a ，1{}n a ，{}n n a b ，{}n na b 也是等比数列．5．判断一个数列是等比数列的方法 （1）定义法：1n na q a +=（常数）．★ （2）等比中项法：212+=n n n a a a +或211-+=n n n a a a ．★ （3）通项公式法：11=n n a a q-（公比为q ）．（4）前n 项和公式法：(0,0)nn S Aq A A q =-≠≠．五、等比数列的前n 项和1．等比数列前n 项和公式注意：应用求和公式时，要先看q 是否等于1，必要时需讨论．2．和的有关性质等比数列{}n a ，公比为q ，前n 项和为n S ，那么： （1）数列232,,,k k k k k S S S S S --是等比数列，公比为kq ．★（2）m nm n m n n m S S q S S q S +=+=+．（3）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S q S =偶奇； ②当项数为奇数21n +时，1S a q S -=奇偶．六、求数列通项公式专题1．公式法等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，()n m a a n m d =+-． 等比数列通项公式：11n n a a q -=，n m n m a a q -=． 2．已知n S 与n a 的关系求通项 已知n S 求n a 公式：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．3．累加法适用形式：1()n n a a f n +=+．变为1()n n a a f n +-=，下标依次递减1写出等式，直至写到21(1)a a f -=，最后把1n -个等式相加即可得到结果．4．累乘法适用形式：1()n n a a f n +=．变为1()n n a f n a +=，下标依次递减1写出等式，直至写到21(1)af a =，最后把1n -个等式相乘即可得到结果． 5．构造法（1）形如1n n a qa p +=+，用待定系数法构造等比数列．即令1()n n a x q a x ++=+，则1(1)n n a qa q x +=+-，与1n n a qa p +=+对比可知1p x q =-，故数列{}1n pa q +-是公比为q 的等比数列．形如1()n n a qa f n +=+，用待定系数法构造等比数列，令1(1)()n n a A n B q a An B ++++=++，利用系数相等求出A 和B ．（2）形如11n n n a pa qp ++=+，采用两边同除法构造等差数列．两边同除以1n p +得到11n n n n a a q p p ++=+，故数列{}nna p是公差为q 的等差数列．两边取倒数得11n n nqa p a pa ++=，即1n n a a p +=+，故{}n a 是公差为qp的等差数列． （4）含有n a ，1n a +的二次三项式，通过因式分解转化为常见数列求解．（5）形如21n n n a pa qa ++=+，用待定系数法转化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++，化简对比求出λ，则1{}n n a a λ++是公比为p λ+的等比数列，再根据情况求出n a ．（6）形如1rn n a pa +=，采用两边取对数法，变形为1lg lg lg n n a r a p +=+，再用待定系数法构造等比数列．（7）换元法：适用于含有根式的递推关系式，把根式整体代换为一个简单数列来表示．6．数学归纳法根据数列前几项的值猜想数列的通项公式，首先带入第一项验证成立，然后假设第k 项成立，最后证明第1k +项也成立，便可证明猜想的公式就是数列的通项公式．七、数列求和专题1．公式法等差数列求和公式： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列求和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．常用求和公式：1123(1)2n n n ++++=+22221123(1)(21)6n n n n ++++=++333321123[(1)]2n n n ++++=+2．分组求和法如果一个数列的通项可以写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法．3．错位相减法{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，采用错位相减法求解，在等式的两边同乘以{}n b 的公比，然后错位一项与{}n n a b ⋅的同次项对应相减，转化为特殊数列求和问题．需注意{}n b 共比为参数字母时，要对公比是否为1做讨论．它是等比数列前n 项和公式的推导方法．4．裂项相消法将数列每一项拆成两项或若干项，使得相加后有一些项可以相互抵消，从而求得其和．一般未被消去的项有前后对称的特点． 常见裂项方法： ①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k=-++③1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+ ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1k =⑥ 1log (1)log (1)log a a a n n n+=+- 注：（1）裂项常见公式没有必要死记硬背，例如对1(5)n n +裂项，可直接把分式从中间截断，变为115n n -+，再通分求得1155(5)n n n n -=++，与原式比较分母变为5倍，则把裂项后的结果115n n -+前面乘以15就变为与原式相等的裂项，即1111()(5)55n n n n =-++． （2）分母为根式相加形式的裂项，本质就是对分母有理化，即=1k=．（3）对数形式的裂项，考察的是对数的基本计算，利用对数性质巧妙构造相消项，如11log (1)log ()log (1)log a a a a n n n n n++==+-．5．倒序相加法一个数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，那么把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．它是等差数列前n 项和公式的推导方法． 6．并项求和法一个数列的前n 项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称为并项求和．形如(1)()n n a f n =-的数列，可用此法．7．含有绝对值的求和关键找到正负转折项进行分类讨论.数学浪子整理制作，侵权必究。

高中数学《数列》知识点归纳
一、数列的概念
1. 数列的定义与表示
2. 数列的分类：等差数列、等比数列、等差几何数列、斐波那契数列、调和数列等
3. 数列的通项公式、前n项和公式及其应用
五、斐波那契数列
1. 斐波那契数列的定义和性质
2. 斐波那契数列的通项公式及其应用
3. 斐波那契数列的递推公式及其推导方法
4. 斐波那契数列的特殊应用：黄金分割
六、调和数列
1. 调和数列的定义和特征：调和平均数、算术平均数、宾汉姆不等式
2. 调和数列的通项公式及应用
3. 调和数列和几何平均数的关系
4. 调和数列的应用：调和平均数与平均速度等
七、数列极限
1. 数列的极限及其定义
2. 数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性、代数运算性等
3. 数列极限的判定法：夹逼定理、单调有界原理等
4. 数列极限的应用：数学归纳法、发散数列的研究等
八、数列的应用领域
1. 数列在经济方面的应用：摆脱“复利”套路等
2. 数列在自然科学中的应用：波动方程、元素周期表等
3. 数列在计算机科学中的应用：搜索算法、排序算法等
4. 数列在生命科学和社会实践中的应用：基因序列分析、大学分配问题等。

数列基础知识点《考纲》要求：1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。

数列的概念N *或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：=n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ a n ＝(－1)n)12)(12(12+−−n n n⑵ a n ＝)673(212+−n n（提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得)673(21)43)(1(211)]53(10741[12+−=−−+=−++++++=n n n n n a n⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为,213,202,211+++ ,,26,215,204 +++ ∴4)1(1222)1(111++−++=−++=n n n n n a 变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ① a n ＝22[1＋(－1)n] ② a n ＝n )(11−+ ③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 解：D例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．⑴ S n ＝3n－2⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1解 ⑴ a n ＝S n －S n －1 (n ≥2) a 1＝S 1 解得：a n ＝⎩⎨⎧=≥⋅−)1(1)2(321n n n ⑵ a n ＝⎩⎨⎧≥+=)2(22)1(5n n n 变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．解：,110101)1lg(+=⇒=−⇒=−n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n－10n－1＝9·10n －1．故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=−)2(109)1(111n n n例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113−−+n n a (n ≥2) ⑶ a 1＝1，a n ＝11−−n a nn (n ≥2) 解：⑴ a n ＝2a n －1＋1⇒(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n，∴a n ＝2n－1．⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1＋3n －2＋…＋33＋3＋1＝)13(21−n ． (3)∵nn a a n n 11−=− ∴a n ＝⋅−−⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−12111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n 112123=⋅⋅⋅−−变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n n a a (n ∈N *)，求该数列的通项公式． 解：方法一：由a n ＋1＝22+n na a 得 21111=−+n n a a ，∴{na 1}是以111=a 为首项，21为公差的等差数列． ∴na 1＝1＋(n －1)·21,即a n ＝12+n方法二：求出前5项，归纳猜想出a n ＝12+n ，然后用数学归纳证明． 例4. 已知函数)(x f ＝2x－2－x，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式． 解：n a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2−=−=−n a a nn 21−=−得n n a n −+=12 变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）． (1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1(1)． 解：(1) 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴ n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减，得： S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1 从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6, 又a 1＝5，∴ a 2＝11 ∴111+++n n a a ＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列. (2) 由(1)知a n ＝3×2n－1∵ )(x f ＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n∴ )('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n)－(1＋2＋…＋n) ＝3[n ×2n ＋1－(2＋ (2))]－2)1(+n n ＝3(n －1)·2n ＋1－2)1(+n n ＋6方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，nn a a 1+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．数列的概念与简单表示法●三维目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。